专题03：圆柱与圆锥（解决问题讲义）数学人教版六年级下册

人教版六年级数学下册解决问题 专题03：圆柱与圆锥 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题思路 1、审题辨类型：圈出关键词（如“铁皮”“侧面包装”“容积”“浸没”“切拼”等），判断属于侧面积、表面积、体积还是组合体/不规则物体题型。 2、定公式找参数：根据题型确定对应公式，从题目中提取底面半径r、直径d、高h等关键参数（注意单位统一）。 3、列式计算：代入公式分步计算，涉及实际场景需判断是否“缺面”，涉及切拼需分析“增减的面积/体积”。 4、验证作答：检查结果是否符合实际，规范书写答语和单位。 二、分考点解题技巧与方法 考点1：圆柱的侧面积 1、核心技巧 （1）侧面积定义：圆柱侧面展开是一个长方形（或正方形），长方形的长=圆柱底面周长，宽=圆柱的高。 （2）核心公式 ①已知半径r和高h：S侧=2πrh； ②已知直径d和高h：S侧=πdh； ③已知底面周长C和高h：S侧=Ch （3）应用场景：制作圆柱侧面标签、通风管、压路机压路面积等（无上、下底面）。 2、解题步骤 （1）确定已知参数（r/d/C和h）； （2）选择对应公式计算底面周长； （3）用底面周长乘高，得出侧面积。 考点2：圆柱的表面积 1、核心技巧 （1）表面积定义：圆柱的表面积=侧面积+ 2个底面积。 （2）核心公式 ①完整表面积：S表=S侧＋2S底=2πrh＋2πr² ②实际应用（无盖/无底）：S=2πrh+πr²（如圆柱水桶）； ③实际应用（通风管/烟囱）：S=2πrh（无底面） 应用场景：制作圆柱包装盒、罐头盒、圆柱铁皮桶等。 2、解题步骤 （1）判断是否需要计算完整表面积（有无缺面）； （2）分别计算侧面积和底面积（底面积公式S底=πr²）； （3）按实际需求相加对应部分的面积。 考点3：组合体的表面积问题（圆柱） 1、核心技巧 （1）核心原则：组合体表面积=各圆柱表面积之和－重叠面面积×2（两个圆柱拼接时，重叠的面会被遮住，每个圆柱各少1个面）。 （2）常见类型：圆柱与圆柱拼接（横拼/竖拼）、圆柱与长方体拼接。 （3）关键注意：竖拼时底面积不变，侧面积叠加；横拼时侧面积不变，底面积减少。 2、解题步骤 （1）拆分组合体为若干个基本圆柱（或圆柱与其他立体）； （2）分别计算每个基本立体的表面积； （3）数出重叠面的个数，用“总表面积－2×重叠面面积”（每个重叠面算2次）。 考点4：圆柱的体积（容积） 1、核心技巧 （1）定义 ①体积：圆柱所占空间的大小； ②容积：圆柱容器内部能容纳物体的体积（从内部量参数）。 （2）核心公式 ①通用公式：V＝Sh＝πr²h ②已知直径d： ③已知底面周C： （3）应用场景：求圆柱容器装水/装粮的量、圆柱钢材的重量等。 2、解题步骤 （1）区分体积与容积：体积从外部量r和h，容积从内部量；计算底面积（若未直接给出）； （2）底面积乘高，得出体积/容积； 考点5：圆锥的体积（容积） 1、核心技巧 （1）体积推导：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。 （2）核心公式 ①通用公式：V圆锥＝V圆柱＝πr2h ②已知直径d：V圆锥＝ （3）关键注意：必须满足“等底等高”才能用的关系。 2、解题步骤 （1）确定圆锥的底面半径r（或直径d）和高h； （2）计算底面积底； （3）代入公式，底面积乘高再乘，得出体积； （4）容积计算同体积，需从内部量参数。 考点6：立体图形的切拼（圆柱、圆锥） 1、核心技巧 操作类型 圆柱切拼变化规律 圆锥注意点 沿底面直径纵切 增加2个长方形面； 每个面面积=d×h；体积不变 圆锥纵切增加2个三角形面， 面积=d×h÷2 平行于底面横切 切1次增加2个底面积；切n次增加2n个底面积；体积不变 拼成长方体 圆柱拼成长方体体积不变；表面积增加2个长方形面，面积=r×h 圆锥无法拼成规则长方体 2、解题步骤 （1）判断切拼方式（纵切/横切/拼接）； （2）分析面积/体积的变化：切开会增加面，拼接会减少面，体积均不变； （3）计算增减的面积，结合原立体图形的面积/体积求解。 考点7：组合体的体积问题（圆柱、圆锥） 1、核心技巧 （1）核心原则：组合体体积=各部分体积之和/差（叠加型用和，挖去型用差）。 （2）常见类型 ①叠加型：圆柱+圆柱、圆柱+圆锥（如粮仓：下部圆柱，上部圆锥）； ②挖去型：圆柱内挖去圆锥（等底等高时，剩余体积V柱）。 2、解题步骤 （1）拆分组合体为圆柱、圆锥等基本立体； （2）分别计算每个基本立体的体积； （3）叠加型：体积相加；挖去型：大体积减小体积。 考点8：不规则物体的体积问题 1、 “转化法”求不规则物体的体积 解题方法： （1）根据正放的瓶子得：液体的体积＝瓶子的底面积×液体的高度 （2）根据倒放的瓶子得：空余部分的的体积＝瓶子的底面积×空余部分的高度 （3）瓶子的容积＝液体的体积＋空余部分的体积 2、“排水法”求不规则物体的体积 （1）排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 （2）应用场景：求石块、土豆等不规则物体的体积。 （3）解题步骤 ①记录圆柱容器的底面半径r，计算底面积S底=πr2； ②测量放入物体前的水面高度h1和放入后的高度h2，计算△h=h2－h1； ③代入公式V物= S底×△h，得出不规则物体体积； ④验证：水未溢出，物体完全浸没。 考点1：圆柱的侧面积 【典型例题】适当喝牛奶能补充营养，如图是某品牌的牛奶罐。 （1）如果在牛奶罐的侧面贴上包装纸，包装纸的面积有多大？（接缝处忽略不计） （2）将24罐该品牌牛奶装入纸箱内（如图所示），刚好装满。这个纸箱的容积是多少？ 【练习1】一辆特殊压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，半径是0.6米，这台压路机在压路的同时，能在路面上留下纹理。增加路面摩擦力，提高行车安全，如果压路机的前轮每分钟转20周，那么每分钟可行驶多少米？行驶5分钟压路多少平方米？ 【练习2】用铁皮制作圆柱形通风管，已知通风管的底面直径是8分米，高为20分米，做1节这样的通风管至少需要多少平方分米的铁皮？（π近似值取3.14） 考点2：圆柱的表面积 【典型例题】一个圆柱形蛋糕盒，底面半径是15厘米，高是20厘米。 （1）做这个蛋糕盒大约要用硬纸板多少平方厘米？ （2）用彩带捆扎这个蛋糕盒，至少需要彩带多少厘米？（打结处大约用彩带13厘米） 【练习1】故宫博物院馆藏“碧玉刻诗扳指”（如图），器呈圆筒状。直径约3厘米，高约2厘米。外部雕填金地萱花一枚，另一侧有填金《御题萱花诗》一首。如果给这枚扳指配一个圆柱形包装盒，包装盒的表面积至少是多少平方厘米？（包装盒厚度不计，π取3.14） 【练习2】用水运木头，是劳动人民的智慧。一根长是200厘米、底面半径是10厘米的圆柱形木头浮在水面上，正好有一半露出水面，这根木头与水接触的面有多少平方厘米？ 考点3：组合体的表面积问题（圆柱） 【典型例题】有一顶帽子（如下图），帽顶部分是圆柱形，用硬纸板做的，帽檐部分是一个圆环，也是用同样的硬纸板做的，已知帽顶的半径、高和帽檐的宽都是1分米，那么做这顶帽子至少要用多少平方分米的硬纸板？ 【练习1】有一个圆柱形的零件，高10厘米，底面直径是4厘米，零件的一端有一个圆柱形的孔，孔的底面直径是2厘米，孔深是5厘米（如图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 【练习2】某路口的交警指挥台共有2层，每层的高度都是20厘米，直径分别是120厘米、100厘米。这个交警指挥台露在外面的面积是多少平方米（接触地面的面积除外）？ 考点4：圆柱的体积（容积） 【典型例题】一家饮料企业生产一批饮料，采用圆柱形易拉罐包装，从易拉罐里面量，底面直径约是6厘米，高13厘米（如图）。易拉罐侧面有“净含量350毫升”的字样，请问这家生产商是否欺骗消费者？ 【练习1】一个圆柱形的春晚机器人电池储存盒，底面半径是3米，深2米，这个储存盒能装多少立方米的电池？ 【练习2】兰州牛肉面有着悠久的历史，传说起源于清代。制作流程分为：选面、和面、醒面、溜面、拉面五步。在和面环节时，马师傅将大团软面反复捣、揉、抻、摔后，搓成2厘米粗、18厘米长的一条条面节，然后拿一条面节开始拉面，弹、甩、拉、折……不一会儿就拉出一把粗细均匀的面条。如果每根面条均为0.2厘米粗，那么拉出的面条一共长多少米？ 考点5：圆锥的体积（容积） 【典型例题】工地里有一个圆锥形的沙堆，量得它的底面直径是6米，高1.2米，用车厢（从里面量）长6米、宽2.4米，高1.2米的自卸泥头车来装，能不能一次运完？为什么？ 【练习1】有一顶圆锥形帐篷，占地面积为30平方米，内部空间约为36立方米，这顶帐篷的高约为多少米？ 【练习2】现有一个底面半径是4.5厘米，高是4厘米的圆柱形钢材，把它熔化后再铸成一个底面半径是3厘米的圆锥形钢材，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 考点6：立体图形的切拼（圆柱、圆锥） 【典型例题1】如图，把一个直径是20厘米的圆柱从上底面的一条直径开始，沿着圆柱的高向下切，直到把这个圆柱纵向切开，它的表面积就增加了1600平方厘米。原来的这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【练习1】一个圆柱高10厘米，截成3段后，表面积增加了50.24平方厘米，求原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【练习2】将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 考点7：组合体的体积问题（圆柱、圆锥） 【典型例题】2021年10月16日，神舟十三号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射。此次任务由长征二号F遥十三运载火箭执行。整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成，图是本次运载火箭整流罩模型示意图，圆柱的底面直径是2分米，该模型的体积是多少立方分米？ 【练习1】学校科技社团小组的同学们在研究陀螺的稳定性，他们用圆柱形的木头和圆锥形的金属制作了一个陀螺（如图），你能帮助他们计算出这个陀螺的体积吗？ 【练习2】冷饮公司今年夏天要生产一款奶油冰激凌（如下图），它的底面半径是3厘米。装这样一个冰激凌需要多少立方厘米的奶油？ 考点8：不规则物体的体积问题 【典型例题1】在学习了圆柱和圆锥的体积之后，琪琪用圆柱体容器和圆锥体容器进行了下面两个实验： （1）实验一：琪琪在圆柱体容器里面装了一些水（如图），水深6厘米，再将这些水倒入一个圆锥体容器中。如果倒入等底的圆锥体容器中恰好倒满，则琪琪应该选择高是多少厘米的圆锥体容器？ （2）实验二：琪琪按下面的步骤测量了一块不规则石头的体积。根据测量过程，你能求出石头的体积吗？ 【练习1】如图，一个密封的饮料瓶里装了一些饮料，根据图中的数据，解决下列问题： （1）这个饮料瓶容积是多少？ （2）将这些饮料倒入一个圆锥形杯子里，已知圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是1∶2，高是9厘米，这些饮料可以倒满几杯？ 【练习2】一个内底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水中浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，杯里的水面下降多少厘米？ 夯实基础 1．制作一个底面直径是10cm，长是4m的通风管，至少需要（     ）m2的铁皮。 A．1.256 B．12.56 C．125.6 2．如图，一堆煤成圆锥形，高2m，底面周长是18.84m。这堆煤的体积是（     ）m3。 A．9.42 B．18.84 C．56.52 3．将3个相同的长方体铁块熔铸成和它底面积和高都相等的圆锥体零件，共铸成（     ）个。 A．3 B．6 C．9 4．小聪做了一个圆柱形容器和几个圆锥形容器，尺寸如图所示（单位：cm），将圆柱形容器内的水（阴影部分）倒入下边（     ）圆锥形容器内，正好可以倒满。 A． B． C． 5．如图，一个酒瓶里面深，底面的内直径是，正放时瓶中酒深。把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立，这时酒深，酒瓶的容积是（     ）。 A．392.5 B．1570 C．1413 6．一个圆柱形油桶的容积是150升，底面积是25平方分米，往油桶里倒入油后，油面的高度不可能是（     ）分米。 A．5 B．6 C．7 7．把一个圆柱的侧面沿着一条高剪开后，展开后正好得到一个边长为31.4cm的正方形，这个圆柱的底面半径是（ ）cm，底面积是（ ）cm2。 8．楷楷在一个圆柱形纸盒的侧面贴了一圈4厘米宽的卡通贴纸，这个纸盒底面直径是6厘米，他贴的贴纸面积是（ ）厘米。（贴纸接口处忽略不计） 9．有一个长6cm，宽3cm的长方形小旗，如果以宽为轴旋转一周，它的体积是（ ）cm3。 10．有一张长方形的铁皮（如图），剪下图中两个圆及一个长方形，正好可以做成一个圆柱，这个圆柱的表面积是（ ），体积是（ ）。 11．如下图所示，把体积是628立方厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来圆柱体的表面积增加了80平方厘米，原来圆柱体的表面积是（ ）平方厘米。 12．森林公园的一个亭子里有4根完全相同的圆柱形立柱，高都是5m，底面直径都是40cm。现在工人师傅将这些柱子的外围全部涂上油漆，涂油漆部分的面积是（ ）m2。 13．一个从里面量底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的40%，将一块石块完全没在水中，这时水面上升了12厘米，刚好与杯子口相平，这个玻璃杯的容积是（ ）毫升。 14．节约用水是我们每个人的义务。学校用的自来水管的内径是0.2分米，水管内水的流速是每秒5分米。如果忘记关水龙头，1分钟将浪费（ ）升水。 15．用铁皮做一节高3.5米，底面半径1分米的圆柱形烟囱，至少要一张面积为（ ）平方分米的长方形铁皮。 16．爸爸将一个圆柱形木块削成了一个最大的圆锥，准备给儿子做陀螺。经计算圆锥部分的体积是26.2cm3，那么削去部分的体积是（ ）cm3。 17．把2米长的圆柱形木棒锯成三段，表面积增加了40平方分米，原来木棒的体积是（ ）立方分米。 培优拔高 18．炎帝神农是中华民族的人文始祖，随州是炎帝神农的诞生地。炎帝之祀源远流长。每年农历四月廿六炎帝诞辰日，海内外炎黄子孙以不同形式拜谒始祖炎帝，共同祈福四方。随州市为迎接今年的寻根节，施工队对一处建筑物前的路面进行凹陷硬化修复，工人师傅准备了一些沙子，这些沙子堆成圆锥形，已知沙堆的底面周长是6.28米，高是1.2米，把这些沙子平铺在一个长是8米、宽是2.5米的长方体凹坑里，能铺多少厘米厚？ 19．如图是一卷家用生活卫生纸，已知纸宽度是10厘米，中间硬纸轴的直径是3.5厘米。你知道制作一提（12卷）这样的卫生纸至少需要多少平方厘米的硬纸板来制作纸轴吗？（接缝处忽略不计） 20．某品牌矿泉水瓶上有一张包装纸（包装纸包裹住的瓶身近似圆柱体），矿泉水瓶的直径是6厘米，包装纸的高是5厘米，重叠处宽1厘米。这张包装纸的面积是多少平方厘米？ 21．某工厂建了一个圆柱形蓄水池，底面直径是40米，深20米。 （1）将蓄水池的内壁和底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少？ （2）蓄水池的容积是多少立方米？ 22．“数学节”活动期间，小明利用排水法测量一个土豆的体积（如图）。请根据下面的测量步骤和结果，求出这个土豆的体积是多少立方厘米。（取出土豆时，水没有溢出）（单位：厘米） 思维拓展 23．一个圆柱形木块若切成4块（如图1），表面积增加48平方厘米；若切成3块（如图2），表面积增加50.24平方厘米，若削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少（ ）立方厘米。 25．王师傅做了一个底面积为240平方厘米的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化大致如图所示： ①圆锥零件浸入油漆缸（     ）分钟后开始渗漏。 ②求铁质圆锥的高度是多少厘米？ ③油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学下册解决问题 专题03：圆柱与圆锥 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题思路 1、审题辨类型：圈出关键词（如“铁皮”“侧面包装”“容积”“浸没”“切拼”等），判断属于侧面积、表面积、体积还是组合体/不规则物体题型。 2、定公式找参数：根据题型确定对应公式，从题目中提取底面半径r、直径d、高h等关键参数（注意单位统一）。 3、列式计算：代入公式分步计算，涉及实际场景需判断是否“缺面”，涉及切拼需分析“增减的面积/体积”。 4、验证作答：检查结果是否符合实际，规范书写答语和单位。 二、分考点解题技巧与方法 考点1：圆柱的侧面积 1、核心技巧 （1）侧面积定义：圆柱侧面展开是一个长方形（或正方形），长方形的长=圆柱底面周长，宽=圆柱的高。 （2）核心公式 ①已知半径r和高h：S侧=2πrh； ②已知直径d和高h：S侧=πdh； ③已知底面周长C和高h：S侧=Ch （3）应用场景：制作圆柱侧面标签、通风管、压路机压路面积等（无上、下底面）。 2、解题步骤 （1）确定已知参数（r/d/C和h）； （2）选择对应公式计算底面周长； （3）用底面周长乘高，得出侧面积。 考点2：圆柱的表面积 1、核心技巧 （1）表面积定义：圆柱的表面积=侧面积+ 2个底面积。 （2）核心公式 ①完整表面积：S表=S侧＋2S底=2πrh＋2πr² ②实际应用（无盖/无底）：S=2πrh+πr²（如圆柱水桶）； ③实际应用（通风管/烟囱）：S=2πrh（无底面） 应用场景：制作圆柱包装盒、罐头盒、圆柱铁皮桶等。 2、解题步骤 （1）判断是否需要计算完整表面积（有无缺面）； （2）分别计算侧面积和底面积（底面积公式S底=πr²）； （3）按实际需求相加对应部分的面积。 考点3：组合体的表面积问题（圆柱） 1、核心技巧 （1）核心原则：组合体表面积=各圆柱表面积之和－重叠面面积×2（两个圆柱拼接时，重叠的面会被遮住，每个圆柱各少1个面）。 （2）常见类型：圆柱与圆柱拼接（横拼/竖拼）、圆柱与长方体拼接。 （3）关键注意：竖拼时底面积不变，侧面积叠加；横拼时侧面积不变，底面积减少。 2、解题步骤 （1）拆分组合体为若干个基本圆柱（或圆柱与其他立体）； （2）分别计算每个基本立体的表面积； （3）数出重叠面的个数，用“总表面积－2×重叠面面积”（每个重叠面算2次）。 考点4：圆柱的体积（容积） 1、核心技巧 （1）定义 ①体积：圆柱所占空间的大小； ②容积：圆柱容器内部能容纳物体的体积（从内部量参数）。 （2）核心公式 ①通用公式：V＝Sh＝πr²h ②已知直径d： ③已知底面周C： （3）应用场景：求圆柱容器装水/装粮的量、圆柱钢材的重量等。 2、解题步骤 （1）区分体积与容积：体积从外部量r和h，容积从内部量；计算底面积（若未直接给出）； （2）底面积乘高，得出体积/容积； 考点5：圆锥的体积（容积） 1、核心技巧 （1）体积推导：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。 （2）核心公式 ①通用公式：V圆锥＝V圆柱＝πr2h ②已知直径d：V圆锥＝ （3）关键注意：必须满足“等底等高”才能用的关系。 2、解题步骤 （1）确定圆锥的底面半径r（或直径d）和高h； （2）计算底面积底； （3）代入公式，底面积乘高再乘，得出体积； （4）容积计算同体积，需从内部量参数。 考点6：立体图形的切拼（圆柱、圆锥） 1、核心技巧 操作类型 圆柱切拼变化规律 圆锥注意点 沿底面直径纵切 增加2个长方形面； 每个面面积=d×h；体积不变 圆锥纵切增加2个三角形面， 面积=d×h÷2 平行于底面横切 切1次增加2个底面积；切n次增加2n个底面积；体积不变 拼成长方体 圆柱拼成长方体体积不变；表面积增加2个长方形面，面积=r×h 圆锥无法拼成规则长方体 2、解题步骤 （1）判断切拼方式（纵切/横切/拼接）； （2）分析面积/体积的变化：切开会增加面，拼接会减少面，体积均不变； （3）计算增减的面积，结合原立体图形的面积/体积求解。 考点7：组合体的体积问题（圆柱、圆锥） 1、核心技巧 （1）核心原则：组合体体积=各部分体积之和/差（叠加型用和，挖去型用差）。 （2）常见类型 ①叠加型：圆柱+圆柱、圆柱+圆锥（如粮仓：下部圆柱，上部圆锥）； ②挖去型：圆柱内挖去圆锥（等底等高时，剩余体积V柱）。 2、解题步骤 （1）拆分组合体为圆柱、圆锥等基本立体； （2）分别计算每个基本立体的体积； （3）叠加型：体积相加；挖去型：大体积减小体积。 考点8：不规则物体的体积问题 1、 “转化法”求不规则物体的体积 解题方法： （1）根据正放的瓶子得：液体的体积＝瓶子的底面积×液体的高度 （2）根据倒放的瓶子得：空余部分的的体积＝瓶子的底面积×空余部分的高度 （3）瓶子的容积＝液体的体积＋空余部分的体积 2、“排水法”求不规则物体的体积 （1）排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 （2）应用场景：求石块、土豆等不规则物体的体积。 （3）解题步骤 ①记录圆柱容器的底面半径r，计算底面积S底=πr2； ②测量放入物体前的水面高度h1和放入后的高度h2，计算△h=h2－h1； ③代入公式V物= S底×△h，得出不规则物体体积； ④验证：水未溢出，物体完全浸没。 考点1：圆柱的侧面积 【典型例题】适当喝牛奶能补充营养，如图是某品牌的牛奶罐。 （1）如果在牛奶罐的侧面贴上包装纸，包装纸的面积有多大？（接缝处忽略不计） （2）将24罐该品牌牛奶装入纸箱内（如图所示），刚好装满。这个纸箱的容积是多少？ 【答案】（1）157平方厘米 （2）6000立方厘米 【分析】（1）根据圆柱侧面积＝底面周长×高，列式解答即可； （2）看图可知，纸箱的长＝牛奶罐的底面直径×6，纸箱的宽＝牛奶罐的直面直径×4，纸箱的高＝牛奶罐的高，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出纸箱的容积。 【详解】（1）3.14×5×10 ＝15.7×10 ＝157（平方厘米） 答：包装纸的面积有157平方厘米。 （2）长：5×6＝30（厘米） 宽：5×4＝20（厘米） 高：10厘米 30×20×10＝6000（立方厘米） 答：这个纸箱的容积是6000立方厘米。 【练习1】一辆特殊压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，半径是0.6米，这台压路机在压路的同时，能在路面上留下纹理。增加路面摩擦力，提高行车安全，如果压路机的前轮每分钟转20周，那么每分钟可行驶多少米？行驶5分钟压路多少平方米？ 【答案】75.36米；753.6平方米 【分析】（1）先根据圆的周长＝2πr求出压路机转1周转多少米，再乘每分钟转的周数即可得到每分钟行驶多少米； （2）压路机一圈压过的面积等于圆柱的侧面积，圆柱的侧面积＝2πrh，据此求出一周的面积，再乘每分钟转的周数即可得到每分钟压路多少平方米；再用每分钟压路的面积乘5即可得到5分钟压路的面积。 【详解】0.6×2×3.14×20 ＝3.768×20 ＝75.36（米） 2×0.6×3.14×2×20×5 ＝3.768×2×20×5 ＝7.536×20×5 ＝150.72×5 ＝753.6（平方米） 答：每分钟可行驶75.36米，行驶5分钟压路753.6平方米。 【练习2】用铁皮制作圆柱形通风管，已知通风管的底面直径是8分米，高为20分米，做1节这样的通风管至少需要多少平方分米的铁皮？（π近似值取3.14） 【答案】502.4平方分米 【分析】因为是通风管，所以通风管没有底面和顶面，所需铁皮的面积等于圆柱的侧面积。根据圆柱侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×8×20 ＝25.12×20 ＝502.4（平方分米） 答：做1节这样的通风管至少需要502.4平方分米的铁皮。 考点2：圆柱的表面积 【典型例题】一个圆柱形蛋糕盒，底面半径是15厘米，高是20厘米。 （1）做这个蛋糕盒大约要用硬纸板多少平方厘米？ （2）用彩带捆扎这个蛋糕盒，至少需要彩带多少厘米？（打结处大约用彩带13厘米） 【答案】（1）3297平方厘米 （2）213厘米 【分析】（1）求硬纸板的面积相当于求圆柱表面积，根据圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，列式解答即可； （2）看图可知，彩带的长度＝高×4＋底面直径×4＋打结处长度，底面直径＝底面半径×2，据此列式解答。 【详解】（1）3.14×152×2＋2×3.14×15×20 ＝3.14×225×2＋2×3.14×15×20 ＝1413＋1884 ＝3297（平方厘米） 答：做这个蛋糕盒大约要用硬纸板3297平方厘米。 （2）20×4＋15×2×4＋13 ＝80＋120＋13 ＝213（厘米） 答：至少需要彩带213厘米。 【练习1】故宫博物院馆藏“碧玉刻诗扳指”（如图），器呈圆筒状。直径约3厘米，高约2厘米。外部雕填金地萱花一枚，另一侧有填金《御题萱花诗》一首。如果给这枚扳指配一个圆柱形包装盒，包装盒的表面积至少是多少平方厘米？（包装盒厚度不计，π取3.14） 【答案】32.97平方厘米 【分析】根据圆柱表面积＝底面积×高＋侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，列式解答即可。 【详解】 （平方厘米） 答：包装盒的表面积至少是32.97平方厘米。 【练习2】用水运木头，是劳动人民的智慧。一根长是200厘米、底面半径是10厘米的圆柱形木头浮在水面上，正好有一半露出水面，这根木头与水接触的面有多少平方厘米？ 【答案】6594平方厘米 【分析】根据题意可知，这跟木头与水接触的面的面积就是这个圆柱形木头表面积的一半，根据圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答。 【详解】（3.14×102×2＋3.14×10×2×200）÷2 ＝（3.14×100×2＋31.4×2×200）÷2 ＝（314×2＋62.8×200）÷2 ＝（628＋12560）÷2 ＝13188÷2 ＝6594（平方厘米） 答：这根木头与水接触的面有6594平方厘米。 考点3：组合体的表面积问题（圆柱） 【典型例题】有一顶帽子（如下图），帽顶部分是圆柱形，用硬纸板做的，帽檐部分是一个圆环，也是用同样的硬纸板做的，已知帽顶的半径、高和帽檐的宽都是1分米，那么做这顶帽子至少要用多少平方分米的硬纸板？ 【答案】18.84平方分米 【分析】看图可知，硬纸板的面积＝圆柱底面积＋圆柱侧面积＋帽檐（圆环）的面积，圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方，圆柱侧面积＝底面周长×高，圆环的面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），据此列式解答。 【详解】1＋1＝2（分米） 3.14×12＋2×3.14×1×1＋3.14×（22－12） ＝3.14×1＋6.28＋3.14×（4－1） ＝3.14＋6.28＋3.14×3 ＝3.14＋6.28＋9.42 ＝18.84（平方分米） 答：做这顶帽子至少要用18.84平方分米的硬纸板。 【练习1】有一个圆柱形的零件，高10厘米，底面直径是4厘米，零件的一端有一个圆柱形的孔，孔的底面直径是2厘米，孔深是5厘米（如图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 【答案】182.12平方厘米 【分析】这个零件接触空气的部分涂防锈漆的面积即这个零件的表面积，零件的表面积等于圆柱体的表面积加上圆柱形圆孔的侧面积；根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×10＋3.14×2×5 ＝3.14×4×2＋12.56×10＋6.28×5 ＝12.56×2＋125.6＋31.4 ＝25.12＋125.6＋31.4 ＝150.72＋31.4 ＝182.12（平方厘米） 答：一共要涂182.12平方厘米。 【练习2】某路口的交警指挥台共有2层，每层的高度都是20厘米，直径分别是120厘米、100厘米。这个交警指挥台露在外面的面积是多少平方米（接触地面的面积除外）？ 【答案】2.512平方米 【分析】观察可知，露在外面的有小圆柱的上底和侧面、大圆柱的侧面和上底去掉小圆柱的下底面积，把小圆柱上底移到下底，则所求面积等于小圆柱的侧面积加大圆柱的一个底面积再加大圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式，圆的面积公式，代入数据计算，再把单位转化为平方米即可。 【详解】 （平方厘米） ＝2.512（平方米） 答：这个交警指挥台露在外面的面积是2.512平方米。 考点4：圆柱的体积（容积） 【典型例题】一家饮料企业生产一批饮料，采用圆柱形易拉罐包装，从易拉罐里面量，底面直径约是6厘米，高13厘米（如图）。易拉罐侧面有“净含量350毫升”的字样，请问这家生产商是否欺骗消费者？ 【答案】这家生产商没有欺骗消费者 【分析】易拉罐是一个圆柱形，要求出易拉罐净含量，即计算圆柱形易拉罐的容积（体积）；圆柱体积＝，可求出体积，再根据体积、容积单位换算，1立方厘米＝1毫升，进而比较容积大小，大于或等于350毫升则没有欺骗，据此可得出答案。 【详解】圆柱形易拉罐体积（容积）为： （立方厘米） 367.38立方厘米＝367.38毫升＞350毫升 即实际易拉罐容积大于标注的净含量，则没有欺骗消费者。 答：易拉罐容积大于标注净含量，这家生产商没有欺骗消费者。 【练习1】一个圆柱形的春晚机器人电池储存盒，底面半径是3米，深2米，这个储存盒能装多少立方米的电池？ 【答案】56.52立方米 【分析】圆柱的体积公式V＝πr2h，据此代入数据列式计算即可解答。 【详解】3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方米） 答：这个储存盒能装56.52立方米的电池。 【练习2】兰州牛肉面有着悠久的历史，传说起源于清代。制作流程分为：选面、和面、醒面、溜面、拉面五步。在和面环节时，马师傅将大团软面反复捣、揉、抻、摔后，搓成2厘米粗、18厘米长的一条条面节，然后拿一条面节开始拉面，弹、甩、拉、折……不一会儿就拉出一把粗细均匀的面条。如果每根面条均为0.2厘米粗，那么拉出的面条一共长多少米？ 【答案】18米 【分析】拉面过程中，面团只是形状发生改变（从圆柱状面节拉成细圆柱状面条），体积始终保持不变。因此，面节的体积＝所有细面条的总体积。 面节可看作圆柱体，圆柱体积公式为：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高，这里是长度）。面节粗（直径）2厘米，半径为2÷2＝1厘米；面节长18厘米；代入公式得面节体积为3.14×12×18＝3.14×1×18＝56.52（立方厘米）。 细面条同样为圆柱体，体积等于面节体积，已知细面条粗（直径）0.2厘米，细面条半径为0.2÷2＝0.1厘米；由圆柱体积公式可得h＝V÷（πr2）。已知体积为56.52立方厘米，半径为0.1厘米，把数据代入公式计算即可得出拉出的面条长度，然后把单位换算成米即可。 【详解】2÷2＝1（厘米） 3.14×12×18 ＝3.14×1×18 ＝56.52（立方厘米） 56.52÷（3.14×0.12） ＝56.52÷（3.14×0.01） ＝56.52÷0.0314 ＝1800（厘米） 1米＝100厘米 1800÷100＝18（米） 答：拉出的面条一共长18米。 考点5：圆锥的体积（容积） 【典型例题】工地里有一个圆锥形的沙堆，量得它的底面直径是6米，高1.2米，用车厢（从里面量）长6米、宽2.4米，高1.2米的自卸泥头车来装，能不能一次运完？为什么？ 【答案】能；见详解 【分析】分析题目，先根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h列式求出沙子的体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高列式求出车一次可以运多少沙子，最后和沙子的体积进行比较，若大于或等于沙子的体积，则可以一次运完，反之则不能。 【详解】3.14×（6÷2）2×1.2× ＝3.14×32×1.2× ＝3.14×9×1.2× ＝28.26×1.2× ＝33.912× ＝11.304（立方米） 6×2.4×1.2 ＝14.4×1.2 ＝17.28（立方米） 11.304＜17.28 答：能一次运完。因为一次可以运送17.28立方米的沙子，而需要运送的沙子只有11.304立方米，所以能一次运完。 【练习1】有一顶圆锥形帐篷，占地面积为30平方米，内部空间约为36立方米，这顶帐篷的高约为多少米？ 【答案】3.6米 【分析】根据题意，圆锥形帐篷的占地面积为30平方米，即底面圆的面积为30平方米，再由内部空间约为36立方米，即圆锥的体积为36立方米，根据圆锥体积公式：，可求出帐篷的高。 【详解】解：设帐篷的高为米。 答：这顶帐篷的高约为3.6米。 【练习2】现有一个底面半径是4.5厘米，高是4厘米的圆柱形钢材，把它熔化后再铸成一个底面半径是3厘米的圆锥形钢材，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 【答案】27厘米 【分析】已知圆柱形钢材底面半径是4.5厘米，高是4厘米，根据圆柱的体积公式计算出圆柱形钢材的体积；把它熔化后再铸成一个圆锥形钢材，熔化后体积不变，因此圆锥形钢材的体积就是圆柱形钢材的体积； 已知圆锥形钢材的底面半径是3厘米，根据圆的面积公式计算出圆锥形钢材的底面积，然后根据“圆锥体积＝×底面积×高”，用圆锥形钢材体积乘3再除以底面积即可计算出圆锥形钢材的高。 【详解】3.14×4.52×4 ＝3.14×20.25×4 ＝63.585×4 ＝254.34（立方厘米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 254.34×3÷28.26 ＝763.02÷28.26 ＝27（厘米） 答：这个圆锥形钢材的高是27厘米。 考点6：立体图形的切拼（圆柱、圆锥） 【典型例题1】如图，把一个直径是20厘米的圆柱从上底面的一条直径开始，沿着圆柱的高向下切，直到把这个圆柱纵向切开，它的表面积就增加了1600平方厘米。原来的这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】12560立方厘米 【分析】增加的表面积等于长为圆柱的高，宽为圆柱的底面直径的2个长方形的面积，用增加的面积除以2求出一个长方形的面积，再用长方形的面积除以圆柱的底面直径求出圆柱的高，再根据圆柱的体积＝解答即可。 【详解】1600÷2＝800（平方厘米） 800÷20＝40（厘米） 20÷2＝10（厘米） 3.14××40 ＝3.14×100×40 ＝314×40 ＝12560（立方厘米） 答：原来的这个圆柱的体积是12560立方厘米。 【练习1】一个圆柱高10厘米，截成3段后，表面积增加了50.24平方厘米，求原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】125.6立方厘米 【分析】根据题意可知，圆柱截成3段后，增加4个底面的面积，用增加的面积÷4，求出底面的面积，再根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】50.24÷4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（立方厘米） 答：原来圆柱的体积是125.6立方厘米。 【练习2】将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 【答案】130平方厘米 【分析】要把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块，应沿着回锥的高切开，得到两个切面，切面是两个相同的等腰三角形。切开后，表面积比原来增加的部分为两个等腰三角形的面积。等腰三角形的高是圆锥的高，等腰三角形的底是圆锥的底面直径。根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出两个等腰三角形的面积，也就是表面积比原来增加的部分。 【详解】26×5÷2×2 ＝130÷2×2 ＝65×2 ＝130（平方厘米） 答：表面积比原来增加了130平方厘米。 考点7：组合体的体积问题（圆柱、圆锥） 【典型例题】2021年10月16日，神舟十三号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射。此次任务由长征二号F遥十三运载火箭执行。整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成，图是本次运载火箭整流罩模型示意图，圆柱的底面直径是2分米，该模型的体积是多少立方分米？ 【答案】15.7立方分米 【分析】从图中可知该图形由一个底面直径是2分米，高是3分米的圆锥和一个底面直径是2分米，高是4分米的圆柱组成。先计算出底面半径，根据圆锥体积公式计算出圆锥体积，再根据圆柱体积公式计算出圆柱体积，最后相加就是该模型的体积。 【详解】2÷2＝1（分米） ＝ ＝ ＝（立方分米） ＝ ＝ ＝（立方分米） 3.14＋12.56＝15.7（立方分米） 答：该模型的体积是15.7立方分米。 【练习1】学校科技社团小组的同学们在研究陀螺的稳定性，他们用圆柱形的木头和圆锥形的金属制作了一个陀螺（如图），你能帮助他们计算出这个陀螺的体积吗？ 【答案】471立方厘米 【分析】分析题目，陀螺是由一个圆柱体和一个圆锥体组成的，圆柱的体积＝π（d÷2）2h，圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加即可得到陀螺的体积。 【详解】3.14×（10÷2）2×4 ＝3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 3.14×（10÷2）2×6× ＝3.14×52×6× ＝3.14×25×6× ＝78.5×6× ＝471× ＝157（立方厘米） 314＋157＝471（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是471立方厘米。 【练习2】冷饮公司今年夏天要生产一款奶油冰激凌（如下图），它的底面半径是3厘米。装这样一个冰激凌需要多少立方厘米的奶油？ 【答案】122.46立方厘米 【分析】由图可知，求这个冰淇淋需要多少立方厘米的奶油，就是求一个底面半径为3厘米，高为4厘米和一个底面半径为3厘米，高为9厘米的两个圆锥体积之和，根据圆锥的体积V＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】3.14×32×4×＋3.14×32×9× ＝3.14×9×4×＋3.14×9×9× ＝28.26×4×＋28.26×9× ＝113.04×＋254.34× ＝37.68＋84.78 ＝122.46（立方厘米） 答：装这样一个冰激凌需要122.46立方厘米的奶油。 考点8：不规则物体的体积问题 【典型例题1】在学习了圆柱和圆锥的体积之后，琪琪用圆柱体容器和圆锥体容器进行了下面两个实验： （1）实验一：琪琪在圆柱体容器里面装了一些水（如图），水深6厘米，再将这些水倒入一个圆锥体容器中。如果倒入等底的圆锥体容器中恰好倒满，则琪琪应该选择高是多少厘米的圆锥体容器？ （2）实验二：琪琪按下面的步骤测量了一块不规则石头的体积。根据测量过程，你能求出石头的体积吗？ 【答案】（1）18厘米 （2）106.08立方厘米 【分析】（1）圆柱的体积：，圆锥的体积：，通过公式可知，等底的圆柱体积是圆锥体积的3倍。用圆柱容器内水的体积乘3后再除以圆锥容器的底面面积，就是圆锥容器恰好倒满时圆锥容器的高度，据此解答； （2）原来圆柱内水的深度是6厘米，石块完全浸没，水的深度是8厘米，求出上升部分的体积，再减去后来加入水的体积，即可求出石块的体积，据此解答。 【详解】（1） （厘米） 答：选择高是18厘米的圆锥体容器。 （2） （立方厘米） 120毫升＝120立方厘米 226.08-120＝106.08（立方厘米） 答：石块的体积是106.08立方厘米。 【练习1】如图，一个密封的饮料瓶里装了一些饮料，根据图中的数据，解决下列问题： （1）这个饮料瓶容积是多少？ （2）将这些饮料倒入一个圆锥形杯子里，已知圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是1∶2，高是9厘米，这些饮料可以倒满几杯？ 【答案】（1）753.6毫升 （2）8杯 【分析】（1）瓶子正放或倒放时的容积与饮料的体积不变，则瓶子正放或倒放时瓶子里空气的体积相等，所以瓶子的容积＝左图中水的体积＋右图中空气的体积。圆柱的体积V＝πr2h，据此求出左图中水的体积，右图中空气的体积，再把二者加起来即可求出瓶子的容积。 （2）已知圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是1∶2，则这个圆锥底面积半径是这个饮料瓶的底面半径的，据此求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积V＝πr2h，求出圆锥形杯子的容积，再用这些饮料的容积除以圆锥形杯子的容积，如果有余数，根据“去尾法”即可求出可以倒满几杯；如果没有余数，商是几就是可以倒满几杯。 【详解】（1）8÷2＝4（厘米） 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝50.24×6 ＝301.44（立方厘米） 3.14×42×9 ＝3.14×16×9 ＝50.24×9 ＝452.16（立方厘米） 301.44＋452.16＝753.6（立方厘米） 753.6立方厘米＝753.6毫升 答：这个饮料瓶容积是753.6毫升。 （2）4×＝2（厘米） 3.14×22×9× ＝3.14×4×9× ＝12.56×9× ＝37.68（立方厘米） 301.44÷37.68＝8（杯） 答：这些饮料可以倒满8杯。 【练习2】一个内底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水中浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，杯里的水面下降多少厘米？ 【答案】1.2厘米 【分析】杯里的水面下降部分的体积等于圆锥形铅锤的体积，根据圆锥体积＝底面积×高，求出杯里的水面下降部分的体积，再用杯里的水面下降部分的体积除以圆柱的底面积，求出杯里的水面下降多少厘米即可。 【详解】下降水的体积：×3.14×（12÷2）2×10 ＝×3.14×36×10 ＝×36×3.14×10 ＝12×3.14×10 ＝12×31.4 ＝376.8（立方厘米） 下降高度：376.8÷（3.14×102） ＝376.8÷（3.14×100） ＝376.8÷314 ＝1.2（厘米） 答：杯里的水面下降1.2厘米。 夯实基础 1．制作一个底面直径是10cm，长是4m的通风管，至少需要（     ）m2的铁皮。 A．1.256 B．12.56 C．125.6 【答案】A 【分析】由于通风管上下是空心的，所以需要的铁皮实际就是圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可求解，注意单位名数的换算。 【详解】10cm＝0.1m 3.14×0.1×4 ＝0.314×4 ＝1.256（m）2 制作一个底面直径是10cm，长是4m的通风管，至少需要1.256m2的铁皮。 故答案为：A 2．如图，一堆煤成圆锥形，高2m，底面周长是18.84m。这堆煤的体积是（     ）m3。 A．9.42 B．18.84 C．56.52 【答案】B 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆锥底面的半径，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（m） 3.14×32×2× ＝3.14×9×2× ＝28.26×2× ＝56.52× ＝18.84（m3） 一堆煤成圆锥形，高2m，底面周长是18.84m。这堆煤的体积是18.84m3。 故答案为：B 3．将3个相同的长方体铁块熔铸成和它底面积和高都相等的圆锥体零件，共铸成（     ）个。 A．3 B．6 C．9 【答案】C 【分析】因为等底等高的长方体的体积是圆锥体积的3倍，所以3个相同的长方体铁块可以熔铸成和它等底等高的圆锥体零件9个。 【详解】3×3＝9（个） 共铸成9个。 故答案为：C 4．小聪做了一个圆柱形容器和几个圆锥形容器，尺寸如图所示（单位：cm），将圆柱形容器内的水（阴影部分）倒入下边（     ）圆锥形容器内，正好可以倒满。 A． B． C． 【答案】B 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆锥与圆柱的体积相等，底面积也相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，已知圆柱容器中水的高是6厘米，那么与圆柱等底的圆锥的高是（6×3）厘米。据此解答。 【详解】6×3＝18（厘米） 所以将圆柱形容器内的水（阴影部分）倒入B圆锥形容器内，正好可以倒满。 故答案为：B 5．如图，一个酒瓶里面深，底面的内直径是，正放时瓶中酒深。把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立，这时酒深，酒瓶的容积是（     ）。 A．392.5 B．1570 C．1413 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积＝，求出正放时酒的体积，倒放时酒的容积没有发生变化，求出空气部分的容积，用倒放时空气的容积加上酒的容积即是容器的容积。据此解答即可。 【详解】 ＝3.14×52×13 ＝3.14×52×5 故答案为：C 6．一个圆柱形油桶的容积是150升，底面积是25平方分米，往油桶里倒入油后，油面的高度不可能是（     ）分米。 A．5 B．6 C．7 【答案】C 【分析】已知圆柱形油桶的容积和底面积，根据圆柱的体积（容积）公式V＝Sh，可知圆柱的高h＝V÷S，据此求出这个油桶最多装油的高度，再与三个选项中油面的高度进行比较，得出结论。注意单位的换算：1升＝1立方分米。 【详解】150升＝150立方分米 150÷25＝6（分米） 即这个圆柱形油桶装油的高度不超过6分米。 A．5＜6，油面的高度可能是5分米； B．6＝6，油面的高度可能是6分米； C．7＞6，油面的高度不可能是7分米。 故答案为：C 7．把一个圆柱的侧面沿着一条高剪开后，展开后正好得到一个边长为31.4cm的正方形，这个圆柱的底面半径是（ ）cm，底面积是（ ）cm2。 【答案】 5 78.5 【分析】根据题意可知，侧面展开是一个正方形，由此可知，圆柱的底面直径等于圆柱的高，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱的底面半径，再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 把一个圆柱的侧面沿着一条高剪开后，展开后正好得到一个边长为31.4cm的正方形，这个圆柱的底面半径是5cm，底面积是78.5cm2。 8．楷楷在一个圆柱形纸盒的侧面贴了一圈4厘米宽的卡通贴纸，这个纸盒底面直径是6厘米，他贴的贴纸面积是（ ）厘米。（贴纸接口处忽略不计） 【答案】75.36 【分析】圆柱底面是圆，已知底面直径6厘米，根据圆的周长公式C＝πd，计算出底面周长；因为贴纸是贴在圆柱侧面的一圈，且宽度为4厘米，那么贴纸的形状为长方形，这个长方形的长就是圆柱底面的周长，宽是4厘米，根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形面积，即贴纸面积。 【详解】3.14×6×4 ＝18.84×4 ＝75.36（平方厘米） 所以他贴的贴纸面积是75.36平方厘米。 9．有一个长6cm，宽3cm的长方形小旗，如果以宽为轴旋转一周，它的体积是（ ）cm3。 【答案】339.12 【分析】一个长6cm，宽3cm的长方形小旗，如果以宽为轴旋转一周，旋转后的图形是一个圆柱，圆柱的底面半径是原长方形小旗的长6cm，高是3cm，根据圆柱的体积＝h，据此解答。 【详解】3.14××3 ＝3.14×36×3 ＝113.04×3 ＝339.12（） 所以它的体积是339.12。 10．有一张长方形的铁皮（如图），剪下图中两个圆及一个长方形，正好可以做成一个圆柱，这个圆柱的表面积是（ ），体积是（ ）。 【答案】 1884 6280 【分析】图中两个圆和一个长方形正好可以做成一个圆柱，则这个长方形的长等于底面圆的周长，已知圆的半径，根据圆的周长＝2πr，代入数值计算出长方形的长，长方形的宽等于圆柱的高，也等于底面圆的直径；根据圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋2个圆的面积，圆柱的侧面积等于这个长方形的面积，根据圆的面积＝πr2，根据圆柱的体积＝底面积×高，代入相应数值计算即可解答。 【详解】圆柱的高＝底面圆的直径：2×10＝20（cm） 剪下的长方形的长：2×3.14×10＝62.8（cm） 圆柱的表面积：3.14×102×2＋62.8×20 ＝3.14×100×2＋1256 ＝314×2＋1256 ＝628＋1256 ＝1884（cm2） 3.14×102×20 ＝3.14×100×20 ＝314×20 ＝6280（cm3） 因此这个圆柱的表面积是1884cm2；体积是6280cm3。 11．如下图所示，把体积是628立方厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来圆柱体的表面积增加了80平方厘米，原来圆柱体的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】408.2 【分析】分析题目，表面积增加的部分是两个以圆柱的高为长、底面半径为宽的长方形的面积，据此用80除以2即可求出一个长方形的面积，再根据长方形的面积＝长×宽可得rh的值，再根据圆柱的体积V＝πr2h可得：r2h＝V÷π，据此用圆柱的体积除以π求出r2h的值，再用r2h的值除以rh的值即可得到r，再用rh的值除以r求出h，最后根据圆柱的表面积＝2πr2＋2πrh代入数据列式计算即可。 【详解】80÷2＝40（平方厘米） 628÷3.14＝200 200÷40＝5（厘米） 40÷5＝8（厘米） 3.14×52×2＋2×5×3.14×8 ＝3.14×25×2＋10×3.14×8 ＝78.5×2＋31.4×8 ＝157＋251.2 ＝408.2（平方厘米） 把体积是628立方厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来圆柱体的表面积增加了80平方厘米，原来圆柱体的表面积是408.2平方厘米。 12．森林公园的一个亭子里有4根完全相同的圆柱形立柱，高都是5m，底面直径都是40cm。现在工人师傅将这些柱子的外围全部涂上油漆，涂油漆部分的面积是（ ）m2。 【答案】25.12 【分析】由题意可知，要求的是4根圆柱的侧面积的和，根据圆柱的侧面积公式，代入数据可得一根圆柱的侧面积再乘4即可得解，计算前应把40cm的单位转化为m。 【详解】40cm＝0.4m （m2） 涂油漆部分的面积是25.12m2。 13．一个从里面量底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的40%，将一块石块完全没在水中，这时水面上升了12厘米，刚好与杯子口相平，这个玻璃杯的容积是（ ）毫升。 【答案】6280 【分析】根据题意，可以先求出圆柱形杯子的高，已知原来杯子里面的水占杯子容量的40%，即杯中水的高也占杯子高的40%，将石块浸没在水中，这时水面上升12厘米，刚好与杯子口相平，把杯子的高看作单位“1”，12厘米占杯子高的，由此可以求出杯子的高；再根据圆柱体的体积（容积）公式列式解答。 【详解】 （厘米） （立方厘米） 立方厘米＝毫升 故这个玻璃杯的容积是毫升。 14．节约用水是我们每个人的义务。学校用的自来水管的内径是0.2分米，水管内水的流速是每秒5分米。如果忘记关水龙头，1分钟将浪费（ ）升水。 【答案】9.42 【分析】可将每秒钟流水的量看作底面直径为0.2分米，高为5分米的圆柱体体积，根据圆柱的体积：V＝sh＝πr2h，代入数据计算求出体积，再乘60即为一分钟浪费水的量，结果为立方分米，再将单位换算为升即可。1立方分米＝1升 【详解】（0.2÷2）2×3.14×5×60 ＝0.12×3.14×5×60 ＝0.01×3.14×5×60 ＝9.42（立方分米） 9.42立方分米＝9.42升 1分钟将浪费9.42升水。 15．用铁皮做一节高3.5米，底面半径1分米的圆柱形烟囱，至少要一张面积为（ ）平方分米的长方形铁皮。 【答案】219.8 【分析】题中圆柱形烟囱的侧面展开后是一个长方形，联系生活实际可知，圆柱形烟囱没有上下底面，因此计算需要铁皮的面积时只计算圆柱的侧面积，利用“”求出的就是长方形铁皮的面积，据此解答。 【详解】3.5米＝35分米 2×3.14×1×35 ＝6.28×35 ＝219.8（平方分米） 所以，至少要一张面积为219.8平方分米的长方形铁皮。 16．爸爸将一个圆柱形木块削成了一个最大的圆锥，准备给儿子做陀螺。经计算圆锥部分的体积是26.2cm3，那么削去部分的体积是（ ）cm3。 【答案】52.4 【分析】根据题意，将一个圆柱形木块削成了一个最大的圆锥，那么圆柱和圆锥等底等高，圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3，求出圆柱的体积；再用圆柱的体积减去圆锥的体积，即是削去部分的体积。 【详解】26.2×3＝78.6（cm3） 78.6－26.2＝52.4（cm3） 那么削去部分的体积是52.4cm3。 17．把2米长的圆柱形木棒锯成三段，表面积增加了40平方分米，原来木棒的体积是（ ）立方分米。 【答案】200 【分析】把圆柱形木棒锯成三段，需要锯2次，表面积增加了4个截面面积，增加的表面积÷4＝截面面积，根据圆柱体积＝截面面积×长，列式计算即可。注意统一单位。 【详解】2米＝20分米 40÷4×20＝200（立方分米） 原来木棒的体积是200立方分米。 培优拔高 18．炎帝神农是中华民族的人文始祖，随州是炎帝神农的诞生地。炎帝之祀源远流长。每年农历四月廿六炎帝诞辰日，海内外炎黄子孙以不同形式拜谒始祖炎帝，共同祈福四方。随州市为迎接今年的寻根节，施工队对一处建筑物前的路面进行凹陷硬化修复，工人师傅准备了一些沙子，这些沙子堆成圆锥形，已知沙堆的底面周长是6.28米，高是1.2米，把这些沙子平铺在一个长是8米、宽是2.5米的长方体凹坑里，能铺多少厘米厚？ 【答案】6.28厘米 【分析】已知圆锥底面周长是6.28米，根据圆的周长公式C＝2πr可推出r＝C÷π÷2，以此计算底面半径；已知圆锥的高是1.2米，根据圆锥体积公式算出圆锥体积，也就是沙子的体积；沙子铺在长方体凹坑中，体积不变；已知长方体凹坑长8米、宽2.5米，根据“长方体体积＝长×宽×高”可推出“长方体的高＝体积÷（长×宽）”计算出长方体的高，就是沙子的厚度；最后注意单位换算，将米转化为厘米。 【详解】6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（米） ×3.14×12×1.2 ＝×3.14×1×1.2 ＝3.14×1×0.4 ＝3.14×0.4 ＝1.256（立方米） 1.256÷（8×2.5） ＝1.256÷20 ＝0.0628（米） 0.0628米＝6.28厘米 答：能铺6.28厘米厚。 19．如图是一卷家用生活卫生纸，已知纸宽度是10厘米，中间硬纸轴的直径是3.5厘米。你知道制作一提（12卷）这样的卫生纸至少需要多少平方厘米的硬纸板来制作纸轴吗？（接缝处忽略不计） 【答案】1318.8平方厘米 【分析】硬纸轴的面积相当于圆柱侧面积，纸宽度相当于圆柱的高，根据圆柱侧面积＝底面周长×高，求出1卷卫生纸硬纸轴的侧面积，再乘总数量即可。 【详解】3.14×3.5×10×12 ＝109.9×12 ＝1318.8（平方厘米） 答：至少需要1318.8平方厘米的硬纸板来制作纸轴。 20．某品牌矿泉水瓶上有一张包装纸（包装纸包裹住的瓶身近似圆柱体），矿泉水瓶的直径是6厘米，包装纸的高是5厘米，重叠处宽1厘米。这张包装纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】99.2平方厘米 【分析】根据题意，包装纸展开后是一个长方形，长等于矿泉水瓶的底面周长与重叠长度的和，宽等于包装纸的高，根据长方形的面积＝长×宽，可得：包装纸的面积＝（矿泉水瓶的底面周长＋1）×5＝（πd＋1）×5，据此代入数据计算。 【详解】（3.14×6＋1）×5 ＝（18.84＋1）×5 ＝19.84×5 ＝99.2（平方厘米） 答：这张包装纸的面积是99.2平方厘米。 21．某工厂建了一个圆柱形蓄水池，底面直径是40米，深20米。 （1）将蓄水池的内壁和底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少？ （2）蓄水池的容积是多少立方米？ 【答案】（1）3768平方米； （2）25120立方米 【分析】（1）分析题目，抹水泥部分的面积是圆柱的侧面积加上圆柱的下底面，圆柱的侧面积＝πdh，圆柱的下底面＝π（d÷2）2，据此代入数据列式计算即可； （2）圆柱的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据列式计算即可。 【详解】（1）3.14×40×20＋3.14×（40÷2）2 ＝125.6×20＋3.14×202 ＝2512＋3.14×400 ＝2512＋1256 ＝3768（平方米） 答：抹水泥部分的面积是3768平方米。 （2）3.14×（40÷2）2×20 ＝3.14×202×20 ＝3.14×400×20 ＝1256×20 ＝25120（立方米） 答：蓄水池的容积是25120立方米。 22．“数学节”活动期间，小明利用排水法测量一个土豆的体积（如图）。请根据下面的测量步骤和结果，求出这个土豆的体积是多少立方厘米。（取出土豆时，水没有溢出）（单位：厘米） 【答案】565.2立方厘米 【分析】根据图可知，土豆的体积等于水面下降部分体积，根据圆柱的体积＝π×半径2×下降的高度，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（12÷2）2×（15－10） ＝3.14×62×5 ＝3.14×36×5 ＝113.04×5 ＝565.2（立方厘米） 答：这个土豆的体积是565.2立方厘米。 思维拓展 23．一个圆柱形木块若切成4块（如图1），表面积增加48平方厘米；若切成3块（如图2），表面积增加50.24平方厘米，若削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少（ ）立方厘米。 【答案】25.12 【分析】如图2所切，增加4个底面，增加的面积（50.24平方厘米）＝底面面积×4，则底面面积＝50.24÷4＝12.56（平方厘米）。根据圆的面积：S＝πr2，那么r2＝12.56÷3.14＝4＝22，r＝2厘米。如图1所切，增加4个长方形的面，增加的面积是48平方厘米，则1个长方形面积（直径×高）＝48÷4＝12（平方厘米）；用12÷直径即可求出高。若削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱的。圆柱的体积：V＝sh，圆柱的体积：V＝sh，代入数据计算，分别求出圆柱、圆锥的体积，再相减即可求出减少的体积。 【详解】50.24÷4＝12.56（平方厘米） 12.56÷3.14＝4（平方厘米） 4＝22 这个圆柱的底面半径是2厘米。 48÷4÷（2×2） ＝48÷4÷4 ＝3（厘米） 12.56×3－12.56×3× ＝37.68－12.56 ＝25.12（立方厘米） 体积减少了25.12立方厘米。 25．王师傅做了一个底面积为240平方厘米的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化大致如图所示： ①圆锥零件浸入油漆缸（     ）分钟后开始渗漏。 ②求铁质圆锥的高度是多少厘米？ ③油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？ 【答案】①10 ②15厘米 ③300立方厘米 【分析】①从液面高度与时间的关系图中可知，9：00往长方体油漆缸里放入铁质圆锥零件，9：00～9：05油漆液面上升，9：05～9：10油漆液面高度不变，9：10以后，油漆液面高度降低，由此可知，油漆缸在9：10开始渗漏，据此求解。 ②把铁质圆锥零件放入油漆缸中，油漆上升部分的体积等于圆锥零件的体积。 从图中可知，放入圆锥零件后，液面上升了（18－15）厘米，根据V＝abh求出液面上升部分的体积，也就是圆锥零件的体积； 由圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，求出圆锥零件的高。 ③从两幅图中可知，油漆缸长20厘米、宽20厘米、高15厘米，根据V＝abh求出油漆的体积； 从液面高度与时间的关系图中可知，油漆缸是从9：10开始渗漏，直至9：30油漆全部漏完，用时20分钟；用油漆的体积除以20，即是平均每分钟漏掉油漆的体积。 【详解】①9时10分－9时＝10分钟 圆锥零件浸入油漆缸10分钟后开始渗漏。 ②20×20×（18－15） ＝20×20×3 ＝1200（立方厘米） 1200×3÷240 ＝3600÷240 ＝15（厘米） 答：铁质圆锥的高度是15厘米。 ③20×20×15 ＝400×15 ＝6000（立方厘米） 9时30分－9时10分＝20分 6000÷20＝300（立方厘米） 答：油漆平均每分钟漏掉300立方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $