专题16.5 一次函数与方程、不等式（举一反三讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

本讲义聚焦一次函数与方程、不等式的核心关联，系统梳理一次函数与一元一次方程（交点横坐标为解）、一元一次不等式（函数值与解集关系）、二元一次方程组（交点坐标为解）的内在逻辑，延伸至面积计算、绝对值函数、阴影区域等综合应用，构建从基础到拓展的学习支架。 资料以11个分层题型为载体，例题与变式结合，通过“数”与“形”的对比（如知识点2表格分析）培养几何直观（数学眼光），借助图象法解题（如题型3、5）发展推理能力（数学思维），融入模拟预测题强化模型意识（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固查漏，提升综合应用能力。

专题16.5 一次函数与方程、不等式（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 【题型1 由直线与坐标轴交点求一元一次方程的解】 2 【题型2 由一元一次方程的解判断直线经过的点】 4 【题型3 利用图象法求一元一次方程的解】 5 【题型4 由直线与坐标轴交点求不等式的解集】 8 【题型5 根据两条直线的交点坐标求不等式的解集】 10 【题型6 利用图象法求一元一次不等式组的解集】 12 【题型7 两直线的交点与二元一次方程组的解】 15 【题型8 利用图象法求二元一次方程组的解】 17 【题型9 直线围成的图象面积】 20 【题型10 绝对值函数与方程、不等式之间的关系】 25 【题型11 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 34 知识点1 一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可化简为的形式． （1）一元一次方程是一次函数的函数值为0时的特殊情形． （2）直线与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，即． 知识点2 一次函数与一元一次不等式 名称 叙述 从“数”上看 从“形”上看 一次函数与一元一次不等式的关系 由于任何一元一次不等式都可以转化为或 (a，b为常数，且a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围 的解集 中时x 的取值范围； 的解集 中时x 的取值范围 的解集直线位于x轴上方的部分对应的x的取值范围； 的解集直线位于x轴下方的部分对应的x的取值范围 知识点3 一次函数与二元一次方程（组）的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）． 二元一次方程组的解为两直线；和的交点坐标；反过来,两直线，和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． （1）两直线平行（无交点），方程组无解； （2）两直线交于一点，方程组有唯一解； （3）两直线重合，方程组有无数组解． 知识点4 二元一次方程组的图象解法 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：,和． （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象． （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值． 【题型1 由直线与坐标轴交点求一元一次方程的解】 【例1】直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了根据一次函数与坐标轴的交点求一元一次方程的解，根据直线与轴交于点即可得出答案． 【详解】解：直线与轴交于点， 关于的方程的解为， 故答案为：2024． 【变式1-1】已知一次函数（是常数），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 y 0 2 4 6 则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，方程的解为时函数的x的值，根据图表即可得出此方程的解． 【详解】解：根据图表可得：当时，，即时，， 因而方程的解是． 故答案为：． 【变式1-2】（2025·陕西西安·模拟预测）将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点解方程，一次函数的平移，理解函数平移的性质，两直线交点解方程的方法是关键． 根据函数图象的平移得到平移后的解析式，再根据两直线交点解方法即可． 【详解】解：直线向上平移个单位长度后的解析式为， ∴直线与直线的交点为， ∴方程的解为， 故选：B ． 【变式1-3】（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，一次函数与轴的交点问题，由直线与x轴交点的横坐标为1，得到，将代入中，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1， ∴， ∴， 将代入中，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【题型2 由一元一次方程的解判断直线经过的点】 【例2】（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 【变式2-1】若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 【变式2-2】已知关于的方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为 ． 【答案】（-5，0） 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴一次函数的图象与轴交点的坐标为（-5，0）， 故答案为：（-5，0）． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【变式2-3】若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵方程的解为x=2， ∴当x=2时mx+n=0； ∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0）， ∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0）， ∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n， ∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 【题型3 利用图象法求一元一次方程的解】 【例3】两直线和的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】根据两条直线的图象的交点来求解． 【详解】解：∵两直线和的图象相交于点，，， ∴， ∴， ∴的解是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了两条直线的交点，观察图象得到交点的坐标是解答读取v． 【变式3-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 先求出一次函数解析式，再计算时方程的解即可． 【详解】解：设直线解析式为，代入点得：， 解得， 直线解析式为， 方程转化为， 当时，， 解得． 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，已知直线，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据一次函数的图象可得当时，，由此即可得． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，， 则关于的方程的解为， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级下·湖北·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线交点求方程的解，理解图示中两直线交点的含义是关键，根据图形中两直线的交点为，由得到，即可求解． 【详解】解：直线与直线相交于点， ∴， ∵变形得，即， ∴方程的解为 故答案为： ． 【题型4 由直线与坐标轴交点求不等式的解集】 【例4】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（a、b均为常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于(或小于)0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 观察函数图象，写出函数值不小于0所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴交于点，且y随x的增大而减小， ∴不等式的解集是． 故选：B． 【变式4-1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示：那么关于x 的不等式的解集是 ． x … 0 … y … 9 7 5 3 1 … 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质和一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是先根据表格得到随的增大而减小，再根据一次函数的图象得到答案即可； 【详解】解：由表格可知：随的增大而减小， ∴， 相当于函数值大于等于7， ∴， 故答案为 【变式4-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）直线与坐标轴的两交点分别为和，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式的性质，从而完成求解． 结合题意，根据一次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到k和b的值；将k和b代入到一元一次不等式并求解，即可得到答案． 【详解】解：∵直线与坐标轴的两交点分别为和 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 【变式4-3】（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，点的坐标是，将沿轴向右平移3个单位至位置，点的对应点恰好落在直线上，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，根据题意得出点的对应点为，待定系数法求得直线解析式，进而根据，得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵点的坐标是，将沿轴向右平移3个单位至位置 ∴点的对应点为 ∵点恰好落在直线上， ∴ 解得： ∴直线 当时，即 解得： ∴当时，则的取值范围是 故答案为：． 【题型5 根据两条直线的交点坐标求不等式的解集】 【例5】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，直线与交点的横坐标为2，则以下结论正确的是（ ） A．， B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，及一次函数图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的性质． 根据一次函数的性质得到，则可对A、B选项进行判断；利用直线交点的横纵坐标满足其解析式可对C选项进行判断；结合函数图象，当时，直线在直线的上方，即，从而可对D选项进行判断． 【详解】解：直线经过第一、二、三象限，直线经过第一、三、四象限， ，所以A、B选项都不符合题意； 直线与交点的横坐标为2， 时，，所以C选项符合题意； 当时，，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【变式5-1】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）根据如图所示图象可得关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键 将不等式变形为，找出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：不等式变形为， 根据图象可得，不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 故选：B 【变式5-2】（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查由一次函数图象解不等式，由题意可知关于的不等式的解集是指一次函数图象在的图象上方部分对应的取值范围，由此可解． 【详解】解：将代入，得：， 解得， ， 由图可知，当时，的图象在图象的上方， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是两条直线相交问题，关键是掌握，当时x的取值范围等价于所对应的图像在所对应的图象上方部分图象上点的横坐标的范围． 由函数和的图象相交于，两点，根据结合图象的位置关系，即可求出x的取值范围． 【详解】解：由图象可知：当时，x的取值范围为：或． 故选：D． 【题型6 利用图象法求一元一次不等式组的解集】 【例6】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 根据得，结合直线与直线交于点，可得的值，再利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：由，得， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线与直线交于点， 又∵， ∴根据图像得：， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，直线交轴于点，直线交轴于点，这两条线相交于点，则不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，读懂图象信息是解答本题的关键． 根据图象可得，，则，，则，即可求解． 【详解】解：根据图象可得，，则，，则， ∴不等式组的解集为：， 故选：A． 【变式6-2】如图，直线与直线交于点，则不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】此题考查了利用图象法解不等式，数形结合是解题的关键．先求出直线，再求出时，，再根据直线与直线交于点，结合图象即可得到答案． 【详解】解：将代入解析式得，， 解得， ∴， 将代入解析式得， ∴， ∵直线与直线交于点， ∴不等式组的解集为． 故答案为： 【变式6-3】如图，直线与的交点的坐标为5，则关于x的不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】根据图象分别求得两个一元一次不等式的解集，即可求不等式组的解集． 【详解】解：∵直线与的交点的坐标为5， ∴由图象可知，时，解得； ∵由图象可知，随x的增大而增大， ∴ ∴时，解得； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质．解决本题的关键是掌握一次函数与一元一次不等式的关系． 【题型7 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例7】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若直线与交于点，则关于，的方程组的解是 ，的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解，明确一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴关于，的方程组的解是，的解是， ∴， 故答案为：，． 【变式7-1】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）已知方程组的解是，则直线与的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，关键是掌握二者之间的关系． 二元一次方程组的解对应的坐标就是两个一次函数图象的交点． 【详解】解：∵方程组的解是， 即方程组的解为， ∴直线与的交点坐标是， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）通过课本数学活动--二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查换元法求方程组的解，根据交点坐标，得到方程组的解为：，通过对方程组进行变量替换，将原方程的解转换为新方程的解． 【详解】解：由题意，方程组的解为：， ∵， ∴， ∴的解为：， ∴； 故选B． 【变式7-3】（2025·陕西商洛·一模）已知方程的解为，则直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据两函数交点坐标即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案即可． 【详解】解：∵方程的解为， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：， ∴， ∴方程组的解为， ∴直线与直线的交点坐标为， 故选：A． 【题型8 利用图象法求二元一次方程组的解】 【例8】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 【变式8-1】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是 ．    【答案】 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题. 【详解】解：∵点在的图象上， ∴当时，， 解得， ∴点， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴关于x、y的二元一次方程组的解是， 故答案为：. 【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标. 【变式8-2】对于每个，函数是、这两个函数中的最小值，则函数的最大值是(    ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据图像可知，这个最大值在两函数的交点处取得． 【详解】解：分别画出函数、的图像如下：    则函数y的图像如图中粗线所示， 由图可知，交点处取得y的最大值， 联立方程组得：， 解得：， ∴当时，函数有最大值． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式8-3】（2025八年级下·河南·专题练习）如图中的两直线、的交点坐标可看作是方程组 的解． 【答案】 【分析】先分别求出直线和的解析式，根据两直线交点坐标是两直线解析式组成的方程组的解，求出解析式后就能得到对应的方程组．本题主要考查一次函数解析式的求解及两直线交点与方程组的关系，熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设直线的解析式为． 把，代入得 ， 解得， 直线的解析式为； 同理 ∴直线的解析式为， 两直线、的交点坐标可看作是方程组的解． 故答案为： 【题型9 直线围成的图象面积】 【例9】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【答案】 10 1或 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 【变式9-1】（2025·陕西榆林·一模）如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点，两直线交点等知识，利用数形结合是解题关键． 根据题意求出点坐标的值，进而求出直线的解析式，继而求出点的坐标，即可得解． 【详解】解：在直线上， ， ， ， 将代入， 得，解得，故， 直线与轴交于点， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式9-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）直线与轴，直线围成的三角形的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴交点问题，直线与坐标轴围成图形面积．先令，求出直线与轴交点坐标；再令求出与直线的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：对于，令， ， 直线与轴的交点坐标为， 令，则， 解得：， 直线与轴的交点坐标为， 直线与轴，直线围成的三角形的面积为， ∴， 解得：． 故选：D． 【变式9-3】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【答案】 10 1或 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 【题型10 绝对值函数与方程、不等式之间的关系】 【例10】（24-25八年级下·山东济南·期中）【问题提出】如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： （1）当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为___________． 预备知识2：函数，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简时，可令和，分别求得（称1，3分别是和的零点值），这样可以就，，三种情况进行讨论： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，． 就可以化简为． 预备知识3：函数(为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． （2）【知识迁移】如图④，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是___________． 【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （3）先化简，再作图，在图⑤所示的平面直角坐标系中作出函数和的图象．并通过观察图象，求出不等式的解集 【答案】[问题提出] （1）；[知识迁移] （2）；[问题解决]（3）作图见解析；或． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出]：（1）根据函数图象可得答案； [知识迁移]：（2）先求解的值，再根据函数图象可得答案； [问题解决]：（3）把函数化为，再画图即可；在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案； 【详解】解：[问题提出]，（1）如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， [知识迁移]，（2）如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， [问题解决] （3）根据题意得： ， 画图如下： 再在同一坐标系内画的图象如下： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或． 【变式10-1】（24-25八年级下·重庆丰都·期末）小丰同学根据学习函数的经验，知道一次函数的图象是一条直线，如一次函数的图象如图所示，他对加绝对值的函数的图象和性质进行了探究．下面是小丰的探究过程，请你一起解决相关问题； x … 0 1 2 3 … y … a 1.5 3 b 0 … （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）填写表格中y与x的几组对应值：计算可得：______，______； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；观察图象，写出该图象的两条性质（最值或对称性或增减性）： ①______； ②______； （4）当时，自变量x的取值范围是______． 【答案】（2）（3）①见详解②见详解（4）或 【分析】本题考查了一次函数的性质，画一次函数，两直线的交点确定不等式的取值范围，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （2）理解题意，把和分别代入进行计算，即可作答． （3）先先描点，再连线，得出函数的图象，分别根据函数图象的最值以及性质进行作答①和②； （4）理解题意，进行分类讨论，分别算出当和时的值，结合函数图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：（2）依题意，把代入，得， 即， 把代入，得， 即， 故答案为： （3）依题意， 如图所示： ①在时，有最大值，且为3； ②函数关于轴对称； （4）依题意， 当时，则， 依题意，当时，则， 即 ∴； 当时，则， 依题意，当时，则， 即 ∴； 即如图所示： 结合函数图象，得当时，自变量x的取值范围是或． 【变式10-2】在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式—利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程，其中我们通过描点或平移的方法画出函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义：，因此可以画出如图1所示的函数的图象．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当x=0时，y=−2；当x=2时，y=−4． （1）求这个函数的表达式； （2）请在图2的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图所示，结合（2）中所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3） 【分析】（1）直接利用待定系数法代入计算，即可求出解析式； （2）根据题意进行描点、连线即可画出图形，然后写出函数的性质即可； （3）利用图像法解不等式，即可求出不等式的解集． 【详解】解：（1）将x=0时，y=−2和当x=2时，y=−4分别代入中， 得   解得 ∴这个函数的表达式是； （2）函数图象如图： 函数的性质： ①当x=2时，函数有最小值4； ②当x>2时，函数值y随x的增大而增大； 答案不唯一，正确即可． （3）由（2）的图像可知， 两个函数图像的交点坐标为：（0，），（6，0）， ∵， 结合图像可知， 不等式的解集为：． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式，求一次函数的解析式，画函数图像，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，正确画出图形，从而进行解题． 【变式10-3】某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，先去绝对值，画出的图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当，即：时，， 当时，， ∴， 当时，， ∴图象过点； ∵， ∴当时，， ∴过定点， ∴当过点时，，解得：， 当与平行时，， 当与平行时，， 如图：直线绕点旋转， 由图可知：当或或时，的图象与函数的图象只有一个交点， 故答案为：或或． 【题型11 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 【例11】【主题】二元一次不等式的研究 【背景】创新小队发现学习一元一次不等式利用了数形结合的思想，通过观察函数图象，求方程的解和不等式的解集，从中体会了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系．创新小队提出新的问题：二元一次不等式的解集如何确定？为此，他们进行了以下的任务探究： 任务一：探究发现 （1）已知二元一次不等式． 步棸1：特例感知 令时，可将此二元一次方程变形为一次函数：，请在图1的平面直角坐标系中画出此一次函数的图象； 步骤2：探究过程 探究①： 取点时， 当时，代入，得， 点在一次函数的图象上， 即．是二元一次方程的解． 探究②： 取点时，将代入得， 不等式成立， 即是二元一次不等式的解．    探究③： 取点时， 在图1中的直角坐标系中描出点， 点在一次函数图象下方， ，即满足； 即是二元一次不等式的解． 步骤3：验证猜想 通过学习步骤2的探究过程，请先判断下列选项中，______（填序号）是二元一次不等式的解； ①    ②      ③ 再写出一组满足二元一次不等式的解：______；（备注：若所写的答案是上述题目中已出现过的解，不给分） 步骤4：发现结论 二元一次不等式的解集可以表示为直线______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的区域． 任务二：结论应用 （2）已知不等式组，请在图2的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组的解集所在的区域，并求出该阴影部分的面积． 任务三：拓展升华 （3）在（2）的条件下，若点是阴影部分的一动点，记，则的最大值为______．    【答案】（1）画图见解析；步骤3：①，（答案不唯一）；步骤4：下方；（2）画图见解析；面积为；（3） 【分析】本题考查了一次函数与不等式问题，一次函数交点问题，与坐标轴围成的三角形的面积，一次函数的平移； （1）任务一：根据题意画出直线，结合题意，得出二元一次不等式的解集可以表示为直线下方的所有点组成的区域； 任务二：（2）分别画出，的图象，根据题意画出不等式组的解集所在的区域，进而根据三角形的面积公式，求得面积； （3）依题意，是直线上的一点，则的值即为与轴的交点的纵坐标，进而观察图形可得当与点重合时，值最大，进而将点代入，即可求解． 【详解】任务一：一次函数：，当时，，当时，过点，画出一次函数解析式，如图所示，    验证猜想，通过学习步骤2的探究过程， 取点 ， ，        在图中的直角坐标系中描出点只有 在一次函数图象下方， ，即满足； 即是二元一次不等式的解． 故答案为：①． 观察图象，再写出一组满足二元一次不等式的解：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 步骤4：发现结论，二元一次不等式的解集可以表示为直线下方的所有点组成的区域． 故答案为：下方． 任务二：（2）依题意，对于一次函数，，当时，，则， 对于，当时，，则 联立 解得：，则 如图所示，即为不等式组的解集所在的区域，     （3）在（2）的条件下，若点是阴影部分的一动点，记， 即 ∴是直线上的一点，则的值即为与轴的交点的纵坐标， 观察图形可得，当与点重合时，值最大     解得： 故答案为：． 【变式11-1】如图，表示阴影区域的不等式组为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形即可判断阴影部分是由，，三条直线围起来的区域，再根据一次函数与一元一次不等式的关系即可得出答案． 【详解】解：∵表示直线右侧的部分， 表示直线左下方的部分， 表示直线右上方的部分， 故根据图形可知：满足阴影部分的不等式组为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是根据图形利用一次函数与一元一次不等式的关系正确解答． 【变式11-2】图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集(　　)    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】阴影部分的边缘可以看作是一条直线，可设其解析式并用待定系数法求之得，即．因为阴影部分在直线的下方，即可理解为阴影部分中任意一点满足． 【详解】解：如图：    点A的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：，即， ∴直线上任意一点的横坐标x与纵坐标y的和等于5， ∵阴影部分中任意一点的横坐标与纵坐标的和都小于5， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与方程、不等式之间的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式11-3】要研究使x，y满足的范围问题时，我们可以借助观察的图象解决．如图，阴影部分为满足的区域，若x，y满足条件，令，则M的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意确定x，y满足题设条件的区域，找到临界点A、B，即可求解． 【详解】解：由题意得，下图阴影部分（所在的区域）为x，y满足题设条件的区域， 联立， 解得：，即点， 对于，令，则，故点， 由得：， 则为直线与y轴交点的纵坐标， 如图，当直线：过点A时，此时最小，即M最大， 将点A坐标代入上式得：，解得：， 同理当直线：过点B时，此时最大，即M最小， 即，解得：， 故． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的性质和图象，涉及到不等式等知识点，弄懂题意是解题的关键，题目综合性强，难度很大． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.5 一次函数与方程、不等式（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 【题型1 由直线与坐标轴交点求一元一次方程的解】 2 【题型2 由一元一次方程的解判断直线经过的点】 3 【题型3 利用图象法求一元一次方程的解】 3 【题型4 由直线与坐标轴交点求不等式的解集】 4 【题型5 根据两条直线的交点坐标求不等式的解集】 5 【题型6 利用图象法求一元一次不等式组的解集】 6 【题型7 两直线的交点与二元一次方程组的解】 8 【题型8 利用图象法求二元一次方程组的解】 8 【题型9 直线围成的图象面积】 9 【题型10 绝对值函数与方程、不等式之间的关系】 10 【题型11 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 13 知识点1 一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可化简为的形式． （1）一元一次方程是一次函数的函数值为0时的特殊情形． （2）直线与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，即． 知识点2 一次函数与一元一次不等式 名称 叙述 从“数”上看 从“形”上看 一次函数与一元一次不等式的关系 由于任何一元一次不等式都可以转化为或 (a，b为常数，且a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围 的解集 中时x 的取值范围； 的解集 中时x 的取值范围 的解集直线位于x轴上方的部分对应的x的取值范围； 的解集直线位于x轴下方的部分对应的x的取值范围 知识点3 一次函数与二元一次方程（组）的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）． 二元一次方程组的解为两直线；和的交点坐标；反过来,两直线，和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． （1）两直线平行（无交点），方程组无解； （2）两直线交于一点，方程组有唯一解； （3）两直线重合，方程组有无数组解． 知识点4 二元一次方程组的图象解法 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：,和． （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象． （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值． 【题型1 由直线与坐标轴交点求一元一次方程的解】 【例1】直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的方程的解为 ． 【变式1-1】已知一次函数（是常数），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 y 0 2 4 6 则关于x的方程的解为 ． 【变式1-2】（2025·陕西西安·模拟预测）将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【题型2 由一元一次方程的解判断直线经过的点】 【例2】（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知关于的方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为 ． 【变式2-3】若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用图象法求一元一次方程的解】 【例3】两直线和的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解是 ． 【变式3-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，已知直线，则关于的方程的解为 ． 【变式3-3】（24-25八年级下·湖北·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程的解为 ． 【题型4 由直线与坐标轴交点求不等式的解集】 【例4】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（a、b均为常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示：那么关于x 的不等式的解集是 ． x … 0 … y … 9 7 5 3 1 … 【变式4-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）直线与坐标轴的两交点分别为和，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，点的坐标是，将沿轴向右平移3个单位至位置，点的对应点恰好落在直线上，当时，则的取值范围是 ． 【题型5 根据两条直线的交点坐标求不等式的解集】 【例5】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，直线与交点的横坐标为2，则以下结论正确的是（ ） A．， B． C．当时， D．当时， 【变式5-1】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）根据如图所示图象可得关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【变式5-3】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【题型6 利用图象法求一元一次不等式组的解集】 【例6】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 【变式6-1】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，直线交轴于点，直线交轴于点，这两条线相交于点，则不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，直线与直线交于点，则不等式组的解集为 ． 【变式6-3】如图，直线与的交点的坐标为5，则关于x的不等式组的解集是 ． 【题型7 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例7】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若直线与交于点，则关于，的方程组的解是 ，的解是 ． 【变式7-1】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）已知方程组的解是，则直线与的交点坐标是 ． 【变式7-2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）通过课本数学活动--二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·陕西商洛·一模）已知方程的解为，则直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型8 利用图象法求二元一次方程组的解】 【例8】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是 ．    【变式8-2】对于每个，函数是、这两个函数中的最小值，则函数的最大值是(    ) A．6 B．8 C．10 D．12 【变式8-3】（2025八年级下·河南·专题练习）如图中的两直线、的交点坐标可看作是方程组 的解． 【题型9 直线围成的图象面积】 【例9】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【变式9-1】（2025·陕西榆林·一模）如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式9-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）直线与轴，直线围成的三角形的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【题型10 绝对值函数与方程、不等式之间的关系】 【例10】（24-25八年级下·山东济南·期中）【问题提出】如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： （1）当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为___________． 预备知识2：函数，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简时，可令和，分别求得（称1，3分别是和的零点值），这样可以就，，三种情况进行讨论： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，． 就可以化简为． 预备知识3：函数(为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． （2）【知识迁移】如图④，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是___________． 【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （3）先化简，再作图，在图⑤所示的平面直角坐标系中作出函数和的图象．并通过观察图象，求出不等式的解集 【变式10-1】（24-25八年级下·重庆丰都·期末）小丰同学根据学习函数的经验，知道一次函数的图象是一条直线，如一次函数的图象如图所示，他对加绝对值的函数的图象和性质进行了探究．下面是小丰的探究过程，请你一起解决相关问题； x … 0 1 2 3 … y … a 1.5 3 b 0 … （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）填写表格中y与x的几组对应值：计算可得：______，______； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；观察图象，写出该图象的两条性质（最值或对称性或增减性）： ①______； ②______； （4）当时，自变量x的取值范围是______． 【变式10-2】在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式—利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程，其中我们通过描点或平移的方法画出函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义：，因此可以画出如图1所示的函数的图象．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当x=0时，y=−2；当x=2时，y=−4． （1）求这个函数的表达式； （2）请在图2的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图所示，结合（2）中所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 【变式10-3】某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是 ． 【题型11 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 【例11】【主题】二元一次不等式的研究 【背景】创新小队发现学习一元一次不等式利用了数形结合的思想，通过观察函数图象，求方程的解和不等式的解集，从中体会了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系．创新小队提出新的问题：二元一次不等式的解集如何确定？为此，他们进行了以下的任务探究： 任务一：探究发现 （1）已知二元一次不等式． 步棸1：特例感知 令时，可将此二元一次方程变形为一次函数：，请在图1的平面直角坐标系中画出此一次函数的图象； 步骤2：探究过程 探究①： 取点时， 当时，代入，得， 点在一次函数的图象上， 即．是二元一次方程的解． 探究②： 取点时，将代入得， 不等式成立， 即是二元一次不等式的解．    探究③： 取点时， 在图1中的直角坐标系中描出点， 点在一次函数图象下方， ，即满足； 即是二元一次不等式的解． 步骤3：验证猜想 通过学习步骤2的探究过程，请先判断下列选项中，______（填序号）是二元一次不等式的解； ①    ②      ③ 再写出一组满足二元一次不等式的解：______；（备注：若所写的答案是上述题目中已出现过的解，不给分） 步骤4：发现结论 二元一次不等式的解集可以表示为直线______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的区域． 任务二：结论应用 （2）已知不等式组，请在图2的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组的解集所在的区域，并求出该阴影部分的面积． 任务三：拓展升华 （3）在（2）的条件下，若点是阴影部分的一动点，记，则的最大值为______．    【变式11-1】如图，表示阴影区域的不等式组为（　　）    A． B． C． D． 【变式11-2】图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集(　　)    A． B． C． D． 【变式11-3】要研究使x，y满足的范围问题时，我们可以借助观察的图象解决．如图，阴影部分为满足的区域，若x，y满足条件，令，则M的取值范围为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $