专题1.7弧长与扇形面积（高效培优讲义，4知识&9考点13题型精讲+强化训练）数学沪科版九年级下册

专题1.7弧长与扇形面积 教学目标 1.掌握弧长的计算公式,会利用弧长的计算公式计算简单的组合图形的周长. 2.掌握扇形的面积公式,能灵活运用圆、扇形的面积公式进行相关计算。 3.了解圆锥的有关概念和基本特征,会计算圆锥的侧面积和全面积,并能利用圆锥的侧面展开图解决圆锥侧面上的有关问题. 4.通过数学建模,运用圆的知识解决进球线路与最佳射门角的问题. 教学重难点 教学重点：弧长与扇形面积公式的推导、记忆和直接计算应用，以及扇形面积与弧长的公式关联； 教学难点：公式灵活选用、不规则图形面积转化、实际问题建模与圆锥侧面展开图的空间转化。 知识点01 弧长公式 1. 弧长公式 在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长C1 的计算公式为C1=. 2. 弧、弧长、弧的度数之间的关系 (1)弧相等表示弧长、弧的度数都相等； (2)度数相等的弧，弧长不一定相等； (3)弧长相等的弧，弧的度数不一定相等；只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）已知圆弧所在圆的半径为6，所对的圆心角为，这条弧长为 ． 【答案】 【详解】解：弧长为：． 故答案为：． 知识点02 扇形及其面积公式 1. 扇形 两条半径与所夹弧围成的图形叫做扇形. 2. 扇形面积公式 (1)已知半径R 和n°的圆心角，则S 扇形=. (2)已知弧长C1 和半径R，则S 扇形= C1R(推导过程：S 扇形= = · ·R= C1R). 3. 弓形的面积 (1)当弓形的弧小于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的差，即S 弓形=S 扇形－S 三角形； (2)当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的和，即S 弓形=S 扇形+S 三角形； (3)当弓形的弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半，即S 弓形= S 圆. 【即学即练】（2025·安徽蚌埠·三模）徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴该阴影部分的面积； 故选：C． 知识点03 圆锥 1. 与圆锥有关的概念 (1)圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体(如图)，圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，这条直线叫做圆锥的轴. (2)圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线. (3)圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高. 2. 圆锥的侧面积和全面积 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr， 因此S 侧=S 扇形= ×2πr×l=πrl，S 全=S 侧+S 底=πrl+πr2=πr(l+r). 【即学即练】为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 知识点04 圆内角、圆外角、圆周角之间的关系 1. 圆外角 如图，C是圆外一点，CA，CB 是圆的两条割线，则称∠ C 是圆外角. 2. 圆内角 顶点在圆内，并且两边都与圆有一个公共点的角叫做圆内角，如图∠ D 是圆内角. 3. 圆外角、圆周角、圆内角的关系 如图，在弦的同侧，同弦所对的圆外角α ，圆周角β 和圆内角θ 的大小关系为α <β <θ . 如图，在⊙ O 中，在弦AB 的同侧，弦AB 所对的圆外角∠ AC1B，圆周角∠ AC0B 和圆内角∠ AC2B 的大小关系为∠ AC1B< ∠ AC0B< ∠ AC2B. 【即学即练】如图，足球运动员在球门前横向带球准备射门，下列说法正确的是（    ） A．在处射门进球的可能性大 B．在处射门进球的可能性大 C．在，两处射门进球的可能性一样大 D．无法判断，两处哪处进球的可能性大 【答案】B 【详解】解：通过观察D处的射门角大于C处；故A，C,D错误，B正确；故答案为B. 题型01 弧长公式的应用 【例1-1】由弧长公式求所对的圆周角或圆心角度数 （24-25九年级下·安徽黄山·期中）若扇形的半径为6，弧长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设圆心角度数为， 由题意得，， 解得， 故选：D． 【例1-2】求弧长 （25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，正五边形的边长为1，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵正五边形的边长为1， ∴， ∵分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【例1-3】弧长公式的实际应用 （25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， ∴为等边三角形． ∴ ． ∴． 故选：D 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在正方形内部有半圆弧长与扇形弧长，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 则半圆弧长，扇形弧长， ． 故选：A． 【变式1-2】（2025九年级·安徽·专题练习）一个扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得到， 解得， 即扇形的圆心角度数为． 故选：A． 【变式1-3】（2025·安徽淮南·二模）如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：含有角的三角尺的顶点B为圆心， ，， ，， 长为半径画，交边于点D， ， ， ， 劣弧的长为：． 故答案为：B． 【变式1-4】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为多少．（结果用表示） 【详解】解：设底面圆的半径为， 由勾股定理得：， ∴． 故该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为． 【变式1-5】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）根据“双减”工作要求，为丰富学生课余生活，促进学生全面成长，学校积极开展丰富多彩、富有特色的课外综合实践活动，在一次综合实践活动中，华华要在一张铁片上剪裁出一块半径为的扇形铁片，再制作成一个高的圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），求华华剪裁的扇形铁片的圆心角． 【答案】 【详解】解：设裁减的扇形圆心角为，制成烟囱帽的底面圆半径为， 由题意得 ∴， 解得， ∴裁减的扇形圆心角为． 题型02 求扇形的面积 【例2】（2025·安徽马鞍山·二模）若一扇形的半径为3，圆心角为，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：该扇形的面积是：， 故选：B． 【变式2-1】（2025·安徽芜湖·一模）如图，在矩形中，，，以点A为圆心，为半径的弧交于点E，则阴影部分的扇形面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-2】（2025·安徽安庆·三模）如图，四边形内接于，，D是的中点．若的半径为1，，则扇形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：， ． ， ， ， ， ， 扇形的面积为． 题型03 圆锥面积展开图中有关计算 【例3】（2025·安徽蚌埠·二模）若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥的侧面积是底面积的3倍， ∴， ∴， ∵， 即 ∴， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角等于， 故选：C． 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，圆锥的高为，母线的长为，则该圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角为 ． 【答案】 【详解】解：圆锥的高为，母线长为， 圆锥的底面圆的半径， 由（r为圆锥底面半径，R为圆锥的母线长，n为圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角） 得， ， 故答案为：． 【变式3-2】草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【详解】（1）解：如图所示： 在中，，，， 则由勾股定理可得； 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面积为； 故答案为：，； （2）解：由（1）知侧面积为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数， ， 解得， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 题型04 求弓形面积 【例4】（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【变式4-1】（2025·安徽合肥·一模）如图，中，弦的长为，点在上，，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，连接，设和交于点D， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：D． 【变式4-2】（2023·安徽滁州·二模）如图，是的外接圆，且是直径． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接、，若，，求阴影部分的面积． 【详解】（1）尺规作图如图所示； （2）连接，则． 是的直径，是的平分线 ，． ． 故， ，． ． ． 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E，过点D作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为8，，求阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接． ∵是的直径， ， ， ， ， ∴是的中位线， ， ， ， ∴是的切线． （2）解：连接． ， ， ， ， ， ， ， ∴． 题型05 圆锥侧面积与全面积的应用 【例5】（24-25九年级上·云南昭通·期末）云南十八怪是云南省特有的民间传说，“草帽当锅盖”是其中之一．当地人制作的草帽锅盖呈圆锥形，具有良好的透气性和保温性，使食物更加清香．一个草帽锅盖的母线长为30厘米，底面圆的半径为20厘米，这个草帽锅盖的侧面积为 平方厘米． 【答案】 【详解】解：由题意可得，（平方厘米） 故答案为： 【变式5-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，扇形的圆心角的度数是，则圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【详解】解：圆锥的底面圆周长为，即圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，且扇形的圆心角的度数是， ∴扇形半径为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为： ． 【变式5-2】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，圆锥的母线，底面圆的半径，则这个圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，圆锥的母线， ∴圆锥的底面圆的周长：， ∴圆锥的侧面积为：． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，圆锥的底面半径，高，求该圆锥的侧面积． 【答案】 【详解】解：，， ， 该圆锥的侧面积为． 题型06 进球线路与最佳射门角度问题 【例6】足球训练场上，教练在球门前画了一个圆圈进行无人防守的射门训练.如图，甲、乙两名运动员分别在，两处，他们争论不休，都说自己所在的位置对球门的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门的张角大？为什么？ 【答案】一样大，理由见解析. 【详解】解：甲、乙两个人所在的位置对球门AB的张角一样大.根据圆周角定理的推论可得∠ADB=∠ACB. 【点睛】本题的解答关键是对圆周角定理的灵活运用.圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；即同弦或等弦所对的圆周角相等. 【变式6】如图，点，，表示足球比赛中三个不同的射门位置，估测图中各角的大小关系，请指出在图中 点处射门最好. 【答案】B 【详解】解：观察可知射门角：∠A＜∠C＜∠B.则在B点处射门最好．故答案为B. 题型07 求不规则图形面积 【例7-1】利用割补法求不规则图形面积 （24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，已知点C，D是以为直径的半圆O的四等分点，，连接，的长为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D．π 【答案】A 解．由已知条件利用弧长公式求出半径．连接，图中阴影部分的面积为扇形面积和三角形面积和． 【详解】解：如图，连接． 点C，D是以为直径的半圆O的四等分点， ． 的长为， ，解得． ． ， ， ． ， ． ． ． 故选：A 【例7-2】重新组合求不规则图形面积 （2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵点O是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 【例7-3】等面积替换法求不规则图形面积 （25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（点E 不与点A，B 重合），交于点 F．以点O为圆心，长为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式7-1】（2025·安徽合肥·三模）如图，半径为5的，直径垂直于与，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直径垂直于与， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ； 故选：A． 【变式7-2】（24-25九年级下·安徽阜阳·月考）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为6，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接、，则， ， ∴是等边三角形， ∴， 作于，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式7-3】（2025·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，交于点E，交于点F，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【变式7-4】（2025·安徽合肥·一模）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，弧所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积为：， ∴阴影部分面积为：， 故答案为：． 【变式7-5】（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）解：如图2，连接交于， ， ， 是劣弧的中点， ，，， ∵，， ， ， ， 由（1）知， ， ，即， 解得，； ，，， ∴， ， ； 阴影部分的面积为． 【变式7-6】（2024·安徽·模拟预测）如图，是半圆O的直径，D是半圆O上的一点（不与A，B重合），连接，点C为弧的中点，过点C作，交的延长线于点F． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：∵点C为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵交的延长线于点F， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是半圆O的切线． （2）解：连接，如图： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积是． 题型08 求圆锥表面积上两点间的最短距离 【例8】如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是． 故选：D． 【变式8-1】如图，圆锥的底面半径，高．现在有一只蚂蚁从底边上一点出发，在侧面上爬行一周又回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设扇形的圆心角为． ， 由勾股定理可得母线， ， 解得， 即是等腰直角三角形． 由勾股定理，得， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 【变式8-2】为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 题型09 动态问题 【例9】（2025·安徽·模拟预测）如图，在边长均为的正方形网格纸上有一个，顶点及点均在格点上，请按照要求完成以下操作或运算： (1)画出向右移个单位，再向上移个单位后得到的； (2)画出点绕着点顺时针旋转到点，并求出点绕着点顺时针旋转到点所经过的路径长． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求，点所经过的路径长． 【变式9-1】（24-25九年级下·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限内，并且其横坐标、纵坐标都是整数． (1)以为对称中心作的对称图形，并写出点的坐标； (2)将线段绕点顺时针旋转得到线段，求点所走的路径的长度．（结果保留） 【详解】（1）解：如图所示，； （2）解：如图所示， ∵ ∴的长为． 【变式9-2】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为，A，的对应点分别是，； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出A， B， C 的对应点分别是，，． (3)在（2）条件下，求点A运动路径的长 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：点A运动路径是以点为圆心，长为半径，圆心角为的圆弧， 由方格的性质得到：， 故点A运动路径的长为：． 【变式9-3】（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，是的内接三角形，是直径，是的中点，交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)点是上一点，连接，，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上，再将分别沿，向内翻折，若，求图中阴影部分的面积和．（结果保留） 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的内接三角形，是直径， ， 在中，， 是的中点， ，是的半径， 根据圆周角和圆心角定理得， 交的延长线于， ， ， 在中，， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接， 点是上一点，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上， ， 是的内接三角形，是直径，， ，， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ，， 又， ． 【变式9-4】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）综合与实践 【项目主题】探究小车轮的形状原理 【项目背景】在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作的方式开展项目式学习，探究小车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】 （1）探究甲组：车轮做成圆形的优点是车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变，另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的，如图，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为 ． （2）探究乙组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化，如图，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为 ． （3）探究丙组：如图，有一个等边三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 【探究发现】车辆平稳的关键是看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． 【拓展延伸】如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径作弧，这样形成的曲线图形叫作“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． （4）探究丁组：使“莱洛三角形”以图为初始位置沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，大致为 ．（填写对应的字母） 【详解】解：（）连接并延长交于点，如图， ∵车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变， ∴轴心到地面的距离为， ∵圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离不变等于圆的直径， ∴车轮最高点到地面的距离始终为， 故答案为：； （）过点作于点，以点为圆心，为半径画弧交正方形的边于点，如图， ∵为正方形的中心，， ∴中心距离地面的最低距离为， 由勾股定理得：， ∵点的移动轨迹为以点为圆心，为半径的弧， ∴点为车轮轴心距离地面的最高点， ∵ ∴车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为 故答案为：； （）连接，，过点作于点，如图， ∵为等边三角形的中心， ∴， ∵为等边三角形的中心， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长， ∴车轮在地面上无滑动地滚动一周，点经过的路径长为； （）由题意得：当“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动时，在滚动过程中，其“最高点”与水平线距离保持不变， ∴其“最高点”的移动路径是水平的， ∵“车轮轴心”到水平平面的距离开始先升高再下降，再升高再下降，不断循环， ∴其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为：， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）一个扇形的半径为4，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆心角的度数为， 根据题意，得， 解得 即扇形的圆心角度数为， 故选：B． 2．（2025·安徽滁州·三模）如图，为的直径，，弦，则劣弧的长为（   ） A． B．π C．2π D．4π 【答案】C 【详解】解：连接，，如下图 ， 的半径为4， 即． ，， ， 是直角三角形， 即， 劣弧的长为． 故选：C． 3．（2025·安徽合肥·三模）飞速发展的高铁已成为现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处的圆弧，列车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，转角为．若圆的半径，则长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ∵过点的两条切线相交于点， ， ， ， 故选：B． 4．（2025·安徽芜湖·三模）如图，的斜边切于点C，交于点D，交于点E，的延长线与的延长线交于点．已知，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长为． 故选：A． 5．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，，以A点为圆心，长为半径画弧交边于点D，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，， ，， ∵以点为圆心，长为半径画弧交边于点， ， 的长，， ∴图中阴影部分的周长为， 故选：B． 6．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，六边形是内接正六边形，以为边作正五边形，连接，延长交于点，若半径为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ∵六边形是内接正六边形， ∴ ∴， ∵为边作正五边形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴的长为 故选：D． 7．（2025·安徽合肥·三模）如图，圆的半径为2，半圆经过点，且分别与圆切于点，点都是圆弧上的点．动点从出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接 ∵半圆经过点，且分别与圆切于点，圆的半径为2， ∴共线，半圆的半径为1， 当点在半圆上时， ∵的度数为 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，, 当时，随的增大而减小； 当点在半圆上时， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而减小； 当点在下半圆上， 则， ∴ ∴当时，随的增大而增大， 综上可得：关于的函数解析式为， 故选：B． 二、填空题 8．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点、点，则图中的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·安徽合肥·月考）如图，在矩形中，点在对角线上，分别以点和点为圆心，线段，的长为半径画圆弧．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 10．（2025·安徽蚌埠·一模）如图，在由边长是1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、都在格点上，连接、，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 故答案为：． 11．（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，在中，，，，以为对称轴，作的轴对称图形，点A的对称点恰好与的内切圆圆心O重合，则，与圆周围成的阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设的内切圆与三边相切于点F，G，H，连接，，， 可得四边形为正方形， 设正方形的边长为r， 在中，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 由翻折可知：， ∴，与圆周围成的阴影部分的面积为． 故答案为： 12．（2025·安徽淮南·一模）如图，为的直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ． 为的弦，， ， ∵， ∴的半径是2， 劣弧的长为． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，一个矩形的一边与量角器的零刻度线共线，其对边与量角器交于点，且点在量角器上对应读数为．若将量角器看作是半径为5的扇形，则矩形与量角器重叠部分的周长为 ． 【答案】 【详解】解：如图， ，，， ， ， △为等边三角形， ，， ， ， 矩形与量角器重叠部分的周长为． 故答案为：． 14．（2025·安徽·模拟预测）如图，在扇形中，，C为中点，过C作交于点D．则阴影部分面积为           【答案】 【详解】解：如图，连接，设交于点E， ∵，C为中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分面积 ． 故答案为：． 三、解答题 15．（2025·安徽·一模）如图，是的内接三角形，是的直径，弦，垂足为E．设，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴图中阴影部分的面积． 16．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，的顶点均在边长为1的小正方形组成的的网格的格点上． (1)画出将绕点顺时针旋转90°得到的对应图形； (2)旋转过程中边“扫过”的面积为 ． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：由题意可得：，， 所以旋转过程中边“扫过”的面积为． 故答案为：． 17．（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）图中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图１），制作这种外包装需要用如图２所示的等腰三角形材料，其中，，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合，圆锥底面圆的直径为． (1)求图1中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图2中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【详解】（1）解：根据题意，圆锥底面圆周长与长度一致， 故， 可得， 即． （2）由条件可得， 故． 18．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，是的直径，是上一点，于点，延长至点，使得． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的周长．（结果保留π） 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 又∵是的半径， 与相切． （2）解：，， ． ， 是等边三角形， ． ∵， ∴阴影部分的周长为． 19．（2025·安徽·模拟预测）如图，，， (1)画出右移2个单位，再上移2个单位后得到的； (2)画出绕O点顺时针旋转后得到的； (3)求出点A绕O点顺时针旋转后到所经过的路径长． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图， 点A绕O点顺时针旋转后到所经过的路径长： 20．（2026·安徽阜阳·一模）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点，，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点． (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得所对的圆心角为． ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，求裁出的两块木料的面积之和． 【详解】（1）解：如图1，连接，． ，， ， ，， ，即， 又， ， ， ； （2）解：①如图2，连接， 由题意得， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， 由图可知，， ， 裁出的两块木料的周长之和为； ②由①可知，， ， ， ， 又， 在中，，即， 解得（负值舍去），， ， 由①知，， 由图可知，阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7弧长与扇形面积 教学目标 1.掌握弧长的计算公式,会利用弧长的计算公式计算简单的组合图形的周长. 2.掌握扇形的面积公式,能灵活运用圆、扇形的面积公式进行相关计算。 3.了解圆锥的有关概念和基本特征,会计算圆锥的侧面积和全面积,并能利用圆锥的侧面展开图解决圆锥侧面上的有关问题. 4.通过数学建模,运用圆的知识解决进球线路与最佳射门角的问题. 教学重难点 教学重点：弧长与扇形面积公式的推导、记忆和直接计算应用，以及扇形面积与弧长的公式关联； 教学难点：公式灵活选用、不规则图形面积转化、实际问题建模与圆锥侧面展开图的空间转化。 知识点01 弧长公式 1. 弧长公式 在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长C1 的计算公式为C1=. 2. 弧、弧长、弧的度数之间的关系 (1)弧相等表示弧长、弧的度数都相等； (2)度数相等的弧，弧长不一定相等； (3)弧长相等的弧，弧的度数不一定相等；只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）已知圆弧所在圆的半径为6，所对的圆心角为，这条弧长为 ． 知识点02 扇形及其面积公式 1. 扇形 两条半径与所夹弧围成的图形叫做扇形. 2. 扇形面积公式 (1)已知半径R 和n°的圆心角，则S 扇形=. (2)已知弧长C1 和半径R，则S 扇形= C1R(推导过程：S 扇形= = · ·R= C1R). 3. 弓形的面积 (1)当弓形的弧小于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的差，即S 弓形=S 扇形－S 三角形； (2)当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的和，即S 弓形=S 扇形+S 三角形； (3)当弓形的弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半，即S 弓形= S 圆. 【即学即练】（2025·安徽蚌埠·三模）徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 知识点03 圆锥 1. 与圆锥有关的概念 (1)圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体(如图)，圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，这条直线叫做圆锥的轴. (2)圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线. (3)圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高. 2. 圆锥的侧面积和全面积 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr， 因此S 侧=S 扇形= ×2πr×l=πrl，S 全=S 侧+S 底=πrl+πr2=πr(l+r). 【即学即练】为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 知识点04 圆内角、圆外角、圆周角之间的关系 1. 圆外角 如图，C是圆外一点，CA，CB 是圆的两条割线，则称∠ C 是圆外角. 2. 圆内角 顶点在圆内，并且两边都与圆有一个公共点的角叫做圆内角，如图∠ D 是圆内角. 3. 圆外角、圆周角、圆内角的关系 如图，在弦的同侧，同弦所对的圆外角α ，圆周角β 和圆内角θ 的大小关系为α <β <θ . 如图，在⊙ O 中，在弦AB 的同侧，弦AB 所对的圆外角∠ AC1B，圆周角∠ AC0B 和圆内角∠ AC2B 的大小关系为∠ AC1B< ∠ AC0B< ∠ AC2B. 【即学即练】如图，足球运动员在球门前横向带球准备射门，下列说法正确的是（    ） A．在处射门进球的可能性大 B．在处射门进球的可能性大 C．在，两处射门进球的可能性一样大 D．无法判断，两处哪处进球的可能性大 题型01 弧长公式的应用 【例1-1】由弧长公式求所对的圆周角或圆心角度数 （24-25九年级下·安徽黄山·期中）若扇形的半径为6，弧长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】求弧长 （25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，正五边形的边长为1，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点的长为 ． 【例1-3】弧长公式的实际应用 （25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是 （    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在正方形内部有半圆弧长与扇形弧长，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025九年级·安徽·专题练习）一个扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·安徽淮南·二模）如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为多少．（结果用表示） 【变式1-5】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）根据“双减”工作要求，为丰富学生课余生活，促进学生全面成长，学校积极开展丰富多彩、富有特色的课外综合实践活动，在一次综合实践活动中，华华要在一张铁片上剪裁出一块半径为的扇形铁片，再制作成一个高的圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），求华华剪裁的扇形铁片的圆心角． 题型02 求扇形的面积 【例2】（2025·安徽马鞍山·二模）若一扇形的半径为3，圆心角为，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·安徽芜湖·一模）如图，在矩形中，，，以点A为圆心，为半径的弧交于点E，则阴影部分的扇形面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·安徽安庆·三模）如图，四边形内接于，，D是的中点．若的半径为1，，则扇形的面积为 ． 题型03 圆锥面积展开图中有关计算 【例3】（2025·安徽蚌埠·二模）若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，圆锥的高为，母线的长为，则该圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角为 ． 【变式3-2】草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 题型04 求弓形面积 【例4】（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·安徽合肥·一模）如图，中，弦的长为，点在上，，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·安徽滁州·二模）如图，是的外接圆，且是直径． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接、，若，，求阴影部分的面积． 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E，过点D作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为8，，求阴影部分的面积． 题型05 圆锥侧面积与全面积的应用 【例5】（24-25九年级上·云南昭通·期末）云南十八怪是云南省特有的民间传说，“草帽当锅盖”是其中之一．当地人制作的草帽锅盖呈圆锥形，具有良好的透气性和保温性，使食物更加清香．一个草帽锅盖的母线长为30厘米，底面圆的半径为20厘米，这个草帽锅盖的侧面积为 平方厘米． 【变式5-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，扇形的圆心角的度数是，则圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【变式5-2】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，圆锥的母线，底面圆的半径，则这个圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 【变式5-3】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，圆锥的底面半径，高，求该圆锥的侧面积． 题型06 进球线路与最佳射门角度问题 【例6】足球训练场上，教练在球门前画了一个圆圈进行无人防守的射门训练.如图，甲、乙两名运动员分别在，两处，他们争论不休，都说自己所在的位置对球门的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门的张角大？为什么？ 【变式6】如图，点，，表示足球比赛中三个不同的射门位置，估测图中各角的大小关系，请指出在图中 点处射门最好. 题型07 求不规则图形面积 【例7-1】利用割补法求不规则图形面积 （24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，已知点C，D是以为直径的半圆O的四等分点，，连接，的长为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D．π 【例7-2】重新组合求不规则图形面积 （2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【例7-3】等面积替换法求不规则图形面积 （25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（点E 不与点A，B 重合），交于点 F．以点O为圆心，长为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式7-1】（2025·安徽合肥·三模）如图，半径为5的，直径垂直于与，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级下·安徽阜阳·月考）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为6，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，交于点E，交于点F，则阴影部分的面积为 ． 【变式7-4】（2025·安徽合肥·一模）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，弧所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则阴影部分面积为 ． 【变式7-5】（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 【变式7-6】（2024·安徽·模拟预测）如图，是半圆O的直径，D是半圆O上的一点（不与A，B重合），连接，点C为弧的中点，过点C作，交的延长线于点F． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 题型08 求圆锥表面积上两点间的最短距离 【例8】如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【变式8-1】如图，圆锥的底面半径，高．现在有一只蚂蚁从底边上一点出发，在侧面上爬行一周又回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【变式8-2】为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 题型09 动态问题 【例9】（2025·安徽·模拟预测）如图，在边长均为的正方形网格纸上有一个，顶点及点均在格点上，请按照要求完成以下操作或运算： (1)画出向右移个单位，再向上移个单位后得到的； (2)画出点绕着点顺时针旋转到点，并求出点绕着点顺时针旋转到点所经过的路径长． 【变式9-1】（24-25九年级下·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限内，并且其横坐标、纵坐标都是整数． (1)以为对称中心作的对称图形，并写出点的坐标； (2)将线段绕点顺时针旋转得到线段，求点所走的路径的长度．（结果保留） 【变式9-2】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为，A，的对应点分别是，； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出A， B， C 的对应点分别是，，． (3)在（2）条件下，求点A运动路径的长 【变式9-3】（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，是的内接三角形，是直径，是的中点，交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)点是上一点，连接，，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上，再将分别沿，向内翻折，若，求图中阴影部分的面积和．（结果保留） 【变式9-4】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）综合与实践 【项目主题】探究小车轮的形状原理 【项目背景】在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作的方式开展项目式学习，探究小车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】 （1）探究甲组：车轮做成圆形的优点是车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变，另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的，如图，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为 ． （2）探究乙组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化，如图，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为 ． （3）探究丙组：如图，有一个等边三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 【探究发现】车辆平稳的关键是看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． 【拓展延伸】如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径作弧，这样形成的曲线图形叫作“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． （4）探究丁组：使“莱洛三角形”以图为初始位置沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，大致为 ．（填写对应的字母） 一、单选题 1．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）一个扇形的半径为4，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽滁州·三模）如图，为的直径，，弦，则劣弧的长为（   ） A． B．π C．2π D．4π 3．（2025·安徽合肥·三模）飞速发展的高铁已成为现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处的圆弧，列车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，转角为．若圆的半径，则长为（   ）． A． B． C． D． 4．（2025·安徽芜湖·三模）如图，的斜边切于点C，交于点D，交于点E，的延长线与的延长线交于点．已知，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，，以A点为圆心，长为半径画弧交边于点D，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，六边形是内接正六边形，以为边作正五边形，连接，延长交于点，若半径为，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽合肥·三模）如图，圆的半径为2，半圆经过点，且分别与圆切于点，点都是圆弧上的点．动点从出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点、点，则图中的长为 ． 9．（24-25九年级下·安徽合肥·月考）如图，在矩形中，点在对角线上，分别以点和点为圆心，线段，的长为半径画圆弧．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（2025·安徽蚌埠·一模）如图，在由边长是1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、都在格点上，连接、，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为 ． 11．（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，在中，，，，以为对称轴，作的轴对称图形，点A的对称点恰好与的内切圆圆心O重合，则，与圆周围成的阴影部分的面积为 ． 12．（2025·安徽淮南·一模）如图，为的直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为 ． 13．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，一个矩形的一边与量角器的零刻度线共线，其对边与量角器交于点，且点在量角器上对应读数为．若将量角器看作是半径为5的扇形，则矩形与量角器重叠部分的周长为 ． 14．（2025·安徽·模拟预测）如图，在扇形中，，C为中点，过C作交于点D．则阴影部分面积为           三、解答题 15．（2025·安徽·一模）如图，是的内接三角形，是的直径，弦，垂足为E．设，，求图中阴影部分的面积． 16．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，的顶点均在边长为1的小正方形组成的的网格的格点上． (1)画出将绕点顺时针旋转90°得到的对应图形； (2)旋转过程中边“扫过”的面积为 ． 17．（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）图中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图１），制作这种外包装需要用如图２所示的等腰三角形材料，其中，，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合，圆锥底面圆的直径为． (1)求图1中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图2中阴影部分）的面积．（结果保留π） 18．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，是的直径，是上一点，于点，延长至点，使得． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的周长．（结果保留π） 19．（2025·安徽·模拟预测）如图，，， (1)画出右移2个单位，再上移2个单位后得到的； (2)画出绕O点顺时针旋转后得到的； (3)求出点A绕O点顺时针旋转后到所经过的路径长． 20．（2026·安徽阜阳·一模）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点，，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点． (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得所对的圆心角为． ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，求裁出的两块木料的面积之和． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $