27.1.2 第2课时 垂径定理-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（华东师大版）

该初中数学课件聚焦“垂径定理及推论”，通过折纸操作引导学生观察圆的对称性，从发现相等线段和弧入手，衔接圆的认识，搭建从直观操作到抽象定理的学习支架。 其亮点在于以动手探究培养几何直观（数学眼光），通过全等三角形证明发展推理能力（数学思维），例题练习结合勾股定理构造直角三角形强化模型意识（数学语言）。助力学生提升探究与解题能力，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 27.1 圆的认识 第27章 圆 27.1.2 圆的对称性 第2课时 垂径定理 一、垂径定理 按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下， 把这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线， 得到新的折痕，其中点P是两条折痕的交点，即垂足； 第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图． 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？ 垂径定理及证明： 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为点P． 求证：AP=BP，=，=． 证明：连结CA、CB、OA、OB，则OA=OB，即△AOB是等腰三角形. ∵CD⊥AB，∴AP=BP. 又∵CP=CP，∴Rt△APCRt△BPC. ∴AC=BC. ∴（在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧相等）. 由此易得=. 1. 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦 所对的两条弧．如图，CD⊥AB于点E，CD是⊙O的 直径，那么可用几何语言表述为： 要点分析： (1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦 的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆 心且垂直于弦的线段、直线均可． (2)垂径定理中的弦可以为直径． (3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据． 2.易错警示： 弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．弦与弦心距的关系：在同一个圆中，两条弦相等，则它们的弦心距相等，反之亦成立；在同一个圆中，弦越长，则其弦心距越小． 例1 如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上点，且AC＝BD. 求证：△OCD为等腰三角形． 证明：如图，过点O作OM⊥AB，垂足为M， 则AM＝BM， ∵AC＝BD，∴CM＝DM， 又∵OM⊥CD，∴OC＝OD， ∴△OCD为等腰三角形．, 课堂练习 1.如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ） A．CE=DE B．= C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD 2.如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为 3，则弦AB的长是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 二、垂径定理的推论 1.推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平 分这条弦所对的两条弧，即：   要点分析：推论中涉及两条弦，注意第一条弦不能为直径． (2)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，即： 2．拓展：关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线， 它具备以下五个性质： (1)直线过圆心； (2)直线垂直于弦； (3)直线平分弦(不是直径)； (4) 直线平分弦所对的优弧； (5)直线平分弦所对的劣弧． 如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论， 组成的命题都是真命题． 例2 如图所示，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N分别为AB，CD 的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD. 证明：如图所示，连结OM，ON，OA，OC. ∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点， ∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD. ∴∠ OMA= ∠ ONC=90° . ∵∠ AMN= ∠ CNM，∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON. 又∵ OA=OC，∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN. ∴ AM=CN. ∴ AB=CD. 课堂练习 1.如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为(　　) A．8 cm　　 cm C．6 cm D．2 cm 2.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的取值范围是(　　) A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 课堂小结 1.圆的轴对称性；2.垂径定理及应用． 方法： 1.垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距 等问题的方法，构造直角三角形； 2.在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距； 3.为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心； ②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧． 布置作业 必做：教材P40练习T1，2 选做：请完成《名校作业》对应习题 $