数学好玩 有趣的推理（解决问题讲义）数学北师大版二年级下册（新教材）

数学好玩 有趣的推理 1.梳理已知条件： ----收集题目中的关键信息，明确各事物间的关联（如身份、位置、特征等） 2.选择推理方法： ----运用列表法、排除法逐步缩小范围，借助画图辅助梳理逻辑关系 3.规范推理过程： ----按条理表达推理步骤，验证结论是否符合所有已知条件，培养逻辑思维能力 类型1 简单推理解决问题： 典型例题1：数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌．老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌．”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌？ 【分析】（1）若小明得金牌，小华一定“不得金牌”，这与“老师只猜对了一个”相矛盾，不合题意． （2）若小华得金牌，那么“小明得金牌”与“小华不得金牌”这两句都是错的，那么“小强不得铜牌”应是正确的，那么小强得银牌，小明得铜牌． 变式训练：小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是战士，一位是大学生．现在知道：小李比战士年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年龄小．那么三人各是什么职业? A夯实基础 1．牛牛、虎虎、兔兔和龙龙一起下围棋，每两人都要下一局。赛后统计，龙龙三局全胜，虎虎一胜一平一负，那么兔兔最多胜了（    ）局。 A．0 B．1 C．2 D．3 2．林林、飞飞、乐乐和强强进行短跑比赛。比赛结束后，每个人都说了一句话。 林林说：“我是第二名。” 飞飞说：“强强比我高一个名次。” 乐乐说：“我是第四名。” 强强说：“乐乐不是第四名。” 已知四人中只有一人说了假话，那么第三名是（    ）。 A．林林 B．飞飞 C．乐乐 D．强强 3．下表①~⑯的方格中分别放有一张人民币（5元、10元或50元），表的合计栏是计算行或列相加的金额，则②⑤⑦⑩（    ）。 A．65元 B．75元 C．110元 D．115元 4．五支球队进行足球单循环积分赛，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分。其中四球队最终积分为1、2、5、7，那么第五支球队共积( )分。 5．围棋人机大赛，A、B、C，3名棋手分别与机器人对决，每人对决的局数都是一个相同的两位数，规定胜一局得3分，负一局扣1分，无平局。若A的胜局数是B和C胜局数的总和，且A的得分是B和C得分总和的2倍，那么每人对决的局数最多是( )局。 6．10个男孩和10个女孩手拉手围成一圈，如果让男孩和女孩之间拉着的手放开，可以分成6个小组（单人或仍在拉手的多人为一个小组）；如果女孩和女孩之间拉着的手放开，可以分成( )个小组。 B培优拔高 7．丁丁、明明和兰兰一起外出郊游，他们三人分别戴着红帽子、黄帽子和蓝帽子。丁丁没有戴黄帽子，明明既没有戴黄帽子，也没有戴蓝帽子，丁丁、明明和兰兰分别戴的是什么颜色的帽子？ 8．小王、小张和小李三个人，从事三种不同的职业：工程师、厨师、飞行员。已经知道小王比飞行员的年龄大，工程师比小张的年龄小，小王比工程师高。他们三个人分别从事什么职业？ 9．黑白团队四人互相切磋棋艺，每两个人都要PK一场。到目前为止，欧欧赛了3场，小美赛了2场，小泉赛了1场。那么，小马赛了多少场？ 10．有三个纸袋，每个袋子内都装了两个球，分别是“红、红”，“绿、绿”，“红，绿”。每个袋子外都贴了标签，但所有的标签都贴错了。你能在只打开一个袋子并从中摸出一个球来看了之后，就能将所有的标签都纠正过来吗？ 11．某里程碑的编号是一个三位数，现有五个三位数：694,956,423,594,720．其中每一个数与里程碑的编号恰好在同一位数上有一个相同的数字，问：里程碑的编号是多少？ C思维拓展 12．甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友．甲不会英文，乙不懂日语却与英国小朋友热烈交谈．问：甲、乙、丙分别是哪国的小朋友？ 13．三位同学拾到一颗晶莹剔透的小球,小陈认为不是玻璃,也不是塑料;小欣认为不是玻璃,而是钻石;小磊认为不是钻石,而是玻璃.经验证,其中一个人的判断完全错误,一个人判断完全正确,另一个人一半对一半错.那么这颗小球究竟是什么？ 14．4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少? 15．有甲、乙、丙、丁4人同住在一座4层的楼房里，他们之中有工程师、工人、教师和医生．如果已知： ①甲比乙住的楼层高，比丙住的楼层低，丁住第4层； ②医生住在教师的楼上，在工人楼下，工程师住最低层． 问：甲、乙、丙、丁各住在这座楼的几层？各自的职业是什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学好玩 有趣的推理 1.梳理已知条件： ----收集题目中的关键信息，明确各事物间的关联（如身份、位置、特征等） 2.选择推理方法： ----运用列表法、排除法逐步缩小范围，借助画图辅助梳理逻辑关系 3.规范推理过程： ----按条理表达推理步骤，验证结论是否符合所有已知条件，培养逻辑思维能力 类型1 简单推理解决问题： 典型例题1：数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌．老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌．”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌？ 【答案】小华得金牌，小强得银牌，小明得铜牌． 【详解】（1）若小明得金牌，小华一定“不得金牌”，这与“老师只猜对了一个”相矛盾，不合题意． （2）若小华得金牌，那么“小明得金牌”与“小华不得金牌”这两句都是错的，那么“小强不得铜牌”应是正确的，那么小强得银牌，小明得铜牌． 变式训练：小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是战士，一位是大学生．现在知道：小李比战士年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年龄小．那么三人各是什么职业? 【答案】小李是大学生，小王是战士，小张是工人. 【解析】略 A夯实基础 1．牛牛、虎虎、兔兔和龙龙一起下围棋，每两人都要下一局。赛后统计，龙龙三局全胜，虎虎一胜一平一负，那么兔兔最多胜了（    ）局。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】牛牛和其他三人都各下一局，同理共四人，则一共下十二局，再排除重复的，共计六局比赛。根据赛后的统计，找出一定的比赛结果，虎虎一胜一平一负有多种可能性，在各种可能情况下讨论兔兔的比赛结果，据此解答。 【详解】根据分析，六局比赛如表格所示。 龙龙胜三局及虎虎负一局都是一定的结果（黑色）见表格 （1）当第一局虎虎平，第四局虎虎胜的时候，可判断第一局牛牛一定平（绿色），第四、六局兔兔一定负（绿色），根据胜、负总场数应该相等，第二局的结果兔兔可能胜，因此该情况兔兔可能胜一局； （2）当第一局虎虎胜，第四局虎虎平的时候，可判断第一局牛牛一定负（绿色），第四局兔兔一定平（绿色），第六局兔兔一定负（绿色），根据胜、负总场数应该相等，第二局的结果兔兔可能胜，因此该情况兔兔可能胜一局； 综合比赛结果（1）（2），兔兔最多胜1局。 故答案为：B 【点睛】本题考查简单的推理。 2．林林、飞飞、乐乐和强强进行短跑比赛。比赛结束后，每个人都说了一句话。 林林说：“我是第二名。” 飞飞说：“强强比我高一个名次。” 乐乐说：“我是第四名。” 强强说：“乐乐不是第四名。” 已知四人中只有一人说了假话，那么第三名是（    ）。 A．林林 B．飞飞 C．乐乐 D．强强 【答案】D 【分析】用假设法对条件和问题进行假设和预设。假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与它相反的情况是成立的。 【详解】（1）假设林林说了假话，强强和乐乐说的都是真话，则这两个说的话相互矛盾，则不符合题意； （2）假设飞飞说了假话，强强和乐乐说的都是真话，则这两个说的话相互矛盾，则不符合题意； （3）假设乐乐说了假话，林林就是第二名，强强比飞飞高一个名次，则强强第三名，飞飞第四名，乐乐既是第一名，符合题意； （4）假设强强说了假话，林林就是第二名，乐乐既是第四名，强强和飞飞就分别可能是第一名和第三名，与强强比飞飞高一个名次相矛盾，则不符合题意 。 故答案为：D 3．下表①~⑯的方格中分别放有一张人民币（5元、10元或50元），表的合计栏是计算行或列相加的金额，则②⑤⑦⑩（    ）。 A．65元 B．75元 C．110元 D．115元 【答案】D 【分析】第一步：由20元这一列可知四张人民币一定都是5元的； 第二步：看80元这列可知四张同样的人民币的和都不可能是80元，则此列一定有一张50元的；同理第一、二行也一定有一张50元的，则可以锁定①或⑤中有一个是50元人民币。又因为80＝10×3＋50且65＝5×3＋50，那么可以推得⑤是50元人民币，80这列其他的是10元人民币； 第三步：根据⑤的人民币，以及第二行的合计，可以推得第二行的全部人民币组合。根据第一行合计与第二列合计，②和③分别是50元和10元； 第四步：第四行第一列是10元的，第四行第四列是5元的，本行合计25元，则其余两张都是5元的； 第五步：第二列已有50元、5元、5元，又因为70＝50＋10＋5×2，所以⑩是10元的； 第六步：②⑤⑦⑩分别是50元、50元、5元、10元，求和即可解答。 【详解】由第一步可知第四列从上到下依次是5元、5元、5元、5元； 由第二步可知第一列从上到下依次是10元、50元、10元、10元； 由第三步可知第二行从左到右依次是50元、5元、5元、5元；第一行从左到右依次是10元、50元、10元、5元； 由第四步可知第四行从左到右依次是10元、5元、5元、5元； 由第五步可知第二列从上到下依次是50元、5元、10元、5元，第三行第三列上是5元的； 由第六步，②⑤⑦⑩＝50＋50＋5＋10＝115（元）； 所以，②⑤⑦⑩的和是115元。 故答案为：D 【点睛】本题考查数量运算及推理解决问题。第四列有四张5元的人民币是本题的突破口。 4．五支球队进行足球单循环积分赛，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分。其中四球队最终积分为1、2、5、7，那么第五支球队共积( )分。 【答案】12 【分析】五支球队进行足球单循环积分赛，每个队伍都要进行4场比赛。第一支球队得分1分，只能是1场平局3场负局；第二支球队得分2分，只能是2场平局2场负局；第三支球队得分5分，只能是1场胜局2场平局1场负局；第四支球队得分7分，只能是2场胜局1场平局；据此即可推出第五支队伍是4场胜局。据此即可求出第五支队伍的得分为：3×4＝12（分）。 【详解】第一支球队得分1分，只能是1场平局3场负局； 第二支球队得分2分，只能是2场平局2场负局； 第三支球队得分5分，只能是1场胜局2场平局1场负局； 第四支球队得分7分，只能是2场胜局1场平局； 第五支队伍是4场胜局，得分为：3×4＝12（分） 因此第五支队伍共积12分。 5．围棋人机大赛，A、B、C，3名棋手分别与机器人对决，每人对决的局数都是一个相同的两位数，规定胜一局得3分，负一局扣1分，无平局。若A的胜局数是B和C胜局数的总和，且A的得分是B和C得分总和的2倍，那么每人对决的局数最多是( )局。 【答案】96 6．10个男孩和10个女孩手拉手围成一圈，如果让男孩和女孩之间拉着的手放开，可以分成6个小组（单人或仍在拉手的多人为一个小组）；如果女孩和女孩之间拉着的手放开，可以分成( )个小组。 【答案】7 【分析】男孩和女孩之间拉着的手放开，可以分成6个小组，则男孩和女孩之间有6个间隔，10个男孩和10个女孩手拉手围成一圈，则总间隔数是20个，总间隔数减去男女之间的间隔数等于女孩与女孩的间隔数与男孩与男孩之间间隔数的和，男生和女生人数相同，由此解答本题。 【详解】10＋10＝20（个） （20－6）÷2 ＝14÷2 ＝7（个） 则如果女孩和女孩之间拉着的手放开，可以分成7个小组。 B培优拔高 7．丁丁、明明和兰兰一起外出郊游，他们三人分别戴着红帽子、黄帽子和蓝帽子。丁丁没有戴黄帽子，明明既没有戴黄帽子，也没有戴蓝帽子，丁丁、明明和兰兰分别戴的是什么颜色的帽子？ 【答案】蓝帽子；红帽子；黄帽子 【分析】根据题干可知，明明既没有戴黄帽子，也没有戴蓝帽子，所以明明戴的是红帽子。因为丁丁没有戴黄帽子，且丁丁、明明和兰兰三人戴的帽子不一样，可知丁丁戴的是蓝帽子，兰兰戴的是黄帽子。 【详解】明明既没有戴黄帽子，也没有戴蓝帽子，所以明明戴的是红帽子。因为丁丁没有戴黄帽子，且丁丁、明明和兰兰三人戴的帽子不一样，可知丁丁戴的是蓝帽子，兰兰戴的是黄帽子。 答：丁丁、明明和兰兰分别戴的是蓝帽子、红帽子和黄帽子。 8．小王、小张和小李三个人，从事三种不同的职业：工程师、厨师、飞行员。已经知道小王比飞行员的年龄大，工程师比小张的年龄小，小王比工程师高。他们三个人分别从事什么职业？ 【答案】小王是厨师；小李是工程师；小张是飞行员 【分析】因为小王比飞行员年龄大，比工程师高，那么小王不是飞行员也不是工程师，所以小王是厨师；因为工程师比小张年龄小，所以小李是工程师，小张是飞行员。据此解答。 【详解】由小王比飞行员年龄大，比工程师高可知：小王是厨师； 由“工程师比小张年龄小”，小王是厨师，可知：小李是工程师； 由“小王是厨师，小李是工程师”可知：小张是飞行员。 答：小王是厨师；小李是工程师；小张是飞行员。 9．黑白团队四人互相切磋棋艺，每两个人都要PK一场。到目前为止，欧欧赛了3场，小美赛了2场，小泉赛了1场。那么，小马赛了多少场？ 【答案】2场 【分析】四人互相切磋棋艺，那么每个人都要和其他的3人赛一场，每人最多赛3场；欧欧赛了3场，他就和其它3人，每人赛了一场；小泉赛了一场，是和欧欧赛的；小美赛了2场，一场和欧欧比赛，剩下的一场就是和小马赛的，所以小马赛了2场。 【详解】每人最多赛3场； 欧欧赛了3场，就和小泉、小美、小马各赛了一场； 所以小泉赛了一场，是和欧欧赛的； 那么小美赛了2场，一场和欧欧比赛，剩下的一场就是和小马赛的； 所以小马赛了2场。 答：小马赛了2场。 10．有三个纸袋，每个袋子内都装了两个球，分别是“红、红”，“绿、绿”，“红，绿”。每个袋子外都贴了标签，但所有的标签都贴错了。你能在只打开一个袋子并从中摸出一个球来看了之后，就能将所有的标签都纠正过来吗？ 【答案】从贴有“1红，1绿”的盒子摸出1个球； （1）如果摸出的是红球，这盒子装的就是两个红球；则贴“两绿”标签的盒子里装的是一个红球和一个绿球，贴“两红”标签的盒子里装的是两个绿球； （2）如果摸出的是绿球，这盒子里装的就是两个绿球，则贴“两红”标签的盒子里装的是一个红球和一个绿球，贴“两绿”标签盒子里装的是两个红球。 【分析】根据题干，三个盒子外面的标签全贴错了，那么贴“1红，1绿”的盒子里，装的肯定是2个红色的，或者是装2个绿色的；抓住这个条件，从这个盒子里摸出一个球，即可得出另外两个盒子里装的是什么颜色的球。 【详解】从贴有“1红，1绿”的盒子摸出1个球； （1）如果摸出的是红球，这盒子装的就是两个红球；则贴“两绿”标签的盒子里装的是一个红球和一个绿球，贴“两红”标签的盒子里装的是两个绿球； （2）如果摸出的是绿球，这盒子里装的就是两个绿球，则贴“两红”标签的盒子里装的是一个红球和一个绿球，贴“两绿”标签盒子里装的是两个红球。 11．某里程碑的编号是一个三位数，现有五个三位数：694,956,423,594,720．其中每一个数与里程碑的编号恰好在同一位数上有一个相同的数字，问：里程碑的编号是多少？ 【答案】924 【详解】先分析五个数：最后一位为4（由694和594确认） 中间那位为2（由423和720确认） 首位为9（由956确认） C思维拓展 12．甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友．甲不会英文，乙不懂日语却与英国小朋友热烈交谈．问：甲、乙、丙分别是哪国的小朋友？ 【答案】甲是日本人，乙是中国人，丙是英国人． 【解析】略 13．三位同学拾到一颗晶莹剔透的小球,小陈认为不是玻璃,也不是塑料;小欣认为不是玻璃,而是钻石;小磊认为不是钻石,而是玻璃.经验证,其中一个人的判断完全错误,一个人判断完全正确,另一个人一半对一半错.那么这颗小球究竟是什么？ 【答案】玻璃 【详解】略 14．4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少? 【答案】4分 15．有甲、乙、丙、丁4人同住在一座4层的楼房里，他们之中有工程师、工人、教师和医生．如果已知： ①甲比乙住的楼层高，比丙住的楼层低，丁住第4层； ②医生住在教师的楼上，在工人楼下，工程师住最低层． 问：甲、乙、丙、丁各住在这座楼的几层？各自的职业是什么？ 【答案】甲是教师，住2层；乙是工程师，住1层；丙是医生，住3层；丁是工人，住4层． 【详解】试题分析：分析我们分别对本例的两个问题加以讨论 （1）由已知条件①可知，丁住在第4层，是最高层，于是甲、乙、丙只能住在1、2、3这三层之中了，因为条件①还告诉我们，“甲比乙住的高，比丙住的低“，所以甲肯定住在第二层，而丙住在第3层，乙住在第1层． （2）由条件②知道，工程师住在最低层，这说明工程师是住在第1层的．那么，医生、教师、工人一定住在2、3、4层．条件②还告诉我们：“医生住在教师的楼上”，这说明医生不是住3层就是4层．又由于“医生住在工人的楼下”，所以医生只能住在3层，工人住在第4层，教师住在第2层． 我们把（1）、（2）联系起来，就得到最后的答案． 解：根据题干分析可以得出： （1）甲住第二层，乙住第一层，丙住第三层，丁住第四层； （2）工程师住在第一层，医生住在第三层，教师住在第二层，工人住在第4层； 答：由上述推理结果可得：甲是教师，住2层；乙是工程师，住1层；丙是医生，住3层；丁是工人，住4层． 点评：问题（1）中，抓住丁住第一层，然后根据，“甲比乙住的高，比丙住的低”得出甲的楼层是第二层关键； 问题（2）中，抓住工程师住的最低，得出工程师住一层；然后根据“医生住在教师的楼上，在工人楼下”得出医生住三层是关键 1 学科网（北京）股份有限公司 $