26.1 二次函数-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（华东师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数的定义及实际问题中的函数关系建立，通过矩形面积计算、商品利润分析等实际情境导入，从数据表格观察到抽象函数表达式推导，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接现实问题与数学概念。 其亮点在于以实际问题为载体，发展学生数学眼光（观察现实中的数量关系）、数学思维（抽象函数定义及辨析）和数学语言（建立函数模型表达关系）。如通过矩形面积问题引导学生抽象出二次函数关系式，结合定义判断训练和实际情境建模题，帮助学生深化理解，教师可借助系统的预习、探究、训练环节提升教学效率。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 26.1 二次函数 第26章 二次函数 1.问题1中的等量关系是什么？ 答：矩形花圃的面积等于______________________________． 2.设矩形花圃垂直于墙的一边AB的长为x m,取一些值,算出矩形 花圃另一边BC的长,进而得出矩形的面积y m2，并将结果填写在 下表空格里． AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) __ __ __ 12 __ __ __ __ __ 面积y(m2) __ __ __ 48 __ __ __ __ __ 18 16 14 10 8 6 4 2 矩形花圃的长乘以矩形花圃的宽 18 32 42 50 48 42 32 18 通过填写表格可以发现当x的值为__时,y的值最大，为___． 即在问题1中垂直于墙的一边AB的长为__ m,另一边BC的长为 __ m时,得到的矩形花圃的面积最大． 5 50 5 10 3.在问题1中AB(x)是否可以任意取值？x的取值范围是什么？ 答：____________________________________． 4.在问题1中,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定,y 是x的_____,它们之间的函数关系式为 y=_________或y=_________． x不能任意取值.x的取值范围是0＜x＜10 x(20-2x) -2x2+20x 函数 5.在问题2中等量关系是什么？ 答:_________________________． 6.问题2中,设每件商品降价x元,该商品每天的利润为y元,则y是 x的______.函数关系式为：y=___________________或者为y= ________________.其中x表示每件商品降价的钱数,最小降价为 __元,最大降价为__元,因此x的取值范围为________． 利润=(售价-进价)×销售量 (10-x-8)(100+100x) -100x2+100x+200 0 2 0≤x≤2 函数 7.二次函数的定义：形如y=_________(a，b，c是常数,a___0) 的函数叫做二次函数，其中x是_______，__是二次项系数，__ 是一次项系数，__是常数项. 【点拨】注意二次函数的二次项的系数不为0是二次函数概念的一 部分． ax2+bx+c ≠ 自变量 a b c 【预习思考】1.二次函数要满足的三个条件是什么？ 提示：(1)自变量x的最高次数是2； (2)a≠0； (3)右边是关于自变量x的整式,自变量x不能出现在分母中或根号 里． 2.函数y=(x-3)(x+2)-x2是二次函数吗？ 提示：不是.因为函数y=(x-3)(x+2)-x2整理后化为y=-x-6,它是 一次函数,不是二次函数． 二次函数的定义 【例1】已知函数y=(m2+m)xm2-2m+2. (1)当函数是二次函数时,求m的值； (2)当函数是一次函数时,求m的值． 【解题探究】 1.在函数y=(m2+m)xm2-2m+2中,自变量x的系数是m2+m,次数是 m2-2m+2． 2.若y=(m2+m)xm2-2m+2为二次函数,则自变量x的系数和次数应分别 等于什么？m的值等于什么？ 答：x的系数不为0,即m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1；x的次数为2, 即m2-2m+2=2,解得m=0或m=2，所以m=2. 3.若y=(m2+m)xm2-2m+2为一次函数,则自变量x的系数和次数应分 别等于什么？m的值又等于什么？ 答：x的系数不为0,即m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1；x的次数为1, 即m2-2m+2=1,解得m1=m2=1.所以m=1. _______________________________ 【互动探究】 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 什么联系？ 提示：如果把变量y换成一个常数,那么二次函数就是一个一元 二次方程了． 【规律总结】 判断二次函数的三步法 观察 判断 化简 看所给二次函数是否是y=ax2+bx+c(a≠0)的形 式，若是则可结合二次函数的定义直接判断； 若所给函数不是y=ax2+bx+c(a≠0)的形式， 则要整理成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式； 结合二次函数的定义判断化成y=ax2+bx+c (a≠0)的形式的函数是否是二次函数. 【跟踪训练】 1.下列函数中,是二次函数的是( ) A.y=8x2+1 B.y=8x+1 C.y= D.y= +1 A.【解析】A.符合二次函数的y=ax2+bx+c(a≠0)的形式,是 二次函数,正确；B.是一次函数,错误；C.是反比例函数,错误； D.自变量x在分母中,不是二次函数,错误． 2.当m=______时,函数y=(m-1)xm2+1是关于x的二次函数． 【解析】依题意可知m2+1=2,解得m=1或m=-1． 又∵m-1≠0,∴m≠1． ∴当m=-1时,这个函数是二次函数． 答案：-1 3.若函数y=(m-4)x3m2-2m-3是二次函数,求m的值． 【解析】根据题意，得 解得 ∴m=-1或m= 实际问题中的二次函数关系 【例2】在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边 框,制成一面镜子.镜子的长与宽的比是2∶1.已知镜面玻璃的价 格是每平方米120元,边框的价格是每米20元,另外制作这面镜子 还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y元,镜子的宽度是 x米． (1)求y与x之间的关系式； (2)如果制作这面镜子共花了195元,求这面镜子的长和宽． 特别提醒:注意自变量在实际问题中的实际意义,准确确定自变 量的取值范围. 【规范解答】(1)y=240x2+120x+45； (2)由题意，得 240x2+120x+45=195，整理得8x2+4x-5=0. 解得x1= (舍去). 答：镜子的长和宽分别是 米和 米． 【互动探究】 1.根据实际问题列出二次函数的关系式的关键是什么？ 提示：解决问题的关键是找出实际问题中的等量关系,特别是函 数y与自变量x之间的等量关系． 2.实际问题中常见的二次函数关系有哪些？ 提示：(1)面积、体积的一些计算公式在特定的情况下可以看作 二次函数关系式； (2)一些物理学公式也满足二次函数关系； (3)在特定情况下利润和售价的关系等． 【规律总结】建立实际问题中的二次函数关系式的四个步骤 1.认真审题,明确一些关键词的意义. 2.弄清题目中自变量与因变量的意义. 3.找出题目中共有几个条件,每个条件和变量之间可以列出有什 么意义的代数式. 4.确定等量关系,列出函数关系式． 4.进入夏季后,某电器商场为了减少库存,对电热取暖器连续进 行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y 元,原价为a元,则y与x之间的函数关系式为( ) A.y=2a(x-1) B.y=2a(1-x) C.y=a(1-x2) D.y=a(1-x)2 D.【解析】由题意知第二次降价后的价格是a(1-x)2，则函数 关系式是y=a(1-x)2． 【变式训练】在半径为4 cm的圆中,挖去一个半径为x cm的圆面, 剩下一个圆环的面积为y cm2,则y与x的函数关系式为( ) A.y=πx2-4 B.y=π(2-x)2 C.y=-(x2+4) D.y=-πx2+16π D.【解析】半径为4的圆的面积为16π, 半径为x的圆的面积πx2， 因而函数关系式是y=-πx2+16π． 5.写出下列函数关系式(不必写出自变量的取值范围)： (1)等腰三角形顶角y与底角x之间的函数关系式为________. (2)汽车油箱中原有油100升,汽车每行驶50千米耗油9升,油箱 中剩余油量y(升)与汽车行驶路程x(千米)之间的函数关系式为 ______________. (3)矩形的周长为30,则面积y与一条边长x之间的函数关系式为 _________. 在上述各式中, _________是一次函数,________是二次函数(只 填序号)． 【解析】(1)由三角形的内角和为180°， 得2x+y=180,即y=180-2x. (2)∵汽车每行驶50千米耗油9升, 则行驶x千米耗油量为 升， ∴油箱中剩余油量y(升)与汽车行驶路程x(千米)之间的函数关 系式为y=100- (3)∵矩形的周长为30,一边长为x,则另一边的长为15-x, ∴面积y与一条边长x之间的关系式为y=(15-x)x=-x2+15x． 三个式子中(1)(2)是一次函数,(3)是二次函数． 6.圆的半径为3,若半径增加x,则面积增加y.求y与x的函数关系 式． 【解析】由题意,得y=π(x+3)2-9π, 即y=πx2+6πx(x＞0)． 1.下列函数关系中,是二次函数的是( ) A.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B.当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系 D【解析】A.y=mx+b,当m≠0时(m是常数),是一次函数,错 误；B.t= 当s≠0时,是反比例函数,错误；C.C=3a,是正比例 函数,错误；D.S= 是二次函数,正确． 2.下列函数中,不是二次函数的是( ) A.y=1-2x2 B.y=2(x-1)2+4 C.y= (x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x2 D【解析】A.y=1-2x2=-2x2+1,是二次函数,正确； B.y=2(x-1)2+4=2x2-4x+6,是二次函数,正确； C.y= 是二次函数,正确； D.y=(x-2)2-x2=-4x+4,是一次函数,错误． 3.已知y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是_______． 【解析】根据二次函数的定义可得a+1≠0, 即a≠-1.所以a的取值范围是a≠-1． 答案：a≠-1 4.正方形的边长是3,若边长增加x,则面积增加y，那么y与x的函 数关系式为_________． 【解析】新正方形的边长是(x+3),则y=(x+3)2-32=x2+6x． 答案：y=x2+6x 5.如图,某矩形相框长26 cm,宽20 cm,其 四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同, 都是x cm,相框内部的面积(指图中较小矩 形的面积)为y cm2． (1)写出y与x的函数关系式； (2)若相框内部的面积为280 cm2,求相框边的宽度. 【解析】(1)根据题意,得 y=(26-2x)(20-2x)=4x2-92x+520(0＜x＜10)． (2)根据题意,得4x2-92x+520=280． 解得x1=3,x2=20(不合题意,舍去). 答：相框边的宽度为3 cm. 课堂小结 1.通过本节课的学习，你有哪些收获?还有哪些疑惑? 2.二次函数的一般形式是什么?特殊形式有哪些?一个函数是不是二次函数关键看什么? 布置作业 必做：教材P4练习T1,2 选做：请完成《名校作业》对应习题 $