26.2.2 第1课时 二次函数y=ax²+c的图象与性质-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（华东师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+c的图象与性质，系统讲解其开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性及平移规律。课堂导入通过复习y=ax²的性质，结合猜想y=x²+1与y=x²的关系，搭建新旧知识桥梁，形成学习支架。 其亮点在于以数学眼光引导学生通过描点法和平移法画图象，培养几何直观；以数学思维设计例2中x₁+x₂=0的推理，发展推理意识；以数学语言规范表格归纳、例题解析，强化模型意识。采用“复习-探究-总结-应用”教学方法，帮助学生构建知识体系，教师使用可提升教学效率，促进学生深度学习。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 26.2.2 二次函数y=ax²+bx+c的 图象与性质 第26章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax²+c的 图象与性质 26.2 二次函数的图象与性质 已知二次函数 ① y=-x2; ② y= x2; ③ y=15x2; ④ y=-4x2; ⑤ y=- x2; ⑥ y=4x2. (1)其中开口向上的有 (填序号)； (2)其中开口向下，且开口最大的是 (填序号)； (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有 (填序号). ②③⑥ ⑤ 复习引入 ①④⑤ 1．二次函数y＝x2的图象具有哪些性质？ 2．猜想二次函数y＝x2＋1的图象与二次函数y＝x2的 图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同? 3. 直线y=kx+b可以通过平移y=kx得到，那么抛物线 y=ax2+c能否通过平移y=ax2得到？ 课时导入 一、二次函数y=ax2+c的图象 你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝x2＋1的图象. 解：先列表： 描点，连线： 二、二次函数y=ax2+c的性质 做一做 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向_______; (3)对称轴都是__________ (4) 从上而下顶点坐标分别是____________________ (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________ (6) 函数的增减性都相同： 抛物线 向下 直线x=0(y轴) (0,0), (0，2), (0,-2) 高 大 y=0 y= -2 y=2 对称轴左侧y随x增大而增大, 对称轴右侧y随x增大而减小 二次函数y=ax2+c（a ≠ 0）的性质 y=ax2+c a＞0 a＜0 图象 c>0 c<0 c>0 c<0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0,c） （0,c） 最值 抛物线有最低点， 当x=0时，y最小值=c 抛物线有最高点， 当x=0时，y最大值=c 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. 三、二次函数y=ax2+c与y=ax2之间的关系 二次函数y＝ax2＋c的图象的形状与二次函数y＝ax2的图象的形状相同,二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到. 当c < 0 时,向下平移-c个单位长度得到. 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 抛物线y1＝ax2＋k1与y2＝ax2＋k2可以相互平移得到． 当k1＞k2时，将抛物线y1＝ax2＋k1向下平移(k1－k2) 个单位可得抛物线y2＝ax2＋k2； 当k1＜k2时，将抛物线y1＝ax2＋k1向上平移(k2－k1) 个单位可得抛物线y2＝ax2＋k2. 例1 已知二次函数 y＝ x2＋4. (1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和 最值． (2)若点(x1，y1)、(x2，y2)在该二次函数的图象上， 且x1＞x2＞0，试比较y1与y2的大小关系． (3)抛物线y＝ x2－1可以由抛物线y＝ x2＋4 平移得到吗？如果可以，写出平移的方法；如果 不可以，请说明理由． (1)因为a＝ ＜0，所以它的图象的开口向下，对 称轴为y轴，顶点坐标为(0，4)，当x＝0时，y最 大值＝4. (2)因为抛物线的开口向下，对称轴为y轴，所以当x ＞0时，y随x的增大而减小．所以当x1＞x2＞0时， y1＜y2. (3)抛物线y＝ x2－1可以由抛物线y＝ x2＋4 平移得到，其平移方法是：将抛物线y＝ x2 ＋4向下平移5个单位 解： 例2 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c. c 方法总结： 二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． 例3 将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的表达式为(　　 ) A．y＝x2－1　　　　　　B．y＝x2＋1 C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)2 分析：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝x2的图 象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的表达 式为y＝x2－1. A 想一想 1.画抛物线y=ax2+c的图象有几步？ 2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标. 课堂练习 1.填表： 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴左侧的增减性 y＝－5x2＋3 y＝7x2－1 17 2.抛物线y＝－x2－2可由抛物线y＝－x2＋3向___________平移_________个单位得到的.3.抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为(0,2),则h＝________.4.抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为_____________,与x轴的交点坐标为_________. 18 5.若二次函数y1＝a1x2－1与二次函数y2＝a2x2＋3图象的形状完全相同，则a1与a2的关系为(　 　)A．a1＝a2　 B．a1＝－a2C．a1＝±a2　 D．无法判断6.已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1、x2(x1≠x2，x1、x2分别是A、B两点的横坐标)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为(　　) A．a＋c　 B．a－cC．－c　 D．c 19 课堂小结 解二次函数y＝ax2＋c的问题要注意两点： (1)二次项系数的符号⇔开口方向． 二次项系数的绝对值相等⇔抛物线的形状相同； c⇔顶点的纵坐标． (2)抛物线y＝ax2＋c可由抛物线y＝ax2向上(下)平移得 到，可简记为“上加下减”． 布置作业 必做：教材P10～11练习T1，2，3 选做：请完成《名校作业》对应习题 $