26.2.2 第4课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（华东师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，通过“能否将y=x²-6x+21化为顶点式”的问题导入，衔接旧知顶点式，以配方法为支架实现一般式与顶点式的转化，构建知识脉络。 此资料亮点在于融合数学思维与数学语言，通过例1配方法转化、五点法列表描点等培养运算能力，用对比表格梳理a正负对性质的影响，结合“正上负下”“左同右异”口诀强化模型意识，助力学生发展推理意识，也为教师提供结构化教学方案，提升课堂效率。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 第26章 二次函数 第4课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 26.2.2 二次函数y=ax²+bx+c的 图象与性质 26.2 二次函数的图象与性质 课时导入 我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应 抛物线的顶点坐标为(h , k),那么二次函数y=x2-6x+21也 能化成这样的形式吗? 一、二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系 1. 运用配方法，可以将二次函数表达式的两种形式y ＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k相互转化．将二次 函数y＝ax2＋bx＋c(一般式)转化为y＝a(x－h)2＋k (顶点式)的形式，即 则 2．在二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次函数y＝a(x－h)2＋k 中， 例1 对于抛物线 y=x2-4x+3. （1）将抛物线的表达式化为顶点式 . （2）在坐标系中画出此抛物线 . 解：（1）∵ y=x2-4x+3=（ x2-4x+4） -4+3=（ x-2） 2-1， ∴抛物线的顶点式为 y=（ x-2） 2-1. （ 2）列表： 函数图象如图所示. 画二次函数图象的方法：若二次函数图象与 x 轴和 y 轴有交点，则最好选取交点进行描点，特别是在画二次函数的大致图象时，应注意以下五点：（ 1）开口方向；（ 2）对称轴；（ 3）顶点；（ 4）与 x 轴的交点；（ 5）与 y 轴的交点 . 这种画法先研究函数图象的特点，确定图象的大致形状后，选点就有了依据，避免了盲目性 . 1. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和 顶点坐标: 课堂练习 2.二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是(　　) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋4 3.把抛物线y＝x2＋bx＋8向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的二次函数关系式为 y＝x2－2x＋3，则b的值为________． 二、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 例2 画出函数 的图象，并说明 这 个函数具有哪些性质. 分析 因为 所以函数即为 因此这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1， 顶点坐标为（1,2）.根据这些特点，我们容易画出 它的图象. 列表： 解： x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … -4 -2 -4 … 画出的图象如图所示. 由图象可知，这个函数具 有如下性质： 当x< 1时，函数值y随x的增 大而增大;当x > 1时, 函数值 y随x的增大而减小;当x = 1 时，函数取得最大 值，最 大值y = -2. 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质   y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴　 直线x＝ 直线x＝ 续表： 增减性　 当x＜ 时，y随x的增大而减小； 当x＞ 时，y随x的增大而增大 当x＜ 时，y随x的增大而增大； 当x＞ 时，y随x的增大而减小 最值　　 当x＝ 时，y有最小值，为 当x＝ 时，y有最大值， 为 2. 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(c为抛物线与y轴交点的 纵坐标)，当c＝0时，y＝ax2＋bx的图象必经过原点， 图象与x轴的另一个交点为 例3 已知：抛物线y＝2x2－4x－6. (1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)求抛物线与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标； (3)当x为何值时，y随x 的增大而增大？ 分析：(2)类比一次函数的方法，求图象与 x 轴的交点坐标 令y=0，再解方程，求图象与 y 轴的交点坐标令 x=0，再求值 . 解：(1)开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－8)． (2)令y＝0，得2x2－4x－6＝0，解得x1＝－1，x2＝3, ∴抛物线与 x 轴的交点坐标为（ -1， 0），（ 3， 0） . 令 x=0，得 y=-6.∴抛物线与 y 轴的交点坐标为（ 0， -6） . (3)当x≥1时，y随x 的增大而增大． 1.对于二次函数y＝ x2＋x－4，下列说法正确的是 (　　) A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值－3 C．图象的顶点坐标为(－2，－7) D．图象与x轴有两个交点 课堂练习 2.在二次函数y＝x2－2x－3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是(　　) A．0，－4 B．0，－3 C．－3，－4 D．0，0 3.若二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴 是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为(　　) A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝－7 D．x1＝－1，x2＝7 三、二次函数y=ax2+bx+c的图像与a,b,c之间的关系 　 　　 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 要点分析： (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a，b，c及b2－4ac 的符号之间的关系是互逆的，即由字母的符号能确定图 象的特征，反之，由图象的特征也能确定字母的符号． (2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，y＝a＋b＋c， 此时若y＝0，则a＋b＋c＝0；若y＞0，则a＋b＋c＞0； 若y＜0，则a＋b＋c＜0.当x＝－1时，y＝a－b＋c，此时 若y＝0，则a－b＋c＝0；若y＞0，则a－b＋c＞0；若y＜0， 则a－b＋c＜0. 例4 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图， 有下列结论：① a+b+c<0；② a-b+c>0；③ abc>0；④ b=2a，其中正确的结论有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 B 分析：根据二次函数的图象特征与字母系数之间的关系判断 . 当 x=1 时，对应的函数值 y=a+b+c，观察图象可知此时 y<0，即 a+b+c<0，故①正确； 当 x=-1 时，对应的函数值 y>0，即 a-b+c>0，故②正确； 观察图象知抛物线过原点，∴ c=0，故 abc=0，故③错误；∵此抛物线的对称轴是直线 x=-1，∴ =-1， ∴ b=2a，故④正确 . 二次函数y＝ax2＋bx＋c的各项系数的符号与图象位 置间的关系：(1)a决定抛物线的开口方向，简记为“正上 负下”；(2)c决定抛物线与y轴的交点位置，简记为“上正 下负原点0”；(3)a、b的符号共同决定对称轴直线x＝ 的位置，简记为：“左同右异”；可以由各项系数的符号 来决定图象的位置，也可以由图象的位置来判断各项系 数的符号． 课堂练习 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0 B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0 C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0 D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0 2.一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 课堂小结 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 熟记对称轴及顶点坐标的公式，并能画出简图判断增减 性和最值. 2.二次函数y=ax2+bx+c的平移 关于二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移问题，首先把 y=ax2+bx+c变形成顶点式，再判断它的平移. 3.抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系 要熟记抛物线y=ax2+bx+c与系数a，b，c之间的关系， 能通过抛物线判断系数a，b，c的符号，反过来，也能 通过系数a，b，c的符号来判断抛物线的正误. 布置作业 必做：教材P18练习T1，2，3 选做：请完成《名校作业》对应习题 $