第二单元 认识三角形和四边形 （解决问题讲义）数学北师大版四年级下册

第二单元 认识三角形和四边形 1.三角形的特征与分类： ----知道三角形有3条边、3个角、3个顶点，具有稳定性。按角分锐角、直角、钝角三角形，按边分等腰、等边、不等边三角形，能准确分类判断。 2.三角形三边关系： ----掌握核心：三角形任意两边之和大于第三边。能据此判断三条线段能否围成三角形，解决边长取值相关问题。 3.三角形内角和： ----牢记三角形内角和是180°，能运用该性质求未知角的度数，解决角的计算相关实际问题。 4.四边形的特征与分类： ----认识四边形有4条边、4个角，掌握平行四边形、长方形、正方形的特征及关系，能区分各类四边形。 5.图形特征的实际应用： ----结合生活场景，运用三角形稳定性、四边形易变形的特点解决实际问题，能根据图形特征进行简单拼组、设计。 类型1 三角形的稳定性及应用解决问题： 典型例题1：李奶奶要给一块地围上篱笆，有下面四种方案可以选择，你建议李奶奶选择哪种方案？为什么？ 【分析】依据是三角形具有稳定性、四边形具有不稳定性，方案①②④中包含四边形，容易变形，而方案③由多个三角形组成，能保持稳固不易变形。 变式训练：台风“杜苏芮”在我国东南沿海地区造成了巨大影响。图中的防台风措施利用了什么原理？ 类型2 等腰三角形和等边三角形的认识及特征解决问题： 典型例题2：在一块长为16厘米、宽为12厘米的长方形纸板上，最多能剪出多少个腰长为4厘米的等腰直角三角形？ 【分析】16÷4＝4（个），沿着长剪，可以剪出4个边长为4厘米的正方形；12÷4＝3（个），沿着宽剪，可以剪出3个边长为4厘米的正方形；共可以剪4×3＝12（个）边长为4厘米的小正方形，每个小正方形可以剪出2个腰长为4厘米的等腰直角三角形，所以可以剪出12×2＝24（个）腰长为4厘米的等腰直角三角形。 变式训练：一根铁丝可以折成长15.4米，宽6.8米的长方形，若把它折成一个等边三角形，这个三角形的边长最长是多少？ 类型3 三角形的内角和解决问题： 典型例题3：如下图，求出∠1、∠2和∠3的度数。 【分析】直角为90°，平角为180°，三角形的内角和为180°，观察图可以发现，∠1和一个直角，另加一个25°的角和一个20°的角组成一个三角形，用三角形的内角和依次减去90°、25°、20°，即可求出∠1的度数，观察图可以发现，∠1、∠2和一个20°的角组成一个三角形，用180°依次减去∠1的度数和20°，即可求出∠2的度数。∠2和∠3组成平角，用180°减去∠2的度数，即可求出∠3的度数，据此解答即可。 变式训练：一个三角形中，两个较小角的度数和是80°，两个较大角的度数和是155°。这个三角形三个内角分别是多少度？ 类型4 三角形三边关系解决问题： 典型例题4：刘洋手里有6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 【分析】三角形任意两边之和大于第三边；从给定的六根小棒中选取三根进行组合，逐一验证这些组合是否满足三角形的三边关系。据此分析解答。 变式训练：乐乐和明明打算用木条制作一个三角形框架。他们先截出一根9厘米和一根15厘米的木条。乐乐说：“第三根木条可以是6厘米。”明明却认为：“第三根木条可以是7厘米。”你认为谁说的正确？请说明理由。 类型5 平行四边形的概念及特点解决问题： 典型例题5：一块平行四边形菜地，周长94米，长边长28米，这块平行四边形菜地的短边长多少米？ 【分析】用周长除以2，求出一条长边和一条短边的总长，再减去长边，即可求出这块平行四边形菜地的短边长多少米。 变式训练：一根60厘米长的铁丝刚好围成一个平行四边形，其中一条边长12厘米，其他三条边的长度各是多少厘米？ 类型6 梯形的概念及特点解决问题： 典型例题6：数一数，图中有多少个梯形？ 【分析】梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形；根据梯形的定义可以分类去数，先数单个的，有AGHE、EHKD、BGHF、FHKC共4个；再数由两个单个的合起来的，有AGKD、BGKC、ABFE、EFCD共4个；接着数由三个单个的合起来的，没有；最后数由四个单个的合起来的有ABCD共1个，然后将所有的加起来即可，据此作答。 变式训练：一个平行四边形的一条边缩短12厘米，就成了一个梯形，且这个梯形下底是上底的4倍。它的上、下底分别是多少厘米？ 类型7 直角梯形和等腰梯形的概念及特点解决问题： 典型例题7：一块等腰梯形的菜地，它的上底长10米，下底长16米，腰比上底长4米，这块菜地的周长是多少米？ 【分析】根据“一块等腰梯形的菜地，它的上底长10米，下底长16米，腰比上底长4米”可知，用上底的长度加上4米，求出梯形菜地腰的长度，再把梯形菜地的四条边的长度相加，即可求出这块菜地的周长是多少米。 变式训练：一根铁丝正好可以围成一个边长是9厘米的正方形，改围成一个等腰梯形（铁丝两端端点相连），上底是8厘米，下底是16厘米，它的一条腰长是多少厘米？（写出简单的计算过程） 类型8 四边形的分类及关系解决问题： 典型例题8：用A代表四边形、B代表平行四边形、C代表长方形、D代表正方形、E代表梯形、F代表等腰梯形、G代表直角梯形，请将字母A到G填入下图合适的位置。 【分析】（1）四边形的定义，在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做四边形，四边形有长方形、正方形、平行四边形、梯形。 （2）长方形的特征：对边平行且相等，邻边互相垂直，4个角都是直角，有2条对称轴；正方形的特征：对边平行且相等，邻边互相垂直且相等，4条边相等，4个角都是直角，有4条对称轴；平行四边形的特征：对边平行且相等，没有对称轴；梯形的特征：只有一组对边平行，直角梯形有2个直角，等腰梯形有1条对称轴。 变式训练：卡片上分别画着三角形，平行四边形，梯形，正方形，长方形，要拿掉一张卡片，保证从剩下的卡片里面随机抽一样一定画着四边形，请问应该拿掉那张卡片? A夯实基础 1．用三根小棒围成一个三角形，前两根长分别为6cm和11cm，则第三根小棒的长度，不可能是（    ）。 A．6cm B．11cm C．15cm D．17cm 2．下面几幅图中，不能直接判断出三角形种类的是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．都不能 3．一个直角三角形中，有一个锐角是，另一个锐角的度数是（    ）。 A． B． C． D．无法判断 4．一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是( )和( )，也可能是( )和( )，按角分类这个三角形是( )三角形。 5．从3根9厘米长的小棒和3根15厘米长的小棒中选出4根围成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是( )厘米。 6．一个等腰三角形，它的一个底角是50°，它的顶角是( )°；一个等边三角形的边长是18厘米，它的周长是( )厘米。 B培优拔高 7．奇思买了一捆2.5米长的细铁丝，准备做一个等腰三角形风筝骨架。如果这个风筝有一条边是0.7米，那么风筝的另外两条边分别长多少米？（细铁丝刚好用完，写出一种情况即可） 8．把40厘米长的铁丝围成一个平行四边形，已知其中一条边长8厘米，相邻的边长多少厘米？ 9．一块三角形玻璃打碎了，较大的一块碎片如下图，打碎的角是多少度？按边分，原来这块玻璃是什么三角形？ 10．建筑中经常会应用到三角形的稳定性。下图所示的房子的正面是一个等腰三角形。这个三角形的周长是19.2米，一条腰长6.8米，底边长多少米？ 11．在一个三角形中，第一个内角是36°，第二个内角比第一个内角的3倍少15°，第三个内角的度数是多少？ C思维拓展 12．一根铁丝对折一次之后的长度是9.5厘米，现要把它围成一个等腰三角形，若接头处忽略不计，且每条边的长度都是整厘米数，则等腰三角形的腰最长可达多少厘米？最短可至多少厘米？请说明理由。 腰 9厘米 8厘米 7厘米 6厘米 5厘米 腰 9厘米 8厘米 7厘米 6厘米 5厘米 底 1厘米 3厘米 5厘米 7厘米 9厘米 13．明明把一张等边三角形的纸沿着虚线处折（如下图），已知∠2＝46°，请计算∠1和∠3分别是多少度。 14．星光小学举办了“图形大变身，智慧探世界”活动。奇思把一个边长为15厘米的正方形框架拆开后围成了一个等边三角形框架，这个等边三角形框架的边长是多少厘米？ 15．王叔叔准备用铁丝网把一块等腰三角形的菜地围起来。王叔叔量得这块菜地的两条边的长分别是5.55米和2.5米，至少需要多少米长的铁丝网？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 认识三角形和四边形 1.三角形的特征与分类： ----知道三角形有3条边、3个角、3个顶点，具有稳定性。按角分锐角、直角、钝角三角形，按边分等腰、等边、不等边三角形，能准确分类判断。 2.三角形三边关系： ----掌握核心：三角形任意两边之和大于第三边。能据此判断三条线段能否围成三角形，解决边长取值相关问题。 3.三角形内角和： ----牢记三角形内角和是180°，能运用该性质求未知角的度数，解决角的计算相关实际问题。 4.四边形的特征与分类： ----认识四边形有4条边、4个角，掌握平行四边形、长方形、正方形的特征及关系，能区分各类四边形。 5.图形特征的实际应用： ----结合生活场景，运用三角形稳定性、四边形易变形的特点解决实际问题，能根据图形特征进行简单拼组、设计。 类型1 三角形的稳定性及应用解决问题： 典型例题1：李奶奶要给一块地围上篱笆，有下面四种方案可以选择，你建议李奶奶选择哪种方案？为什么？ 【答案】我建议李奶奶选择：；理由见详解 【分析】依据是三角形具有稳定性、四边形具有不稳定性，方案①②④中包含四边形，容易变形，而方案③由多个三角形组成，能保持稳固不易变形。 【详解】应选择方案③，因为三角形具有稳定性，由三角形组成的篱笆结构比含四边形的结构更牢固。 变式训练：台风“杜苏芮”在我国东南沿海地区造成了巨大影响。图中的防台风措施利用了什么原理？ 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查的是三角形的稳定性在现实生活中的应用，支撑架、树木和大地形成了三角形，三角形具有稳定性，可以起到加固的作用，避免台风来临时行道树被台风刮倒。 【详解】三角形具有稳定性，不容易变形。 答：图中的防台风措施利用了三角形的稳定性。 类型2 等腰三角形和等边三角形的认识及特征解决问题： 典型例题2：在一块长为16厘米、宽为12厘米的长方形纸板上，最多能剪出多少个腰长为4厘米的等腰直角三角形？ 【答案】24个 【分析】16÷4＝4（个），沿着长剪，可以剪出4个边长为4厘米的正方形；12÷4＝3（个），沿着宽剪，可以剪出3个边长为4厘米的正方形；共可以剪4×3＝12（个）边长为4厘米的小正方形，每个小正方形可以剪出2个腰长为4厘米的等腰直角三角形，所以可以剪出12×2＝24（个）腰长为4厘米的等腰直角三角形。 【详解】16÷4＝4（个） 12÷4＝3（个） 4×3×2 ＝12×2 ＝24（个） 答：最多能剪出24个腰长为4厘米的等腰直角三角形。 变式训练：一根铁丝可以折成长15.4米，宽6.8米的长方形，若把它折成一个等边三角形，这个三角形的边长最长是多少？ 【答案】 14.8米 【分析】根据题意，因为这根铁丝可以折成长15.4厘米，宽6.8厘米的长方形，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出铁丝长度；由于等边三角形的三条边长度相等，而这根铁丝的长度就是等边三角形的周长，用这根铁丝的长度除以3，即可求出这个三角形的最长边长。 【详解】根据分析可知： （15.4＋6.8）×2÷3 ＝22.2×2÷3 ＝44.4÷3 ＝14.8（米） 答：这个三角形的边长最长14.8米。 类型3 三角形的内角和解决问题： 典型例题3：如下图，求出∠1、∠2和∠3的度数。 【答案】∠1为45°；∠2为115°；∠3为65° 【分析】直角为90°，平角为180°，三角形的内角和为180°，观察图可以发现，∠1和一个直角，另加一个25°的角和一个20°的角组成一个三角形，用三角形的内角和依次减去90°、25°、20°，即可求出∠1的度数，观察图可以发现，∠1、∠2和一个20°的角组成一个三角形，用180°依次减去∠1的度数和20°，即可求出∠2的度数。∠2和∠3组成平角，用180°减去∠2的度数，即可求出∠3的度数，据此解答即可。 【详解】∠1：180°－90°－25°－20°＝45° ∠2：180°－45°－20°＝115° ∠3：180°－115°＝65° 答：∠1为45°，∠2为115°，∠3为65°。 变式训练：一个三角形中，两个较小角的度数和是80°，两个较大角的度数和是155°。这个三角形三个内角分别是多少度？ 【答案】25°；55°；100° 【分析】三角形的内角和为180°，根据中间角的度数＝两个较小角的度数和＋两个较大角的度数和－180°，列式计算可求出中间角的度数，用两个较小角的度数和减去中间角的度数，求出最小角，用两个较大角的度数和减去中间角的度数，求出最大角的度数，即可解答。 【详解】中间角的度数： 80°＋155°－180°＝55° 最小角： 80°－55°＝25° 最大角： 155°－55°＝100° 答：这个三角形三个内角分别是25°，55°，100°。 类型4 三角形三边关系解决问题： 典型例题4：刘洋手里有6根小棒，长度分别是4厘米、7厘米、9厘米、13厘米、17厘米和21厘米。从中选出3根摆成三角形，可以选哪三根？写出所有满足题意的结果。 【答案】见详解 【分析】三角形任意两边之和大于第三边；从给定的六根小棒中选取三根进行组合，逐一验证这些组合是否满足三角形的三边关系。据此分析解答。 【详解】根据分析可知： 4＋7＞9，所以4厘米、7厘米和9厘米可以摆成三角形； 7＋9＞13，所以7厘米、9厘米和13厘米可以摆成三角形； 7＋13＞17，所以7厘米、13厘米和17厘米可以摆成三角形； 7＋17＞21，所以7厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 9＋13＞17，所以9厘米、13厘米和17厘米可以摆成三角形； 9＋13＞21，所以9厘米、13厘米和21厘米可以摆成三角形； 9＋17＞21，所以9厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 13＋17＞21，所以13厘米、17厘米和21厘米可以摆成三角形； 答：任选3根小棒可以摆成三角形的有：4厘米、7厘米和9厘米；7厘米、9厘米和13厘米； 7厘米、13厘米和17厘米； 7厘米、17厘米和21厘米； 9厘米、13厘米和17厘米； 9厘米、13厘米和21厘米； 9厘米、17厘米和21厘米； 13厘米、17厘米和21厘米。 变式训练：乐乐和明明打算用木条制作一个三角形框架。他们先截出一根9厘米和一根15厘米的木条。乐乐说：“第三根木条可以是6厘米。”明明却认为：“第三根木条可以是7厘米。”你认为谁说的正确？请说明理由。 【答案】明明；理由见详解 【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。据此解答。 【详解】如果第三根木条是6厘米，6＋9＝15（厘米），15厘米＝15厘米，即这三根木条无法围成三角形。所以乐乐说的错误。 如果第三根木条是7厘米，7＋9＝16（厘米），16厘米＞15厘米，即这三根木条可以围成三角形。所以明明说的正确。 答：明明说的正确，6厘米、9厘米和15厘米的三根木条无法围成三角形，7厘米、9厘米和15厘米的三根木条可以围成三角形。 类型5 平行四边形的概念及特点解决问题： 典型例题5：一块平行四边形菜地，周长94米，长边长28米，这块平行四边形菜地的短边长多少米？ 【答案】19米 【分析】用周长除以2，求出一条长边和一条短边的总长，再减去长边，即可求出这块平行四边形菜地的短边长多少米。 【详解】94÷2－28 ＝47－28 ＝19（米） 答：这块平行四边形菜地的短边长19米。 变式训练：一根60厘米长的铁丝刚好围成一个平行四边形，其中一条边长12厘米，其他三条边的长度各是多少厘米？ 【答案】12厘米；18厘米；18厘米 【分析】平行四边形两组对边分别平行且相等，一条边是12厘米，那么对边也是12厘米，再根据周长÷2－一条边长算出另一组对边长度。 【详解】60÷2＝30（厘米） 30－12＝18（厘米） 答：其他三边长分别是：12厘米、18厘米、18厘米。 类型6 梯形的概念及特点解决问题： 典型例题6：数一数，图中有多少个梯形？ 【答案】9个 【分析】梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形；根据梯形的定义可以分类去数，先数单个的，有AGHE、EHKD、BGHF、FHKC共4个；再数由两个单个的合起来的，有AGKD、BGKC、ABFE、EFCD共4个；接着数由三个单个的合起来的，没有；最后数由四个单个的合起来的有ABCD共1个，然后将所有的加起来即可，据此作答。 【详解】根据上述分析可得： 4＋4＋1 ＝8＋1 ＝9（个） 答：图中有9个梯形。 变式训练：一个平行四边形的一条边缩短12厘米，就成了一个梯形，且这个梯形下底是上底的4倍。它的上、下底分别是多少厘米？ 【答案】上底4厘米；下底16厘米 【分析】根据一个平行四边形的一条边缩短12厘米，就成了一个梯形，且这个梯形下底是上底的4倍可知，缩短的长度是梯形上底的（4－1）倍，用缩短的长度除以这个倍数即可求出梯形上底的长度，再乘4即可求出梯形下底的长度，据此解答即可。 【详解】12÷（4－1） ＝12÷3 ＝4（厘米） 4×4＝16（厘米） 答：它的上底是4厘米，下底是16厘米。 类型7 直角梯形和等腰梯形的概念及特点解决问题： 典型例题7：一块等腰梯形的菜地，它的上底长10米，下底长16米，腰比上底长4米，这块菜地的周长是多少米？ 【答案】 54米 【分析】根据“一块等腰梯形的菜地，它的上底长10米，下底长16米，腰比上底长4米”可知，用上底的长度加上4米，求出梯形菜地腰的长度，再把梯形菜地的四条边的长度相加，即可求出这块菜地的周长是多少米。 【详解】10＋4＝14（米） 10＋16＋14×2 ＝10＋16＋28 ＝26＋28 ＝54（米） 答：这块菜地的周长是54米。 变式训练：一根铁丝正好可以围成一个边长是9厘米的正方形，改围成一个等腰梯形（铁丝两端端点相连），上底是8厘米，下底是16厘米，它的一条腰长是多少厘米？（写出简单的计算过程） 【答案】6厘米 【分析】正方形的周长＝边长×4，据此求出正方形的周长，也就是等腰梯形的周长；等腰梯形两腰相等，周长指围绕物体一周的长度，那么用等腰梯形的周长依次减去上底和下底，计算出两条腰的长度，最后再除以2计算出一条腰的长度即可，据此解答。 【详解】9×4＝36（厘米） 36－8－16 ＝28－16 ＝12（厘米） 12÷2＝6（厘米） 答：它的一条腰长是6厘米。 类型8 四边形的分类及关系解决问题： 典型例题8：用A代表四边形、B代表平行四边形、C代表长方形、D代表正方形、E代表梯形、F代表等腰梯形、G代表直角梯形，请将字母A到G填入下图合适的位置。 【答案】见详解 【分析】（1）四边形的定义，在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做四边形，四边形有长方形、正方形、平行四边形、梯形。 （2）长方形的特征：对边平行且相等，邻边互相垂直，4个角都是直角，有2条对称轴；正方形的特征：对边平行且相等，邻边互相垂直且相等，4条边相等，4个角都是直角，有4条对称轴；平行四边形的特征：对边平行且相等，没有对称轴；梯形的特征：只有一组对边平行，直角梯形有2个直角，等腰梯形有1条对称轴。 （3）根据各个四边形的特征，将四边形分类如下： 【详解】根据分析填空如下： 【点睛】正确理解长方形、正方形、平行四边形、梯形等四边形的特征及分类是解答此题的关键。 变式训练：卡片上分别画着三角形，平行四边形，梯形，正方形，长方形，要拿掉一张卡片，保证从剩下的卡片里面随机抽一样一定画着四边形，请问应该拿掉那张卡片? 【答案】拿出三角形后，里面的卡片都变成了四边形了，抽出的四边形变成了一定发生的事件。 【详解】考查了判断事情的确定性和不确定性的能力． A夯实基础 1．用三根小棒围成一个三角形，前两根长分别为6cm和11cm，则第三根小棒的长度，不可能是（    ）。 A．6cm B．11cm C．15cm D．17cm 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系定理，第三边的长度必须大于两边之差且小于两边之和。已知两边为6cm和11cm，则第三边长度范围应为5cm＜第三边＜17cm。 【详解】6＋11＝17（cm） 11－6＝5（cm） 5cm＜第三边长度＜17cm 5cm＜6cm＜11cm＜15cm＜17cm 用三根小棒围成一个三角形，前两根长分别为6cm和11cm，则第三根小棒的长度，不可能是17cm。 故答案为：D 2．下面几幅图中，不能直接判断出三角形种类的是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．都不能 【答案】B 【分析】根据三角形的分类可知：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 【详解】第一幅图露出的角是钝角，一定是钝角三角形； 第二幅图露出的角是锐角，不能确定是哪种三角形，可能是直角三角形或钝角三角形或锐角三角形； 第三幅图露出的是直角，一定是直角三角形。 所以不能直接判断出三角形种类的是“2”。 故答案为：B 3．一个直角三角形中，有一个锐角是，另一个锐角的度数是（    ）。 A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形；在一个直角三角形中，已知有一个锐角是，求另一个锐角是多少度，用三角形的内角和180°依次减去90°和55°，即可解答。 【详解】180°－90°－55° ＝90°－55° ＝35° 即另一个锐角的度数是35°。 故答案为：C 4．一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是( )和( )，也可能是( )和( )，按角分类这个三角形是( )三角形。 【答案】 70° 40° 55° 55° 锐角 【分析】根据题意，等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和等于180°。题意没有说明70° 角是顶角还是底角，需分情况讨论。无论哪种情况，所有的角都是锐角，因此为锐角三角形。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 当70°为底角时： 180°－70°×2 ＝180°－140° ＝40° 此时三个角为：70°、70°、40° 当70°为顶角时： （ 180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 此时三个角分别为：70°、55°、55° 一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是70°和40°，也可能是55°和55°，按角分类这个三角形是锐角三角形。 5．从3根9厘米长的小棒和3根15厘米长的小棒中选出4根围成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是( )厘米。 【答案】48 【分析】因为平行四边形的对边相等，所以选择2根9厘米长的小棒和2根15厘米长的小棒围成一个平行四边形，平行四边形的周长等于四边的长度之和，据此列式解答。 【详解】9＋9＋15＋15 ＝18＋15＋15 ＝33＋15 ＝48（厘米） 所以，从3根9厘米长的小棒和3根15厘米长的小棒中选出4根围成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是48厘米。 6．一个等腰三角形，它的一个底角是50°，它的顶角是( )°；一个等边三角形的边长是18厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】 80 54 【分析】三角形内角和180°，等腰三角形两底角相等，顶角度数＝三角形内角和－底角度数×2；等边三角形的周长＝边长×3，据此列式计算。 【详解】180°－50°×2 ＝180°－100° ＝80° 18×3＝54（厘米） 一个等腰三角形，它的一个底角是50°，它的顶角是80°；一个等边三角形的边长是18厘米，它的周长是54厘米。 B培优拔高 7．奇思买了一捆2.5米长的细铁丝，准备做一个等腰三角形风筝骨架。如果这个风筝有一条边是0.7米，那么风筝的另外两条边分别长多少米？（细铁丝刚好用完，写出一种情况即可） 【答案】0.9米和0.9米（答案不唯一） 【分析】已知等腰三角形两腰长度相等，判断三条线段能否构成三角形需满足任意两边之和大于第三边。题目要求写出一种情况即可，假设0.7米为底边长，那么腰长计算可列式为（2.5－0.7）÷2，得到结果再验证是否可以构成三角形，据此解答即可。 【详解】（2.5－0.7）÷2 ＝1.8÷2 ＝0.9（米） 0.9＋0.7＝1.6（米），1.6＞0.9，符合两边之和大于第三边，可以构成三角形。 答：另外两条边分别长0.9米和0.9米。（答案不唯一） 8．把40厘米长的铁丝围成一个平行四边形，已知其中一条边长8厘米，相邻的边长多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】平行四边形的对边相等，则平行四边形的周长等于相邻两边长之和乘2；已知围成平行四边形的铁丝长40厘米，那么用40除以2，即可求出相邻两边长之和；又已知其中一条边长8厘米，则用求出的相邻两边长之和减去8，即求出相邻的边长多少厘米。 【详解】40÷2－8 ＝20－8 ＝12（厘米） 答：相邻的边长12厘米。 9．一块三角形玻璃打碎了，较大的一块碎片如下图，打碎的角是多少度？按边分，原来这块玻璃是什么三角形？ 【答案】50度；等腰三角形。 【分析】本题可先运用三角形内角和为180°的知识求出打碎角的度数。这里没有告诉我们边长，但是边长和角的度数相关，三个角相等对应等边三角形，两个角相等对应等腰三角形，从而判断原来这块玻璃按边分是哪种三角形。 【详解】打碎角的度数：                                 这个三角形的三个角分别为：50°、50°、80°。两个角相等对应两条边相等，所以这个三角形为等腰三角形。 答：打碎的角是50度，按边分，原来这块玻璃是等腰三角形。 10．建筑中经常会应用到三角形的稳定性。下图所示的房子的正面是一个等腰三角形。这个三角形的周长是19.2米，一条腰长6.8米，底边长多少米？ 【答案】5.6米 【分析】等腰三角形两条腰长度相等，周长减两条腰的长度等于底边的长度。据此计算。 【详解】由分析可得： 19.2－6.8－6.8 ＝12.4－6.8 ＝5.6（米） 答：底边长5.6米。 11．在一个三角形中，第一个内角是36°，第二个内角比第一个内角的3倍少15°，第三个内角的度数是多少？ 【答案】51° 【分析】根据题意，用第一个内角的度数乘3再减去15°，先求出第二个内角的度数，再根据三角形内角和是180°，用180°减去第一个、第二个内角的度数就是第三个内角的度数。 【详解】根据分析可得： 36°×3－15° ＝108°－15° ＝93° 180°－36°－93° ＝144°－93° ＝51° 答：第三个内角是51°。 C思维拓展 12．一根铁丝对折一次之后的长度是9.5厘米，现要把它围成一个等腰三角形，若接头处忽略不计，且每条边的长度都是整厘米数，则等腰三角形的腰最长可达多少厘米？最短可至多少厘米？请说明理由。 【答案】9厘米；5厘米；见详解 【分析】根据题意，对折一次分成两份，所以用对折后的长度乘2就是原来铁丝的长度。也是等腰三角形的周长。对折一次之后的长度是9.5厘米，那么围成的三角形的最长边是9厘米。等腰三角形的两腰相等。从腰长是9厘米开始，用列表的方式排列出所有的等腰三角形的情况，据此可知等腰三角形的腰最长可达多少厘米？最短可至多少厘米。 【详解】9.5×2＝19（厘米） 三角形最长的边是9厘米。那么可以围成的等腰三角形如下所示： 腰 9厘米 8厘米 7厘米 6厘米 5厘米 腰 9厘米 8厘米 7厘米 6厘米 5厘米 底 1厘米 3厘米 5厘米 7厘米 9厘米 答：等腰三角形的腰最长可达9厘米，最短可至5厘米。 13．明明把一张等边三角形的纸沿着虚线处折（如下图），已知∠2＝46°，请计算∠1和∠3分别是多少度。 【答案】∠1＝74°；∠3＝74° 【分析】三角形内角和为180°，等边三角形三个角相等，用180°÷3即可求出等边三角形每个角的度数，∠2、∠3和等边三角形其中一个角组成三角形，用180°减去等边三角形其中一个角的度数再减去∠2的度数，即可求出∠3的度数；因为是翻折下来的，所以∠1、∠2和等边三角形其中一个角组成平角，用180°减去等边三角形其中一个角的度数再减去∠2的度数，即可求出∠1的度数。 【详解】180°÷3＝60° ∠1＝180°－60°－∠2＝180°－60°－46°＝120°－46°＝74° ∠3＝180°－60°－∠2＝180°－60°－46°＝120°－46°＝74° 答：∠1＝74°，∠3＝74°。 14．星光小学举办了“图形大变身，智慧探世界”活动。奇思把一个边长为15厘米的正方形框架拆开后围成了一个等边三角形框架，这个等边三角形框架的边长是多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】根据正方形周长＝边长×4，算出这个正方形周长是多少，再根据等边三角形的三条边相等，用这个正方形的周长除以3，即可得出正确答案。 【详解】 （厘米） 答：这个等边三角形框架的边长是20厘米。 15．王叔叔准备用铁丝网把一块等腰三角形的菜地围起来。王叔叔量得这块菜地的两条边的长分别是5.55米和2.5米，至少需要多少米长的铁丝网？ 【答案】13.6米 【分析】由题意可知：有两条边相等的三角形是等腰三角形，所以三角形菜地的三边长可能是：5.55米、2.5米、2.5米，也有可能是5.55米、2.5米、5.55米，根据三角形任意两边之和大于第三边，判断哪一组是等腰三角形的三条边长，再把三条边长加起来，即可求出至少需要多少米长的铁丝网。 【详解】由分析可知： 5.55米、2.5米、2.5米，2.5＋2.5＜5.55，不能组成三角形； 5.55米、2.5米、5.55米，5.55＋2.5＞5.55，能组成三角形； 5.55＋2.5＋5.55 ＝8.05＋5.55 ＝13.6（米） 答：至少需要13.6米长的铁丝网。 1 学科网（北京）股份有限公司 $