第五单元 认识方程 （解决问题讲义）数学北师大版四年级下册

第五单元 认识方程 1.方程的核心概念理解： ----明确方程的定义（含有未知数的等式），能区分方程与等式、代数式，抓住“未知数”和“等式”两大核心特征。 2.等式的性质运用： ----掌握等式两边同时加、减、乘同一个数（0除外），或除以同一个不为0的数，等式仍成立的性质，为解方程奠定基础。 3.解方程的步骤与要求： ----遵循“等式性质”逐步化简，步骤清晰（如移项变号），解完后代入原方程检验，确保结果正确，规范书写解方程过程。 4.列方程解决问题的核心步骤： ----先找等量关系（关键），再设未知数（优先设所求量），根据等量关系列方程，解方程并检验，灵活应对和倍、差倍、相遇等实际问题。 5.未知数的设元技巧： ----直接设元：所求量明确时直接设为x；间接设元：所求量不便于直接表示时，设关键中间量为x，再通过关系式表示所求量。 类型1 用字母表示数、数量关系解决问题： 典型例题1：一个三位数，它的百位上的数字是c，十位上的数字是a，个位上的数字是b。这个三位数怎样表示？ 【分析】利用整数的数位上数字的意义直接写出即可：百位上的数字是c，表示的数是100c，十位上的数字是a，表示数是10a，个位上的数字是b，表示数是b。据此解答。 变式训练：某希望小学四（1）班共有46名学生，四（2）班比四（1）班多名学生，四（3）班比四（2）班少名学生。 （1）四（2）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （2）四（3）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （3）当，时，四（3）班有多少名学生？ 类型2 含有字母式子的化简和求值解决问题： 典型例题2：利民超市运来20箱牛奶，每箱a瓶，又运来b箱可乐，每箱12瓶。 （1）用含有字母的式子表示超市里一共运来了多少瓶牛奶和可乐？ （2）当a＝24，b＝13时，超市一共运来牛奶和可乐多少瓶？ 【分析】（1）每箱牛奶的瓶数乘运来牛奶的箱数等于运来牛奶的瓶数，每箱可乐的瓶数乘运来可乐的箱数等于运来可乐的瓶数，然后把牛奶的瓶数和可乐的瓶数相加，即等于总共运来牛奶和可乐的瓶数。 （2）把a＝24，b＝13代入（1）式中计算即可解答。 变式训练：坪房小学开展“废品回收助力环保”活动。六一中队45名同学回收塑料瓶，每人回收a个。 （1）用含有字母的式子表示这个中队回收塑料瓶的总个数。 （2）根据这个式子，当a＝30时，这个中队共回收了多少个塑料瓶？ 类型3 等式的性质1解决问题： 典型例题3：买1把茶壶比买6只茶杯贵19.4元，每只茶杯8.7元，每把茶壶多少元？（用方程解） 【分析】由题意可得等量关系：每把茶壶的钱数－每只茶杯的钱数×6＝19.4元。设每把茶壶x元，根据等量关系列出方程，再根据等式的性质解方程即可。 变式训练：一头大象的质量是5.95吨，一头牛比这头大象轻5.26吨。这头牛重多少吨？（写出等量关系，再列方程解答） 类型4 等式的性质2解决问题： 典型例题4：学校组织春游，一共用了10辆车，大客车每辆坐64人，小客车每辆坐48人，大客车比小客车一共多坐了192人。大、小客车各有几辆？（用方程解答） 【分析】先设大客车的数量为未知数，用总车辆数－大客车的数量表示小客车数量，再根据大客车比小客车多坐的人数列出方程，解方程求出大客车数量，最后求出小客车数量。 变式训练：为了制作火山爆发的模型，李老师准备了小苏打、红墨水和水等混合物600毫升。这些混合物刚好倒满8个同样的玻璃瓶，每个玻璃瓶的容积是多少毫升？（列方程解答） 类型5 应用等式的性质1和2解方程： 典型例题5：甲、乙两地相距400千米，A、B两车分别同时从甲、乙两地相对开出，2小时后两车相距40千米。已知A车每时行100千米，B车每时行多少千米？（两车未相遇，用方程解答） 【分析】甲、乙两地相距400千米，A、B两车分别同时从甲、乙两地相对开出，2小时后两车相距40千米，已知A车每时行100千米，写出数量关系：A、B两车的速度和×行驶时间＝400-40，设B车每小时行x千米，据此列出方程并求解即可。 变式训练：宇宙是包括地球及其他一切天体的无限空间，是一切物质及其存在形式的总体。据科学家推算，宇宙的年龄大约是138亿年，比太阳年龄的3倍少12亿年。太阳的年龄大约是多少亿年？（用方程解）。 类型6 解含括号的方程： 典型例题6：一辆客车和一辆货车同时从相距650千米的甲、乙两地相对开出，5小时后相遇。已知客车平均每小时行驶60千米，则货车平均每小时行驶多少千米？ 【分析】根据题意“速度×时间＝路程”可得出等量关系：（客车的速度＋货车的速度）×相遇时间＝甲、乙两地的距离，据此列出方程，并求解。 变式训练：为了节约用水，国家实行阶梯水价。每月用水量在15吨及以下的部分，每吨0.6元：超过15吨但不超过20吨的部分，每吨1.4元；超过20吨的部分，每吨2元。上个月笑笑家缴了54元水费，笑笑家上个月用了多少吨水？（用方程求解） 类型7 解等号两边都有未知数的方程： 典型例题7：淘气有230元零花钱，笑笑有310元零花钱。从这个月开始，淘气每个月攒20元，笑笑每个月攒15元。淘气几个月后的零花钱能和笑笑一样多？ 【分析】假设淘气x月后的零花钱能和笑笑一样多，可知淘气攒了20x元，再加上淘气本来的零花钱数，淘气一共有（230＋20x）元。同样的，笑笑攒了15x元，再加上笑笑本来的零花钱数，笑笑一共有（310＋15x）元。据此列出方程为230＋20x＝310＋15x，再解方程即可。 变式训练：贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 类型8 列方程解含有一个未知数的问题： 典型例题8：停车场有小汽车（四轮）和摩托车（两轮）共20辆，两种车共有64个轮子。停车场有小汽车多少辆？ 【分析】已知小汽车和摩托车的总数是20辆，设小汽车的数量为x辆，则摩托车的数量为（20－x）辆。小汽车每辆4个轮子，轮子总数为4x；摩托车每辆2个轮子，轮子总数为2（20－x）；总轮子数是64。根据小汽车的轮子总数＋摩托车的轮子总数＝总轮子数，列出方程4x＋2（20－x）＝64，求出x的值，即小汽车的数量。 变式训练：父亲今年32岁，儿子今年5岁，几年以后，父亲的年龄正好是儿子的4倍？（列方程解答） 类型9 列方程解含有两个未知数的问题： 典型例题9：李阿姨买了橘子和香蕉各1千克，共花了7.2元。如果香蕉的价钱是橘子的2倍，每千克香蕉多少元？（列方程求解） 【分析】设每千克橘子x元，则每千克香蕉2x元，根据等量关系：“1千克橘子的钱数＋1千克香蕉的钱数＝7.2元”列方程解答求出1千克橘子的钱数，再乘2就是1千克香蕉的钱数。 变式训练：学校买来科技书和故事书一共128本，故事书是科技书的3倍，学校买来的科技书和故事书各有多少本？（列方程解答） 类型10 列方程解稍复杂的实际问题： 典型例题10：把一根长90米的绳子分成三段，使第一段比第二段长2米，第二段比第三段长5米。三段绳子各长多少米？ 【分析】可以设第三段长为x米，第二段比第三段长5米，则第二段长是（x＋5）米；第一段比第二段长2米，则第二段的长度＋2即可求出第一段长，第一段长：（x＋5＋2）米，把三段相加就是这根绳子的长度90米，据此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。 变式训练：今年爷爷的年龄是小李的5倍，小李发现，12年之后，爷爷的年龄将是他的3倍，今年小李的年龄是多少？ A夯实基础 1．图书馆里有300本故事书，比漫画书的3倍多28本，下列等量关系错误的是（    ）。 A．漫画书的本数×3＝300本－28本 B．漫画书的本数×3＋28本＝300本 C．300本－漫画书的本数×3＝28本 D．300本÷3－28本＝漫画书的本数 2．四年级有a名男生，男生比女生少5人，四年级共有（    ）人。 A． B． C． D． 3．奇思每天做50道题，妙想每天比奇思多做n道题，妙想一周（7天）比奇思多做（    ）道题。 A．350 B．7n＋50 C．7n＋350 D．7n 4．小红今年a岁，妈妈今年岁，10年后母女年龄相差( )岁。 5．小明看一本210页的故事书，每天看x页，看了一周后还剩( )页。当x＝20时，还剩( )页。 6．可可今年8岁，妈妈今年34岁，n年后妈妈比可可大( )岁，此时可可( )岁。 B培优拔高 7．妈妈去菜市场买菜，买西红柿花了8.5元，又买了木耳，买木耳花的钱数比买西红柿花的钱数的3倍少2元。买木耳花了多少元？（用方程解答） 8．学校采购课桌椅，桌子每张100元，买了1张桌子和5把同样的椅子，总共花了300元。每把椅子多少元？（列方程解） 9．市少年宫举办活动，参加绘画活动的学生有408人，比参加书法活动学生人数的3倍少6人。参加书法活动的学生有多少人？（列方程解答） 10．学校举行“古诗词经典诵读打卡”活动，奇思获得了90积分，比笑笑获得的2倍少54积分，笑笑获得了多少积分？（列方程解答） 11．据调查，2025年初惠州户籍人口大约有432万人，比博罗县的4倍还多40万人，博罗县的户籍人口大约有多少万人？（用方程解答） C思维拓展 12．高度适宜的书桌对孩子养成良好的体姿很重要。科学研究发现，学生身高大约比书桌高度的3倍少40厘米时最适合学生良好体姿的形成。身高为155厘米的学生，最适宜的书桌高度是多少厘米？（列方程解答） 13．某小学开展“童心向党 幸福成长”主题活动，收到了150件书法作品，比手工作品的2倍少10件。收到手工作品多少件？（先写等量关系式，再列方程解答） 14．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行。中国代表团共获得40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的好成绩，中国代表团获得的金牌数比法国代表团获得的金牌数的3倍少8枚，法国代表团获得多少枚金牌？ 15．科技创奇迹。港珠澳大桥全长55千米，是全球最长的跨海大桥，被誉为“新世界七大奇迹”之一，它的长度比欧洲厄勒海峡大桥的3倍还多7千米。厄勒海峡大桥的长度是多少千米？（列方程解答） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 认识方程 1.方程的核心概念理解： ----明确方程的定义（含有未知数的等式），能区分方程与等式、代数式，抓住“未知数”和“等式”两大核心特征。 2.等式的性质运用： ----掌握等式两边同时加、减、乘同一个数（0除外），或除以同一个不为0的数，等式仍成立的性质，为解方程奠定基础。 3.解方程的步骤与要求： ----遵循“等式性质”逐步化简，步骤清晰（如移项变号），解完后代入原方程检验，确保结果正确，规范书写解方程过程。 4.列方程解决问题的核心步骤： ----先找等量关系（关键），再设未知数（优先设所求量），根据等量关系列方程，解方程并检验，灵活应对和倍、差倍、相遇等实际问题。 5.未知数的设元技巧： ----直接设元：所求量明确时直接设为x；间接设元：所求量不便于直接表示时，设关键中间量为x，再通过关系式表示所求量。 类型1 用字母表示数、数量关系解决问题： 典型例题1：一个三位数，它的百位上的数字是c，十位上的数字是a，个位上的数字是b。这个三位数怎样表示？ 【答案】 【分析】利用整数的数位上数字的意义直接写出即可：百位上的数字是c，表示的数是100c，十位上的数字是a，表示数是10a，个位上的数字是b，表示数是b。据此解答。 【详解】 答：这个三位数是。 变式训练：某希望小学四（1）班共有46名学生，四（2）班比四（1）班多名学生，四（3）班比四（2）班少名学生。 （1）四（2）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （2）四（3）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （3）当，时，四（3）班有多少名学生？ 【答案】（1）46＋x （2）46＋x－a （3）48名 【分析】（1） 已知四（1）班共有46名学生，四（2）班比四（1）班多x名学生， 那么四（2）班的学生人数为四（1）班的人数加上多的人数，即（46＋x） 名。 （2） 因为四（3）班比四（2）班少a名学生，四（2）班有（46＋x）名学生，所以四（3）班的学生人数为四（2）班的人数减去少的人数，即（46＋x−a）名。 （3）把x＝3， a＝1代入 即可解答。 【详解】（1）四（2）班有（46＋x）人； （2）四（3）班有（46＋x－a）人； （3）当x＝3，a＝1时； 46＋3－1 ＝49－1 ＝48（名） 答：四（3）班有48名学生。 类型2 含有字母式子的化简和求值解决问题： 典型例题2：利民超市运来20箱牛奶，每箱a瓶，又运来b箱可乐，每箱12瓶。 （1）用含有字母的式子表示超市里一共运来了多少瓶牛奶和可乐？ （2）当a＝24，b＝13时，超市一共运来牛奶和可乐多少瓶？ 【答案】（1）（20a＋12b）瓶 （2）636瓶 【分析】（1）每箱牛奶的瓶数乘运来牛奶的箱数等于运来牛奶的瓶数，每箱可乐的瓶数乘运来可乐的箱数等于运来可乐的瓶数，然后把牛奶的瓶数和可乐的瓶数相加，即等于总共运来牛奶和可乐的瓶数。 （2）把a＝24，b＝13代入（1）式中计算即可解答。 【详解】（1）a×20＋12×b＝（20a＋12b）瓶 答：超市里一共运来了（20a＋12b）瓶牛奶和可乐。 （2）当a＝24，b＝13时 20×24＋12×13 ＝480＋156 ＝636（瓶） 答：超市一共运来牛奶和可乐636瓶。 变式训练：坪房小学开展“废品回收助力环保”活动。六一中队45名同学回收塑料瓶，每人回收a个。 （1）用含有字母的式子表示这个中队回收塑料瓶的总个数。 （2）根据这个式子，当a＝30时，这个中队共回收了多少个塑料瓶？ 【答案】（1）45a个 （2）1350个 【分析】（1）根据乘法的意义，用每人回收的个数乘这个中队的人数，即可表示这个中队回收塑料瓶的总个数。 （2）把a＝30代入（1）所得的式子中计算，即可求值。 【详解】（1）通过分析可得：这个中队回收塑料瓶的总个数是45a个。 （2）当a＝30时，45a＝45×30＝1350（个）。 答：这个中队共回收了1350个塑料瓶。 类型3 等式的性质1解决问题： 典型例题3：买1把茶壶比买6只茶杯贵19.4元，每只茶杯8.7元，每把茶壶多少元？（用方程解） 【答案】71.6元 【分析】由题意可得等量关系：每把茶壶的钱数－每只茶杯的钱数×6＝19.4元。设每把茶壶x元，根据等量关系列出方程，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】解：设每把茶壶x元。 x－8.7×6＝19.4 x－52.2＝19.4 x－52.2＋52.2＝19.4＋52.2 x＝71.6 答：每把茶壶71.6元。 【点睛】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出等量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 变式训练：一头大象的质量是5.95吨，一头牛比这头大象轻5.26吨。这头牛重多少吨？（写出等量关系，再列方程解答） 【答案】0.69吨（等量关系见详解） 【分析】根据题意可知，一头牛的质量＋牛比大象轻的质量＝一头大象的质量，设一头牛的重x吨，根据等量关系式列方程解答即可。 【详解】一头牛的质量＋牛比大象轻的质量＝一头大象的质量 解：设一头牛的重x吨。 x＋5.26＝5.95 x＋5.26－5.26＝5.95－5.26 x＝0.69 答：这头牛重0.69吨。 【点睛】找出等量关系式是解答本题的关键。 类型4 等式的性质2解决问题： 典型例题4：学校组织春游，一共用了10辆车，大客车每辆坐64人，小客车每辆坐48人，大客车比小客车一共多坐了192人。大、小客车各有几辆？（用方程解答） 【答案】6辆；4辆 【分析】先设大客车的数量为未知数，用总车辆数－大客车的数量表示小客车数量，再根据大客车比小客车多坐的人数列出方程，解方程求出大客车数量，最后求出小客车数量。 【详解】解：设大客车有x辆，则小客车有辆。                           小客车：（辆） 答：大客车有6辆，小客车有4辆。 【点睛】根据题目中的等量关系，代入未知数列出方程并解方程。 变式训练：为了制作火山爆发的模型，李老师准备了小苏打、红墨水和水等混合物600毫升。这些混合物刚好倒满8个同样的玻璃瓶，每个玻璃瓶的容积是多少毫升？（列方程解答） 【答案】75毫升 【分析】根据题意可知，玻璃瓶的数量×每个玻璃瓶的容积＝600毫升，设每个玻璃瓶的容积是x毫升，列方程并求解。 【详解】解：设每个玻璃瓶的容积是x毫升。                   答：每个玻璃瓶的容积是75毫升。 类型5 应用等式的性质1和2解方程： 典型例题5：甲、乙两地相距400千米，A、B两车分别同时从甲、乙两地相对开出，2小时后两车相距40千米。已知A车每时行100千米，B车每时行多少千米？（两车未相遇，用方程解答） 【答案】80千米 【分析】甲、乙两地相距400千米，A、B两车分别同时从甲、乙两地相对开出，2小时后两车相距40千米，已知A车每时行100千米，写出数量关系：A、B两车的速度和×行驶时间＝400-40，设B车每小时行x千米，据此列出方程并求解即可。 【详解】解：设B车每时行x千米。 答：B车每时行80千米。 变式训练：宇宙是包括地球及其他一切天体的无限空间，是一切物质及其存在形式的总体。据科学家推算，宇宙的年龄大约是138亿年，比太阳年龄的3倍少12亿年。太阳的年龄大约是多少亿年？（用方程解）。 【答案】50亿年 【分析】宇宙的年龄大约是138亿年，比太阳年龄的3倍少12亿年，写出数量关系：太阳的年龄×3-12＝宇宙的年龄，设太阳的年龄为x亿年，根据数量关系列出方程再求解即可。 【详解】解：设太阳的年龄大约是x亿年。 答：太阳的年龄大约是50亿年。 类型6 解含括号的方程： 典型例题6：一辆客车和一辆货车同时从相距650千米的甲、乙两地相对开出，5小时后相遇。已知客车平均每小时行驶60千米，则货车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】70千米 【分析】根据题意“速度×时间＝路程”可得出等量关系：（客车的速度＋货车的速度）×相遇时间＝甲、乙两地的距离，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设货车平均每小时行驶千米。 （60＋）×5＝650 （60＋）×5÷5＝650÷5 60＋＝130 60＋－60＝130－60 ＝70 答：货车平均每小时行驶70千米。 变式训练：为了节约用水，国家实行阶梯水价。每月用水量在15吨及以下的部分，每吨0.6元：超过15吨但不超过20吨的部分，每吨1.4元；超过20吨的部分，每吨2元。上个月笑笑家缴了54元水费，笑笑家上个月用了多少吨水？（用方程求解） 【答案】39吨 【分析】当用水量在15吨时，15×0.6＝9（元）；当用水量在20吨时，9＋（20－15）×1.4＝16（元）；可知：笑笑家上个月用水量超过了20吨，设笑笑家上个月用了x吨水，用20吨水的金额加上（x－20）×2的积等于54，据此列出方程解答即可。 【详解】解：设笑笑家上个月用了x吨水。 15×0.6＋（20－15）×1.4 ＝9＋5×1.4 ＝16（元） 16＜54 16＋（x－20）×2＝54 （x－20）×2＝54－16 （x－20）×2＝38 x－20＝38÷2 x－20＝19 x＝19＋20 x＝39 答：笑笑家上个月用了39吨水。 【点睛】本题考查的是列方程解决问题，关键是找到等量关系式。 类型7 解等号两边都有未知数的方程： 典型例题7：淘气有230元零花钱，笑笑有310元零花钱。从这个月开始，淘气每个月攒20元，笑笑每个月攒15元。淘气几个月后的零花钱能和笑笑一样多？ 【答案】16个月 【分析】假设淘气x月后的零花钱能和笑笑一样多，可知淘气攒了20x元，再加上淘气本来的零花钱数，淘气一共有（230＋20x）元。同样的，笑笑攒了15x元，再加上笑笑本来的零花钱数，笑笑一共有（310＋15x）元。据此列出方程为230＋20x＝310＋15x，再解方程即可。 【详解】解：设淘气x月后的零花钱能和笑笑一样多。 230＋20x＝310＋15x 230＋20x－230＝310＋15x－230 20x＝80＋15x 20x－15x＝80＋15x－15x 5x＝80 5x÷5＝80÷5 x＝16 答：淘气16月后的零花钱能和笑笑一样多。 变式训练：贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 【答案】10天 【分析】根据题意可知数量关系为：贝贝已做的120个＋贝贝再做的个数＝丽丽已做的150个＋丽丽再做的个数，并设x天后两人做的兰花数量同样多；根据每天做的个数×做的天数＝再做的个数，分别表示出贝贝再做的个数是15x个，丽丽再做的个数是12x个；根据数量关系列出方程，再根据等式的性质（一）（二）及乘法分配律解方程即可。据此解答。 【详解】解：设x天后两人做的兰花数量同样多； 120＋15x＝150＋12x 120＋15x－120＝150＋12x－120 15x＝150－120＋12x 15x＝30＋12x 15x－12x＝30＋12x－12x （15－12）x＝30 3x＝30 3x÷3＝30÷3 x＝10 答：10天后两人做的兰花数量同样多。 【点睛】本题首先要抓住“多少天后两人做的兰花数量同样多”找到等量关系；解方程时，要根据等式的性质把方程两边的数字和未知数分别合并到一起，再根据乘法分配律把两个未知数变成一个未知数，从而把复杂的方程逐步变得简单。 类型8 列方程解含有一个未知数的问题： 典型例题8：停车场有小汽车（四轮）和摩托车（两轮）共20辆，两种车共有64个轮子。停车场有小汽车多少辆？ 【答案】12辆 【分析】已知小汽车和摩托车的总数是20辆，设小汽车的数量为x辆，则摩托车的数量为（20－x）辆。小汽车每辆4个轮子，轮子总数为4x；摩托车每辆2个轮子，轮子总数为2（20－x）；总轮子数是64。根据小汽车的轮子总数＋摩托车的轮子总数＝总轮子数，列出方程4x＋2（20－x）＝64，求出x的值，即小汽车的数量。 【详解】解：设小汽车的数量为x辆，则摩托车的数量为（20 － x）辆。 4x＋2（20－x）＝64 4x＋40－2x＝64 2x＋40＝64 2x＋40－40＝64－40 2x＝24 2x÷2＝24÷2 x＝12 答：停车场有小汽车12辆。 变式训练：父亲今年32岁，儿子今年5岁，几年以后，父亲的年龄正好是儿子的4倍？（列方程解答） 【答案】4年 【分析】设x年后父亲的年龄正好是儿子的4倍，x年后儿子是（x＋5）岁，父亲的年龄是（32＋x）岁，根据等量关系：“x年后儿子的年龄×4＝x年后父亲的年龄”列方程解答即可。 【详解】解：设x年后父亲的年龄正好是儿子的4倍。 （x＋5）×4＝32＋x 4x＋20＝32＋x 4x＋20－x＝32＋x－x 3x＋20＝32 3x＋20－20＝32－20 3x＝12 x＝12÷3 x＝4 答：4年后父亲的年龄正好是儿子的4倍。 类型9 列方程解含有两个未知数的问题： 典型例题9：李阿姨买了橘子和香蕉各1千克，共花了7.2元。如果香蕉的价钱是橘子的2倍，每千克香蕉多少元？（列方程求解） 【答案】4.8元 【分析】设每千克橘子x元，则每千克香蕉2x元，根据等量关系：“1千克橘子的钱数＋1千克香蕉的钱数＝7.2元”列方程解答求出1千克橘子的钱数，再乘2就是1千克香蕉的钱数。 【详解】解：设每千克橘子x元。 2x＋x＝7.2 3x＝7.2 3x÷3＝7.2÷3 x＝2.4 2.4×2＝4.8（元） 答：每千克香蕉4.8元。 变式训练：学校买来科技书和故事书一共128本，故事书是科技书的3倍，学校买来的科技书和故事书各有多少本？（列方程解答） 【答案】32本；96本 【分析】设科技书有x本，故事书有3x本，根据科技书的本数＋故事书的本数＝128本，列方程解答。 【详解】解：设科技书有x本。 x＋3x＝128 4x＝128 4x÷4＝128÷4 x＝32 32×3＝96（本） 答：学校买来的科技书有32本，故事书有96本。 类型10 列方程解稍复杂的实际问题： 典型例题10：把一根长90米的绳子分成三段，使第一段比第二段长2米，第二段比第三段长5米。三段绳子各长多少米？ 【答案】第三段：26米；第二段：31米；第一段：33米 【分析】可以设第三段长为x米，第二段比第三段长5米，则第二段长是（x＋5）米；第一段比第二段长2米，则第二段的长度＋2即可求出第一段长，第一段长：（x＋5＋2）米，把三段相加就是这根绳子的长度90米，据此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】解：设第三段长x米，则第二段长是（x＋5）米，第一段长是（x＋5＋2）米。 x＋（x＋5）＋（x＋5＋2）＝90 x＋x＋5＋x＋7＝90 3x＋12＝90 3x＋12－12＝90－12 3x＝78 3x÷3＝78÷3 x＝26 26＋5＝31（米） 31＋2＝33（米） 答：第三段绳子长26米，第二段绳子长31米，第一段绳子长33米。 变式训练：今年爷爷的年龄是小李的5倍，小李发现，12年之后，爷爷的年龄将是他的3倍，今年小李的年龄是多少？ 【答案】12岁 【分析】假设现在小李的年龄是x岁，现在爷爷就是5x岁，12年后小李是（x＋12）岁，爷爷是（5x＋12）岁，再根据数量关系“12年后爷爷的年龄＝小李的年龄×3”列出方程并解答。 【详解】解：设今年小李x岁，那么今年爷爷5x岁。 5x＋12＝3（x＋12） 5x＋12＝3x＋36 5x－3x＝36－12 2x＝24 x＝12 答：今年小李的年龄是12岁。 【点睛】找出等量关系：“12年后爷爷的年龄＝小李的年龄×3”是列方程解题的关键。 A夯实基础 1．图书馆里有300本故事书，比漫画书的3倍多28本，下列等量关系错误的是（    ）。 A．漫画书的本数×3＝300本－28本 B．漫画书的本数×3＋28本＝300本 C．300本－漫画书的本数×3＝28本 D．300本÷3－28本＝漫画书的本数 【答案】D 【分析】根据题目中故事书和漫画书数量的关系，逐一分析每个选项是否符合该关系。 【详解】A．已知故事书比漫画书的3倍多28本，那么漫画书的3倍就等于故事书的本数减去28本，即漫画书的本数×3＝300本 － 28本，该选项正确。 B．因为题目明确说故事书比漫画书的3倍多28本，所以漫画书的本数×3＋28本＝300本，该选项正确。 C．由故事书比漫画书的3倍多28本，可变形为300本－漫画书的本数×3＝28本，该选项正确。 D．根据前面的数量关系，漫画书的本数应该是（300本－28本）÷3，而不是300本÷3－28本，该选项错误。 所以，等量关系错误的是D选项。 故答案为：D 2．四年级有a名男生，男生比女生少5人，四年级共有（    ）人。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题干信息可知女生比男生多5人，a加5即为女生人数，最后把男生与女生人数相加即可。 【详解】四年级共有（a＋5）＋a人。 故答案为：C 3．奇思每天做50道题，妙想每天比奇思多做n道题，妙想一周（7天）比奇思多做（    ）道题。 A．350 B．7n＋50 C．7n＋350 D．7n 【答案】D 【分析】用妙想每天比奇思多做的题数，乘7即可解答。 【详解】n×7＝7n（道） 所以妙想一周（7天）比奇思多做7n道题。 故答案为：D 4．小红今年a岁，妈妈今年岁，10年后母女年龄相差( )岁。 【答案】25 【分析】年龄差是一个不变的量，所以今年的年龄差就是10年后的年龄差，据此解答即可。 【详解】a＋25－a＝25（岁） 所以小红今年a岁，妈妈今年岁，10年后母女年龄相差25岁。 5．小明看一本210页的故事书，每天看x页，看了一周后还剩( )页。当x＝20时，还剩( )页。 【答案】 210－7x 70 【分析】一周有7天，每天看x页，一周看的页数是7×x＝7x页，总页数是210页，所以剩下的页数为总页数减去已看页数，即（210－7x）页，将x＝20代入前面的式子求解即可。。 【详解】7×x＝7x（页） 还剩的页数：（210－7x）页 当x＝20时，210－7×20＝210－140＝70（页） 因此，小明看一本210页的故事书，每天看x页，看了一周后还剩（210－7x）页。当x＝20时，还剩70页。 6．可可今年8岁，妈妈今年34岁，n年后妈妈比可可大( )岁，此时可可( )岁。 【答案】 26 n＋8 【分析】先用妈妈今年的岁数减去可可今年的岁数，即可算出妈妈比可可大多少岁，这个差距不会随着可可长大而变化，两人之间岁数差一直都会是这个值；n年后可可岁数是（n＋8）岁。据此解答。 【详解】34－8＝26（岁） n年后可可岁数：（n＋8）岁 可可今年8岁，妈妈今年34岁，n年后妈妈比可可大26岁，此时可可（n＋8）岁。 B培优拔高 7．妈妈去菜市场买菜，买西红柿花了8.5元，又买了木耳，买木耳花的钱数比买西红柿花的钱数的3倍少2元。买木耳花了多少元？（用方程解答） 【答案】 23.5元 【分析】根据题意，已知妈妈买西红柿花了8.5元，买木耳花的钱数比买西红柿花的钱数的3倍少2元。列出等量关系为：西红柿花的钱数×3－木耳花的钱数＝2，设买木耳花的钱数为未知数，列方程解方程即可。 【详解】解：设买木耳花了x元。 8.5×3－x＝2 25.5－x＝2 x＝25.5－2 x＝23.5 答：买木耳花了23.5元。 8．学校采购课桌椅，桌子每张100元，买了1张桌子和5把同样的椅子，总共花了300元。每把椅子多少元？（列方程解） 【答案】40元 【分析】先设每把椅子x元。已知桌子每张100元，买了1张桌子和5把椅子，总共花了300元。因为5把椅子的总价是5x元，桌子价格是100元。然后根据桌子的价格加上椅子的总价等于总共花费的钱数这个等量关系来列方程求解。 【详解】解：设每把椅子x元。 100＋5x＝300 100＋5x－100＝300－100 5x＝200 5x÷5＝200÷5 x＝40 答：每把椅子40元。 9．市少年宫举办活动，参加绘画活动的学生有408人，比参加书法活动学生人数的3倍少6人。参加书法活动的学生有多少人？（列方程解答） 【答案】138人 【分析】等量关系为书法活动学生人数×3－6＝绘画活动学生人数，设书法活动学生人数为x，据此列出方程，再根据等式性质1和2解方程即可。 【详解】解：设书法活动学生人数为x。 3x－6＝408 3x－6＋6＝408＋6 3x＝414 x＝138 答：参加书法活动的学生有138人。 10．学校举行“古诗词经典诵读打卡”活动，奇思获得了90积分，比笑笑获得的2倍少54积分，笑笑获得了多少积分？（列方程解答） 【答案】72分 【分析】奇思获得的积分比笑笑获得的2倍少54积分，那么笑笑积分的2倍减去54分就等于奇思的积分，设笑笑获得的积分为x分，根据等量关系式列式解答。 【详解】解：设笑笑获得的积分为x分。 2x－54＝90 2x－54＋54＝90＋54 2x＝144 2x÷2＝144÷2 x＝72 答：笑笑获得的积分是72分。 11．据调查，2025年初惠州户籍人口大约有432万人，比博罗县的4倍还多40万人，博罗县的户籍人口大约有多少万人？（用方程解答） 【答案】98万人 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法计算；那么用博罗县的户籍人口数乘4可以计算出博罗县的4倍是多少万人，再加上40万人可以计算出2025年初惠州户籍人口数；以此列出数量关系：博罗县的户籍人口数×4＋40＝2025年初惠州户籍人口数，将博罗县的户籍人口数设为x万人，列出方程：4x＋40＝432，再运用等式的性质解方程，等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；据此解答。 【详解】解：设博罗县的户籍人口大约有x万人。 4x＋40＝432 4x＋40－40＝432－40 4x＝392 4x÷4＝392÷4 x＝98 答：博罗县的户籍人口大约有98万人。 C思维拓展 12．高度适宜的书桌对孩子养成良好的体姿很重要。科学研究发现，学生身高大约比书桌高度的3倍少40厘米时最适合学生良好体姿的形成。身高为155厘米的学生，最适宜的书桌高度是多少厘米？（列方程解答） 【答案】 65厘米 【分析】根据题意，学生身高等于书桌高度的3倍减去40厘米。设书桌高度为未知数，建立方程并求解。 【详解】解：设最适宜的书桌高度是x厘米。 3x－40＝155 3x＝155＋40 3x＝195 x＝195÷3 x＝65 答：最适宜的书桌高度是65厘米。 13．某小学开展“童心向党 幸福成长”主题活动，收到了150件书法作品，比手工作品的2倍少10件。收到手工作品多少件？（先写等量关系式，再列方程解答） 【答案】手工作品的件数×2－10＝书法作品的件数；80件 【分析】书法作品的件数等于手工作品件数的2倍少10 件，所以用手工作品的件数乘2再减去少的10件即为书法作品的件数，据此写出等量关系，我们设手工作品的件数为未知数，根据这个等量关系列出方程求解。 【详解】等量关系式：手工作品的件数×2－10＝书法作品的件数。 解：设收到手工作品x件。 2x－10＝150 2x－10＋10＝150＋10 2x＝160 2x÷2＝160÷2 x＝80 答：收到手工作品80件。 14．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行。中国代表团共获得40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的好成绩，中国代表团获得的金牌数比法国代表团获得的金牌数的3倍少8枚，法国代表团获得多少枚金牌？ 【答案】16枚 【分析】根据题意，解设法国代表团获得x枚金牌。法国代表团获得的金牌数×3－8＝中国代表团获得金牌枚数。据此列出方程。根据等式的性质1，在方程两边同时加上8。再根据等式性质2，在方程两边同时除以3，算出x是多少。 【详解】解：设法国代表团获得x枚金牌。 3x－8＝40 3x－8＋8＝40＋8 3x＝48 3x÷3＝48÷3 x＝16 答：法国代表团获得16枚金牌。 15．科技创奇迹。港珠澳大桥全长55千米，是全球最长的跨海大桥，被誉为“新世界七大奇迹”之一，它的长度比欧洲厄勒海峡大桥的3倍还多7千米。厄勒海峡大桥的长度是多少千米？（列方程解答） 【答案】 16千米 【分析】设厄勒海峡大桥的长度是x千米，根据题意可知港珠澳大桥全长是厄勒海峡大桥的3倍还多7千米，可得等量关系：厄勒海峡大桥的长度×3＋7＝港珠澳大桥全长，据此列方程解答即可。 【详解】解：设厄勒海峡大桥的长度是x千米。 3x＋7＝55 3x＋7－7＝55－7 3x＝48 3x÷3＝48÷3 x＝16 答：厄勒海峡大桥的长度是16千米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $