26.1 二次函数-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（华东师大版）

该初中数学教学设计聚焦二次函数概念这一核心知识点，通过回顾一元二次方程及一次、反比例函数概念，结合圆面积、正方体表面积、矩形面积增加等现实问题引出新函数，搭建旧知到新知的学习支架。 此资料亮点在于以现实问题为载体培养数学眼光，从具体情境抽象出函数关系，引导学生观察比较归纳定义发展数学思维，通过例题练习强化模型意识，助力学生提升抽象能力与推理意识，也为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

第26章 二次函数 26.1 二次函数 教学目标 1.掌握二次函数的概念，能够依据实际情况建立二次函数关系式. 2.正确理解y=ax2+bx+c中a≠0的作用与要求，初步体会二次函数与一次函数、反比例函数的区别. 教学重难点 重点:二次函数的概念. 难点：寻找、发现实际生活中的二次函数问题，理解变量间的对应关系. 教学过程 一、导入 1.回顾. (1)一元二次方程的一般形式是什么? (2)什么是正比例函数、一次函数、反比例函数?它们的一般形式是怎样的? 2.解答下列问题. (1)圆的半径是r(cm)，它的面积S(cm2)是多少? (2)已知正方体的棱长为x cm，表面积为y cm2，则y与x的关系式是_____. (3)矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式. 请观察上面列出的三个式子，它们是不是函数?为什么?如果是，它们是我们学过的函数吗? 二、课堂新授 阅读课本P3～4问题1与问题2的分析过程. 1.探究. 上面所列三个函数关系式与问题1、问题2所列的函数关系式不是我们前面学过的函数.请你观察这几个函数关系式有什么共同特点，并结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义. 说明：可引导学生观察、分析、比较这三个函数关系式，回忆一次函数的概念，引导时注意： (1)学生能否找出函数的自变量及因变量； (2)学生能否归纳出三个函数的共同特点：经过化简后都能化成y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的形式. 2.归纳. 二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 问题：(1)二次函数定义中，a，b，c有怎样的要求? (2)当a=0时，这个函数还是二次函数吗?为什么? (3)b或c能为0吗? 说明：教师引导学生尝试归纳总结出二次函数的定义.对提出的问题要适时引导，可利用上面三个函数关系式，让学生指出常数a、b、c各是多少，强调a≠0，以加深对概念的理解. 3.练习. 下列函数中，哪些是二次函数? ①y=3x-1；②y=3x2+2；③y=3x4+2x2；④y=x2；⑤y=x2-x(1+x)；⑥y=x-2+x. 4.典型例题 【例1】 当m为何值时，关于x的函数y=(m+1)x㎡-m+2x+3是二次函数? 分析：若y=(m+1)x㎡-m+2x+3是二次函数，则必须满足的条件是㎡-m=2，且m+1≠0. 解：由题意，得m2-m=2，且m+1≠0.解得m=2. ∴当m=2时，函数y=(m+1)x㎡-m+2x+3是二次函数. 探索：若函数y=(m-2)x㎡-m+mx+(m+1)是以x为自变量的二次函数，则m为何值? 【例2】 写出下列各题的函数关系式，并判断它们是什么类型的函数. (1)写出正方形的面积S(cm2)与正方形边长a(cm)之间的函数关系式； (2)菱形的两条对角线的和为20cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系式. 说明：学生独立完成. 三、巩固练习 1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=5x+1；(2)y=4x2-1；(3)y=2x3-3x2；(4)y=5x4-3x+1. 2.y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数)为二次函数的条件是( ) A.b≠0 B.c≠0 C.a≠0，b≠0，c≠0 D.a≠0 3.当k为何值时，函数y=(k-1)+1为二次函数? 4.正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x cm的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积. 5.圆的半径是1cm，假设当圆的半径增加x cm时，面积增加y cm2. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当圆的半径分别增加1cm、2cm时，圆的面积各增加多少? 四、课堂小结 1.通过本节课的学习，你有哪些收获?还有哪些疑惑? 2.二次函数的一般形式是什么?特殊形式有哪些?一个函数是不是二次函数关键看什么? 五、布置作业 教材P4练习T1,2 学科网（北京）股份有限公司 $