第五单元 分数除法（解决问题讲义）数学北师大版五年级下册

第五单元 分数除法 1.分数除以整数的解题方法与算理： ----理解算理：分数除以整数（0除外），表示把这个分数平均分成若干份，求其中一份是多少，也可以转化为分数乘这个整数的倒数。解决实际问题时，找准被平均分的分数量和份数，明确“求一份数”的数量关系，列式验证结果合理性。 2.一个数除以分数的解题方法与意义： ----核心算理：一个数（整数、分数）除以分数，等于这个数乘分数的倒数，本质是将除法转化为已知的乘法运算。解题时明确“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的核心意义，为后续解决实际问题奠定基础。 3.分数除法混合运算的解题技巧： ----运算顺序：与整数除法混合运算一致，从左到右依次计算，有括号的先算括号里面的；同级运算中，可灵活调整顺序（利用乘法交换律、结合律）简化计算。 4.“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题： ----解题核心：找准单位“1”（单位“1”未知，这是与分数乘法问题的核心区别），建立“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”的数量模型。步骤：先通过“的”字、“比”字定位单位“1”，找出已知量对应的分率，再用除法列式求解； 5.分数除法实际问题的综合应用： ----能运用分数除法知识解决生活中复杂问题（如行程、工程、购物、产量等场景），应对含多步运算、分率叠加、和倍/差倍结合的题型。解题时可通过画线段图梳理数量关系，明确对应量与分率的匹配关系；遇到“比单位‘1’多/少几分之几”的隐蔽条件，先转化为对应分率（多则加、少则减），再用除法或方程求解，提升分析和逻辑推理能力。 类型1 分数的平均分解决问题： 典型例题1：把一块巧克力的平均分成3份，每份是这块巧克力的几分之几？画一画，算一算。 【答案】画图见详解； 【分析】画一个长方形表示一块巧克力，将整块巧克力看作单位“1”，根据分数的意义，分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数，选取整块巧克力的，再将整块巧克力的平均分成3份，根据分数的意义即可确定每份是这块巧克力的几分之几，平均分可以列除法算式，直接用÷3即可，除以一个数等于乘这个数的倒数，据此可以计算出结果，与画一画的结果对照，结果是一样的。 【详解】 ÷3＝×＝ 答：每份是这块巧克力的。 变式训练：先画一画，涂一涂，再用算式表示结果。 把平均分成3份，每份是多少？ 【答案】画图见详解；； 【分析】把长方形看作单位“1”，平均分成6份，涂色其中的5份，再把看成单位“1”，平均分成3份，涂色其中的1份，即表示出了把平均分成3份的结果；再依据除法的意义列式为÷3。 【详解】画图如下： 列式为： 【点睛】此题重点考查了用画图的方法表示分数除以整数的意义。 类型2 分数与整数的除法解决问题： 典型例题2：两支队伍赛龙舟，扬帆队15分划了全程的，起航队12分划了全程的，哪一队划得更快？ 【答案】起航队划得更快。 【分析】根据速度＝完成全程的比例时间，分别求出两支队伍的速度，再比较两队的速度大小。据此解答。 【详解】          答：起航队划得更快。 变式训练：泥人面塑是我国古老的一门传统民间艺术，俗称捏面人。张爷爷用面泥捏了2个猪八戒，平均捏1个猪八戒用面泥多少千克？ 【答案】千克 【分析】先根据除法的意义列式为：，再根据分数除以一个不为零的整数的计算方法算出结果。据此解答。 【详解】（千克） 答：平均捏1个猪八戒用面泥千克。 类型3 分数与分数的除法解决问题： 典型例题3：相较于普通灯泡，相同照明情况下，LED灯泡更加省电。一款家用LED灯泡小时耗电千瓦时。1千瓦时的电能让这款LED灯泡持续亮多少小时？ 【答案】小时 【分析】用小时除以千瓦时，即可计算出1千瓦时的电能让这款LED灯泡持续亮的时间。 【详解】（小时） 答：1千瓦时的电能让这款LED灯泡持续亮小时。 变式训练：“泽草所生，种之芒种。”芒种是插秧的忙碌时节之一。一块稻田，王大伯第一天种了，接下来计划每天种这块地的，还需要几天才能种完？ 【答案】 4天 【分析】根据题意，把这一块稻田看作单位“1”，第一天种了，还剩下这块稻田的（），再用这块稻田剩下的分率除以计划每天种这块地的，即可解答。 【详解】 （天） 答：还需要4天才能种完。 类型4 已知一个数的几分之几是多少，求这个数： 典型例题4：图书室新购进三种图书，其中工具书有180本，科技书占新购进图书总数的，文艺书的数量是其他两种书数量总和的。新购进的图书一共有多少本？ 【答案】360本 【分析】把新购进图书总数看成单位“1”，文艺书的数量是其他两种书数量总和的，那么文艺书就是新购进图书总数的，所以工具书就是新购进图书总数的，它对应的数量是180本，写出数量关系：新购进图书总数×＝工具书的数量，设新购进的图书有x本，由此列出方程并求解即可。 【详解】因为文艺书占新购进图书总数的，所以工具书占新购进图书总数的。 解：设新购进的图书一共有x本。 答：新购进的图书一共有360本。 变式训练：迄今中国发现数量最多、保存最好、音律最全的一套编钟——曾侯乙编钟，共有三层，分别是上层钮钟、中层南钟和下层甬钟，其中钮钟19件，南钟比钮钟多，南钟是甬钟的。钮钟比甬钟多几件？ 【答案】7件 【分析】已知南钟比钮钟多，将钮钟的数量看作单位“1”，则甬钟的数量是钮钟的，根据“求一 个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用钮钟的数量乘，可求出南钟的数量；又已知南钟是甬钟的，根据“已知一个数的几分之几是多少， 求这个数用除法计算”，用南钟的数量除以，可求出甬钟的数量；最后用钮钟的数量减去甬钟的数量，即可得到钮钟比甬钟多的件数，据此解答。 【详解】 （件） （件） （件） 答：钮钟比甬钟多7件。 【点睛】确定单位“1”是解题的关键。 A夯实基础 1．一支蜡烛，小时燃烧了分米，这支蜡烛平均每小时燃烧（    ）分米。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求平均数的方法，用燃烧的长度除以时间，即可得解。 【详解】（分米） 一支蜡烛，小时燃烧了分米，这支蜡烛平均每小时燃烧分米。 故答案为：A 2．在数学素养知识竞赛中，小青时做了15道题，小珊时做了18道题，那么（    ）的做题速度更快。 A．小青 B．小珊 C．一样 D．不能确定 【答案】B 【分析】分别用他们做题的数量除以他们做题的时间，求出他们每小时做题的数量，再进行比较，即可解答。 【详解】15÷ ＝15× ＝25（题） 18÷ ＝18× ＝27（题） 25＜27 所以小青时做了15道题，小珊时做了18道题，那么小珊的做题速度更快。 故答案为：B 3．我国自主研发的无人仓库智能控制系统，处于世界领先地位。“智能大脑”能在0.2秒内计算出300件不同货物各自的分装路线。同样的工作，过去平均每件货物需要一名工人花上3秒。“智能大脑”的工作效率抵得上（    ）名工人。 A．900 B．1500 C．4500 D．6000 【答案】C 【分析】根据“智能大脑”能在0.2秒内计算出300件不同货物各自的分装路线，可运用小数除法计算出1秒钟的分装路线的件数；已知过去平均每件货物需要一名工人花上3秒，则每秒完成，再用效率相除可计算得出答案。 【详解】“智能大脑”1秒钟内计算分装路线的件数：（件）；一名工人1秒钟完成件货物的分装。则“智能大脑”的工作效率是工人的：，即“智能大脑”的工作效率抵得上4500名工人。 故答案为：C 4．黄老师带学生们去野炊，一人一个饭碗，2人合用一个菜碗，4人合用一个汤碗，一共用了28个碗，参加野炊的学生有( )人。 【答案】15 【分析】设参加野炊的学生和老师共有x人，饭碗的数量也就是x个，菜碗的数量是，汤碗的数量是，它们之间的等量关系是：饭碗＋菜碗＋汤碗＝28个，据此列出方程求解。 【详解】解：参加野炊的学生和老师共有x人。 x＋＋＝28 （x＋＋）×4＝28×4 4x＋×4＋×4＝28×4 4x＋2x＋x＝112 7x＝112 7x÷7＝112÷7 x＝16 16－1＝15（人） 参加野炊的学生有15人。 【点睛】碗的总数量已知，所以，解答此题的关键是分别找到饭碗、菜碗以及汤碗与人数的关系。 5．一台收割机每小时可以收割公顷麦田，照这样计算，这台收割机小时可以收割( )公顷麦田，收割公顷麦田需要( )小时。 【答案】 / 【分析】根据工作总量＝工作效率×工作时间；工作时间＝工作总量÷工作效率。 求这台收割机小时可以收割麦田的面积，用每小时收割的面积×收割的时间，即用×解答。 求收割公顷麦田需要的时间，用要收割的面积÷每小时收割的面积，即用÷解答。 【详解】×＝（公顷） ÷ ＝× ＝（小时） 一台收割机每小时可以收割公顷麦田，照这样计算，这台收割机小时可以收割公顷麦田，收割公顷麦田需要小时。 6．泉州“妆糕人”是指以粮食为主要创作原料捏面人，已成为闽南地区所特有的一门艺术。捏一个“猪八戒”和“孙悟空”共要用600g面团，捏一个“孙悟空”需要的面团是捏一个“猪八戒”的。捏一个“猪八戒”需要( )克面团。 【答案】350 【分析】根据题目，孙悟空的面团用量是猪八戒的，因此总用量相当于猪八戒的。这份对应 600 克，所以即猪八戒的用量为 【详解】 （克） 因此，捏一个“猪八戒”需要350克面团。 B培优拔高 7．某粮食加工厂每天加工1200吨粮食，是原计划每天加工粮食的。该粮食加工厂原计划每天加工多少吨粮食？ 【答案】1500吨 【分析】把原计划每天加工粮食的吨数看作单位“1”，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用1200除以，即可求出该粮食加工厂原计划每天加工多少吨粮食。 【详解】1200÷ ＝1200× ＝1500（吨） 答：该粮食加工厂原计划每天加工1500吨粮食。 8．甲、乙、丙三位志愿者在一次救灾募捐中积极捐款，乙的捐款数比甲的2倍少100元，丙的捐款数比甲、乙两人的捐款数的和少300元，甲的捐款数是丙的，那么甲捐款多少元？ 【答案】800元 【分析】根据题意，设甲捐款元，则乙捐款元，丙捐款元。则根据甲的捐款数是丙的，列出方程解方程即可解答。 【详解】设甲捐款元，则乙捐款元，丙捐款元。 答：甲捐款800元。 【点睛】本题考查了列方程解决问题的方法，找到等量关系解方程是解题关键。 9．2024年6月5日是第35个“世界环境日”，实验小学五年级同学开展捡塑料袋活动。五（1）班同学捡了90个塑料袋，是五年级捡的总数的，五年级共捡了多少个塑料袋？ 【答案】675个 【分析】已知五（1）班同学捡了90个塑料袋，是五年级捡的总数的，把五年级捡的总数看作单位“1”，单位“1”未知，用五（1）班捡的数量除以，求出五年级捡的总数。 【详解】90÷ ＝90× ＝675（个） 答：五年级共捡了675个塑料袋。 10．国庆小长假期间，明明一家自驾从西安前往太原旅游，驾车行驶了全程的时遇到一个高速服务区，明明的爸爸将车开进服务区打算休息一段时间，再继续开往太原，这个高速服务区离太原还有330千米。西安到太原的路程是多少千米？ 【答案】600千米 【分析】把西安到太原的路程看作单位“1”， 驾车行驶了全程的，还剩全程的（1－），剩下的路程是330千米，根据单位“1”未知，求单位“1”，用对应的数量除以对应的分率即可解答，用330÷（1－）列式解答。 【详解】330÷（1－） ＝330÷ ＝330× ＝600（千米） 答：西安到太原的路程是600千米。 11．奥运会纪念币是以奥运会为题材发行的纪念币。淘气收集了32枚纪念币，比笑笑收集的纪念币少，笑笑收集了多少枚纪念币？（先画图，再列式解决问题。） 【答案】画图见详解；40枚 【分析】根据题意，淘气收集了32枚纪念币，把笑笑收集的纪念币的数量看作单位“1”，则淘气收集的纪念币是笑笑的（1－），画一条线段表示笑笑收集的纪念币的数量，表示单位“1”，把它平均分成5份，再画一条线段，比表示笑笑的线段少1份，就表示淘气收集的纪念币的数量，据此画图；根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答，据此列式为：32÷（1－）。 【详解】画图如下： 32÷（1－） ＝32÷ ＝32× ＝40（枚） 答：笑笑收集了40枚纪念币。 C思维拓展 12．截止目前为止，我国拥有辽宁舰、山东舰和福建舰三艘航空母舰，共同构成了我国强大的海上防卫力量，为维护国家安全和发展提供了强有力的保障。辽宁舰的排水量为6.7万吨，是山东舰的。山东舰的排水量是福建舰的，福建舰的排水量是多少万吨？ 【答案】8万吨 【分析】辽宁舰的排水量是山东舰的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用6.7乘求出山东舰的排水量；山东舰的排水量是福建舰的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用山东舰的排水量除以，所得结果即为福建舰的排水量。 【详解】 （万吨） （万吨） 答：福建舰的排水量是8万吨。 13．同学们乘汽车从学校出发到博物馆参观，时行驶了全程的，这时距博物馆还有4千米。照这样的速度，行完全程的时间是多少？ 【答案】时 【分析】将行完全程的时间看作单位“1”，已行驶时间÷对应分率＝行完全程的时间，据此列式解答。 【详解】（时） 答：行完全程的时间是时。 14．小冬读一本书，第一天读了全书的，第二天读了全书的，两天一共读了全书的几分之几？如果这两天一共读了160页，这本书一共有多少页？ 【答案】；300页 【分析】 已知第一天、第二天分别读了全书的、，相加即可求出两天一共读了全书的几分之几； 把这本书的总页数看作单位“1”，由上一问可知，这两天一共读的160页占总页数的，单位“1”未知，根据分数除法的意义，求出这本书的总页数。 【详解】＋ ＝＋ ＝ 160÷ ＝160× ＝300（页） 答：两天一共读了全书的，这本书一共有300页。 15．有着3500多年历史的盘龙城遗址是我国商代前期的城址，是武汉的城市之根。盘龙城国家考古遗址公园的核心保护区面积为1.39平方千米，比公园规划占地面积的多0.08平方千米，公园规划占地面积是多少平方千米？ 【答案】6.55平方千米 【分析】把公园规划占地面积看作单位“1”，根据题意：核心保护区面积＝公园规划占地面积×＋0.08，求单位“1”，用除法计算，公园规划占地面积＝（核心保护区面积－0.08）÷，由此即可解答。 【详解】（1.39－0.08）÷ ＝1.31÷ ＝1.31×5 ＝6.55（平方千米） 答：公园规划占地面积是6.55平方千米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 分数除法 1.分数除以整数的解题方法与算理： ----理解算理：分数除以整数（0除外），表示把这个分数平均分成若干份，求其中一份是多少，也可以转化为分数乘这个整数的倒数。解决实际问题时，找准被平均分的分数量和份数，明确“求一份数”的数量关系，列式验证结果合理性。 2.一个数除以分数的解题方法与意义： ----核心算理：一个数（整数、分数）除以分数，等于这个数乘分数的倒数，本质是将除法转化为已知的乘法运算。解题时明确“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的核心意义，为后续解决实际问题奠定基础。 3.分数除法混合运算的解题技巧： ----运算顺序：与整数除法混合运算一致，从左到右依次计算，有括号的先算括号里面的；同级运算中，可灵活调整顺序（利用乘法交换律、结合律）简化计算。 4.“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题： ----解题核心：找准单位“1”（单位“1”未知，这是与分数乘法问题的核心区别），建立“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”的数量模型。步骤：先通过“的”字、“比”字定位单位“1”，找出已知量对应的分率，再用除法列式求解； 5.分数除法实际问题的综合应用： ----能运用分数除法知识解决生活中复杂问题（如行程、工程、购物、产量等场景），应对含多步运算、分率叠加、和倍/差倍结合的题型。解题时可通过画线段图梳理数量关系，明确对应量与分率的匹配关系；遇到“比单位‘1’多/少几分之几”的隐蔽条件，先转化为对应分率（多则加、少则减），再用除法或方程求解，提升分析和逻辑推理能力。 类型1 分数的平均分解决问题： 典型例题1：把一块巧克力的平均分成3份，每份是这块巧克力的几分之几？画一画，算一算。 【分析】画一个长方形表示一块巧克力，将整块巧克力看作单位“1”，根据分数的意义，分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数，选取整块巧克力的，再将整块巧克力的平均分成3份，根据分数的意义即可确定每份是这块巧克力的几分之几，平均分可以列除法算式，直接用÷3即可，除以一个数等于乘这个数的倒数，据此可以计算出结果，与画一画的结果对照，结果是一样的。 变式训练：先画一画，涂一涂，再用算式表示结果。 把平均分成3份，每份是多少？ 类型2 分数与整数的除法解决问题： 典型例题2：两支队伍赛龙舟，扬帆队15分划了全程的，起航队12分划了全程的，哪一队划得更快？ 【分析】根据速度＝完成全程的比例时间，分别求出两支队伍的速度，再比较两队的速度大小。据此解答。 变式训练：泥人面塑是我国古老的一门传统民间艺术，俗称捏面人。张爷爷用面泥捏了2个猪八戒，平均捏1个猪八戒用面泥多少千克？ 类型3 分数与分数的除法解决问题： 典型例题3：相较于普通灯泡，相同照明情况下，LED灯泡更加省电。一款家用LED灯泡小时耗电千瓦时。1千瓦时的电能让这款LED灯泡持续亮多少小时？ 【分析】用小时除以千瓦时，即可计算出1千瓦时的电能让这款LED灯泡持续亮的时间。 变式训练：“泽草所生，种之芒种。”芒种是插秧的忙碌时节之一。一块稻田，王大伯第一天种了，接下来计划每天种这块地的，还需要几天才能种完？ 类型4 已知一个数的几分之几是多少，求这个数： 典型例题4：图书室新购进三种图书，其中工具书有180本，科技书占新购进图书总数的，文艺书的数量是其他两种书数量总和的。新购进的图书一共有多少本？ 【分析】把新购进图书总数看成单位“1”，文艺书的数量是其他两种书数量总和的，那么文艺书就是新购进图书总数的，所以工具书就是新购进图书总数的，它对应的数量是180本，写出数量关系：新购进图书总数×＝工具书的数量，设新购进的图书有x本，由此列出方程并求解即可。 变式训练：迄今中国发现数量最多、保存最好、音律最全的一套编钟——曾侯乙编钟，共有三层，分别是上层钮钟、中层南钟和下层甬钟，其中钮钟19件，南钟比钮钟多，南钟是甬钟的。钮钟比甬钟多几件？ A夯实基础 1．一支蜡烛，小时燃烧了分米，这支蜡烛平均每小时燃烧（    ）分米。 A． B． C． D． 2．在数学素养知识竞赛中，小青时做了15道题，小珊时做了18道题，那么（    ）的做题速度更快。 A．小青 B．小珊 C．一样 D．不能确定 3．我国自主研发的无人仓库智能控制系统，处于世界领先地位。“智能大脑”能在0.2秒内计算出300件不同货物各自的分装路线。同样的工作，过去平均每件货物需要一名工人花上3秒。“智能大脑”的工作效率抵得上（    ）名工人。 A．900 B．1500 C．4500 D．6000 4．黄老师带学生们去野炊，一人一个饭碗，2人合用一个菜碗，4人合用一个汤碗，一共用了28个碗，参加野炊的学生有( )人。 5．一台收割机每小时可以收割公顷麦田，照这样计算，这台收割机小时可以收割( )公顷麦田，收割公顷麦田需要( )小时。 6．泉州“妆糕人”是指以粮食为主要创作原料捏面人，已成为闽南地区所特有的一门艺术。捏一个“猪八戒”和“孙悟空”共要用600g面团，捏一个“孙悟空”需要的面团是捏一个“猪八戒”的。捏一个“猪八戒”需要( )克面团。 B培优拔高 7．某粮食加工厂每天加工1200吨粮食，是原计划每天加工粮食的。该粮食加工厂原计划每天加工多少吨粮食？ 8．甲、乙、丙三位志愿者在一次救灾募捐中积极捐款，乙的捐款数比甲的2倍少100元，丙的捐款数比甲、乙两人的捐款数的和少300元，甲的捐款数是丙的，那么甲捐款多少元？ 9．2024年6月5日是第35个“世界环境日”，实验小学五年级同学开展捡塑料袋活动。五（1）班同学捡了90个塑料袋，是五年级捡的总数的，五年级共捡了多少个塑料袋？ 10．国庆小长假期间，明明一家自驾从西安前往太原旅游，驾车行驶了全程的时遇到一个高速服务区，明明的爸爸将车开进服务区打算休息一段时间，再继续开往太原，这个高速服务区离太原还有330千米。西安到太原的路程是多少千米？ 11．奥运会纪念币是以奥运会为题材发行的纪念币。淘气收集了32枚纪念币，比笑笑收集的纪念币少，笑笑收集了多少枚纪念币？（先画图，再列式解决问题。） C思维拓展 12．截止目前为止，我国拥有辽宁舰、山东舰和福建舰三艘航空母舰，共同构成了我国强大的海上防卫力量，为维护国家安全和发展提供了强有力的保障。辽宁舰的排水量为6.7万吨，是山东舰的。山东舰的排水量是福建舰的，福建舰的排水量是多少万吨？ 13．同学们乘汽车从学校出发到博物馆参观，时行驶了全程的，这时距博物馆还有4千米。照这样的速度，行完全程的时间是多少？ 14．小冬读一本书，第一天读了全书的，第二天读了全书的，两天一共读了全书的几分之几？如果这两天一共读了160页，这本书一共有多少页？ 15．有着3500多年历史的盘龙城遗址是我国商代前期的城址，是武汉的城市之根。盘龙城国家考古遗址公园的核心保护区面积为1.39平方千米，比公园规划占地面积的多0.08平方千米，公园规划占地面积是多少平方千米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $