26.2.2 第5课时 二次函数最值的应用-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（华东师大版）

该初中数学教学设计聚焦二次函数最值的实际应用，课堂导入通过配方求抛物线顶点坐标及最值的复习题，搭建“二次函数代数性质（旧知）—实际问题建模（新知）”的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料特色在于以生活情境驱动数学建模，如矩形花圃面积、商品利润问题，引导学生从现实中抽象函数关系，体现“会用数学的眼光观察现实世界”的抽象能力。通过“列关系式—定范围—配方求最值—检验”的推理过程，培养“会用数学的思维思考现实世界”的运算与推理能力。用函数表达式表达实际数量关系，强化“会用数学的语言表达现实世界”的模型意识。实例丰富，助力学生体会数学应用价值，也为教师提供情境教学范例，提升教学实效。

第5课时 二次函数最值的应用 教学目标 1.能根据实际问题列出函数关系式. 2.使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围. 3.过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生善用数学的意识. 教学重难点 重点：会通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值. 难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值. 教学过程 一、导入 1.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1)y=6x2+12x； (2)y=-4x2+8x-10 2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少? 【教学说明】通过配方，使学生能熟悉二次函数最值的求法，从而解决实际问题. 二、课堂新授 有了前面所学的知识，现在我们就可以应用二次函数的知识去解决26.1节中提出的两个实际问题. 1.要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样的围法才能使围成的花圃的面积最大? 解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20-2x)m，由于x＞0，且20-2x＞0，所以0＜x＜10.围成的花圃面积y与x的函数关系式是y=x(20-2x)即y=-2x2+20x，配方得y=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，函数取得最大值，最大值y＝50.因为x＝5时，满足0＜x＜10，这时20-2x＝10.所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大. 2.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元.商品每天的利润y与x的函数关系式是：y=(10-x-8)(100+100x)即y=-100x2+100x+200配方得y=-100(x-12)2+225因为x=12时，满足0≤x≤2.所以当x=12时，函数取得最大值，最大值y＝225.所以将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大. 【教学说明】解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果. 运用新知，深化理解 1.见教材P19例5 2.求下列函数的最大值或最小值. (1)y=2x2-3x-5. (2)y=-x2-3x+4. 解：(1)二次函数y=2x2-3x-5中的二次项系数2＞0，因此抛物线y=2x2-3x-5有最低点，即函数有最小值.因为y=2x2-3x-5=2(x-3/4)2-49/8，所以当x=3/4时，函数y=2x2-3x-5有最小值是-49/8.(2)二次函数y=-x2-3x+4中的二次项系数-1＜0，因此抛物线y=-x2-3x+4有最高点，即函数有最大值.因为y=-x2-3x+4=-(x+3/2)2+25/4，所以当x=-3/2时，函数y=-x2-3x+4有最大值是25/4. 3.某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表： 若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？ 解：由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为y=-x+200.设每日销售利润为s元，则有s=y(x-120)=-(x-160)2+1600，因为-x+200≥0，x-120≥0，所以120≤x≤200.x=160满足条件.所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元. 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y. (1)用含y的代数式表示AE； (2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； (3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值. 解：(1)由题意可知，四边形DECF为矩形，因此AE=AC-DF=8-y. (2)由DE∥BC，得DE/BC=AE/AC，即x/4=(8-y)/8，所以y=8-2x，x的取值范围是0＜x＜4. (3)S=xy=x(8-2x)=-2x2+8x=-2(x-2)2+8所以，当x=2时，S有最大值8. 【教学说明】应用所学知识解决实际问题，使学生明白数学来源于生活，适用于生活. 三、巩固练习 1.求下列函数的最大值或最小值： 2.二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值为(　　) A．2 B．4 C．－4 D．16 3.已知x2＋y＝3，当1≤x≤2时，y的最小值是(　　) A．－1 B．2 C. D．3 4.已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为(　　) A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定 5.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为(　　) A．20 B．40 C．100 D．120 6.有一根长为40 cm的铁丝，把它弯成一个矩形框. 当矩形框的长、宽各是多少时， 矩形的面积最大？最大面积是多少？ 四、课堂小结 让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤： (1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； (2)研究自变量的取值范围； (3)研究所得的函数； (4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值； (5)解决提出的实际问题. 五、布置作业 教材P20练习T1，2，3 学科网（北京）股份有限公司 $