第四单元 长方体（二） （解决问题讲义）数学北师大版五年级下册

第四单元 长方体（二） 1.体积与容积的概念辨析与应用： ----理解体积的定义（物体所占空间的大小）和容积的定义（容器所能容纳物体的体积），明确二者区别（体积针对物体本身，容积针对容器内部，同一容器的体积大于容积）。能根据实际情境判断是求体积还是容积，选择合适的测量或计算方法，同时掌握体积与容积单位（立方厘米、立方分米、立方米、升、毫升）的换算，牢记进率（1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升，1立方米=1000立方分米）。 2.长方体和正方体体积的计算与应用： ----牢记计算公式：长方体体积=长×宽×高（V=abh），正方体体积=棱长×棱长×棱长（V=a³），通用公式=底面积×高（V=Sh）。解题关键是找准长、宽、高（或棱长），统一单位后代入公式计算。能解决“求物体体积”“根据体积求长/宽/高/棱长”“求不规则物体体积（排水法：V物体=V总体积-V水的体积）”等实际问题，计算后标注正确单位。 3.体积相关实际问题的解题技巧： ----解决堆积、切割、拼接长方体或正方体的问题时，遵循“体积不变”原则（切割后总体积=各部分体积和，拼接后体积=各物体体积和）。对于不规则的立体组合图形，可通过拆分转化为标准长方体或正方体，分别计算体积后求和；遇到“装满”“占空间多少”等场景，明确核心是求体积或容积，结合题意筛选有效数据，避免混淆体积与表面积的计算。 4.长方体和正方体体积与表面积的综合应用： ----能区分体积与表面积的不同意义（体积描述空间大小，表面积描述面的面积总和），根据实际问题需求选择对应公式解题。解决“给物体装箱（求需要多少个箱子）”“制作容器（求用料面积和容纳量）”等综合问题时，先分析题目是求表面积、体积还是二者结合，分步计算后整合结果，注意单位统一和实际情境合理性（如装箱时需考虑物体摆放方式对箱子数量的影响）。 类型1 长方体的体积解决问题： 典型例题1：广东某快递公司开启无人配送新方式，采用无人驾驶的智能化快递车进行货物运送，提高了配送效率和投递准确性。某街道的智能快递站有一排长方体快递柜，体积是0.72m³，占地面积是0.96m²，这排快递柜的高是多少米？ 【分析】已知一排长方体快递柜的体积是0.72m³，占地面积是0.96m²，根据长方体的体积＝底面积×高，可得到高＝体积÷底面积，据此解答。 变式训练：某糖果包装盒长10厘米，宽和高都是2厘米。现有一纸箱，内侧的尺寸如图（单位：厘米）。这个纸箱中最多能放多少盒糖果？ 类型2 正方体的体积解决问题： 典型例题2：一段方钢长10dm，宽5dm，高1dm，这段方钢的体积是多少立方分米？如果把这段方钢熔铸成棱长为0.5dm的正方体钢块，可以熔铸成多少块？（不计损耗） 【分析】方钢为长方体形状，长方体体积公式为：长方体体积＝长×宽×高。已知方钢的长为10分米，宽为5分米，高为1分米，将数值代入公式即可求出体积；再根据正方体体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，计算出棱长为0.5分米的小正方体钢块的体积。然后用方钢的总体积除以一个小正方体钢块的体积，得到可熔铸的块数。 变式训练：有一块正方体的橡皮泥，它的棱长是8厘米，笑笑把它捏成一个长方体，长方体的长是16厘米，宽是5厘米，这个长方体的高是多少厘米？ 类型3 体积的等积变形（长方体、正方体）解决问题： 典型例题3：在一个长30厘米，宽15厘米，高10厘米的长方体容器中装满水，然后把水倒入一个棱长为20厘米的正方体容器中，这时水深是多少厘米？ 【分析】长方体体积公式为：体积＝长×宽×高，已知长方体容器长30厘米、宽15厘米、高10厘米，且装满水，水的体积等于长方体容积，把数据代入公式得：30×15×10＝4500（立方厘米）。正方体底面积公式为：面积＝棱长×棱长，已知正方体容器棱长20厘米，则底面积为：20×20＝400（平方厘米）。水倒入正方体容器后，形状变为“以正方体底面积为底、水深为高的长方体”，根据“长方体的高＝体积÷底面积”，把体积4500立方厘米，底面积400立方厘米代入计算即可。 变式训练：棱长是6分米的正方体容器装满水，把容器里的水全部倒入一个长方体水箱，水箱从里面量长6分米，宽5分米，高8.5分米，这时倒入水箱里面的水深是多少分米？ 类型4 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积）解决问题： 典型例题4：如下图，一个长方体木块，若从它的下部和上部分别截去一个高为3cm的长方体和一个高为2cm的长方体后，就变成了一个正方体，此时，它的表面积减少了120cm2。原来长方体的体积为多少立方厘米？ 【分析】根据题意，截去上下两部分后，表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和。所以用减少的表面积除以截去的高，得到底面周长，因为底面是正方形，再根据正方形的周长＝边长×4，求出底面边长，即是正方体的棱长，长方体原来的高等于上下部截去的高度的和与正方体的棱长之和，最后利用长方体的体积公式求出原来长方体的体积，据此解答。 变式训练：如下图所示的是由9个棱长为1cm的小正方体组成的，怎样尽可能少地移动小正方体才能把它变成一个大长方体？新组成的大长方体的体积是多少立方厘米？ 类型5 体积单位的换算解决问题： 典型例题5：李伯伯用一种背负式喷雾器给果树喷洒农药。如果该背负式喷雾器的药液箱是长为2dm、宽为15cm、高为5dm的长方体，那么药液箱的容积是多少升？（药液箱的厚度忽略不计） 【分析】已知背负式喷雾器的药液箱是长为2dm、宽为15cm、高为5dm的长方体，先把宽的单位换算成分米作单位，再根据长方体的体积＝长×宽×高，算出药液箱的体积，再把单位换算成升作单位，据此解答。 变式训练：爸爸计划用下面的5块玻璃粘成一个无盖的长方体鱼缸，请你先想一想该怎样粘，再完成下面各题。 （1）做这个鱼缸需要多少平方厘米的玻璃？ （2）这个鱼缸最多可装水多少升？ 类型6 不规则物体的体积算法（长方体、正方体）解决问题： 典型例题6：将棱长是1.5dm的正方体石块浸没到一个长方体水槽中，水面上升了0.75dm，然后放入一个铁块并浸没，水面又上升了2dm（水没有溢出）。求铁块的体积。 【分析】排水法（物体体积＝上升的水的体积）、长方体底面积与体积的关系。先通过正方体石块的体积和水面上升高度，求出长方体水槽的底面积；再利用水槽底面积和铁块导致的水面上升高度，计算铁块的体积。 变式训练：将一个体积是24dm3的不规则铁块浸没（水未溢出）在一个长8dm、宽6dm的装有水的长方体容器中，水面会上升多少分米？（容器厚度不计） 类型7 组合体的体积（长方体、正方体）解决问题： 典型例题7：妈妈做了两种形状如下图所示的奶酪（单位：cm），园园选择哪一种才能吃到更多的奶酪呢？ 【分析】第一种奶酪是长方体，把图中数据代入长方体的公式，即可求出第一种奶酪的体积；第二种奶酪是由一个大长方体减去一个小长方体组成，分别计算出两部分的体积再相减，即可算出第二种奶酪的体积，比较两种奶酪的体积，即可解答。 变式训练：下面是由长方体和正方体组合而成的图形，长方体的长，宽，高分别是15厘米，8厘米，10厘米；上面正方体的棱长是7厘米，计算组合图形的表面积和体积。 A夯实基础 1．一个长方体水箱的容积是100L，这个水箱的底面从里面量是一个边长为5dm的正方形，这个水箱高（    ）dm。 A．20 B．4 C．14 D．0.4 2．活字印刷术是用胶泥做成规格一致的毛坯并在一面刻上反体单字，再涂墨印刷。王叔叔用胶泥做了一个棱长为2cm的正方体毛坯，这个毛坯的表面积和体积分别是（    ）。 A．24cm2；16cm3 B．8cm2；24cm3 C．24cm2；8cm3 D．16cm2；24cm3 3．一个水桶的容积是5L，装满水，将石块完全浸没在水桶中，溢出了一些水。取出石块后，桶中还剩4.2L水，则石块的体积是（    ）dm3。 A．5 B．4.2 C．0.8 D．0.2 4．小明用一根铁丝做了一个长方体框架，一个顶点引出的三条棱分别是10cm、8cm、6cm，用这根铁丝做成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )cm，体积是( )cm3。 5．一个长方体容器长10cm、宽8cm、高12cm。将这个容器装满水，然后将水倒入一个棱长10cm的空的正方体容器中，这时水面高( )cm。 6．一个长10厘米，宽9厘米，高6厘米的长方体，把它切成一个最大的正方体，这个正方体的体积是( )立方厘米，剩下部分的体积是( )立方厘米。 B培优拔高 7．在一个长50厘米，宽40厘米的长方体玻璃缸中（从里面量），放入一块棱长为10厘米的正方体铁块（铁块完全浸没），这时水深为15厘米，把铁块从缸中取出后，水的深度是多少厘米？ 8．一个长方体的电脑主机长42厘米，宽20厘米，高44厘米（如图）。它的占地面积是多少？它的体积是多少？ 9．如图所示，一个长2.5分米、宽2分米、高4分米的无盖长方体水箱侧面被扎破一个洞，洞口的下沿距水箱底面2.2分米，把12升水倒入水箱里，水是否会从这个洞口溢出？（水箱不能倾斜） 10．小明爸爸准备开车带一家人去自驾游。爸爸汽车的油箱长50厘米、宽40厘米、高30厘米。如果每行驶17千米耗1升汽油，这辆汽车最多行驶多少千米就能耗光油箱中的汽油？ 11．海夜叉是动画电影《哪吒》系列中的重要角色，他机智又狡猾。在一次大战中，海夜叉躲进一个长是6分米，宽是4分米，高是5分米的长方体中，水面上升了2分米。被哪吒发现后，又化为水的形态，躲进一个底面积是16平方分米的空正方体中，此时化作水形态的海夜叉有多高？ 12．一种背负式喷雾器的形状是长方体，从里面量长是25厘米，宽是10厘米，高是56厘米，王阿姨将喷雾器灌满药液后，给蔬菜喷洒农药。如果每分喷出药液700毫升，喷完一箱药液需用多少分？ C思维拓展 13．把一个不规则的铁块完全浸没在一个长5分米，宽4分米，高3分米的长方体容器中，放入铁块前水面的高度是2.3分米，放入铁块后水面上升到2.7分米，这个铁块的体积是多少立方分米？ 14．如图，一种果汁的包装盒是一个从外面量长7厘米、宽4厘米、高10厘米的长方体。请你通过计算说明商家是否欺骗了消费者？ 15．如图，一个观赏鱼缸中注入一些水，将体积为12立方分米的假山石放入鱼缸中，假山石完全浸没在水中，水没有溢出，此时水面上升多少？（鱼缸厚度忽略不计） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 长方体（二） 1.体积与容积的概念辨析与应用： ----理解体积的定义（物体所占空间的大小）和容积的定义（容器所能容纳物体的体积），明确二者区别（体积针对物体本身，容积针对容器内部，同一容器的体积大于容积）。能根据实际情境判断是求体积还是容积，选择合适的测量或计算方法，同时掌握体积与容积单位（立方厘米、立方分米、立方米、升、毫升）的换算，牢记进率（1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升，1立方米=1000立方分米）。 2.长方体和正方体体积的计算与应用： ----牢记计算公式：长方体体积=长×宽×高（V=abh），正方体体积=棱长×棱长×棱长（V=a³），通用公式=底面积×高（V=Sh）。解题关键是找准长、宽、高（或棱长），统一单位后代入公式计算。能解决“求物体体积”“根据体积求长/宽/高/棱长”“求不规则物体体积（排水法：V物体=V总体积-V水的体积）”等实际问题，计算后标注正确单位。 3.体积相关实际问题的解题技巧： ----解决堆积、切割、拼接长方体或正方体的问题时，遵循“体积不变”原则（切割后总体积=各部分体积和，拼接后体积=各物体体积和）。对于不规则的立体组合图形，可通过拆分转化为标准长方体或正方体，分别计算体积后求和；遇到“装满”“占空间多少”等场景，明确核心是求体积或容积，结合题意筛选有效数据，避免混淆体积与表面积的计算。 4.长方体和正方体体积与表面积的综合应用： ----能区分体积与表面积的不同意义（体积描述空间大小，表面积描述面的面积总和），根据实际问题需求选择对应公式解题。解决“给物体装箱（求需要多少个箱子）”“制作容器（求用料面积和容纳量）”等综合问题时，先分析题目是求表面积、体积还是二者结合，分步计算后整合结果，注意单位统一和实际情境合理性（如装箱时需考虑物体摆放方式对箱子数量的影响）。 类型1 长方体的体积解决问题： 典型例题1：广东某快递公司开启无人配送新方式，采用无人驾驶的智能化快递车进行货物运送，提高了配送效率和投递准确性。某街道的智能快递站有一排长方体快递柜，体积是0.72m³，占地面积是0.96m²，这排快递柜的高是多少米？ 【答案】0.75m 【分析】已知一排长方体快递柜的体积是0.72m³，占地面积是0.96m²，根据长方体的体积＝底面积×高，可得到高＝体积÷底面积，据此解答。 【详解】（米） 答：这排快递柜的高是0.75米。 变式训练：某糖果包装盒长10厘米，宽和高都是2厘米。现有一纸箱，内侧的尺寸如图（单位：厘米）。这个纸箱中最多能放多少盒糖果？ 【答案】300盒 【分析】根据以长为边可以放20÷10＝2（个）；以高为边可以放20÷2＝10（层）﹔以宽为边可以放30÷2＝15（排）﹔根据乘法的意义用长、宽、高的数量相乘可得解。 【详解】20÷10＝2（个） 20÷2＝10（层） 30÷2＝15（排） 2×10×15 ＝20×15 ＝300（盒） 答：这个纸箱中最多能放300盒糖果。 类型2 正方体的体积解决问题： 典型例题2：一段方钢长10dm，宽5dm，高1dm，这段方钢的体积是多少立方分米？如果把这段方钢熔铸成棱长为0.5dm的正方体钢块，可以熔铸成多少块？（不计损耗） 【答案】50立方分米；400块 【分析】方钢为长方体形状，长方体体积公式为：长方体体积＝长×宽×高。已知方钢的长为10分米，宽为5分米，高为1分米，将数值代入公式即可求出体积；再根据正方体体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，计算出棱长为0.5分米的小正方体钢块的体积。然后用方钢的总体积除以一个小正方体钢块的体积，得到可熔铸的块数。 【详解】（立方分米） （块） 答：这段方钢的体积是50立方分米；如果把这段方钢熔铸成棱长为0.5分米的正方体钢块，可以熔铸成400块。 【点睛】先根据长方体体积公式计算方钢的体积，再根据正方体体积公式计算小正方体钢块的体积，最后用方钢体积除以小正方体体积得到可熔铸的块数。 变式训练：有一块正方体的橡皮泥，它的棱长是8厘米，笑笑把它捏成一个长方体，长方体的长是16厘米，宽是5厘米，这个长方体的高是多少厘米？ 【答案】6.4厘米 【分析】已知一块正方体橡皮泥的棱长是8厘米，根据正方体的体积公式V＝a3，求出橡皮泥的体积； 把这块正方体橡皮泥捏成一个长方体，橡皮泥的体积不变；根据长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数据计算，求出这个长方体的高。 【详解】8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 512÷（16×5） ＝512÷80 ＝6.4（厘米） 答：这个长方体的高是6.4厘米。 类型3 体积的等积变形（长方体、正方体）解决问题： 典型例题3：在一个长30厘米，宽15厘米，高10厘米的长方体容器中装满水，然后把水倒入一个棱长为20厘米的正方体容器中，这时水深是多少厘米？ 【答案】11.25厘米 【分析】长方体体积公式为：体积＝长×宽×高，已知长方体容器长30厘米、宽15厘米、高10厘米，且装满水，水的体积等于长方体容积，把数据代入公式得：30×15×10＝4500（立方厘米）。正方体底面积公式为：面积＝棱长×棱长，已知正方体容器棱长20厘米，则底面积为：20×20＝400（平方厘米）。水倒入正方体容器后，形状变为“以正方体底面积为底、水深为高的长方体”，根据“长方体的高＝体积÷底面积”，把体积4500立方厘米，底面积400立方厘米代入计算即可。 【详解】30×15×10＝4500（立方厘米） 20×20＝400（平方厘米） 4500÷400＝11.25（厘米） 答：这时水深是11.25厘米。 变式训练：棱长是6分米的正方体容器装满水，把容器里的水全部倒入一个长方体水箱，水箱从里面量长6分米，宽5分米，高8.5分米，这时倒入水箱里面的水深是多少分米？ 【答案】7.2分米 【分析】已知棱长是6分米的正方体容器，根据正方体体积公式求出水的体积，再正方体容器里的水全部倒入一个长方体水箱，由于水的体积不变，求水深即水的高度，水的高度＝长方体体积÷长÷宽，根据公式解答即可。 【详解】6×6×6÷6÷5 ＝36÷5 ＝7.2（分米） 答：水箱里的水深7.2分米。 类型4 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积）解决问题： 典型例题4：如下图，一个长方体木块，若从它的下部和上部分别截去一个高为3cm的长方体和一个高为2cm的长方体后，就变成了一个正方体，此时，它的表面积减少了120cm2。原来长方体的体积为多少立方厘米？ 【答案】396立方厘米 【分析】根据题意，截去上下两部分后，表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和。所以用减少的表面积除以截去的高，得到底面周长，因为底面是正方形，再根据正方形的周长＝边长×4，求出底面边长，即是正方体的棱长，长方体原来的高等于上下部截去的高度的和与正方体的棱长之和，最后利用长方体的体积公式求出原来长方体的体积，据此解答。 【详解】底面周长：（厘米） 底面边长：（厘米） 原来的高：（厘米） 原来的体积：（立方厘米） 答：原来长方体的体积为396立方厘米。 【点睛】理解表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和，由此求出正方体的棱长，是解题的关键。 变式训练：如下图所示的是由9个棱长为1cm的小正方体组成的，怎样尽可能少地移动小正方体才能把它变成一个大长方体？新组成的大长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】移动过程见详解； 【分析】观察原图形，将最底下那层最右边的1个小正方体移动到最上面那层的最右边，可将其拼成一个大长方体； 因为是由9个棱长为的小正方体组成，每个小正方体体积为，所以新组成的大长方体体积等于9个小正方体体积之和，即可求得结果。 【详解】根据分析可知： 将最底下那层最右边的1个小正方体移动到最上面那层的最右边，可将其拼成一个大长方体； 答： 新组成的大长方体的体积是。 类型5 体积单位的换算解决问题： 典型例题5：李伯伯用一种背负式喷雾器给果树喷洒农药。如果该背负式喷雾器的药液箱是长为2dm、宽为15cm、高为5dm的长方体，那么药液箱的容积是多少升？（药液箱的厚度忽略不计） 【答案】15L 【分析】已知背负式喷雾器的药液箱是长为2dm、宽为15cm、高为5dm的长方体，先把宽的单位换算成分米作单位，再根据长方体的体积＝长×宽×高，算出药液箱的体积，再把单位换算成升作单位，据此解答。 【详解】15厘米＝1.5分米 （立方分米） 15立方分米＝15升 答：药液箱的容积是15升。 变式训练：爸爸计划用下面的5块玻璃粘成一个无盖的长方体鱼缸，请你先想一想该怎样粘，再完成下面各题。 （1）做这个鱼缸需要多少平方厘米的玻璃？ （2）这个鱼缸最多可装水多少升？ 【答案】（1）9000平方厘米 （2）72升 【分析】根据题意，用5块玻璃粘成一个无盖的长方体鱼缸，观察5块玻璃，只有“60×30”是1块，所以把“60×30”作为鱼缸的底面，然后把2块“60×40”作为鱼缸的前面和后面，把2块“40×30”作为鱼缸的左面和右面，据此制作完成这个无盖的长方体鱼缸，且确定这个长方体的长是60厘米、宽是30厘米、高是40厘米。 （1）求做这个鱼缸需要玻璃的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可求解。 （2）求这个鱼缸最多可装多少升水，就是求鱼缸的容积；根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，以及进率“1升＝1000立方厘米”，即可求解。 【详解】用5块玻璃粘成一个无盖的长方体鱼缸，如下图： （1）60×30＋60×40×2＋40×30×2 ＝1800＋4800＋2400 ＝9000（平方厘米） 答：做这个鱼缸需要9000平方厘米的玻璃。 （2）60×30×40 ＝1800×40 ＝72000（立方厘米） 72000立方厘米＝72升 答：这个鱼缸最多可装水72升。 类型6 不规则物体的体积算法（长方体、正方体）解决问题： 典型例题6：将棱长是1.5dm的正方体石块浸没到一个长方体水槽中，水面上升了0.75dm，然后放入一个铁块并浸没，水面又上升了2dm（水没有溢出）。求铁块的体积。 【答案】9dm3 【分析】排水法（物体体积＝上升的水的体积）、长方体底面积与体积的关系。先通过正方体石块的体积和水面上升高度，求出长方体水槽的底面积；再利用水槽底面积和铁块导致的水面上升高度，计算铁块的体积。 【详解】正方体石块的体积： （dm3） 长方体水槽的底面积：（dm2） 铁块的体积：（dm3） 答：铁块的体积是9dm3。 变式训练：将一个体积是24dm3的不规则铁块浸没（水未溢出）在一个长8dm、宽6dm的装有水的长方体容器中，水面会上升多少分米？（容器厚度不计） 【答案】0.5分米 【分析】将一个体积是24立方分米的不规则铁块浸没在水中（水未溢出），那么水面上升的那部分水的体积就是24立方分米。先求出容器的底面积，再根据“水面上升的那部分水的体积÷底面积＝水面上升的高度”即可求解。 【详解】 （分米） 答：水面会上升0.5分米。 类型7 组合体的体积（长方体、正方体）解决问题： 典型例题7：妈妈做了两种形状如下图所示的奶酪（单位：cm），园园选择哪一种才能吃到更多的奶酪呢？ 【答案】选第一种才能吃到更多的奶酪。 【分析】第一种奶酪是长方体，把图中数据代入长方体的公式，即可求出第一种奶酪的体积；第二种奶酪是由一个大长方体减去一个小长方体组成，分别计算出两部分的体积再相减，即可算出第二种奶酪的体积，比较两种奶酪的体积，即可解答。 【详解】（立方厘米） （立方厘米） 答：选第一种才能吃到更多的奶酪。 变式训练：下面是由长方体和正方体组合而成的图形，长方体的长，宽，高分别是15厘米，8厘米，10厘米；上面正方体的棱长是7厘米，计算组合图形的表面积和体积。 【答案】896平方厘米；1543立方厘米 【分析】组合图形的体积是长方体的体积和正方体体积之和，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4。 据此代入数据计算。 【详解】表面积： ＝（120＋150＋80）×2＋196 ＝350×2＋196 ＝700＋196 （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：组合图形的表面积是896平方厘米和体积是1543立方厘米。 A夯实基础 1．一个长方体水箱的容积是100L，这个水箱的底面从里面量是一个边长为5dm的正方形，这个水箱高（    ）dm。 A．20 B．4 C．14 D．0.4 【答案】B 【分析】一个长方体水箱的容积是100L，这个水箱的底面从里面量是一个边长为5dm的正方形，先根据正方形的面积＝边长×边长，求出底面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，反推出高＝体积÷底面积，求出水箱的高，据此解答。 【详解】100升＝100立方分米 （分米） 所以这个水箱高4分米。 故答案为：B 2．活字印刷术是用胶泥做成规格一致的毛坯并在一面刻上反体单字，再涂墨印刷。王叔叔用胶泥做了一个棱长为2cm的正方体毛坯，这个毛坯的表面积和体积分别是（    ）。 A．24cm2；16cm3 B．8cm2；24cm3 C．24cm2；8cm3 D．16cm2；24cm3 【答案】C 【分析】已知正方体的棱长为2cm，根据正方体的表面积公式、正方体的体积公式，即可求出正方体的表面积和体积，据此解答。 【详解】表面积：（cm2） 体积：（cm3） 故答案为：C 3．一个水桶的容积是5L，装满水，将石块完全浸没在水桶中，溢出了一些水。取出石块后，桶中还剩4.2L水，则石块的体积是（    ）dm3。 A．5 B．4.2 C．0.8 D．0.2 【答案】C 【分析】一个水桶装满水，将石块完全浸没在水桶中，此时溢出水的体积等于石块的体积；原有水5L，取出石块后还剩4.2L水，相减求出溢出水的体积，即可求出石块的体积，据此解答。 【详解】石块的体积＝溢出水的体积：（L） 0.8L＝0.8dm3 故答案为：C 4．小明用一根铁丝做了一个长方体框架，一个顶点引出的三条棱分别是10cm、8cm、6cm，用这根铁丝做成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 8 512 【分析】长方体有12条棱，且从一个顶点引出的三条棱分别是长方体的长、宽、高，棱长总和公式为：长方体棱长总和＝4×（长＋宽＋高）。已知长方体长10cm、宽8cm、高6cm，代入公式可得：4×（10＋8＋6）＝4×24＝96cm。 这根铁丝的总长度为96cm，即做成的正方体的棱长总和为96cm。正方体有12条棱，且所有棱长度相等，其棱长公式为：正方体棱长＝正方体棱长总和÷12。将棱长总和96cm代入公式，可得正方体棱长为：96÷12＝8cm，正方体体积公式为：正方体体积＝棱长×棱长×棱长。将棱长8cm代入公式计算即可。 【详解】4×（10＋8＋6） ＝4×（18＋6） ＝4×24 ＝96（cm） 96÷12＝8（cm） 8×8×8＝512（cm3） 这个正方体的棱长是8cm，体积是512cm3。 5．一个长方体容器长10cm、宽8cm、高12cm。将这个容器装满水，然后将水倒入一个棱长10cm的空的正方体容器中，这时水面高( )cm。 【答案】9.6 【分析】已知长方体容器装满水，根据长方体的体积公式V＝abh，求出水的体积。 然后将水倒入一个棱长10cm的空的正方体容器中，水的体积不变，根据h＝V÷S，用水的体积除以正方体容器的底面积“10×10”，即可求出正方体容器中水面的高度。 【详解】水的体积： 10×8×12 ＝80×12 ＝960（cm3） 水面高： 960÷（10×10） ＝960÷100 ＝9.6（cm） 这时水面高（9.6）cm。 6．一个长10厘米，宽9厘米，高6厘米的长方体，把它切成一个最大的正方体，这个正方体的体积是( )立方厘米，剩下部分的体积是( )立方厘米。 【答案】 216 324 【分析】把长10厘米，宽9厘米，高6厘米的长方体切成一个最大的正方体，这个正方体的棱长为6厘米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可求出正方体的体积；再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出原来长方体的体积，然后用原来长方体的体积减去正方体的体积等于剩下部分的体积。 【详解】6×6×6＝216（立方厘米） 10×9×6－216 ＝540－216 ＝324（立方厘米） 这个正方体的体积是216立方厘米，剩下部分的体积是324立方厘米。 B培优拔高 7．在一个长50厘米，宽40厘米的长方体玻璃缸中（从里面量），放入一块棱长为10厘米的正方体铁块（铁块完全浸没），这时水深为15厘米，把铁块从缸中取出后，水的深度是多少厘米？ 【答案】14.5厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长可求出正方体铁块的体积，根据下降的水的体积与正方体铁块的体积相等，用正方体铁块的体积除以长方体玻璃缸的底面积可求出下降的水的深度，最后利用现在水的深度＝原来水的深度－下降的水的深度即可解答。 【详解】15－10×10×10÷（50×40） ＝15－1000÷2000 ＝15－0.5 ＝14.5（厘米） 答：把铁块从缸中取出后，水的深度是14.5厘米。 8．一个长方体的电脑主机长42厘米，宽20厘米，高44厘米（如图）。它的占地面积是多少？它的体积是多少？ 【答案】840平方厘米；36960立方厘米 【分析】占地面积就是长方体电脑主机底面的面积，长方体底面为长方形，长方形面积公式为S＝a×b（S是面积，a是长，b是宽）。已知长方体电脑主机长为42厘米，宽为20厘米，代入公式计算即可得出占地面积。 长方体体积公式为V＝a×b×h（V是体积，a是长，b是宽，h是高）。已知长a＝42厘米，宽b＝20厘米，高h＝44厘米，把数据代入公式计算即可。 【详解】42×20＝840（平方厘米） 42×20×44＝36960（立方厘米） 答：电脑主机的占地面积是840平方厘米，体积是36960立方厘米。 9．如图所示，一个长2.5分米、宽2分米、高4分米的无盖长方体水箱侧面被扎破一个洞，洞口的下沿距水箱底面2.2分米，把12升水倒入水箱里，水是否会从这个洞口溢出？（水箱不能倾斜） 【答案】会 【分析】由图可知，当长方体倒入超过高2.2分米的水，水会溢出。所以要保证水不溢出，应计算高为2.2分米的长方体体积。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，已知长方体的长为2.5分米，宽2分米，高2.2分米，把数据代入公式计算后再和12比较，如果比12大，就不会溢出，反之则会溢出。 【详解】2.5×2×2.2＝11（立方分米） 11立方分米＝11升 11＜12 答：水会从这个洞口溢出。 10．小明爸爸准备开车带一家人去自驾游。爸爸汽车的油箱长50厘米、宽40厘米、高30厘米。如果每行驶17千米耗1升汽油，这辆汽车最多行驶多少千米就能耗光油箱中的汽油？ 【答案】1020千米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出油箱容积，根据1立方分米＝1升，1立方分米＝1000立方厘米，统一单位，油箱容积×1升汽油行驶路程＝行驶总路程，据此列式解答。 【详解】50×40×30＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60立方分米＝60升 60×17＝1020（千米） 答：这辆汽车最多行驶1020千米就能耗光油箱中的汽油。 11．海夜叉是动画电影《哪吒》系列中的重要角色，他机智又狡猾。在一次大战中，海夜叉躲进一个长是6分米，宽是4分米，高是5分米的长方体中，水面上升了2分米。被哪吒发现后，又化为水的形态，躲进一个底面积是16平方分米的空正方体中，此时化作水形态的海夜叉有多高？ 【答案】3分米 【分析】水面上升的体积就是海夜叉的体积，长方体的长×宽×水面上升的高度＝海夜叉的体积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出化作水形态的海夜叉高。 【详解】6×4×2÷16 ＝48÷16 ＝3（分米） 答：化作水形态的海夜叉有3分米高。 12．一种背负式喷雾器的形状是长方体，从里面量长是25厘米，宽是10厘米，高是56厘米，王阿姨将喷雾器灌满药液后，给蔬菜喷洒农药。如果每分喷出药液700毫升，喷完一箱药液需用多少分？ 【答案】20分 【分析】已知长方体喷雾器的长、宽、高，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出喷雾器的容积，并根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位； 已知每分喷出药液700毫升，用喷雾器的容积除以每分喷出药液的量，即可求出喷完一箱药液需用的时间。 【详解】25×10×56 ＝250×56 ＝14000（立方厘米） 14000立方厘米＝14000毫升 14000÷700＝20（分） 答：喷完一箱药液需用20分。 C思维拓展 13．把一个不规则的铁块完全浸没在一个长5分米，宽4分米，高3分米的长方体容器中，放入铁块前水面的高度是2.3分米，放入铁块后水面上升到2.7分米，这个铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】8立方分米 【分析】根据题意，这个铁块的体积等于上升的水的体积，而上升的水的形状是长5分米，宽4分米，高（2.7－2.3）分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【详解】5×4×（2.7－2.3） ＝5×4×0.4 ＝8（立方分米） 答：这个铁块的体积是8立方分米。 14．如图，一种果汁的包装盒是一个从外面量长7厘米、宽4厘米、高10厘米的长方体。请你通过计算说明商家是否欺骗了消费者？ 【答案】欺骗了 【分析】从图中可知，果汁包装盒上注明“280毫升”，说明果汁包装盒的容积是280毫升。 已知包装盒从外面量的长、宽、高，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出包装盒的体积，并根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位，然后与“280毫升”进行比较，因为包装盒有厚度，所以包装盒的体积一定会大于容积，由此得出商家是否欺骗了消费者。 【详解】7×4×10＝280（立方厘米） 280立方厘米＝280毫升 答：商家欺骗了消费者。 15．如图，一个观赏鱼缸中注入一些水，将体积为12立方分米的假山石放入鱼缸中，假山石完全浸没在水中，水没有溢出，此时水面上升多少？（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】0.375分米 【分析】水面上升部分的体积和假山石的体积相等，并且水面上升部分形成了一个长方体，底面积和鱼缸的底面积相等。将假山石的体积除以鱼缸的底面积，求出水面上升的高度。 【详解】12÷（8×4） ＝12÷32 ＝0.375（分米） 答：此时水面上升0.375分米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $