专题03：长方体和正方体（解决问题讲义）数学人教版五年级下册

人教版五年级数学下册解决问题 专题03：长方体和正方体 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题思路 1、审题辨类型：圈出关键信息（如“框架”“铁皮”“容积”“浸没”等），判断属于棱长、表面积、体积还是特殊题型（组合体、排水法）。 2、定公式找参数：根据题型确定对应公式，从题目中提取长、宽、高（正方体棱长）等关键参数。 3、列式计算：代入公式分步计算，注意单位统一。 4、验证作答：检查结果是否符合实际（如表面积不能为负、体积单位是否正确），规范写答语。 二、分考点解题技巧与方法 考点1：长方体有关棱长的应用 1、核心技巧 （1）长方体特征：有12条棱，分3组（4条长、4条宽、4条高），每组棱长度相等。 （2）核心公式 ①长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4＝长×4＋宽×4＋高×4 ②长＝棱长总和÷4－宽－高 ③宽＝棱长总和÷4－长－高 ④高＝棱长总和÷4－长－宽 （3）应用场景：制作长方体框架、求铁丝长度等。 2、解题步骤 （1）确定已知条件：已知长、宽、高求棱长总和，或已知棱长总和求长/宽/高； （2）代入对应公式计算； （3）若涉及“截成几段”，增加的棱数=截的次数×2×每组棱数。 考点2：正方体有关棱长的应用 1、核心技巧 （1）正方体特征：有12条棱，所有棱长度相等。 （2）核心公式 ①正方体的棱长总和＝棱长×12 ②正方体的棱长＝棱长总和÷12 （3）应用场景：制作正方体框架、求拼接后棱长变化等。 2、解题步骤 （1）明确已知量：棱长或棱长总和； （2）代入公式计算； （3）若多个正方体拼接，拼接一次减少2个面，对应减少8条棱的长度。 考点3：长方体的表面积 1、核心技巧 （1）表面积定义：长方体6个面的面积总和，相对的面面积相等。 （2）核心公式 ①完整表面积：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 ②实际应用（无盖/无底）：S=长×宽+2×（长×高+宽×高）（少1个底面） ③实际应用（四周贴纸/包装）：S=2×（长×高+宽×高）（少上下2个面） （3）应用场景：制作包装盒、贴瓷砖、刷油漆等。 2、解题步骤 （1）判断是否需要计算完整表面积（有无缺面）； （2）提取长、宽、高参数，代入对应公式； （3）计算时先算括号内的面面积和，再算乘法，最后求和。 考点4：正方体的表面积 1、核心技巧 （1）表面积定义：正方体6个面的面积总和，所有面面积相等。 （2）核心公式 ①完整表面积：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，用字母表示：S＝6a2 ②实际应用（无盖）：S=5a2； ③实际应用（贴四周）：S=4a2 （3）应用场景：制作正方体盒子、魔方贴纸等。 2、解题步骤 （1）确定是否缺面，选择对应公式； （2）代入棱长计算单个面面积，再乘面的个数； （3）若多个正方体拼接，拼接一次减少2个面的面积。 考点5：长方体的体积 1、核心技巧 （1）体积定义：长方体所占空间的大小。 （2）体积公式：长方体的体积＝长×宽×高 （2）容积计算：与体积计算方法相同，需从容器内部量长、宽、高。 （3）应用场景：求容器装水多少、石块占空间大小等。 2、解题步骤 （1）区分体积与容积：体积从外部量，容积从内部量； （2）提取长、宽、高参数，代入公式计算； （3）单位换算：1m3=1000dm3；1dm3=1000cm3；1L=1dm3；1mL=1cm3。 考点6：正方体的体积 1、核心技巧 （1）体积定义：正方体所占空间的大小。 （2）体积公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 （3）容积计算：同体积计算，从内部量棱长。 2、解题步骤 （1）确定已知量：棱长或体积； （2）代入公式计算体积或棱长； 考点7：组合体的表面积和体积 1、核心技巧 （1）表面积计算： ①方法：整体表面积－重叠面面积×2（拼接时重叠的面会被遮住，两个物体各少1个面）； ②分层计算：把组合体拆分成几个长方体/正方体，计算各部分表面积，再减去重叠面面积。 （2）体积计算： ①核心方法：各部分体积相加（组合体体积=长方体体积+正方体体积）； ②切割后体积：总体积=各部分体积之和（体积不变）。 2、解题步骤 （1）表面积 ①拆分组合体为基本图形（长方体/正方体）； ②计算各基本图形的表面积之和； ③数出重叠面的个数，用总和－重叠面面积×2。 （2）体积 ①拆分组合体为基本图形； ②分别计算各基本图形的体积； ③求和得到组合体体积。 考点8：“排水法”求不规则物体体积 1、核心技巧 （1）原理：不规则物体浸没在水中，上升部分水的体积=不规则物体的体积。 （2）核心公式 ①公式1（完全浸没）：V物=长×宽×水位上升高度=S底×△h ②公式2（容器底面积已知）：V物=S底×（h后－h前） （3）应用场景：求石块、土豆等不规则物体的体积。 2、解题步骤 （1）记录容器的长、宽，以及放入物体前的水位高度九前； （2）记录放入物体后的水位高度h后，计算水位上升高度△h=h后－h前； （3）代入公式计算上升部分水的体积，即为不规则物体的体积； （4）注意：物体必须完全浸没，且水不能溢出。 考点1：长方体有关棱长的应用 【典型例题】学校礼堂的形状是一个长方体（如图）。为迎接“十一”国庆节，学校要在礼堂的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知礼堂长120米，宽25米，高6米。 （1）学校至少要购买多少米彩灯线？ （2）如果彩灯线需要4.5元/米，一共需要多少钱？ 【练习1】电子商务的快速发展引起了人们对快递包装安全性的关注。某快递公司正在打包一个寄往湖北汉川的包裹（如图，打包接口处一共需要30厘米胶带），用5米长的胶带打包这个包裹够不够？通过计算说明理由。 【练习2】某小卖部计划定制一个玻璃柜台用于展示商品，柜台的长为220厘米，宽0.4米，高0.8米。为了增强结构稳定性，需要在柜台的所有棱边安装角铁，这个柜台需要多少米角铁？ 考点2：正方体有关棱长的应用 【典型例题】灯笼是一种古老的传统工艺品。王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架。如果用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，那么正方体灯笼框架的棱长最长是多少？（接头处忽略不计） 【练习1】用丝带包装一个正方体礼品盒如图所示，礼盒的棱长是20厘米，接头处需30厘米长的丝带，包装一个这样的礼品盒至少需要多长的丝带？ 【练习2】乐乐参加学校手工制作社团，他用一根铁丝正好制作一个长是厘米，宽是厘米，高是厘米的长方体。他如果想用这根铁丝制作一个正方体，请同学们帮他设计一下，正方体的棱长应该是多少厘米？ 考点3：长方体的表面积 【典型例题】庐山茶饼是中国十大传统名饼，其色泽金黄，具有小而精，素以薄而脆，酥而甜，香而美的特点。张阿姨特意购买了三盒茶饼作为伴手礼，每盒茶饼长2分米，宽0.5分米，高2分米，如何一起包装这三盒茶饼，才最省包装纸？至少需多少平方分米的包装纸？请你写一写、算一算。（不考虑粘贴等损耗） 【练习1】下面是一个长方体包装盒的展开图，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【练习2】王奶奶新买了一台洗衣机，量得洗衣机的长是6分米，宽是5.5分米，高是9.5分米。 （1）洗衣机的占地面积是多少平方分米？ （2）王奶奶想给洗衣机做一个洗衣机套，请你帮忙算一算，做这样一个洗衣机套至少要用多少平方分米的布？ 考点4：正方体的表面积 【典型例题】小明家想在空地上搭建一间阳光玻璃房，若搭成一个长、宽、高均为3米的正方体（如图），需要多少米钢材？（地面的四边不装，材料厚度、接头处忽略不计。）需要多少平方米玻璃？ 【练习1】孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用48分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方米的安全阻燃纸？ 【练习2】做一个正方体玻璃水槽（无盖），棱长0.5米。制作这个水槽至少需要玻璃多少平方米？ 考点5：长方体的体积 【典型例题】一个长方体游泳池长是60米，宽是30米，池内水深是1.2米。如果每分钟排水5立方米，需要几小时才能将池内的水排完？ 【练习1】哈尔滨“冰雪大世界”每年的用冰量大约能融化成60000立方米的水，如果把这些水放进一个长400米、宽300米长方体的蓄水池里，水深应该是多少米？ 【练习2】学校要粉刷会议室（地面除外），已知会议室长20米，宽12.5米，高3米，扣除门窗的面积30平方米。如果每平方米需要4元涂料费，粉刷这间会议室需要花费多少元？这个会议室占多大的空间？ 考点6：正方体的体积 【典型例题】要在一个边长是9分米的正方形铁皮的四个角上分别剪去一个正方形，随后将它焊接成一个无盖的正方体盒子，想一想，这个正方体盒子的表面积和体积分别是多少？ 【练习1】张阿姨用灯带装饰一个正方体礼盒的每一条棱，一共用去180厘米的灯带（接头处忽略不计），求这个正方体礼盒的体积。 【练习2】一个正方体钢材，棱长是4分米，把它锻造成一个横截面边长为2厘米的正方形的长方体钢条，如果不计损耗，钢条长是多少米？ 考点7：组合体的表面积和体积 【典型例题】下图这个领奖台是由三个长方体拼成的。它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 【练习1】4月23日是世界读书日，学校把每年的四月份定为读书活动月。妙妙分享了她制作的阅读主题创意手工，如图所示。寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积是多少？体积是多少？ 【练习2】如图，在一个棱长为5分米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为2分米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1分米的正方体小洞。求挖洞后的几何体的表面积是多少平方分米？ 考点8：“排水法”求不规则物体体积 【典型例题】杨小渔家有一个高25cm的无盖无水观赏鱼缸（如下图），现在里面放着一块高15cm、体积为的假山石。如果水龙头以每分钟的流量往观赏鱼缸内注水，至少需要多长时间才能将这块假山石淹没？ 【练习1】《九章算术》中记载了一种测量物体体积的方法——“载粟术”：将物体放入盛满粟米的容器中，溢出的粟米体积即为物体体积；古希腊数学家阿基米德在浴缸中发现：浸入液体的物体体积等于排开液体的体积。小明想用这样的方法测量一个土豆的体积，他先将850毫升的水倒入长方体容器中，量得的水深是8.5厘米，然后他将土豆完全浸没水中，这时水深10厘米。请你求出这个土豆的体积是多少立方厘米？ 【练习2】一个长方体容器，从里面量长10厘米，宽8厘米、高15厘米，小明向这个容器里倒了一些水，正好出现两个面是正方形，这时放入石块，恰好又出现了两个面是正方形（如下图），石块的体积是多少立方厘米？ 夯实基础 1．如图，在一个透明的无盖的长方体盒子内，放置棱长为1厘米的小正方体。这个透明的长方体盒子的表面积是（     ）平方厘米。 A．62 B．52 C．47 2．古法榨油工艺从油菜籽选料到得到菜籽油，需要经历十几道工序，蕴含着中国劳动人民的智慧。前进小学的同学们体验古法榨油的过程，一共榨油9.2升，要分装在小瓶中，每个小瓶最多能装0.5升，装完这些油至少需要（     ）个这样的小瓶。 A．18 B．19 C．20 3．如图，长方体长30cm、高10cm，涂色部分两个面的面积一共是，这个长方体的体积是（     ）。 A．3000 B．6000 C．1500 4．有两盒同样大小的巧克力，用下面四种方式包装，你认为最省包装纸的是（     ）。 A． B． C． 5．小云为妈妈准备了一件生日礼物，这件礼物的包装盒的长、宽、高分别是30cm、30cm、40cm。现在用彩带把这个包装盒捆扎起来，接头处彩带长为25cm，至少需要（     ）cm长的彩带。 A．285 B．305 C．205 6．一个长方体盒子长9dm，宽6dm，高5dm。这个盒子里最多能放（     ）个棱长3dm的方块。 A．10 B．18 C．6 7．某种长方体洗衣机（如图）长60厘米，宽60厘米，高70厘米。给这台洗衣机做一个无底防尘布罩至少需要（ ）平方米的防尘布。这台洗衣机的占地面积是（ ）平方米。 8．用下面的小棒和橡皮泥搭成一个长方体框架，则这个长方体框架的棱长总和最大的是（ ）cm。 名称 小棒 橡皮泥 9cm 7cm 4cm 数量 10根 4根 5根 8个 9．根据表中的物品参数，这个物品最有可能是（ ）（填序号：①微波炉 ②家用冰箱 ③普通文具盒），它的容积是（ ）L。 包装尺寸 573×337×449（单位：mm） 产品尺寸 502×302×415（单位：mm） 内部尺寸 400×225×300（单位：mm） 10．一个长方体的饮料盒，它的长、宽、高分别是6.4cm，3.5cm、10cm。如果围着它的四周贴一圈商标纸，至少需要（ ）的商标纸。 11．一根长方体水泥柱，高50dm，底面是周长为12dm的正方形。这根水泥柱的体积是（ ）dm3。 12．用40分米长的铁丝搭一个长5分米、宽2分米的长方体框架，搭好后的长方体高（ ）分米。若给这个框架表面贴上硬纸板，它所占空间的大小是（ ）立方分米。 13．做一个长0.9m、宽5dm、高4dm的长方体无盖鱼缸，需要玻璃（ ）dm2（接口处忽略不计），最多可盛水（ ）L。 14．一根4米长的方钢，把它横截成5段时，表面积增加80平方厘米，原来方钢的体积是（ ）立方厘米。 15．要做一个容积是80立方分米的长方体水箱，水箱的底面是个正方形，边长是4分米，这个水箱的高是（ ）分米。 16．用12个1立方厘米的小正方体拼成一个大长方体，拿去1个小正方体后，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 17．中国的泥塑艺术是一种以黏土为主要材料，通过手工捏塑、模制、雕刻及彩绘等工艺制成立体形象的传统民间艺术，具有悠久的历史和丰富的文化内涵。小兰酷爱捏泥塑，她用彩泥捏了一个长9cm、宽8cm、高7cm的长方体，然后从这个长方体中截下一个最大的正方体。在这个长方体中截下的最大正方体的体积是（ ）cm3，剩下的体积是（ ）cm3。 18．如图是一块横截面为正方形的长方体木料，表面积为74平方厘米，锯下一个最大的正方体后，剩下的长方体表面积为54平方厘米。锯下的正方体木料的表面积是（ ）平方厘米。 19．从量杯中取出2个同样的正方体橡皮泥后，杯中水的体积是（ ）毫升。 培优拔高 20．一个无盖的长方体鱼缸长70厘米、宽50厘米、高40厘米，这个鱼缸至少需要多少平方厘米的玻璃？（缸壁厚度忽略不计） 21．一个修路队用3600立方米的混凝土铺一条长1000米，宽12米的马路，混凝土可以铺多厚？ 22．一个长方体礼盒，长28厘米，宽10厘米，高15厘米。 （1）如果用丝带按图所示方法扎起来（打结处用了15厘米），需要多少厘米丝带？ （2）如果要用包装纸包好礼盒，至少需要多少平方厘米的包装纸？ 23．一种汽车油箱，从里面量长是8分米，宽是4分米，高是25厘米。 （1）这个油箱最多能装多少升汽油？ （2）如果一辆汽车每千米的耗油量是0.08升，那么这箱汽油最多可以行驶多少千米？ 24．一间教室长9米、宽6米、高3米，要粉刷教室的四周和顶部，扣除门窗和黑板的面积21.5平方米，如果每千克涂料可以粉刷2.5平方米，粉刷这间教室要用多少千克涂料？ 25．甲鱼缸内有一条鳜鱼，量得鱼缸的长是40厘米，宽是40厘米，水面高度是25厘米。将鱼捞出放入乙鱼缸后，甲鱼缸水面高度下降到22厘米。你能求出乙鱼缸放入鱼后水面上升了多少厘米吗？ 26．下面是一个长方体盒子的展开图。 （1）已知长方体的长是宽的2倍，是高的3倍。求这个长方体盒子的表面积。 （2）若在这个长方体盒子中，放入长、宽均是4厘米，高是5厘米的小长方体积木，最多可以放多少块？ 思维拓展 27．手工课上，李苹制作了一个长方体礼盒，如果将高减少0.6分米，正好变成了一个正方体，会少用纸板7.2平方分米。原来长方体礼盒的体积是（     ）立方分米。 A．4.32 B．5.4 C．27 D．32.4 28．一个长方体，左右两个面是边长为3分米的正方形，按下图所示切成4块后，表面积增加了138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版五年级数学下册解决问题 专题03：长方体和正方体 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题思路 1、审题辨类型：圈出关键信息（如“框架”“铁皮”“容积”“浸没”等），判断属于棱长、表面积、体积还是特殊题型（组合体、排水法）。 2、定公式找参数：根据题型确定对应公式，从题目中提取长、宽、高（正方体棱长）等关键参数。 3、列式计算：代入公式分步计算，注意单位统一。 4、验证作答：检查结果是否符合实际（如表面积不能为负、体积单位是否正确），规范写答语。 二、分考点解题技巧与方法 考点1：长方体有关棱长的应用 1、核心技巧 （1）长方体特征：有12条棱，分3组（4条长、4条宽、4条高），每组棱长度相等。 （2）核心公式 ①长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4＝长×4＋宽×4＋高×4 ②长＝棱长总和÷4－宽－高 ③宽＝棱长总和÷4－长－高 ④高＝棱长总和÷4－长－宽 （3）应用场景：制作长方体框架、求铁丝长度等。 2、解题步骤 （1）确定已知条件：已知长、宽、高求棱长总和，或已知棱长总和求长/宽/高； （2）代入对应公式计算； （3）若涉及“截成几段”，增加的棱数=截的次数×2×每组棱数。 考点2：正方体有关棱长的应用 1、核心技巧 （1）正方体特征：有12条棱，所有棱长度相等。 （2）核心公式 ①正方体的棱长总和＝棱长×12 ②正方体的棱长＝棱长总和÷12 （3）应用场景：制作正方体框架、求拼接后棱长变化等。 2、解题步骤 （1）明确已知量：棱长或棱长总和； （2）代入公式计算； （3）若多个正方体拼接，拼接一次减少2个面，对应减少8条棱的长度。 考点3：长方体的表面积 1、核心技巧 （1）表面积定义：长方体6个面的面积总和，相对的面面积相等。 （2）核心公式 ①完整表面积：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 ②实际应用（无盖/无底）：S=长×宽+2×（长×高+宽×高）（少1个底面） ③实际应用（四周贴纸/包装）：S=2×（长×高+宽×高）（少上下2个面） （3）应用场景：制作包装盒、贴瓷砖、刷油漆等。 2、解题步骤 （1）判断是否需要计算完整表面积（有无缺面）； （2）提取长、宽、高参数，代入对应公式； （3）计算时先算括号内的面面积和，再算乘法，最后求和。 考点4：正方体的表面积 1、核心技巧 （1）表面积定义：正方体6个面的面积总和，所有面面积相等。 （2）核心公式 ①完整表面积：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，用字母表示：S＝6a2 ②实际应用（无盖）：S=5a2； ③实际应用（贴四周）：S=4a2 （3）应用场景：制作正方体盒子、魔方贴纸等。 2、解题步骤 （1）确定是否缺面，选择对应公式； （2）代入棱长计算单个面面积，再乘面的个数； （3）若多个正方体拼接，拼接一次减少2个面的面积。 考点5：长方体的体积 1、核心技巧 （1）体积定义：长方体所占空间的大小。 （2）体积公式：长方体的体积＝长×宽×高 （2）容积计算：与体积计算方法相同，需从容器内部量长、宽、高。 （3）应用场景：求容器装水多少、石块占空间大小等。 2、解题步骤 （1）区分体积与容积：体积从外部量，容积从内部量； （2）提取长、宽、高参数，代入公式计算； （3）单位换算：1m3=1000dm3；1dm3=1000cm3；1L=1dm3；1mL=1cm3。 考点6：正方体的体积 1、核心技巧 （1）体积定义：正方体所占空间的大小。 （2）体积公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 （3）容积计算：同体积计算，从内部量棱长。 2、解题步骤 （1）确定已知量：棱长或体积； （2）代入公式计算体积或棱长； 考点7：组合体的表面积和体积 1、核心技巧 （1）表面积计算： ①方法：整体表面积－重叠面面积×2（拼接时重叠的面会被遮住，两个物体各少1个面）； ②分层计算：把组合体拆分成几个长方体/正方体，计算各部分表面积，再减去重叠面面积。 （2）体积计算： ①核心方法：各部分体积相加（组合体体积=长方体体积+正方体体积）； ②切割后体积：总体积=各部分体积之和（体积不变）。 2、解题步骤 （1）表面积 ①拆分组合体为基本图形（长方体/正方体）； ②计算各基本图形的表面积之和； ③数出重叠面的个数，用总和－重叠面面积×2。 （2）体积 ①拆分组合体为基本图形； ②分别计算各基本图形的体积； ③求和得到组合体体积。 考点8：“排水法”求不规则物体体积 1、核心技巧 （1）原理：不规则物体浸没在水中，上升部分水的体积=不规则物体的体积。 （2）核心公式 ①公式1（完全浸没）：V物=长×宽×水位上升高度=S底×△h ②公式2（容器底面积已知）：V物=S底×（h后－h前） （3）应用场景：求石块、土豆等不规则物体的体积。 2、解题步骤 （1）记录容器的长、宽，以及放入物体前的水位高度九前； （2）记录放入物体后的水位高度h后，计算水位上升高度△h=h后－h前； （3）代入公式计算上升部分水的体积，即为不规则物体的体积； （4）注意：物体必须完全浸没，且水不能溢出。 考点1：长方体有关棱长的应用 【典型例题】学校礼堂的形状是一个长方体（如图）。为迎接“十一”国庆节，学校要在礼堂的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知礼堂长120米，宽25米，高6米。 （1）学校至少要购买多少米彩灯线？ （2）如果彩灯线需要4.5元/米，一共需要多少钱？ 【答案】（1）314米 （2）1413元 【分析】（1）需要装彩灯的棱是长方体的2条长、2条宽和4条高（地面的四边不装，不包含2条长和2条宽在地面的部分）。即彩灯长度＝（长＋宽）×2＋高×4，已知长120米，宽25米，高6米，把数据代入计算即可。 （2）已知彩灯线单价是4.5元/米，彩灯长度已由（1）得出，根据“总价＝单价×数量”，用4.5乘彩灯长度即可。 【详解】（1）（120＋25）×2＋6×4 ＝145×2＋6×4 ＝290＋24 ＝314（米） 答：学校至少要购买314米彩灯线。 （2）4.5×314＝1413（元） 答：一共需要1413元。 【练习1】电子商务的快速发展引起了人们对快递包装安全性的关注。某快递公司正在打包一个寄往湖北汉川的包裹（如图，打包接口处一共需要30厘米胶带），用5米长的胶带打包这个包裹够不够？通过计算说明理由。 【答案】够；计算说明见详解 【分析】看图可知，胶带的长度包括4条长、2条宽、6条高和接口处长度，胶带长度＝长×4＋宽×2＋高×6＋接口处长度，据此求出需要的胶带长度，根据1米＝100厘米，统一单位后，与5米长的胶带比较即可。 【详解】40×4＋50×2＋30×6＋30 ＝160＋100＋180＋30 ＝470（厘米） 470厘米＝4.7米 4.7＜5 答：用5米长的胶带打包这个包裹够。 【练习2】某小卖部计划定制一个玻璃柜台用于展示商品，柜台的长为220厘米，宽0.4米，高0.8米。为了增强结构稳定性，需要在柜台的所有棱边安装角铁，这个柜台需要多少米角铁？ 【答案】13.6米 【分析】已知柜台的长为220厘米，宽0.4米，高0.8米，先统一单位，220厘米＝2.2米；求角铁长度即求长方体棱长总和，根据“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”计算出长方体的棱长总和，即所需角铁的长度。 【详解】220厘米＝2.2米 （2.2＋0.4＋0.8）×4 ＝（2.6＋0.8）×4 ＝3.4×4 ＝13.6（米） 答：这个柜台需要13.6米角铁。 考点2：正方体有关棱长的应用 【典型例题】灯笼是一种古老的传统工艺品。王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架。如果用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，那么正方体灯笼框架的棱长最长是多少？（接头处忽略不计） 【答案】30厘米 【分析】已知王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架，又用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，即长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和。先根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体的棱长总和，即是正方体的棱长总和，再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出正方体的棱长，据此解答。 【详解】 （厘米） （厘米） 答：正方体灯笼框架的棱长最长是30厘米。 【练习1】用丝带包装一个正方体礼品盒如图所示，礼盒的棱长是20厘米，接头处需30厘米长的丝带，包装一个这样的礼品盒至少需要多长的丝带？ 【答案】190厘米 【分析】观察可知，包装一个这样的礼品盒，即求8条20厘米长的丝带与30厘米长的接头的和。 【详解】 （厘米） 答：包装一个这样的礼品盒至少需要190厘米长的丝带。 【练习2】乐乐参加学校手工制作社团，他用一根铁丝正好制作一个长是厘米，宽是厘米，高是厘米的长方体。他如果想用这根铁丝制作一个正方体，请同学们帮他设计一下，正方体的棱长应该是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，据此求出这根铁丝的长度；再根据正方体棱长和＝棱长×12，求出正方体的棱长应该是多少厘米即可。 【详解】 （厘米） 答：正方体的棱长应该是8厘米。 考点3：长方体的表面积 【典型例题】庐山茶饼是中国十大传统名饼，其色泽金黄，具有小而精，素以薄而脆，酥而甜，香而美的特点。张阿姨特意购买了三盒茶饼作为伴手礼，每盒茶饼长2分米，宽0.5分米，高2分米，如何一起包装这三盒茶饼，才最省包装纸？至少需多少平方分米的包装纸？请你写一写、算一算。（不考虑粘贴等损耗） 【答案】沿宽拼接；20平方分米 【分析】将三个茶饼盒拼接成一个大长方体，使表面积最小。要让拼接后的大长方体的长、宽、高尽可能接近，从而减少表面积。通过分析不同拼接方式，选择表面积最小的方案。 沿宽拼接：将三个茶饼盒的宽边（0.5分米）相接，形成大长方体尺寸为长2分米、宽1.5分米（0.5×3）、高2分米。 沿长拼接：长6分米（2×3）、宽0.5分米、高2分米。 沿高拼接：长2分米、宽0.5分米、高6分米（2×3）。 然后根据表面积的计算公式S＝（ab ＋ ah ＋ bh）×2（其中a为长， b为宽， h为高），把数据代入公式计算。并相比较即可解答。 【详解】沿宽拼接： 0.5×3＝1.5（分米） （2×1.5＋2×2＋2×1.5）×2 ＝（3＋4＋3）×2 ＝10×2 ＝20（平方分米） 沿长拼接：2×3＝6（分米） （6×0.5＋6×2＋0.5×2）×2 ＝（3＋12＋3）×2 ＝18×2 ＝36（平方分米） 沿高拼接：2×3＝6（分米） （2×0.5＋2×6＋0.5×6）×2 ＝（1＋12＋3）×2 ＝16×2 ＝32（平方分米） 20＜32＜36 答：沿宽拼接包装这三盒茶饼，才最省包装纸；至少需20平方分米的包装纸。 【练习1】下面是一个长方体包装盒的展开图，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】202平方厘米 【分析】据图可知，长方体的长是8厘米宽是7厘米，高是（10－7）厘米，据此结合长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2代入数据列式计算即可。 【详解】10－7＝3（厘米） （8×3＋7×3＋8×7）×2 ＝（24＋21＋56）×2 ＝101×2 ＝202（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是202平方厘米。 【练习2】王奶奶新买了一台洗衣机，量得洗衣机的长是6分米，宽是5.5分米，高是9.5分米。 （1）洗衣机的占地面积是多少平方分米？ （2）王奶奶想给洗衣机做一个洗衣机套，请你帮忙算一算，做这样一个洗衣机套至少要用多少平方分米的布？ 【答案】（1）33平方分米； （2）251.5平方分米 【分析】（1）洗衣机的占地面积就是洗衣机底面长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽解答； （2）做洗衣机套需要的布的面积就是求这个长方体除底面外的5个面的面积之和，根据公式：洗衣机套的面积＝长×宽＋（宽×高＋长×高）×2，代入数据计算即可解答。 【详解】（1）6×5.5＝33（平方分米） 答：洗衣机的占地面积是33平方分米。 （2）6×5.5＋（5.5×9.5＋6×9.5）×2 ＝33＋（52.25＋57）×2 ＝33＋109.25×2 ＝33＋218.5 ＝251.5（平方分米） 答：做这样一个洗衣机套至少要用251.5平方分米的布。 考点4：正方体的表面积 【典型例题】小明家想在空地上搭建一间阳光玻璃房，若搭成一个长、宽、高均为3米的正方体（如图），需要多少米钢材？（地面的四边不装，材料厚度、接头处忽略不计。）需要多少平方米玻璃？ 【答案】24米；45平方米 【分析】通过观察图形，搭建这个阳光玻璃房需要钢材的长度等于这个正方体的8条棱的长度（地面上的4条棱不需要），根据乘法的意义，用乘法解答，再根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，由于地面不装玻璃，所以计算5个面即可解答。 【详解】3×8＝24（米） 3×3×5＝45（平方米） 答：一共需要24米钢材，45平方米玻璃。 【练习1】孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用48分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方米的安全阻燃纸？ 【答案】0.8平方米 【分析】明确问题是计算除底面外糊纸所需的面积，由于是制作正方体灯笼框架，而正方体的特征是有12条长度相等的棱。已知铁丝的总长度，要先确定每条棱的长度；因为铁丝是用来构成正方体框架的，所以将铁丝总长平均分配到12条棱上，就能得出每条棱的长度； 分析需要糊纸的面。正方体原本有6个面，但题目要求除底面外，所以实际上需要糊纸的是5个面；计算每个面的面积。由于每个面都是正方形，其面积取决于边长，而正方体的棱就是面的边长；得出每个面的面积后，将其乘5，就能得到5个面的总面积，也就是所需安全阻燃纸的面积。注意单位的换算。 【详解】48÷12＝4（分米） 4×4＝16（平方分米） 16×5＝80（平方分米） 80平方分米＝0.8平方米 答：至少需要0.8平方米的安全阻燃纸。 【练习2】做一个正方体玻璃水槽（无盖），棱长0.5米。制作这个水槽至少需要玻璃多少平方米？ 【答案】1.25平方米 【分析】无盖正方体玻璃水槽只有5个面，用棱长×棱长×5计算玻璃面积即可。 【详解】0.5×0.5×5 ＝0.25×5 ＝1.25（平方米） 答：制作这个水槽至少需要玻璃1.25平方米。 考点5：长方体的体积 【典型例题】一个长方体游泳池长是60米，宽是30米，池内水深是1.2米。如果每分钟排水5立方米，需要几小时才能将池内的水排完？ 【答案】7.2小时 【分析】根据题意，结合长方体的体积公式：长×宽×高，求出这个游泳池的体积，再用这个游泳池的体积除以5，再转化单位，即可求出需要几小时才能将池内的水排完。 【详解】60×30×1.2 ＝1800×1.2 ＝2160（立方米） 2160÷5＝432（分钟） 432分钟＝7.2（小时） 答：需要7.2小时才能将池内的水排完。 【练习1】哈尔滨“冰雪大世界”每年的用冰量大约能融化成60000立方米的水，如果把这些水放进一个长400米、宽300米长方体的蓄水池里，水深应该是多少米？ 【答案】0.5米 【分析】已知长方体蓄水池长400米、宽300米，根据“长方形面积＝长×宽”计算出蓄水池的底面积；已知水的体积是60000立方米，根据“长方体的体积＝底面积×高”，用水的体积除以蓄水池的底面积即可计算出水的深度。 【详解】60000÷（400×300） ＝60000÷120000 ＝0.5（米） 答：水深应该是0.5米。 【练习2】学校要粉刷会议室（地面除外），已知会议室长20米，宽12.5米，高3米，扣除门窗的面积30平方米。如果每平方米需要4元涂料费，粉刷这间会议室需要花费多少元？这个会议室占多大的空间？ 【答案】1660元；750立方米 【分析】根据题意，要粉刷会议室（地面除外），即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需粉刷的面积；最后用每平方米的涂料费乘粉刷的面积即可求出粉刷这间会议室需要的钱数。 根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个会议室所占空间的大小。 【详解】20×12.5＋20×3×2＋12.5×3×2 ＝250＋120＋75 ＝445（平方米） 445－30＝415（平方米） 4×415＝1660（元） 20×12.5×3＝750（立方米） 答：粉刷这间会议室需要花费1660元。这个会议室占750立方米大的空间。 考点6：正方体的体积 【典型例题】要在一个边长是9分米的正方形铁皮的四个角上分别剪去一个正方形，随后将它焊接成一个无盖的正方体盒子，想一想，这个正方体盒子的表面积和体积分别是多少？ 【答案】表面积是45平方分米；体积是27立方分米 【分析】要在一个边长是9分米的正方形铁皮的四个角上分别剪去一个正方形，随后将它焊接成一个无盖的正方体盒子，因为正方体的棱长相等，因此需要把9分米平均分成3份，即正方体的棱长是9÷3＝3分米；因为该正方体盒子无盖，只有5个面，因此该正方体的表面积＝棱长×棱长×5；最后根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出该正方体的体积。 【详解】9÷3＝3（分米） 3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方分米） 答：这个正方体盒子的表面积是45平方分米。这个正方体盒子的体积是27立方分米。 【练习1】张阿姨用灯带装饰一个正方体礼盒的每一条棱，一共用去180厘米的灯带（接头处忽略不计），求这个正方体礼盒的体积。 【答案】3375立方厘米 【分析】根据正方体棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，用180÷12，求出正方体的棱长，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】180÷12＝15（厘米） 15×15×15 ＝225×15 ＝3375（立方厘米） 答：这个正方体礼盒的体积是3375立方厘米。 【练习2】一个正方体钢材，棱长是4分米，把它锻造成一个横截面边长为2厘米的正方形的长方体钢条，如果不计损耗，钢条长是多少米？ 【答案】160米 【分析】题目中正方体棱长单位是分米，长方体横截面边长单位是厘米，计算时需统一单位，将厘米换算为分米；已知正方体棱长4分米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”可求出正方体钢材体积，此体积也就是锻造后长方体钢材的体积，因为锻造过程不计损耗，体积不变；已知长方体钢材横截面是正方形，依据“正方形面积＝ 边长×边长”，由横截面边长可算出横截面面积；已知体积和横截面面积，利用“长方体体积＝横截面面积×长”，用体积除以横截面面积可算出长方体钢材的长；最后将分米换算为米得到最终答案。 【详解】2厘米＝0.2分米 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 0.2×0.2＝0.04（平方分米） 64÷0.04＝1600（分米） 1600分米＝160米 答：钢条长是160米。 考点7：组合体的表面积和体积 【典型例题】下图这个领奖台是由三个长方体拼成的。它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 【答案】涂黄色油漆10800平方厘米；涂红色油漆13000平方厘米 【分析】对于涂黄色油漆的面，是颁奖台的前后两个面，是由三个长方体的前后两个面组成，共6个面； 对于涂红色油漆的面，可以看作三个长方体的3个上面和1号长方体的左右两个面组成。 根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，分别求出涂黄色油漆和红色油漆的面积。 【详解】60×40×2＋60×20×2＋60×（40－10）×2 ＝60×40×2＋60×20×2＋60×30×2 ＝4800＋2400＋3600 ＝10800（平方厘米） 60×50×3＋50×40×2 ＝9000＋4000 ＝13000（平方厘米） 答：涂黄色油漆的面积是10800平方厘米，红色油漆的面积是13000平方厘米。 【练习1】4月23日是世界读书日，学校把每年的四月份定为读书活动月。妙妙分享了她制作的阅读主题创意手工，如图所示。寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积是多少？体积是多少？ 【答案】 180平方厘米；960立方厘米 【分析】求这件手工作品的占地面积就是求三个长方体的底面积，可以看成一个长是厘米，宽是10厘米的长方形的面积；体积就是求三个长方体的体积之和。根据长方形的面积＝长×宽，，分别代入数据计算即可。 【详解】（6＋6＋6）×10 ＝18×10 ＝180（平方厘米） 6×8×10＋6×6×10＋6×2×10 ＝480＋360＋120 ＝960（立方厘米） 答：这件手工作品的占地面积是180平方厘米；体积是960立方厘米。 【练习2】如图，在一个棱长为5分米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为2分米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1分米的正方体小洞。求挖洞后的几何体的表面积是多少平方分米？ 【答案】170平方分米 【分析】分析题目，通过平移可知：这个图形的表面积就等于棱长是5分米的正方体的表面积加棱长是1分米的正方体的前后左右4个面加棱长是2分米的正方体的前后左右4个面，据此结合正方体的表面积＝棱长×棱长×6列式计算即可。 【详解】5×5×6＋1×1×4＋2×2×4 ＝25×6＋1×4＋4×4 ＝150＋4＋16 ＝170（平方分米） 答：挖洞后的几何体的表面积是170平方分米。 考点8：“排水法”求不规则物体体积 【典型例题】杨小渔家有一个高25cm的无盖无水观赏鱼缸（如下图），现在里面放着一块高15cm、体积为的假山石。如果水龙头以每分钟的流量往观赏鱼缸内注水，至少需要多长时间才能将这块假山石淹没？ 【答案】6.45分钟 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水面高15厘米时水的体积，再减去假山石的体积就是应注入水的体积； 应注入水的体积除以每分钟水的流量即可确定将假山石完全淹没所用的时间。 【详解】 （立方厘米） （分） 答：至少需要6.45分钟才能将这块假山石淹没。 【练习1】《九章算术》中记载了一种测量物体体积的方法——“载粟术”：将物体放入盛满粟米的容器中，溢出的粟米体积即为物体体积；古希腊数学家阿基米德在浴缸中发现：浸入液体的物体体积等于排开液体的体积。小明想用这样的方法测量一个土豆的体积，他先将850毫升的水倒入长方体容器中，量得的水深是8.5厘米，然后他将土豆完全浸没水中，这时水深10厘米。请你求出这个土豆的体积是多少立方厘米？ 【答案】150立方厘米 【分析】根据阿基米德的发现：浸入液体的物体体积等于排开液体的体积。将土豆完全浸没水中，上升的水的体积就是土豆的体积，把850毫升化为850立方厘米，根据长方体的体积＝底面积×高，用850除以8.5求出长方体容器的底面积，再乘上升的水的高度（10－8.5）厘米，就是排开水的体积，也就是土豆的体积。 【详解】850毫升＝850立方厘米 850÷8.5×（10－8.5） ＝100×1.5 ＝150（立方厘米） 答：这个土豆的体积是150立方厘米。 【练习2】一个长方体容器，从里面量长10厘米，宽8厘米、高15厘米，小明向这个容器里倒了一些水，正好出现两个面是正方形，这时放入石块，恰好又出现了两个面是正方形（如下图），石块的体积是多少立方厘米？ 【答案】160立方厘米 【分析】水面上升的体积就是石块的体积。当第一次出现两个面是正方形时，此时水的高度是8厘米，当第二次出现两个面是正方形时，此时水的高度是10厘米，即放入石块，水面上升了（10－8）厘米，长方体容器的长×宽×水面上升的高度＝石块的体积，据此列式解答。 【详解】10×8×（10－8） ＝80×2 ＝160（立方厘米） 答：石块的体积是160立方厘米。 夯实基础 1．如图，在一个透明的无盖的长方体盒子内，放置棱长为1厘米的小正方体。这个透明的长方体盒子的表面积是（     ）平方厘米。 A．62 B．52 C．47 【答案】CC 【分析】由图可知，长方体盒子的长为5厘米，宽为3厘米，高为2厘米，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出这个盒子的表面积，因为题干明确了“无盖”，故只需要计算五个面的面积即可。据此解答。 【详解】（5×3＋5×2＋3×2）×2 ＝（15＋10＋6）×2 ＝31×2 ＝62（平方厘米） 62－5×3 ＝62－15 ＝47（平方厘米） 所以，这个透明的无盖的长方体盒子的表面积是47平方厘米。 故答案为：C 2．古法榨油工艺从油菜籽选料到得到菜籽油，需要经历十几道工序，蕴含着中国劳动人民的智慧。前进小学的同学们体验古法榨油的过程，一共榨油9.2升，要分装在小瓶中，每个小瓶最多能装0.5升，装完这些油至少需要（     ）个这样的小瓶。 A．18 B．19 C．20 【答案】B 【分析】最后无论剩下多少油，都得需要1个小瓶来装，油的体积÷每个小瓶容积，结果用进一法保留近似数即可。 【详解】9.2÷0.5≈19（个） 装完这些油至少需要19个这样的小瓶。 故答案为：B 3．如图，长方体长30cm、高10cm，涂色部分两个面的面积一共是，这个长方体的体积是（     ）。 A．3000 B．6000 C．1500 【答案】C 【分析】看图可知，涂色部分是长方体的下面和左面，这两个面可以拼成一个大长方形，大长方形的长＝长方体的长＋高，大长方形的宽＝长方体的宽，涂色部分两个面的面积和÷（长＋高）＝宽，根据长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【详解】200÷（30＋10） ＝200÷40 ＝5（cm） 30×5×10＝1500（） 这个长方体的体积是1500。 故答案为：C 4．有两盒同样大小的巧克力，用下面四种方式包装，你认为最省包装纸的是（     ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】通过观察发现：一个巧克力盒子的长＞宽＞高，也就是上面（或下面）的面积＞前面（或后面）的面积＞左面（或右面）的面积。每个巧克力盒子的表面积相同，要使包装纸用的最少，则包装时，覆盖2个盒子的上面或下面，覆盖的面积最大，用的包装纸最少。据此解答。 【详解】A．覆盖了2个盒子的左、右侧面； B．覆盖了2个盒子的上、下面； C．覆盖了2个盒子的前、后面。 覆盖2个盒子的上面或下面，覆盖的面积最大，最省包装纸。 故答案为：B 5．小云为妈妈准备了一件生日礼物，这件礼物的包装盒的长、宽、高分别是30cm、30cm、40cm。现在用彩带把这个包装盒捆扎起来，接头处彩带长为25cm，至少需要（     ）cm长的彩带。 A．285 B．305 C．205 【答案】B 【分析】彩带的总长包括2条长、2条宽、4条高及接头处的长度，据此计算解答。 【详解】30×2＋30×2＋40×4＋25 ＝60＋60＋160＋25 ＝120＋160＋25 ＝280＋25 ＝305（cm） 至少需要305cm长的彩带。 故答案为：B 6．一个长方体盒子长9dm，宽6dm，高5dm。这个盒子里最多能放（     ）个棱长3dm的方块。 A．10 B．18 C．6 【答案】C 【分析】分别求出盒子的长、宽、高中分别有几个3dm，再把求得的商相乘，据此求出这个盒子里最多能放几个棱长3dm的方块。 【详解】9÷3＝3 6÷3＝2 5÷3＝1……2 3×2×1＝6（个） 所以这个盒子最多能放6个棱长3dm的方块。 故答案为：C 7．某种长方体洗衣机（如图）长60厘米，宽60厘米，高70厘米。给这台洗衣机做一个无底防尘布罩至少需要（ ）平方米的防尘布。这台洗衣机的占地面积是（ ）平方米。 【答案】 2.04 0.36 【分析】分析题目，防尘布的面积等于长方体的前后、左右、上面5个面的面积之和，根据长方体的表面积公式可知：防尘布的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽；求洗衣机的占地面积，即求长方体下面的面积，根据长方体下面的面积＝长×宽列式计算，最后根据1平方米＝10000平方厘米把面积单位换算成平方米。 【详解】（60×70＋60×70）×2＋60×60 ＝（4200＋4200）×2＋3600 ＝8400×2＋3600 ＝16800＋3600 ＝20400（平方厘米） 20400平方厘米＝2.04平方米 60×60＝3600（平方厘米） 3600平方厘米＝0.36平方米 因此，给这台洗衣机做一个无底防尘布罩至少需要2.04平方米的防尘布。这台洗衣机的占地面积是0.36平方米。 8．用下面的小棒和橡皮泥搭成一个长方体框架，则这个长方体框架的棱长总和最大的是（ ）cm。 名称 小棒 橡皮泥 9cm 7cm 4cm 数量 10根 4根 5根 8个 【答案】100 【分析】要搭成一个棱长总和最大的长方体框架，应尽可能多用较长的棱。长方体有12条棱，包括长、宽、高各4条。根据小棒数量（9cm有10根，7cm有4根，4cm有5根），选择长和宽用9cm，高用7cm，此时9cm小棒需8根（足够），7cm小棒需4根（刚好用完），棱长总和最大，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，据此解答。 【详解】（9＋9＋7）×4＝25×4＝100（cm） 这个长方体框架的棱长总和最大是100cm。 9．根据表中的物品参数，这个物品最有可能是（ ）（填序号：①微波炉 ②家用冰箱 ③普通文具盒），它的容积是（ ）L。 包装尺寸 573×337×449（单位：mm） 产品尺寸 502×302×415（单位：mm） 内部尺寸 400×225×300（单位：mm） 【答案】 ① 27 【分析】生活中微波炉的尺寸约为502mm×302mm×415mm，家用冰箱的尺寸约为600mm×750mm×1800mm，普通文具盒的尺寸约为210mm×85mm×35mm，根据三种物品的实际大小，推出表中的物品最有可能是什么，要求容积，用内部尺寸连乘，然后将立方毫米转化成升，除以进率1000000。 【详解】502mm×302mm×415mm最可能是微波炉 400×225×300 ＝90000×300 ＝27000000（mm3） ＝27（L） 这个物品最有可能是①（填序号：①微波炉 ②家用冰箱 ③普通文具盒），它的容积是27L。 10．一个长方体的饮料盒，它的长、宽、高分别是6.4cm，3.5cm、10cm。如果围着它的四周贴一圈商标纸，至少需要（ ）的商标纸。 【答案】198cm2/198平方厘米 【分析】要围着长方体饮料盒的四周贴一圈商标纸，则面积是长方体的侧面面积，即长、高组成的2个面和宽、高组成的2个面，运用小数乘法计算可得出答案。 【详解】根据题意得：在长方体四周贴一圈商标纸，则面积为： （6.4＋3.5）×10×2 ＝9.9×10×22 ＝198（cm2） 即至少需要198cm2的商标纸。 11．一根长方体水泥柱，高50dm，底面是周长为12dm的正方形。这根水泥柱的体积是（ ）dm3。 【答案】450 【分析】将正方形的周长除以4，求出边长，再根据“正方形面积＝边长×边长”求出正方形的面积，即长方体的底面积。根据“长方体体积＝底面积×高”求出这根水泥柱的体积。 【详解】12÷4＝3（dm） 3×3×50 ＝9×50 ＝450（dm3） 所以，这根水泥柱的体积是450dm3。 12．用40分米长的铁丝搭一个长5分米、宽2分米的长方体框架，搭好后的长方体高（ ）分米。若给这个框架表面贴上硬纸板，它所占空间的大小是（ ）立方分米。 【答案】 3 30 【分析】长方体有4条长、4条宽和4条高，所以长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，已知铁丝长40分米（即棱长总和为40分米），用棱长总和除以4求出长、宽、高的和，分别减去长、宽就是高的长度；最后根据“长方体的体积＝长×宽×高”计算出长方体的体积，即这个长方体所占空间的大小。 【详解】40÷4＝10（分米） 10－5－2 ＝5－2 ＝3（分米） 所以搭好后的长方体高3分米。 5×2×3 ＝10×3 ＝30（立方分米） 所以这个长方体所占空间的大小是30立方分米。 13．做一个长0.9m、宽5dm、高4dm的长方体无盖鱼缸，需要玻璃（ ）dm2（接口处忽略不计），最多可盛水（ ）L。 【答案】 157 180 【分析】长方体无盖鱼缸少上面，求这个鱼缸需要玻璃的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算，求出需要玻璃的面积。 根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出最多可盛水的体积。 注意单位的换算：1m＝10dm，1dm3＝1L。 【详解】0.9m＝9dm 9×5＋9×4×2＋5×4×2 ＝45＋72＋40 ＝157（dm2） 9×5×4 ＝45×4 ＝180（dm3） 180dm3＝180L 需要玻璃157dm2，最多可盛水180L。 14．一根4米长的方钢，把它横截成5段时，表面积增加80平方厘米，原来方钢的体积是（ ）立方厘米。 【答案】4000 【分析】把4米长的方钢横截成5段时，一共截了4次，每截1次会增加两个横截面，横截成5段时，一共会增加（2×4）个横截面，该横截面的面积等于方钢的底面积；用增加的表面积除以（2×4）计算出一个横截面的面积，也就是方钢的底面积；再根据长方体的体积＝底面积×高，代入相应数值计算，所得结果即为原来方钢的体积，注意单位的统一换算。 【详解】4米＝400厘米 80÷（2×4）×400 ＝80÷8×400 ＝10×400 ＝4000（立方厘米） 因此原来方钢的体积是4000立方厘米。 15．要做一个容积是80立方分米的长方体水箱，水箱的底面是个正方形，边长是4分米，这个水箱的高是（ ）分米。 【答案】5 【分析】根据长方体的体积＝底面积×高，已知这个长方体水箱的体积，且底面是正方形，结合正方形的面积＝边长×边长，计算出长方体水箱的底面积，最后用体积除以底面积，所得结果即为这个水箱的高。 【详解】80÷（4×4） ＝80÷16 ＝5（分米） 因此这个水箱的高是5分米。 16．用12个1立方厘米的小正方体拼成一个大长方体，拿去1个小正方体后，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】 32 11 【分析】​首先，因为是用12个1立方厘米的小正方体拼成大长方体，通过观察图形可知，长方体的长由3个小正方体棱长组成，宽由2个小正方体棱长组成，高由2个小正方体棱长组成，所以长是3厘米、宽是2厘米、高是2厘米（小正方体棱长为1厘米）。对于表面积，当拿去1个小正方体时，要考虑面的变化情况，小正方体在顶点位置，拿去它会使原来露在外面的3个面消失，但同时又会新露出3个面，所以表面积不变。对于体积，拿去1个小正方体，总体积就等于原来12个小正方体体积之和减去1个小正方体的体积。 【详解】计算原长方体表面积：根据长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2（其中a＝3厘米，b＝2厘米，h＝2厘米）， 则（3×2＋3×2＋2×2）×2 ＝（6＋6＋4）×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米），拿去小正方体后表面积不变，仍为32平方厘米。 计算体积：原体积是12个1立方厘米小正方体体积和，即12立方厘米，拿去1个后，体积为12－1＝11（立方厘米）。 表面积是32平方厘米，体积是11立方厘米。 17．中国的泥塑艺术是一种以黏土为主要材料，通过手工捏塑、模制、雕刻及彩绘等工艺制成立体形象的传统民间艺术，具有悠久的历史和丰富的文化内涵。小兰酷爱捏泥塑，她用彩泥捏了一个长9cm、宽8cm、高7cm的长方体，然后从这个长方体中截下一个最大的正方体。在这个长方体中截下的最大正方体的体积是（ ）cm3，剩下的体积是（ ）cm3。 【答案】 343 161 【分析】已知长方体的长、宽、高，根据长方体的体积公式V＝abh，求出这个长方体的体积； 然后从这个长方体中截下一个最大的正方体，那么这个最大正方体的棱长等于长方体最短的棱；再根据正方体的体积公式V＝a3，求出正方体的体积； 最后用长方体的体积减去正方体的体积，即是剩下的体积。 【详解】长方体的体积： 9×8×7 ＝72×7 ＝504（cm3） 7＜8＜9，则最大正方体的棱长是7cm。 大正方体的体积： 7×7×7 ＝49×7 ＝343（cm3） 剩下的体积： 504－343＝161（cm3） 在这个长方体中截下的最大正方体的体积是（343）cm3，剩下的体积是（161）cm3。 18．如图是一块横截面为正方形的长方体木料，表面积为74平方厘米，锯下一个最大的正方体后，剩下的长方体表面积为54平方厘米。锯下的正方体木料的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】30 【分析】原来的表面积－剩下的表面积＝减少的表面积，看图可知，减少的表面积是锯下的正方体木料上下前后4个正方形的面积和，减少的表面积÷4＝正方体1个面的面积，根据正方体表面积＝1个面的面积×6，列式计算即可。 【详解】（74－54）÷4 ＝20÷4 ＝5（平方厘米） 5×6＝30（平方厘米） 锯下的正方体木料的表面积是30平方厘米。 19．从量杯中取出2个同样的正方体橡皮泥后，杯中水的体积是（ ）毫升。 【答案】200 【分析】​需要先利用正方体体积公式V＝a3（a为正方体棱长）算出2个正方体橡皮泥的体积，再用原来水和橡皮泥的总体积减去2个橡皮泥体积，得到取出后杯中水的体积。 【详解】2个橡皮泥正方体的体积： 5×5×5×2 ＝25×5×2 ＝125×2 ＝250（立方厘米） 250立方厘米＝250毫升 杯中水的体积＝原来水和橡皮泥的总体积－2个橡皮泥的体积 450－250＝200（毫升） 杯中水的体积是200毫升。 培优拔高 20．一个无盖的长方体鱼缸长70厘米、宽50厘米、高40厘米，这个鱼缸至少需要多少平方厘米的玻璃？（缸壁厚度忽略不计） 【答案】13100平方厘米 【分析】无盖长方体鱼缸少上面，求这个鱼缸至少需要玻璃的面积，就是求长方体下面、前后面、左右面共5个面的面积之和；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算求解。 【详解】70×50＋70×40×2＋50×40×2 ＝3500＋5600＋4000 ＝13100（平方厘米） 答：这个鱼缸至少需要13100平方厘米的玻璃。 21．一个修路队用3600立方米的混凝土铺一条长1000米，宽12米的马路，混凝土可以铺多厚？ 【答案】0.3米 【分析】根据长方体的高＝长方体的体积÷长÷宽，代入数据即可求出马路的厚度。 【详解】3600÷1000÷12＝0.3（米） 答：混凝土可以铺0.3米。 22．一个长方体礼盒，长28厘米，宽10厘米，高15厘米。 （1）如果用丝带按图所示方法扎起来（打结处用了15厘米），需要多少厘米丝带？ （2）如果要用包装纸包好礼盒，至少需要多少平方厘米的包装纸？ 【答案】（1）151厘米    （2）1700平方厘米 【分析】（1）看图可知，丝带长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结处长度； （2）根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【详解】（1）28×2＋10×2＋15×4＋15 ＝56＋20＋60＋15 ＝151（厘米） 答：需要151厘米丝带。 （2）（28×10＋28×15＋10×15）×2 ＝（280＋420＋150）×2 ＝850×2 ＝1700（平方厘米） 答：至少需要1700平方厘米的包装纸。 23．一种汽车油箱，从里面量长是8分米，宽是4分米，高是25厘米。 （1）这个油箱最多能装多少升汽油？ （2）如果一辆汽车每千米的耗油量是0.08升，那么这箱汽油最多可以行驶多少千米？ 【答案】（1）80升 （2）1000千米 【分析】（1）根据1分米＝10厘米，统一单位，再根据长方体体积＝长×宽×高，求出油箱容积即可，1立方分米＝1升； （2）油箱容积÷每千米耗油量＝行驶里程，据此列式解答。 【详解】（1）25厘米＝2.5分米 8×4×2.5＝80（立方分米） 80立方分米＝80升 答：这个油箱最多能装80升汽油。 （2）80÷0.08＝1000（千米） 答：这箱汽油最多可以行驶1000千米。 24．一间教室长9米、宽6米、高3米，要粉刷教室的四周和顶部，扣除门窗和黑板的面积21.5平方米，如果每千克涂料可以粉刷2.5平方米，粉刷这间教室要用多少千克涂料？ 【答案】49千克 【分析】根据题意，要粉刷教室的四周和顶部，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，然后减去门窗和黑板的面积，就是需粉刷的面积，再除以每千克涂料可以粉刷的面积，即是粉刷这间教室要用涂料的质量。 【详解】9×6＋9×3×2＋6×3×2 ＝54＋54＋36 ＝144（平方米）     （144－21.5）÷2.5 ＝122.5÷2.5 ＝49（千克） 答：粉刷这间教室要用49千克涂料。 25．甲鱼缸内有一条鳜鱼，量得鱼缸的长是40厘米，宽是40厘米，水面高度是25厘米。将鱼捞出放入乙鱼缸后，甲鱼缸水面高度下降到22厘米。你能求出乙鱼缸放入鱼后水面上升了多少厘米吗？ 【答案】8厘米 【分析】根据不规则物体的体积计算方法可知，甲鱼缸下降的水的体积就是鳜鱼的体积，由题意可知，捞出鳜鱼后甲鱼缸水面下降了（厘米），根据，可求出鳜鱼的体积，再用鳜鱼的体积除以乙水缸的长与宽的积（或用用鳜鱼的体积除以乙水缸的长再除以宽）即可得解。 【详解】40×40×（25－22）÷（50×12） ＝40×40×3÷600 ＝8（厘米） 或40×40×（25－22）÷50÷12 ＝40×40×3÷50÷12 ＝8（厘米） 答：乙鱼缸放入鱼后水面上升了8厘米。 26．下面是一个长方体盒子的展开图。 （1）已知长方体的长是宽的2倍，是高的3倍。求这个长方体盒子的表面积。 （2）若在这个长方体盒子中，放入长、宽均是4厘米，高是5厘米的小长方体积木，最多可以放多少块？ 【答案】（1）1152平方厘米 （2）28块 【分析】（1）由图可知，64厘米是2个长与2个高的和，28厘米是1个宽与2个高的和；已知长是宽的2倍，是高的3倍，则1个长相当于3个高，所以2个长与2个高的和相当于2×3＋2＝8个高的和，用64厘米除以8计算出1个高，用高乘3计算出长，再用长除以2计算出宽；最后根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算出该长方体盒子的表面积。 （2）分别看长方体盒子的长、宽、高，分别包含多少个小积木的长、宽、高，再将这三个方向的数量相乘，得到可放置的总块数： 当以小长方体积木长、宽所在的面为底面放置时，长能放24÷4＝6块，宽能放12÷4＝3块，高能放8÷5＝1块……3厘米，因此总共能放6×3×1＝18块； 当以小长方体积木长、高所在的面为底面放置时，一种情况是小长方体积木的长沿长方体盒子的长放置，长能放24÷4＝6块，宽能放12÷5＝2块……2厘米，高能放8÷4＝2块，此时总共能放6×2×2＝24块；另一种情况是小长方体积木的高沿长方体盒子的长放置，长能放24÷5＝4块……4厘米，宽能放12÷4＝3块，高能放8÷4＝2块，此时总共能放4×3×2＝24块，且还剩一个长12厘米、宽4厘米，高8厘米的空间，此时把小长方体长、高所在的面为底面放置，长能放12÷5＝2块……2厘米，宽能放4÷4＝1块，高能放8÷4＝2块，剩余空间总共放2×1×2＝4块，因此一共放置24＋4＝28块； 最后比较放置块数，找出最多的块数。 【详解】（1）2×3＋2 ＝6＋2 ＝8 64÷8＝8（厘米）    8×3＝24（厘米） 24÷2＝12（厘米）         （24×12＋24×8＋12×8）×2 ＝（288＋192＋96）×2 ＝（480＋96）×2 ＝576×2 ＝1152（平方厘米） 答：这个长方体盒子的表面积是1152平方厘米。 （2）①24÷4＝6（块）     12÷4＝3（块）     8÷5＝1（块）……3（厘米） 6×3×1 ＝18×1 ＝18（块） ②24÷4＝6（块）     12÷5＝2（块）……2（厘米）       8÷4＝2（块）      6×2×2 ＝12×2 ＝24（块） ③24÷5＝4（块）……4（厘米）     12÷4＝3（块）     8÷4＝2（块） 4÷4＝1（块）     12÷5＝2（块）……2（厘米）      8÷4＝2（块） 4×3×2＋1×2×2 ＝12×2＋2×2 ＝24＋4 ＝28（块）      28＞24＞18 答：最多可以放28块。 思维拓展 27．手工课上，李苹制作了一个长方体礼盒，如果将高减少0.6分米，正好变成了一个正方体，会少用纸板7.2平方分米。原来长方体礼盒的体积是（     ）立方分米。 A．4.32 B．5.4 C．27 D．32.4 【答案】D 【分析】如果高减少0.6分米，就成为一个正方体，说明原来的长方体上下两面是正方形，而且原来长方体的高比长和宽多0.6分米，如果高减少0.6分米，就成为一个正方体，而且表面积要减少7.2平方分米，减少的面积在原来长方体中是高0.6分米那部分的侧面积，侧面的这4个面都是宽为0.6分米，长相等的完全一样的长方形，据此可求出原长方体的长和宽，从而求出高，最后根据长方体体积＝长×宽×高求体积。 【详解】长、宽：7.2÷4÷0.6＝3（分米） 高：3＋0.6＝3.6（分米） 体积：3×3×3.6＝32.4（立方分米） 原来长方体礼盒的体积是32.4立方分米。 故答案为：D 28．一个长方体，左右两个面是边长为3分米的正方形，按下图所示切成4块后，表面积增加了138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 【答案】180立方分米 【分析】因为左右两个面是边长为3分米的正方形，根据正方形的面积公式S＝a2，再乘2，即可求出左右两个面的面积； 从图中可知，长方体切成4块后，表面积增加左右两个面和上下两个面的面积之和，先用增加的表面积减去左右两个面的面积，即是上下两个面的面积，再除以2，即可求出原长方体的底面积； 原长方体的高是3分米，根据长方体的体积公式V＝Sh，求出原长方体的体积。 【详解】增加的左右两个面的面积： 3×3×2＝18（平方分米） 长方体的底面积： （138－18）÷2 ＝120÷2 ＝60（平方分米） 原长方体的体积： 60×3＝180（立方分米） 答：原长方体的体积是180立方分米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $