专题01 二次根式及其性质（计算题专项训练）数学人教版新教材八年级下册

专题01 二次根式及其性质（计算题专项训练） 【适用版本：人教版新教材；内容预览：4类训练共40题】 训练1 二次根式有意义的条件 求二次根式中字母取值范围，核心依据是被开方数必须为非负数，结合不同表达式结构，主要分为以下4类： 1. 单一二次根式型：直接令被开方数大于等于0，解不等式即可。 2. 二次根式与分式结合型：需同时满足两个条件：被开方数非负、分式分母不为0。 3. 多个二次根式组合型：分别列出每个被开方数的非负条件，取它们的公共解集。 4. 二次根式与0次方结合型：需同时满足两个条件：二次根式被开方数非负、0次方的底数不为0。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．当x取何值时，下列各二次根式有意义？ ①；②；③． 2．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）；（2）；（3）；（4）． 3．求使得下列各式有意义的x的取值范围． （1）； （2）； （3）； （4）． 4．当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 5．求使下列根式有意义时x的取值范围 （1）；（2）•；（3）；（4）． 6．x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： （1）；（2）；（3）；（4）． 7．x取何值时，下列各式在实数范围内有意义． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 8．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 9．要使下列式子有意义，x的取值必须满足什么条件？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 10．求下列式子有意义的x的取值范围 （1） （2） （3） （4） （5） （6）． 训练2 二次根式的非负性 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1. 牢记二次根式的双重非负性：被开方数和算术平方根均非负，缺一不可； 2. 遇到多个非负数相加为0的题型，直接“拆分令零”求解； 3. 化简含字母的二次根式时，必须先确定字母范围，再判断符号，避免出错。 方法指导 1．已知，，求xz﹣y的值． 2．已知x、y为实数，且，求的值． 3．已知x，y是实数，且y，求5x+6y的值． 4．已知a，b满足． （1）求a，b的值； （2）求的平方根． 5．已知实数a满足a，求a﹣20252的值． 6．已知实数a，b，c满足|a+3|，求（a+b）2． 7．已知y，求x2y的值． 8．已知|x﹣1000|+（）2＝2000，y，求y﹣x的平方根． 9．已知a、b、c满足 （1）求证：b＝c； （2）求﹣4a+b+c的平方根． 10．二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果0，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知0，则a+b的值为 　﹣2　 ； （2）若x，y为实数，且x29，求x+y的值； （3）已知实数m，n（n≠0）满足|2m﹣4|+|n+2|4＝2m，求m+n的值． 训练3 利用二次根式的性质计算 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 （1）；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）. （2）（算术平方根的意义）. 1．计算： （1）（）2；（2）（）2；（3）；（4）． 2．计算： （1）（）2；（2）（）2；（3）；（4）（﹣7）2 3．计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 4．计算： （1）（）2；（2）（）2；（3）；（4）． 5．计算： （1）（）2；（2）（）2；（3）（﹣2）2；（4）（﹣3）2． 6．计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 7．计算： （1）；（2）；（3）（x＞0）；（4）（x≥1） 8．计算： （1）；（2）；（3）；（4（a＞0，b≥0） 9．计算： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 10．计算： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 训练4 利用二次根式的性质化简 紧扣两个关键性质：一是；a≥0，可直接去掉根号和平方；二是，需根据字母取值范围判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．当3＜x＜5时，化简：． 2．若﹣2≤a≤2，化简：． 3．已知﹣3＜x＜2，化简|x﹣2|． 4．已知：x，y为实数，且y3，化简：|y﹣3|． 5．若实数a、b，c在数轴上的对应点如图所示，试化简：． 6．已知a，b，c是△ABC的三边长，若6，求a的值． 7．已知a，b，c的位置如图所示，求的值． 8．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简： ． 9．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，试化简：． 10．（1）当2≤a≤5时，化简；　3　 ； （2）若，求a的值； （3）已知实数a，b满足，求a2+b2的最大值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式及其性质（计算题专项训练） 【适用版本：人教版新教材；内容预览：4类训练共40题】 训练1 二次根式有意义的条件 求二次根式中字母取值范围，核心依据是被开方数必须为非负数，结合不同表达式结构，主要分为以下4类： 1. 单一二次根式型：直接令被开方数大于等于0，解不等式即可。 2. 二次根式与分式结合型：需同时满足两个条件：被开方数非负、分式分母不为0。 3. 多个二次根式组合型：分别列出每个被开方数的非负条件，取它们的公共解集。 4. 二次根式与0次方结合型：需同时满足两个条件：二次根式被开方数非负、0次方的底数不为0。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．当x取何值时，下列各二次根式有意义？ ①；②；③． 【解答】解：①有意义， 则3x﹣4≥0， 解得：x； ②有意义， 则20， 解得：x≥﹣3； ③有意义，则0，故2﹣x＜0， 解得：x＞2． 2．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）；（2）；（3）；（4）． 【解答】解：（1）3x﹣4≥0， 解得x； （2）2x+1≥0且1﹣|x|≠0， 解得x且x≠±1， 所以，x且x≠1； （3）∵m2+4≥4， ∴m取全体实数； （4）0， 解得x＜0． 3．求使得下列各式有意义的x的取值范围． （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）根据题意得：2x﹣1＞0，解得：x； （2）根据题意得：x+1＞0，解得：x＞﹣1； （3）根据题意得：， 解得：x且x≠1； （4）根据题意得：， 解得：x≥1． 4．当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【解答】解：（1）∵有意义， ∴，解得x≥0且x≠1； （2）∵有意义， ∴﹣（x+2）2≥0，解得x＝﹣2； （3）∵有意义， ∴，解得x＞3； （4）∵与有意义， ∴，解得1≤x≤2． 5．求使下列根式有意义时x的取值范围 （1）；（2）•；（3）；（4）． 【解答】解：（1）由题意得，﹣4x2≥0， 解得x＝0； （2）由题意得，1﹣x≥0且x﹣1≥0， 解得x≤1且x≥1， 所以，x＝1； （3）由题意得，3﹣x≥0，x﹣2≥0，x﹣2≠1， 解得x≤3，x≥2，x≠3， 所以，2≤x＜3； （4）由题意得，﹣1﹣x≥0且x2+6x+9≠0， 解得x≤﹣1且x≠﹣3． 6．x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： （1）；（2）；（3）；（4）． 【解答】解：（1）要使有意义，必须3﹣x≥0，即x≤3； 要使有意义，必须x﹣2≥0，即x≥2． 所以使式子有意义的x的取值为2≤x≤3； （2）∵11﹣|x|， 当x＝±1时，1﹣|x|＝0，原式没有意义． ∴当x≠±1时，式子有意义； （3）因为使有意义的x的取值为x≥0，使有意义的x的取值为x≤0， 所以使式子有意义的x的取值为x＝0； （4）因为使有意义的x的取值为x+2≥0，即x≥﹣2，而分母3x≠0，即x≠0， 所以使式子有意义的x的取值为x≥﹣2且x≠0． 7．x取何值时，下列各式在实数范围内有意义． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【解答】解：（1）∵x+2≥0，∴x≥﹣6时，有意义； （2）∵x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，又∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0， ∴x取任意实数时都有意义； （3）∵x+1≥0，且x﹣2≠0，∴x≥﹣1且x≠2，即x≥﹣1且x≠2时有意义； （4）∵x+5≥0且3﹣x＞0，∴x≥﹣5且x＜3，∴﹣5≤x＜3时，有意义； （5）∵x2≥0，∴x2+2＞0时，即x取任意实数时都有意义． 8．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【解答】解：（1）2x﹣1＞0，解得：x； （2）1﹣2x＞0，解得：x； （3）x可取任何实数； （4）x2＞0，解得：x≠0； （5）x≥0且1，解得：x≥0且x≠1； （6）x≥0，﹣x≥0，解得：x＝0． 9．要使下列式子有意义，x的取值必须满足什么条件？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 【解答】解：（1）∵有意义，∴4﹣x≥0，解得x≤4； （2）∵有意义，∴，解得x≥0且x≠1； （3）∵有意义，∴，解得x＞1且x≠2； （4）∵有意义，∴，解得x＞4； （5）∵及有意义，∴，解得x＝3； 10．求下列式子有意义的x的取值范围 （1） （2） （3） （4） （5） （6）． 【解答】解：（1）4﹣3x＞0 ﹣3x＞﹣4 x； （2） x≤3且x≠2； （3） x≥﹣5且x≠0； （4）﹣x2≥0 x＝0； （5）2x2+1≥0 x为任意实数； （6） x且x≠2． 训练2 二次根式的非负性 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1. 牢记二次根式的双重非负性：被开方数和算术平方根均非负，缺一不可； 2. 遇到多个非负数相加为0的题型，直接“拆分令零”求解； 3. 化简含字母的二次根式时，必须先确定字母范围，再判断符号，避免出错。 方法指导 1．已知，，求xz﹣y的值． 【解答】解：根据算术平方根的定义得x﹣2≥0，2﹣x≥0， ∴x﹣2＝0， ∴x＝2． ∴y＝﹣3． 由条件可得z+1＝27， ∴z＝26， ∴xz﹣y＝2×26﹣（﹣3）＝55． 2．已知x、y为实数，且，求的值． 【解答】解：∵， ∴，， 解得：， ∴， ∴ ＝4+5﹣4 ＝5． 3．已知x，y是实数，且y，求5x+6y的值． 【解答】解：由题意得，， 解得x＝3， 所以，y， 所以，5x+6y＝5×3+6×（）＝15﹣2＝13． 4．已知a，b满足． （1）求a，b的值； （2）求的平方根． 【解答】解：（1）由题意得：a﹣5≥0，15﹣3a≥0， 解得：a≥5，a≤5， ∴a＝5， ∴2b﹣8＝0， 解得：b＝4； （2）， ∴的平方根为． 5．已知实数a满足a，求a﹣20252的值． 【解答】解：由题可知，a﹣2026≥0， 解得a≥2026， ∵， ∴， ∴a﹣2026＝20252， ∴a﹣20252＝2026． 6．已知实数a，b，c满足|a+3|，求（a+b）2． 【解答】解：∵|a+3|， ∴， ∴b＝5， ∴|a+3|0， ∴a＝﹣3，c＝2， ∴（a+b）2＝（﹣3+5﹣0）2＝4． 7．已知y，求x2y的值． 【解答】解：由题意可知： ∴|x|＝3， ∴x＝±3， 又∵x﹣3≠0， ∴x＝﹣3， ∴y2 ∴x2y＝9×（﹣2）＝﹣18 8．已知|x﹣1000|+（）2＝2000，y，求y﹣x的平方根． 【解答】解：由题意得，998﹣x≥0，m﹣1≥0，1﹣m≥0， 解得，x≤998，m＝1， ∴1000﹣x+（）2＝2000， ∴998﹣x＝1000+x， 解得，x＝﹣1， y＝3， 则y﹣x＝4， 4的平方根是±2， ∴y﹣x的平方根是±2． 9．已知a、b、c满足 （1）求证：b＝c； （2）求﹣4a+b+c的平方根． 【解答】（1）证明：由题意得，b﹣c≥0且c﹣b≥0， 所以b≥c且c≥b， 所以b＝c； （2）解：当b＝c时，等式可化为： |a+1|＝0， 由非负数的性质得， ， 解得， 所以c＝6， 所以﹣4a+b+c＝4+6+6＝16， 所以﹣4a+b+c的平方根是±4． 10．二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果0，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知0，则a+b的值为 　﹣2　 ； （2）若x，y为实数，且x29，求x+y的值； （3）已知实数m，n（n≠0）满足|2m﹣4|+|n+2|4＝2m，求m+n的值． 【解答】解：（1）∵， 且， ∴a﹣1＝0，且3+b＝0， ∴a＝1，b＝﹣3， ∴a+b＝﹣2． （2）∵， ∴y﹣5≥0且5﹣y≥0， ∴y≥5且y≤5， ∴y＝5， ∴x2＝9， ∴x＝±3， 当x＝3时，x+y＝3+5＝8； 当x＝﹣3时，x+y＝﹣3+5＝2． （3）∵|2m﹣4|+|n+2|4＝2m， ∴（m﹣3）n2≥0， ∴m≥3， ∴2m﹣4＞0， ∴|2m﹣4|+|n+2|4＝2m 2m﹣4+|n+2|4＝2m ∴|n+2|0， ∵|n+2|≥0，0， ∴n+2＝0，（m﹣3）n2＝0， ∴n＝﹣2，m＝3， ∴m+n＝3﹣2＝1． 训练3 利用二次根式的性质计算 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 （1）；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）. （2）（算术平方根的意义）. 1．计算： （1）（）2；（2）（）2；（3）；（4）． 【解答】解：（1）11； （2）0.3； （3）； （4）0.2． 2．计算： （1）（）2；（2）（）2；（3）；（4）（﹣7）2 【解答】解：（1）原式＝5； （2）原式＝0.2； （3）原式＝10； （4）原式＝4914． 3．计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 【解答】解：（1）； （2）|2﹣π|＝π﹣2； （3）|﹣5|＝5； （4）． 4．计算： （1）（）2；（2）（）2；（3）；（4）． 【解答】解：（1）（）2＝5 （2）（）2＝0.2 （3）0.6 （4） 5．计算： （1）（）2；（2）（）2；（3）（﹣2）2；（4）（﹣3）2． 【解答】解：（1）（）2； （2）（）2； （3）（﹣2）2＝12； （4）（﹣3）2＝96． 6．计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 【解答】解：（1）0.8； （2）； （3）6； （4）2． 7．计算： （1）；（2）；（3）（x＞0）；（4）（x≥1） 【解答】解：（1）0.2； （2）； （3）2x； （4）|1﹣x|＝x﹣1． 8．计算： （1）；（2）；（3）；（4（a＞0，b≥0） 【解答】解：（1）； （2）5×3＝15； （3）2ab； （4）∵a＞0，b≥0， ∴． 9．计算： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【解答】解：（1）； （2）12； （3）1； （4）∵a＜0， ∴a2； （5）∵x＜5， ∴ ＝|x﹣5| ＝5﹣x． 10．计算： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【解答】解：（1）原式＝﹣（﹣7） ＝7； （2）原式＝﹣7； （3）原式＝﹣（3﹣π） ＝π﹣3； （4）原式 ； （5）原式＝π﹣4； （6）原式＝33 ＝27． 训练4 利用二次根式的性质化简 紧扣两个关键性质：一是；a≥0，可直接去掉根号和平方；二是，需根据字母取值范围判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．当3＜x＜5时，化简：． 【解答】解：∵3＜x＜5， ∴原式 ＝x﹣2+|x﹣5| ＝x﹣2+5﹣x ＝3． 2．若﹣2≤a≤2，化简：． 【解答】解：∵﹣2≤a≤2， ∴5﹣2a＞0，a+2≥0， ∴ ＝（5﹣2a）﹣（a+2） ＝5﹣2a﹣a﹣2 ＝﹣3a+3． 3．已知﹣3＜x＜2，化简|x﹣2|． 【解答】解：∵﹣3＜x＜2， ∴x﹣2＜0，x﹣3＜0，2x﹣5＜0， ∴|x﹣2|2﹣x﹣（3﹣x）+（5﹣2x）＝2﹣x﹣3+x+5﹣2x＝4﹣2x． 4．已知：x，y为实数，且y3，化简：|y﹣3|． 【解答】解：依题意，得 ∴x﹣1＝0，解得：x＝1 ∴y＜3 ∴y﹣3＜0，y﹣4＜0 ∴ ＝3﹣y ＝3﹣y﹣（4﹣y） ＝﹣1． 5．若实数a、b，c在数轴上的对应点如图所示，试化简：． 【解答】解：由数轴可得：a＜0，b＜0，c＞0，|b|＞|c|， 故a+b＜0，b+c＜0，c﹣a＞0， 原式＝﹣（a+b）+（b+c）﹣（c﹣a）+a ＝﹣a﹣b+b+c﹣c+a+a ＝a． 6．已知a，b，c是△ABC的三边长，若6，求a的值． 【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边， ∴a+c﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0， 则a﹣b+c﹣（c﹣a﹣b）＝6， 整理得：2a＝6， 解得：a＝3． 7．已知a，b，c的位置如图所示，求的值． 【解答】解：根据题意，得b＜a＜0＜c，|b|＞|c|， ∴b﹣c＜0，c﹣a＞0，b+c＜0， ∴原式＝|a|﹣|b﹣c|+|c﹣a|+|b+c| ＝﹣a+（b﹣c）+（c﹣a）﹣（b+c） ＝﹣a+b﹣c+c﹣a﹣b﹣c ＝﹣2a﹣c． 8．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简： ． 【解答】解：由三角形三边之间的关系可得：a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0， ∴原式＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a） ＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a ＝2a+2b+2c． 9．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，试化简：． 【解答】解：由实数a，b在数轴上对应点的位置可知b＜﹣1＜0＜a＜1， ∴a﹣b＞0，b﹣1＜0，a﹣1＜0， ∴原式＝|a|+|b|+|a﹣b|+|b﹣1|﹣|a﹣1| ＝a﹣b+a﹣b+1﹣b﹣1+a ＝3a﹣3b． 10．（1）当2≤a≤5时，化简；　3　 ； （2）若，求a的值； （3）已知实数a，b满足，求a2+b2的最大值． 【解答】解：（1）由条件可知， 故答案为：3． （2）由可得，|a+1|+|a﹣5|＝8， 当a＜﹣1时，﹣（a+1）﹣（a﹣5）＝8， 解得a＝﹣2； 当﹣1≤a≤5时，a+1﹣（a﹣5）＝8，不成立； 当a＞5时，a+1+（a﹣5）＝8， 解得a＝6； ∴a的值为﹣2或6． （3）由条件可知|a﹣1|+|a+4|+|b+3|+|b﹣1|＝9， 又∵|a﹣1|+|a+4|≥5，当且仅当﹣4≤a≤1时取等号， |b+3|+|b﹣1|≥4，当且仅当﹣3≤b≤1时取等号， ∴|a﹣1|+|a+4|＝5，﹣4≤a≤1， 且|b+3|+|b﹣1|＝4，﹣3≤b≤1， ∴当a＝﹣4，b＝﹣3时，a2+b2取最大值为（﹣4）2+（﹣3）2＝25． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $