27.1.2.圆的对称性 课时作业 2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

2.圆的对称性 第1课时　圆心角、弧、弦之间的关系 圆的对称性 1.(易错题)下列说法中,不正确的是 (　　) A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B.圆有无数条对称轴 C.圆的每一条直径都是它的对称轴 D.圆的对称中心是它的圆心 2.如图所示,三个圆是同心圆,则图中阴影部分的面积为　　　　.  圆心角、弧、弦之间的关系 3.(2024亳州利辛县开学)下列说法正确的是 (　　) A.等弧所对的弦相等 B.相等的弦所对的弧相等 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.相等的圆心角所对的弦相等 4.如图,在☉O中,,∠AOB=40°,则∠COD的度数为 (　　) A.20° B.40° C.50° D.60° 5.如图,点A在半圆O上,BC是直径,.若AB=2,则BC的长为　　　　.  6.如图,AB是☉O的直径,,,则∠COE=　　　　.  7.如图,AB为☉O的直径,半径OC∥弦BD,判断与是否相等,并说明理由. 1.(易错题)如图,在☉O中,=2,则下列结论正确的是 (　　) A.AB>2CD B.AB=2CD C.AB<2CD D.以上都不正确 2.如图,A、B是☉O上的点,∠AOB=120°,C是的中点,若☉O的半径为2,则四边形ACBO的面积为 (　　) A. B.2 C.4 D.2 3.如图,已知AB、CD是☉O的直径,,∠AOE=32°,则∠COE的度数为　　　　°.  4.如图,在☉O中,,则下列结论:①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;④.其中正确的是　　　　.(填序号)  5.如图,在☉O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连结AD、BC. 求证:(1); (2)AE=CE. 6.如图,在☉O中,直径为MN,正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及☉O上,并且∠POM=45°,若AB=1. (1)求OD的长; (2)求☉O的半径. 7.(抽象能力)如图,A点是半圆上一个三等分点,B点是的中点,P是直径MN上一动点,☉O的半径为1,则AP+BP的最小值为多少? 【详解答案】 课堂达标 1.C　2.π　3.A　4.B　5.2　6.84° 7.解:相等.理由如下:如图,连结OD, ∵OC∥BD, ∴∠AOC=∠B,∠COD=∠D. ∵OB=OD,∴∠D=∠B. ∴∠AOC=∠COD,∴. 课后提升 1.C　解析:如图,取的中点E,连结AE、BE, ∵在☉O中,=2, ∴.∴AE=BE=CD. ∵AE+BE>AB,∴2CD>AB.故选C. 2.D　解析:连结OC,如图,∵C是的中点,∠AOB=120°,∴∠AOC= ∠BOC=60°.又∵OA=OC=OB,∴△OAC和△OBC都是等边三角形.∴S四边形ACBO=2××2×2×=2.故选D. 3.64　解析:∵,∴∠AOE=∠COA.又∵∠AOE=32°, ∴∠COA=32°. ∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°. 4.①②③④　解析:在☉O中,, ∴AB=CD,. ∴AC=BD,∠AOC=∠BOD.故①②③④均正确. 5.证明:(1)∵AB=CD,∴,即,∴. (2)连结AC、BD(图略). ∵,∴AD=BC. 又∵AB=CD,AC=CA,BD=DB, ∴△ADC≌△CBA,△ADB≌△CBD. ∴∠ADC=∠CBA,∠DAB=∠BCD. 又∵AD=BC, ∴△ADE≌△CBE.∴AE=CE. 6.解:(1)∵四边形ABCD为正方形, ∴DC=BC=AB=1,∠DCO=∠ABC=90°. ∵∠POM=45°,∴CO=DC=1. ∴OD=CO=×1=. (2)由(1)知BO=BC+CO=1+1=2. 如图,连结AO,则△ABO为直角三角形, 故AO=, 即☉O的半径为. 7.解:如图,作A关于MN的对称点A',根据圆的对称性,A'必在圆上.连结BA'交MN于点P, 则此时PA+PB的值最小为PA'+PB=A'B. 连结OA、OA'、OB. ∵, ∴∠A'ON=∠AON=60°. ∵,∴∠BON=∠AON=30°. ∴∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90°.∴A'B=. ∴AP+BP的最小值是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　垂径定理 垂径定理 1.如图,已知AB、AC都是☉O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M、N,若MN=,则BC等于 (　　) A.5 B. C.2 D. 2.如图,在☉O中,直径AB=10,弦DC⊥AB于点E.若OE∶OB=3∶5,则CD的长为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.8 3.如图,在☉O中,AB是弦,∠E=30°,半径为4,OE=6,则AB的长为 (　　) A. B. C.2 D.2 4.如图,A、B、C是☉O上的点,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为　　　　.  5.(2024南京开学)如图,AB、AC是☉O的两条弦,且AB=AC. 求证:AO⊥BC. 垂径定理的推论 6.如图,OA、OB、OC都是☉O的半径,AC、OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为 (　　) A.5 B.4 C.3 D.2 7.如图,在半径为5 cm的☉O中,弦AB的长为8 cm,D是AB的中点,连结OD,则OD的长为　　　　.  1.如图,AB为半圆O的一条弦(非直径),连结OA、OB,分别以A、B为圆心,大于AB一半的长为半径画弧,两弧交于点P,连结OP,交AB于点Q,下列结论不一定正确的是 (　　) A.AB⊥OQ B.AQ=BQ C.∠ABO=60° D.∠AOB=2∠AOQ 2.如图,☉O的半径为10,若OP=8,则经过点P的弦长可能是 (　　) A.10 B.6 C.19 D.22 3.(2024西安模拟)人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具,图1是一个竹筒水容器,图2是该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10 cm,开口AB宽为12 cm,则这个水容器所能装水的最大深度是 (　　) 　　　　　 　图1　　　　　　　　　图2 A.12 cm B.18 cm C.16 cm D.14 cm 4.如图,CD是圆O的弦,直径AB⊥CD,垂足为点E,若AB=12,BE=3,则四边形ACBD的面积为(　　) A.36 B.24 C.18 D.72 5.(2024瑞安二模)如图1是圆形置物架,示意图如图2所示.已知置物板AB∥CD∥EF,且点E是BD的中点.测得AB=EF=12 cm,CD=18 cm,∠BAC=90°,∠ABG=60°,则该圆形置物架的半径为 　　　　cm.  　　　　 图1　　　　　　　　　　图2 6.小明在学习圆的相关知识时,看到书本上提到可以用一把丁字尺(如图1)来找圆心,他想到爸爸的工具箱里有丁字尺,于是想利用丁字尺还原一个破损的圆,已知尺头AB=4 cm,尺身刻度线l垂直平分AB,他摆出的情况如图2,发现两次测量丁字尺的尺身刻度线交于刻度为6 cm的位置,则这个破损的圆的直径是　　　　cm.  　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　图1　 　　　　　　　图2 7.如图,在☉O中,弦AB的长为8,点C在BO延长线上,且cos∠ABC=,OC=OB. (1)求☉O的半径; (2)求∠BAC的正切值. 8.(几何直观)如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,且OC⊥PC,垂足为C,弦CD垂直平分半径OA,垂足为E,PA=6. (1)求☉O的半径; (2)求弦CD的长. 【详解答案】 课堂达标 1.C　2.D　3.C　4.7 5.证明:如图所示,过O作OM⊥AB于M,ON⊥AC于N, 则∠AMO=∠ANO=90°, ∵OM、ON过O, ∴AM=AB,AN=AC. ∵AB=AC, ∴AM=AN. 在Rt△AMO和Rt△ANO中,由勾股定理得OM=ON, ∵OM⊥AB,ON⊥AC, ∴AO平分∠BAC. ∵AB=AC, ∴AO⊥BC. 6.B　7.3 cm 课后提升 1.C　解析:由作法得OQ⊥AB,故A选项不符合题意; ∴AQ=BQ,故B选项不符合题意; ∵AB不一定等于OA, ∴△OAB不一定为等边三角形, ∴∠ABO不一定为60°,故C选项符合题意; ∵OA=OB,OQ⊥AB, ∴OQ平分∠AOB, ∴∠AOB=2∠AOQ,故D选项不符合题意. 故选C. 2.C　解析:如图,过点P作弦CE⊥OP,连结OC,由勾股定理,得CP==6,则CE=2CP=12, ∴过点P的最短的弦长为12.∵☉O的半径为10,∴☉O的直径为20,即过点P的最长的弦长为20.∴12≤过点P的弦长≤20.故选C. 3.B　解析:如图,连结AB、OB,过点O作OC⊥AB于点C,延长CO交☉O于点D, ∵OC⊥AB, ∴AC=CB=6 cm. 由题意可知,OB=10 cm, 在Rt△OBC中,OC==8(cm), ∴CD=OC+OD=8+10=18(cm), 即这个水容器所能装水的最大深度是18 cm. 故选B. 4.A　解析:如图,连结OC. ∵AB=12,∴OB=OC=6. 又∵BE=3, ∴OE=3. ∵AB⊥CD, ∴EC==3. ∴CD=2EC=6. ∴S四边形ACBD=AB·CD=×12×6=36. 故选A. 5.14　解析:如图,延长FE交AC于点J,过点B作BH⊥CD于点H. ∵AB∥EJ∥CD,BE=ED, ∴AJ=JC,∠CJO=∠CAB=90°. ∴FJ垂直平分线段AC. ∴圆心O在EJ上,连结AO,设AO=OF=r cm. ∵EJ=(AB+CD)=×(12+18)=15(cm), ∴FJ=EJ+EF=15+12=27(cm). ∵∠CAB=∠ACD=∠BHC=90°, ∴四边形ACHB是矩形. ∴AB=CH=12 cm. ∴DH=CD-CH=18-12=6(cm). ∵AB∥CD, ∴∠BDH=∠ABG=60°. ∴BH=DH=×6=6(cm). ∴AC=BH=6 cm. ∴AJ=CJ=3 cm. 在Rt△AOJ中,r2=(3)2+(27-r)2, ∴r=14. 6.4　解析:如图,设两次测量丁字尺的尺身刻度线的交点为O,则O为圆心,连结OA,设l与AB交于点C,∵尺身刻度线l垂直平分AB, ∴AC=AB=2 cm. ∵在Rt△AOC中,OA2=AC2+OC2, ∴OA==2(cm). ∴这个破损的圆的直径是4 cm. 7.解:(1)如图,过点O作OD⊥AB,垂足为点D. ∵AB=8,∴AD=BD=AB=4. 在Rt△OBD中,cos∠ABC=, ∴OB==5. ∴☉O的半径为5. (2)如图,过点C作CE⊥AB,垂足为点E. ∵OC=OB,OB=5, ∴BC=OB=7.5. ∵OD⊥AB,CE⊥AB, ∴OD∥CE. ∴,即. ∴BE=6.∴AE=AB-BE=8-6=2. 在Rt△BCE中,CE==4.5. 在Rt△ACE中,tan∠BAC=, ∴∠BAC的正切值为. 8.解:(1)设OC=x. ∵弦CD垂直平分半径OA, ∴OE=OA=x. ∵PC⊥OC,CD⊥OP, ∴∠PCO=∠CEO=90°. ∴∠P+∠COP=90°,∠ECO+∠COP=90°. ∴∠P=∠ECO.∴△CEO∽△PCO, ∴.∴. ∴x=6,经检验x=6是方程的解, ∴☉O的半径为6. (2)由(1),得OC=6,OE=3,∠OEC=90°. 在Rt△COE中,由勾股定理,得CE==3. ∵CD⊥OA,∴CD=2CE=6. 学科网（北京）股份有限公司 $$