26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（华东师大版）

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，通过类比一次函数“画图象→归纳性质”的学习路径导入，搭建新旧知识支架，引导学生从已有经验过渡到二次函数探究。 特色在于以学生动手实践（描点画图象）和对比探究（不同a值图象比较）为主线，通过观察讨论自主归纳抛物线特征与性质，培养几何直观、推理意识与模型意识。如对比y=x²与y=-x²图象发现开口方向差异，结合等边三角形面积问题强化应用，助力学生深化理解，为教师提供清晰教学路径。

26.2 二次函数的图象与性质 26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质 教学目标 1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念. 2.掌握二次函数y=ax2的图象和性质. 教学重难点 重点：二次函数y=ax2的图象和由图象概括的二次函数y=ax2的性质. 难点：二次函数y=ax2性质的应用. 教学过程 一、导入 1.前面我们研究了一些具体的函数，根据你的经验，学习了二次函数的概念后，接着要研究什么问题? 2.想一想，一次函数的性质是怎样研究的? (先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质) 3.我们能否类比一次函数的性质来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么? (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，即先研究二次函数的图象) 4.一次函数的图象是什么?二次函数的图象是什么? (由此引出课题) 二、课堂新授 问题1 画二次函数y=x2的图象. 请用描点法画出函数y=x2的图象.(学生画出) 说明和建议： 1.在画图象前，可引导学生复习用描点法画函数图象. 2.观察函数y=x2的自变量x的取值范围.引导学生回忆前面学过的内容，列表时如何合理选值?以什么数为中心? 3.列表时应注意描点的方便，可告诉学生x取整数，可以以1为间距取值. 4.列表时应注意到x取相反数时，y的值相同，这样列表就可简捷一些，连线前要观察所描点的位置，它们不在一条直线上，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或按自变量从大到小的顺序连结. 5.要引导学生讨论：这样画出的函数y=x2的图象是实际图象的一部分，还是它的全部?所画函数图象是准确的，还是近似的? 6.在学生画完的基础上，教师板演画函数y=x2的图象. 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … (2)在平面直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点. (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=ax2的图象，如右图所示. 问题2 请观察y=x2的图象，它有什么特点? 说明和建议： 1.这个问题具有开放性，不同层次的学生可总结概括出不同的结论. 2.让学生观察、思考、讨论、交流，总结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点. 教师在学生发言的基础上，借助上面所画的图象，指出有关概念：抛物线的对称轴、开口方向、顶点坐标等. 归纳：二次函数y=x2的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线，它的开口向上，对称轴是y轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，抛物线y=ax2的顶点是原点. 问题3 (1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你发现有什么共同点?又有什么区别? (2)在同一直角坐标系中，画出函数y=2ax2与y=-2ax2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么? (3)将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么? 说明与建议： 对于(1)，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点.两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论、交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=ax2的图象开口向上，函数y=-ax2的图象开口向下. 对于(2)，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点教师可引导学生类比(1)得出. 对于(3)，教师可引导学生从(1)的共同点和(2)的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它们的顶点坐标都是(0，0). 在学生交流的基础上，教师展示图象并归纳. 函数y=ax2(a≠0)的图象是一条________，它关于________对称，它的顶点坐标是_______. 思考：如果要更细致地研究函数y=ax2(a≠0)图象的特点和性质，应如何分类?为什么? 让学生观察y=x2、y=2x2的图象，填空： 当a>0时，抛物线y=ax2开口_______.在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______.______是抛物线上位置最低的点. 问题4 观察图象，y随x的变化如何变化? 说明与建议： 可让学生观察y=ax2、y=2ax2的图象，填空： 当x<0时，函数值y随着x的增大而______，当x>0时，函数值y随x的增大而______；当x=______时，函数y=ax2(a>0)取得最小值，最小值y=______. 以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质. 思考以下问题： 观察函数y=-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a<0时，抛物线y=ax2有什么特点?当a<0时，函数y=ax2具有哪些性质? 让学生思考、讨论、交流，达成共识，当a<0时，抛物线y=ax2开口向下.在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降.顶点是抛物线上位置最高的点.图象的这些特点，反映了当a<0时，函数y=ax2的性质：当x<0时，函数值y随x的增大而增大；当x>0时，函数值y，随x的增大而减小；当x=0时，函数y=ax2取得最大值，最大值y=0. 三、巩固练习 1.二次函数y=πx2图象的顶点坐标是______，对称轴是______，图象在x轴的______(顶点除外)，开口向_______，当x______时，y随着x的增大而减小，当x______时，y随着x的增大而增大. 2.观察函数y=x2的图象，则下列说法中正确的是( ) A.若a，b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等 B.对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应 C.对任一个实数y，有两个x和它对应 D.对任意实数x，都有y>0 3.在函数y=ax2中，当a<0时，设自变量x1、x2的对应函数值分别为y1，y2，当x1>x2>0时，必有y1<y2吗?为什么? 4.已知函数y=(k2+k)是二次函数，它的图象开口向______，当x______时，y随x的增大而增大. 5.已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成关于x的函数，并画出图象. 四、课堂小结 本节课你学到了什么，还有什么困惑? 引导学生从二次函数y=ax2的图象形状、画法、对称轴、顶点、开口方向和增减性等方面总结. 五、布置作业 教材P7练习T1，2，3，4 学科网（北京）股份有限公司 $