第六单元 关系与规律 （解决问题讲义）数学北师大版三年级下册（新教材）

第六单元 关系与规律 1.数量关系的识别： ----结合实际情境，找出路程、速度、时间，单价、数量、总价等基本数量关系 2.规律的探索与发现： ----观察数列、图形等的排列特点，总结重复、递变等规律，能用语言或符号表示 3.规律的应用： ----运用发现的规律解决数字填空、图形推理、实际生活中的周期问题等 4.用字母表示数与数量关系： ----初步学会用字母表示数、运算定律和数量关系，简化表达，解决简单问题 类型1 算式的规律： 典型例题1：奇怪的142857。 计算并观察下面算式得数的特点，你能直接写出宝盒上算式的得数并找到密码吗？ _______ _______ _______ _______ ___________ _______ 算一算 _______ 【分析】分别计算出（）、（）、（）以及（）的结果，＝142857，＝285714，＝428571，＝571428；观察发现142857与自然数相乘的积都是由1、4、2、8、5、7这几个数字轮回组成的，先用自然数乘142857的个位数7确定出积的个位数字是几，几的后边的数字就轮回到积的最高位，以此类推；根据此规律，（142857×5）个位上的数是5，5后面的7就轮回到最高位上，由此得出它们的积是714285；同理求出（142857×6）的积，（142857×6）个位上的数是2，2后面的8就轮回到最高位上，由此得出它们的积是857142；再计算出（）的结果即可：999999，据此解答。 变式训练：张华编辑了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数。下面是张华的几次操作情况： ①输入4，输出9； ②输入7，输出15； ③输入13，输出27； （1）输入30，输出（    ）；输入17，输出（    ）； （2）小程序的运算规律是什么？用你的方法表示出来。 类型2 基本排列周期： 典型例题2：18．节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、……这样排下去．问： ⑴第150盏灯是什么颜色？ ⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？ 【分析】⑴街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个周期就是（盏）灯．，150盏灯刚好15个周期，所以第150盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯． ⑵如果是200盏灯，就是的周期．每个周期都有4盏蓝灯，（盏） 前200盏彩灯中有80盏蓝灯． 变式训练：美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的： ○●○○○●○○○●○○○…… 那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？ 美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？ A夯实基础 1．0.142857（142857的循环）小数部分的前2023个数字的和是（    ）。 A．7803 B．9100 C．9126 D．9127 2．甲、乙、丙、丁四人按甲2张、乙2张、丙3张、丁3张的顺序发牌，最后一张（第54张）牌发给了（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．有一列数：1，3，9，25，69，189，517…这列数从第3个数起每个数都是它前两个数的和的两倍加1。那么这列数中第2012个数除以6的余数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．算一算，并根据你发现的规律，再写一组这样的乘法算式。 2×2＝    5×5＝    6×6＝    ________ 1×3＝    4×6＝    5×7＝    ________ 5．根据前面三题的规律，直接写出最后一题的积。 88×2＝176      888×2＝1776     8888×2＝17776 888888×2＝ 6．认真观察，不用计算，根据规律直接填数。 99999÷9＝11111    199998÷9＝22222    299997÷9＝33333    ( )÷9＝55555 B培优拔高 7．一列数，前3个是1，9，9以后每个都是它前面相邻3个数字之和除以3所得的余数，求这列数中的第1999个数是几？ 8．标有A、B、C、D、E、F的6盏灯依次排成一行，每盏灯有一个开关。现在A、C、E不亮，其余3盏亮着。军军从灯A开始顺次拉动开关，即从A到F，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动1000次开关后，哪些灯亮着，哪些灯不亮？ 9．王明在计算机课上编制了一个计算小程序，如果输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数。下面是王明做的几次操作情况： ①输入5，输出14。 ②输入8，输出23。 ③输入11，输出32。 （1）输入14，输出（    ）。 （2）输入9，输出（    ）。 （3）小程序的运算规律是什么？用你的方式写出来。 10．明明在做题的时候遇到这样一组计算题：，，，他发现这是一组有规律的题，你发现其中的规律了吗？请用你喜欢的方式（画图、语言、算式）表示你找到的规律。 11．先阅读理解，再解决问题。 有这样一组有规律的算式： 第1层：； 第2层：； 第3层：； 第4层：； 第5层：； …… （1）我发现：每一层的第1个数，都正好等于（    ），像第7层的第1个数是（    ）。 （2）我发现：每层右边的数的个数等于（    ），如第7层右边一共有（    ）个数。 （3）请你列式计算出第7层等号左边数的和。 C思维拓展 12．车甫为了参加速算比赛，做了一些练习题，以下是其中几道： 23×11＝253    46×11＝506    31×11＝341 58×11＝638    45×11＝495    69×11＝759 (1)车甫通过观察以上算式及其结果后发现，一个两位数与11相乘所得的积有如下规律：首尾( )，中间( )，满十向前一位( )。 ①进一   ②不变   ③相加   ④相减 (2)通过上面发现的规律，你能直接写出下面算式的结果吗？ 52×11＝( )； 11×63＝( )； 77×11＝( )。 13．如图，一个标准时钟现在显示的时间是15点整（时针指向3），那么分针旋转2015周后，时针所指的数字是多少？ 14．如图，把16个围棋子摆成一圈，依次编为号。从第一个棋子顺时针方向前进3步，就到了第4个棋子的位置。照这样，从第1个棋子顺时针方向前进328步，从那里再逆时针方向前进485步，又顺时针方向前进136步，这时是在几号位置？ 15．双桥小学为庆祝建校30周年，在校园内挂起了一盏盏小灯，小明发现，第1盏灯是白色的，从第1盏白色的灯起，每盏白色的灯后都紧接着有3盏彩色的灯，这3盏彩色的灯按紫色、蓝色、黄色的顺序排列，那么第73盏灯是什么颜色的？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 关系与规律 1.数量关系的识别： ----结合实际情境，找出路程、速度、时间，单价、数量、总价等基本数量关系 2.规律的探索与发现： ----观察数列、图形等的排列特点，总结重复、递变等规律，能用语言或符号表示 3.规律的应用： ----运用发现的规律解决数字填空、图形推理、实际生活中的周期问题等 4.用字母表示数与数量关系： ----初步学会用字母表示数、运算定律和数量关系，简化表达，解决简单问题 类型1 算式的规律： 典型例题1：奇怪的142857。 计算并观察下面算式得数的特点，你能直接写出宝盒上算式的得数并找到密码吗？ _______ _______ _______ _______ ___________ _______ 算一算 _______ 【答案】能；见详解 【分析】分别计算出（）、（）、（）以及（）的结果，＝142857，＝285714，＝428571，＝571428；观察发现142857与自然数相乘的积都是由1、4、2、8、5、7这几个数字轮回组成的，先用自然数乘142857的个位数7确定出积的个位数字是几，几的后边的数字就轮回到积的最高位，以此类推；根据此规律，（142857×5）个位上的数是5，5后面的7就轮回到最高位上，由此得出它们的积是714285；同理求出（142857×6）的积，（142857×6）个位上的数是2，2后面的8就轮回到最高位上，由此得出它们的积是857142；再计算出（）的结果即可：999999，据此解答。 【详解】答：能直接写出宝盒上算式的得数并找到密码。 如表： 142857 285714 428571 571428 714285 857142 算一算 999999 变式训练：张华编辑了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数。下面是张华的几次操作情况： ①输入4，输出9； ②输入7，输出15； ③输入13，输出27； （1）输入30，输出（    ）；输入17，输出（    ）； （2）小程序的运算规律是什么？用你的方法表示出来。 【答案】（1）61；35 （2）输出的数＝输入的数×2＋1 【分析】（1）当输入4时，输出的是9，9＝4×2＋1；输入7时，输出的是15，15＝7×2＋1；输入13时，输出的是27，27＝13×2＋1。输入30，输出的是（30×2＋1）；输入17，输出的是17×2＋1。 （2）找出输入的数和输出的数的关系，用自己喜欢的方式表示小程序的运算规律即可。 【详解】（1） 30×2＋1 ＝60＋1 ＝61 17×2＋1 ＝34＋1 ＝35 输入30，输出61；输入17，输出35。 （2）小程序的运算规律是：任意输入一个数，输出的数是这个数的2倍加1。输出的数＝输入的数×2＋1。（答案不唯一） 类型2 基本排列周期： 典型例题2：18．节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、……这样排下去．问： ⑴第150盏灯是什么颜色？ ⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？ 【答案】（1）黄色   （2）80盏 【分析】⑴街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个周期就是（盏）灯．，150盏灯刚好15个周期，所以第150盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯． ⑵如果是200盏灯，就是的周期．每个周期都有4盏蓝灯，（盏） 前200盏彩灯中有80盏蓝灯． 【详解】⑴（盏） 150盏灯刚好15个周期，所以第150盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯． ⑵ （盏） 前200盏彩灯中有80盏蓝灯． 变式训练：美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的： ○●○○○●○○○●○○○…… 那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？ 美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？ 【答案】黑色  26个 【分析】观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子． 【详解】因为…2，所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个，即为黑色． 在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有（个） A夯实基础 1．0.142857（142857的循环）小数部分的前2023个数字的和是（    ）。 A．7803 B．9100 C．9126 D．9127 【答案】B 【分析】先将分数化为循环小数，找出循环节，再计算小数部分前2023个数字包含多少组循环节以及余下几个数字，最后求出这些数字的和。 【详解】，循环节是142857，即循环周期是6 循环节的组数和余下的数字个数： 2023÷6＝337（组）……1（个），则钱2023个数中有337组循环节和数字1。 一组循环节数字的和： 1＋4＋2＋8＋5＋7＝27 2023个数字的和： 337×27＋1 ＝9099＋1 ＝9100 所以小数部分的前2023个数字的和是9100。 故答案为：B 2．甲、乙、丙、丁四人按甲2张、乙2张、丙3张、丁3张的顺序发牌，最后一张（第54张）牌发给了（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】计算出一个周期内共发牌2＋2＋3＋3＝10张，则54张牌可以发5组，还剩4张，接着是甲2张，乙2张，因此最后一张发给了乙。 【详解】2＋2＋3＋3＝10（张） 54÷10＝5（组）……4（张） 接着是甲2张，乙2张 所以最后一张发给了乙。 故答案选：B 3．有一列数：1，3，9，25，69，189，517…这列数从第3个数起每个数都是它前两个数的和的两倍加1。那么这列数中第2012个数除以6的余数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】观察数列的余数周期性，发现从第2项开始每3项重复一次余数序列3、3、1。利用周期规律计算第2012项的位置即可确定余数。 【详解】计算前几项除以6的余数： 1÷6＝0……1 3÷6＝0……3 9÷6＝1……3 25÷6＝4……1 69÷6＝11……3 189÷6＝31……3 517÷6＝86……1 余数序列为1，3，3，1，3，3，1…，从第2项起周期为3（3，3，1）。 （2012−2）÷3 ＝2010÷3 ＝670。 余数周期第0位为3，故第2012项余数为3。 故答案为：C 4．算一算，并根据你发现的规律，再写一组这样的乘法算式。 2×2＝    5×5＝    6×6＝    ________ 1×3＝    4×6＝    5×7＝    ________ 【答案】4；25；36；8×8＝64 3；24；35；7×9＝63 【分析】先根据乘法口诀求积，对比上下对应的算式，上面的算式是两个相同的数相乘，下面的算式是比这个数小1的数和比这个数大1的数相乘，通过比较结果发现规律。 【详解】根据乘法口诀“二二得四”2×2＝4，“五五二十五”5×5＝25，“六六三十六”6×6＝36。 根据乘法口诀“一三得三”1×3＝3，“四六二十四”4×6＝24，“五七三十五”5×7＝35。 上面算式：2×2＝4，下面算式：1×3＝3，4－3＝1。 上面算式：5×5＝25，下面算式：4×6＝24，25－24＝1。 上面算式：6×6＝36，下面算式：5×7＝35，36－35＝1。 规律：两个相同的数乘积，比比它小1的数和比它大1的数相乘的积多1。 那么，选择乘数8，上面的算式：8×8＝64，下面的算式：7×9＝63。（答案不唯一） 满足规律即可。 5．根据前面三题的规律，直接写出最后一题的积。 88×2＝176      888×2＝1776     8888×2＝17776 888888×2＝ 【答案】 1777776 【分析】通过观察前面三个等式，发现由n个8组成的数乘以2，所得的积是由数字1、（n－1）个7和数字6组成的数。对于888888，n＝6，因此积为1777776。 【详解】888888×2＝1777776。 6．认真观察，不用计算，根据规律直接填数。 99999÷9＝11111    199998÷9＝22222    299997÷9＝33333    ( )÷9＝55555 【答案】499995 【分析】首先观察已知算式的规律：除数都是9，第一个数99999写成099999的时候，末四位依次是9999、9998、9997…，商依次是11111、22222、33333…，商的数字相同，用10减去相同的数字可以得到被除数末位上的数，且相同的数字减去1就等于“被除数最前面那个数字”，并且发现末四位数字加上商相同的数字后等于10000，即9999＋1＝10000，9998＋2＝10000，9997＋3＝10000，最后再将它们拼在一起就可以得出，据此解答。 【详解】根据规律，要得到商为55555，，对应商的末位数字是5，因此被除数最前面的那个数字是5－1＝4，与9组合为49，得出被除数前两位，末四位应为10000－5＝9995，将两者拼在一起，即被除数是499995。 B培优拔高 7．一列数，前3个是1，9，9以后每个都是它前面相邻3个数字之和除以3所得的余数，求这列数中的第1999个数是几？ 【答案】0 【分析】根据题意，列出这个数列：1、9、9、1、1、2、1、1、1、0、2、0、2、1、0、0、1、1、2、1…易见，从第四个数开始每十三个数一个循环．由于前面还有三个数，所以需用1999减去3得再 除以13，即可得出答案． 【详解】根据题意，列出这个数列：1、9、9、1、1、2、1、1、1、0、2、0、2、1、0、0、1、1、2、1… 从第四个数开始每十三个数一个循环 （1999﹣3）÷13＝153…7 1999为循环节中的第7个，即0 答：这列数中的第1999个数是0。 8．标有A、B、C、D、E、F的6盏灯依次排成一行，每盏灯有一个开关。现在A、C、E不亮，其余3盏亮着。军军从灯A开始顺次拉动开关，即从A到F，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动1000次开关后，哪些灯亮着，哪些灯不亮？ 【答案】A，C，F亮着，B，D，E不亮 【分析】一盏灯的开关被拉动奇数次后，将改变原来的状态，即亮的变成熄的，熄的变成亮的；而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态。由此计算出拉动开关1000次后，6盏灯各被拉动开关多少次即可解答。 【详解】，意味着6盏灯从A到F被拉动166个循环后，A、B、C、D又被拉动各一次。因此，灯A，B，C，D各被拉动167次开关，灯E，F各被拉动166次开关。初始状态A、C、E不亮，B、D、F亮着，所以灯A，B，C，D改变了原来状态，灯E，F没改变原来状态。 故当军军拉动1000次后A，C，F亮，而B，D，E没亮。 【点睛】本题考查奇偶性的实际应用，利用灯的开关特点：拉动开关奇数次，改变状态；拉动开关偶数次，不改变状态即可解答。 9．王明在计算机课上编制了一个计算小程序，如果输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数。下面是王明做的几次操作情况： ①输入5，输出14。 ②输入8，输出23。 ③输入11，输出32。 （1）输入14，输出（    ）。 （2）输入9，输出（    ）。 （3）小程序的运算规律是什么？用你的方式写出来。 【答案】（1）41；（2）26；（3）见详解 【分析】①输入5，输出14，即5×3－1＝15－1＝14； ②输入8，输出23，即8×3－1＝24－1＝23； ③输入11，输出32，即11×3－1＝33－1＝32。 发现：输入数乘3减1等于输出数。据此规律计算下面的题。 【详解】（1）14×3－1＝42－1＝41，即输入14，输出41。 （2）9×3－1＝27－1＝26，即输入9，输出26。 （3）小程序的运算规律是：输入数乘3减1等于输出数。 10．明明在做题的时候遇到这样一组计算题：，，，他发现这是一组有规律的题，你发现其中的规律了吗？请用你喜欢的方式（画图、语言、算式）表示你找到的规律。 【答案】见详解 【分析】观察这组算式，第一个因数依次是61、62、63，依次增加1。第二个因数不变，都是11。积分别是671、682、693，积的百位上是6，十位上是数是第一个因数个位与十位的和，个位上的数等于第一个因数个位上的数。据此解答。 【详解】由分析得： 这组算式的规律是：第二个因数不变是11，积的百位与第一个因数的十位相等，积的个位与第一个因数个位相等，积的十位等于第一个因数百位与十位的和。（答案不唯一） 11．先阅读理解，再解决问题。 有这样一组有规律的算式： 第1层：； 第2层：； 第3层：； 第4层：； 第5层：； …… （1）我发现：每一层的第1个数，都正好等于（    ），像第7层的第1个数是（    ）。 （2）我发现：每层右边的数的个数等于（    ），如第7层右边一共有（    ）个数。 （3）请你列式计算出第7层等号左边数的和。 【答案】（1）层数的平方；49； （2）层数；7； （3）420 【分析】（1）观察算式，第1、2、3、4层的第1个数分别是1、4、9、16，也就是12、22、32、42，据此得出每一层的第1个数的规律，并按此规律得出第7层的第1个数是几。 （2）观察算式，第1、2、3、4层的右边的数的个数分别是1、2、3、4个，据此得出每层右边的数的个数的规律，并按此规律得出第7层右边数的个数。 （3）结合上面两题的规律，写出第7层的算式，并计算出得数。 【详解】（1）第1层的第1个数是1，1＝12； 第2层的第1个数是4，4＝22； 第3层的第1个数是9，9＝32； 第4层的第1个数是16，16＝42； …… 第7层的第1个数是72＝49。 我发现：每一层的第1个数，都正好等于层数的平方，像第7层的第1个数是49。 （2）我发现：每层右边的数的个数等于层数，如第7层右边一共有7个数。 （3）第7层：49＋50＋51＋52＋53＋54＋55＋56＝57＋58＋59＋60＋61＋62＋63＝420 答：第7层等号左边数的和是420。 C思维拓展 12．车甫为了参加速算比赛，做了一些练习题，以下是其中几道： 23×11＝253    46×11＝506    31×11＝341 58×11＝638    45×11＝495    69×11＝759 (1)车甫通过观察以上算式及其结果后发现，一个两位数与11相乘所得的积有如下规律：首尾( )，中间( )，满十向前一位( )。 ①进一   ②不变   ③相加   ④相减 (2)通过上面发现的规律，你能直接写出下面算式的结果吗？ 52×11＝( )； 11×63＝( )； 77×11＝( )。 【答案】(1) ② ③ ① (2) 572 693 847 【分析】（1）通过观察，从给定的算式中找出两位数与11相乘的积的规律； （2）根据发现的规律去解答后面的算式。 【详解】（1）观察 23×11＝253，这里23的首位2和末尾3在积的首位和末尾，所以首尾不变选②。 再看积的中间数字5，是23的首位2和末尾3相加得到的2＋3＝5，所以中间相加，选③。 对于46×11＝506，4＋6＝10，积的中间是0，并且向百位进了1，所以满十向前一位进一，选①。 （2）对于 52×11，按照规律，首位是5，末尾是2，中间是5＋2＝7，所以结果是572。 对于11×63，首位是6，末尾是3，中间是6＋3＝9，结果是693。 对于77×11，首位是7，末尾是7，中间是7＋7＝14，满十进一，所以结果是847。 13．如图，一个标准时钟现在显示的时间是15点整（时针指向3），那么分针旋转2015周后，时针所指的数字是多少？ 【答案】2 【分析】分针旋转一周就是1个小时，2015周就是过了2015个小时，每转动12个小时就是指向3，根据除法得出当转动2016周时，就是指向3，2015周就是往回转1周就是2。 【详解】2015÷12＝167……11 答：时针所指的数字是2。 14．如图，把16个围棋子摆成一圈，依次编为号。从第一个棋子顺时针方向前进3步，就到了第4个棋子的位置。照这样，从第1个棋子顺时针方向前进328步，从那里再逆时针方向前进485步，又顺时针方向前进136步，这时是在几号位置？ 【答案】12号 【分析】顺时针和逆时针前进比较。即从第1个棋子顺时针方向前进328步，从那里再逆时针方向前进485步，又顺时针方向前进136步，则顺时针一共走了464步，逆时针走了485步，可以得出逆时针走了21步。每16步为一个循环，即走了一圈后有从逆时针走了5步。 【详解】485－（328＋136） ＝485－464 ＝21（步） 21÷16＝1（圈）……5（步） 答：这时在12号位置。 15．双桥小学为庆祝建校30周年，在校园内挂起了一盏盏小灯，小明发现，第1盏灯是白色的，从第1盏白色的灯起，每盏白色的灯后都紧接着有3盏彩色的灯，这3盏彩色的灯按紫色、蓝色、黄色的顺序排列，那么第73盏灯是什么颜色的？ 【答案】白色 【分析】根据题意，灯是按照白色、紫色、蓝色、黄色的顺序排列的，4盏灯为一组。73÷4＝18（组）……1（盏），也就是说，第73盏灯是第19组里的第1盏灯，是白色的灯。 【详解】1＋3＝4（盏） 73÷4＝18（组）……1（盏） 答：第73盏灯是白色的。 【点睛】本题考查的是周期问题，周期问题一般利用有余数的除法解决。 1 学科网（北京）股份有限公司 $