专题 7.6 平行线考点与题型专题训练（5大考点16类题型）-2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 7.6 平行线考点与题型专题训练（5大考点16类题型） 目录 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 1 【考点一】平行线的概念与画法 2 题型 1：识别平面与立体图形中的平行线 2 题型 2：用直尺、三角板画平行线 2 【考点二】平行线的判定 3 题型 3：同位角相等，两直线平行的基础应用 3 题型 4：内错角相等，两直线平行的基础应用 4 题型 5：同旁内角互补，两直线平行的基础应用 5 题型 6：“垂直于同一直线的两直线平行” 的应用 6 【考点三】平行线的性质 7 题型 7：两直线平行，同位角相等的基础计算与证明 7 题型 8：两直线平行，内错角相等的基础计算与证明 8 题型 9：两直线平行，同旁内角互补的基础计算与证明 9 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 10 【考点四】平行线判定与性质的综合应用 10 题型 10：平行线判定与性质的综合推理 10 题型 11：含角平分线或垂线的平行线综合计算 11 题型 12：利用方程思想解决平行线中的角度问题 12 题型 13：平行线性质在探究角的数量关系中的应用 13 【考点五】平行公理及推论的应用 14 题型 14：平行公理推论的证明与应用 14 【考点六】平行线的生活场景应用 14 题型 15：利用平行线性质与判定解决实际角度问题 15 题型 16：平行线判定与性质的生活建模应用 16 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 【考点一】平行线的概念与画法 题型 1：识别平面与立体图形中的平行线 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有 ．（填序号） 4．（24-25八年级下·浙江·假期作业）如图所示的长方体，观察并回答下列问题． （1）用符号表示两条棱的位置关系：① ；② ；③ ；④ ． （2）与所在的直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在 内，不相交的两条直线才是平行线． 题型 2：用直尺、三角板画平行线 1．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）用三角尺和直尺根据要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图①，过点E分别画和的平行线； (2)如图②，过点A，B，C分别画，，的平行线． 3．（24-25七年级下·全国·期中）如图，在三角形中，P是边上一点．过点P分别画，的平行线． 【考点二】平行线的判定 题型 3：同位角相等，两直线平行的基础应用 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)，（已知） ________=________（等量代换）． 3．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图： ，（填写一个满足条件的理由，用符号表示，不得添加任何辅助线）． 4．（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，在中，，，．求证： ． 题型 4：内错角相等，两直线平行的基础应用 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如下图，根据图中已标注出的角，添加一个恰当条件使直线，应添加条件为 ． 3．（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 题型 5：同旁内角互补，两直线平行的基础应用 1．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图，，当 度时，． 2．（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A．B． C． D． 3．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 题型 6：“垂直于同一直线的两直线平行” 的应用 1．（25-26七年级上·浙江·假期作业）若，，则与的关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是 ． 3．（23-24七年级下·江西·月考）如图，，，．求证：．某同学证法如下，请在横线上填写其推理过程或理由． 证明：因为， 所以 （______) 所以 ， 所以 （______）（ ） 因为（____） 所以（______） 所以（______） 4．（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，已知，，试探究与的位置关系，并说明理由． 【考点三】平行线的性质 题型 7：两直线平行，同位角相等的基础计算与证明 1．（2026·山东临沂·模拟预测）将一个含角的三角板按照如图所示的方式放置在直尺上，此时，直尺边正好是三角板的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知，，则 度， 度． 3．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线，，求、的度数．抄写下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（_____________） ∴（_____________） ∵（_____________），（已知） ∴（   ）（等量代换）． 又∵， ∴（   ）（等式的性质）． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．求和的度数． 题型 8：两直线平行，内错角相等的基础计算与证明 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，，，用和表示， ． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，已知，求证：，以下是小明不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：如图、过点作， （______）， ， （______）， ______（两直线平行，内错角相等）， ______． 4．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知分别平分与．求证：． 题型 9：两直线平行，同旁内角互补的基础计算与证明 1．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，求和的度数 4．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，，，．求证：． 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 【考点四】平行线判定与性质的综合应用 题型 10：平行线判定与性质的综合推理 1．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）补充证明过程，并在括号内填写证明步骤所用到的定理． 如图，为上的点，为上的点，，，求证：． 证明：∵（已知），（ ）， ∴ （等量代换）． ∴ （ ）． ∴ （ ）． 又∵（已知）， ∴（ ）． ∴（ ）． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）如图所示的是潜望镜中的两面镜子和光线经过镜子反射抽象出的示意图，，，． (1)猜想和有什么关系，并说明理由． (2)求证：． 3．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点．求证： (1)； (2)． 题型 11：含角平分线或垂线的平行线综合计算 1．（23-24七年级下·重庆·月考）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，的角平分线与的角平分线交于点F，与交于点M，，求的度数． 2．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）如图，已知，点在，之间，的角平分线与的角平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）推理填空：如图，直线，被直线所截，是的角平分线，若，，求的度数．    解：是的角平分线， ，（角平分线的定义） ，（已知） ______，（______） ，（______） ，（______） ， ______． 题型 12：利用方程思想解决平行线中的角度问题 1．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图1，已知，E，F分别是上的点，P为之间的一点，且始终在直线的左侧，连接． (1)求证：． (2)如图2，在内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧．若，，，求的度数． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期末）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，点P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D． (1)求的大小． (2)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，的大小是_______． 题型 13：平行线性质在探究角的数量关系中的应用 1．（25-26七年级上·安徽六安·月考）如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，且分别交射线于点、． (1)当 时，直接填空：___________，____________； (2)点运动过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； (3)当，时，求的度数． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【考点五】平行公理及推论的应用 题型 14：平行公理推论的证明与应用 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数. 【考点六】平行线的生活场景应用 题型 15：利用平行线性质与判定解决实际角度问题 1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于 ． 4．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 题型 16：平行线判定与性质的生活建模应用 1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图是一艘捕鱼船的航行轨迹，该船从点出发，到达点时，发现前方有一块礁石，于是改变方向，沿着南偏西方向继续前进至点，由于点处又有一块礁石，只好重新改变方向，沿着北偏西方向航行．已知，请你判断捕鱼船现在的航行方向与开始的航行方向是否一致，并说明理由． 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）如图，某工程队从A点出发，沿北偏西方向铺设管道，由于某些原因，段不适宜铺设，需改变方向，由B点沿北偏东的方向继续铺设段，到达C点又改变方向，从C点继续铺设段，当为多少度时，可使所铺管道？试说明理由．． 3．（24-25七年级下·江西宜春·月考）如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？请把下列解题过程补充完整． 理由：，（已知） ．（ ） ，，（已知） ．（等量代换） ，．（ ） ． ．（ ） 4．（2024七年级·全国·竞赛）（1）如图1，，且，求证：；           　图1 （2）如图2，，且，求的值．           　图2 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 7.6 平行线考点与题型专题训练（5大考点16类题型） 目录 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 1 【考点一】平行线的概念与画法 2 题型 1：识别平面与立体图形中的平行线 2 题型 2：用直尺、三角板画平行线 4 【考点二】平行线的判定 6 题型 3：同位角相等，两直线平行的基础应用 6 题型 4：内错角相等，两直线平行的基础应用 8 题型 5：同旁内角互补，两直线平行的基础应用 10 题型 6：“垂直于同一直线的两直线平行” 的应用 11 【考点三】平行线的性质 13 题型 7：两直线平行，同位角相等的基础计算与证明 13 题型 8：两直线平行，内错角相等的基础计算与证明 16 题型 9：两直线平行，同旁内角互补的基础计算与证明 18 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 20 【考点四】平行线判定与性质的综合应用 20 题型 10：平行线判定与性质的综合推理 20 题型 11：含角平分线或垂线的平行线综合计算 23 题型 12：利用方程思想解决平行线中的角度问题 27 题型 13：平行线性质在探究角的数量关系中的应用 32 【考点五】平行公理及推论的应用 36 题型 14：平行公理推论的证明与应用 36 【考点六】平行线的生活场景应用 38 题型 15：利用平行线性质与判定解决实际角度问题 38 题型 16：平行线判定与性质的生活建模应用 42 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 【考点一】平行线的概念与画法 题型 1：识别平面与立体图形中的平行线 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的定义，逐一判断每个选项中的图形是否符合“直线与平行”的条件． 【详解】解：A、是曲线，不是直线，不满足平行线的定义，不符合题意； B、与是两条不相交的直线，符合平行线的定义，符合题意； C、和都是曲线，不是直线，不符合题意； D、与相交且形成直角，是互相垂直的直线，不是平行线，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点平行线的定义，解题关键是准确识别图形中的线是否为直线，以及是否满足“不相交”的条件． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，进行解答即可． 【详解】解：如图， 当时，， ∴要使，木条a旋转的度数． 故选：D． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】解：①交通路口的斑马线，是平行线，符合题意； ②天上的彩虹，不是直线，所以不是平行线，不符合题意； ③百米跑道线，是平行线，符合题意； ④火车的平直铁轨线，是平行线，符合题意； 综上：属于平行线的有①③④，三个． 故答案为：①③④． 4．（24-25八年级下·浙江·假期作业）如图所示的长方体，观察并回答下列问题． （1）用符号表示两条棱的位置关系：① ；② ；③ ；④ ． （2）与所在的直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在 内，不相交的两条直线才是平行线． 【答案】 不是 同一平面 【分析】本题考查直线的位置关系，长方体，解题的关键是熟练掌握长方体的性质． （1）根据长方形的性质，判断长方体两条棱之间的位置关系即可； （2）根据图形，写出答案即可． 【详解】（1）解：∵长方体的各个面均为长方形，长方形对边平行，邻边互相垂直， ∴，，，，， ∴，， 故答案为：①，②，③，④； （2）解：由图可知，与不是平行线， ∵与不在同一平面内，与所在的直线不相交，也不平行， ∴在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线， 故答案为：⑤不是，⑥同一平面． 题型 2：用直尺、三角板画平行线 1．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查过直线外一点作已知直线的平行线．先将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿已知直线平移三角板，直到三角板的另一条直角边与O点重合，沿这条直角边过O点向已知直线作一条垂线，然后再将三角板这条直角边沿所作垂线向上平移，直到底下的直角边与O点重合，最后过O点沿三角板底下的直角边作一条直线，这就是已知直线的平行线． 【详解】解：如图所示，直线b即为所求． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）用三角尺和直尺根据要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图①，过点E分别画和的平行线； (2)如图②，过点A，B，C分别画，，的平行线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了画平行线，解答本题的关键是掌握平行线的画法； （1）将直尺与重合，三角尺与重合，然后将三角尺沿直尺向上平移，使之平移至E点，然后过E点画直线即可得到与平行的直线；利用同样的画法，画出经过点E与直线平行的直线； （2）将三角板的一边与重合，直尺靠紧三角板另一边，沿直尺移动三角板使一边经过点A，过点A沿这边画直线，此直线即为过点A且平行于的直线;把三角板一边与重合，按上述方法操作，画出过点B且平行于的直线;将三角板一边与重合，通过上述平移三角板的方法，画出过点C且平行于的直线 ． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：如图所示： 3．（24-25七年级下·全国·期中）如图，在三角形中，P是边上一点．过点P分别画，的平行线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的画法．利用三角尺，从边平移直到直线过P点，做出平行线，同理做出的平行线． 【详解】解：如图所示，，，直线即为所求． 【考点二】平行线的判定 题型 3：同位角相等，两直线平行的基础应用 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)，（已知） ________=________（等量代换）． 【答案】(1)；；同位角相等，两直线平行 (2)；；同位角相等，两直线平行 (3)； 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行，进行解答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行，进行解答即可； （3）根据，进行解答即可． 【详解】（1）（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （3），（已知） （等量代换）． 3．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图： ，（填写一个满足条件的理由，用符号表示，不得添加任何辅助线）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键； 根据平行线的判定，即可求解； 【详解】解：， ； 故答案为： 4．（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，在中，，，．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定. 根据垂直的定义得到， 根据得到，由可知，即，根据同位角相等两直线平行作答即可. 【详解】证明：∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 题型 4：内错角相等，两直线平行的基础应用 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析即可得出答案，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法去判定每项的正确与否即可得到答案． 【详解】解：A、∵，∴直线，故此选项不合题意； B、，不能得出直线，故此选项符合题意； C、∵，∴直线，故此选项不合题意； D、∵，∴直线，故此选项不合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如下图，根据图中已标注出的角，添加一个恰当条件使直线，应添加条件为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：由“同位角相等，两直线平行”可知当时，， 由“内错角相等，两直线平行”可知当时，， 若，由题可知，由此可得，则， 综上，可添加的条件为：或或等． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：， （垂直的定义）． 分别平分和， ∴，（角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 题型 5：同旁内角互补，两直线平行的基础应用 1．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图，，当 度时，． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行），熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．要使，需利用平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）确定的度数． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定定理，准确识别角的位置是解题关键． 根据平行线的判定定理对选项依次进行判断即可． 【详解】解：选项：和是由两条不同的截线形成的角，无法推导出； 选项：和是和被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出； 选项：和的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角、内错角或同旁内角，无法判定平行； 选项：和的位置不构成同位角、内错角或同旁内角，不能判定． 故选：． 3．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 由，，可得，从而有，可判定． 【详解】证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 题型 6：“垂直于同一直线的两直线平行” 的应用 1．（25-26七年级上·浙江·假期作业）若，，则与的关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查直线之间的垂直关系，需考虑直线是否在同一平面内． 【详解】解：，， 当直线在同一平面内时，垂直于同一直线的两直线平行，即， 当直线不在同一平面内时，a与c不一定平行， 因此，与的关系是不确定的． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是 ． 【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定；两直线垂直于同一直线，可根据同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行，进行判断． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 3．（23-24七年级下·江西·月考）如图，，，．求证：．某同学证法如下，请在横线上填写其推理过程或理由． 证明：因为， 所以 （______) 所以 ， 所以 （______）（ ） 因为（____） 所以（______） 所以（______） 【答案】垂直的定义；；同旁内角互补，两直线平行；已知；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定，补齐各步骤的结论以及推理依据即可． 【详解】证明：因为， 所以 （垂直的定义) 所以 ， 所以 （）(同旁内角互补，两直线平行) 因为（已知） 所以（同旁内角互补，两直线平行） 所以（平行于同一直线的两直线互相平行） 4．（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，已知，，试探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先根据同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行得到，再根据平行于同一直线的两直线平行可得． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 【考点三】平行线的性质 题型 7：两直线平行，同位角相等的基础计算与证明 1．（2026·山东临沂·模拟预测）将一个含角的三角板按照如图所示的方式放置在直尺上，此时，直尺边正好是三角板的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和、对顶角、角平分线与平行线的性质．准确识图，熟练利用角平分线和三角形内角和，平行线的性质是解题的关键． 根据三角板的特性及角平分线与三角形的内角和求出的大小，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：在含角的三角板中，， ∵为平分线， ∴， 由三角形的内角和可得，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知，，则 度， 度． 【答案】 120 60 【分析】本题主要考查平行线的性质及邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据平行线的性质得到的度数，然后根据邻补角可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为120；60． 3．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线，，求、的度数．抄写下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（_____________） ∴（_____________） ∵（_____________），（已知） ∴（   ）（等量代换）． 又∵， ∴（   ）（等式的性质）． 【答案】已知；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；； 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角相等，由两直线平行，同位角相等可得，再结合题意得出，再根据邻补角的定义计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（对顶角相等），（已知） ∴（等量代换）． 又∵， ∴（等式的性质）． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是利用“两直线平行，同位角相等”得到角的等量关系． 利用，根据“两直线平行，同位角相等”，得、，求出；再由与互补，计算出． 【详解】证明：， ，． ，， ． ，， ， ． 题型 8：两直线平行，内错角相等的基础计算与证明 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，关键是相关性质和定义的熟练掌握． 由两直线平行，内错角相等可得到，再根据角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，，，用和表示， ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，，则，由平行线的性质可得，，，再结合几何图形分析即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，已知，求证：，以下是小明不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：如图、过点作， （______）， ， （______）， ______（两直线平行，内错角相等）， ______． 【答案】两直线平行，内错角相等 ；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，两直线平行，内错角相等；． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 利用两直线平行，内错角相等，平行公理推论即可． 【详解】证明：如图、过点作， （两直线平行，内错角相等 ）， ， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， 故答案为：两直线平行，内错角相等 ；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，两直线平行，内错角相等；． 4．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知分别平分与．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，由角平分线的定义和已知条件可证明，再由平行线的性质可得，则． 【详解】证明：∵分别平分与， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 题型 9：两直线平行，同旁内角互补的基础计算与证明 1．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线定义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． 【答案】130 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据，得出，最后根据平行线的性质，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，求和的度数 【答案】， 【分析】本题主要考查平行线的性质，由，推出，再根据，推出的度数，然后根据两直线平行同旁内角互补即可推出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，根据，得出，根据，，可得，进而得出，根据两直线平行同旁内角互补，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 【考点四】平行线判定与性质的综合应用 题型 10：平行线判定与性质的综合推理 1．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）补充证明过程，并在括号内填写证明步骤所用到的定理． 如图，为上的点，为上的点，，，求证：． 证明：∵（已知），（ ）， ∴ （等量代换）． ∴ （ ）． ∴ （ ）． 又∵（已知）， ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质．根据平行线的判定和性质解答即可． 【详解】证明：（已知），（对顶角相等）， （等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等） 又（已知） （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）. 2．（2026七年级下·全国·专题练习）如图所示的是潜望镜中的两面镜子和光线经过镜子反射抽象出的示意图，，，． (1)猜想和有什么关系，并说明理由． (2)求证：． 【答案】(1)   见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据两面镜子是互相平行放置的可知，再根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可直接证明． （2）结合题意可证明，再由，，即可证明，最后由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），即可证明． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴． （2）证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质在生活中的应用．掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键． 3．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质； （1）根据对顶角相等结合已知条件可得，根据同位角相等两直线平行，即可得证； （2）根据平行线的性质可得，，即可证明． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴； （2）证明：∵ ∴ ∵， ∴， ∴． 题型 11：含角平分线或垂线的平行线综合计算 1．（23-24七年级下·重庆·月考）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，的角平分线与的角平分线交于点F，与交于点M，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质探究角的关系以及平行线的性质与判定的综合，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先由平行线的性质，得出，再进行角的等量代换，得，即可作答． （2）过点F作直线，得，结合角平分线的定义，得，，再通过角的差运算，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：如图：过点F作直线， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）如图，已知，点在，之间，的角平分线与的角平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是作辅助线构造内错角，依据平行线的性质进行推导计算． （1）根据角平分新的定义得到，，然后过点F作， 即可得到，根据内错角相等得到，，然后根据角的和差解答即可； （2）过点E作，由（1）即可得到，根据角平分线得到，，然后过点F作，得到，然后解答即可． 【详解】（1）解：∵的角平分线与的角平分线交于点，，， ∴，， 过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由为： 过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，， 过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）推理填空：如图，直线，被直线所截，是的角平分线，若，，求的度数．    解：是的角平分线， ，（角平分线的定义） ，（已知） ______，（______） ，（______） ，（______） ， ______． 【答案】；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等； 【分析】先利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：是的角平分线， ，（角平分线的定义） ，（已知） ，（等量代换） ，（内错角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同位角相等） ， ， 故答案为：；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握角平分线的定义、平行线的判定与性质是解题的关键． 题型 12：利用方程思想解决平行线中的角度问题 1．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图1，已知，E，F分别是上的点，P为之间的一点，且始终在直线的左侧，连接． (1)求证：． (2)如图2，在内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧．若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可． （2）设，，则，，，根据已知，结合四边形的内角和，列式解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，三角形内角和定理，四边形内角和，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期末）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角与补角、新定义等问题． （1）根据k倍补角的定义求解即可； （2）①过点E作，所以，进而求出的度数； ②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解． 【详解】（1）解：∵是的5倍补角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即； ②∵，， ∴， 由①得， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 如图2，若点F在右侧， 则； 如图3，若点F在左侧，连接并延长， ∵ 是 的外角， ∴， 同理可得， ∴ ； 综上所述，或． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，点P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D． (1)求的大小． (2)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，的大小是_______． 【答案】(1)50° (2)不变，，理由见解析 (3) 【分析】本题围绕平行线的性质以及角平分线的定义展开，分三个小问探究角之间的数量关系．需利用平行线性质转换角的关系，结合角平分线定义推导角的和、倍分关系． 【详解】（1）， . ， . 又平分，平分， . 又， . （2）数量关系不变，理由如下： ， 平分， 又， （3）设， 平分， ， . ， 又平分， 且， ， 解得，即 【点睛】本题核心是运用平行线的性质和角平分线的定义，将复杂角关系转化为和、倍分关系，解题关键：利用角平分线性质“转移”角；结合角平分线定义拆分/合并角，建立已知与未知角得联系． 题型 13：平行线性质在探究角的数量关系中的应用 1．（25-26七年级上·安徽六安·月考）如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，且分别交射线于点、． (1)当 时，直接填空：___________，____________； (2)点运动过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； (3)当，时，求的度数． 【答案】(1)； (2)不变， (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据，由同旁内角互补得，因为、分别平分和，根据角度等量关系可得，即可解出答案； （2）由角平分线与平行线的性质，可得，故得的比值不变； （3）根据角度之间的倍数关系，证出以及，根据平行线同旁内角互补以及角度关系转换可得出，故可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， 故答案为：；． （2）解：的值不发生变化． 理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)   见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． （1）首先过点向左作，可求出的度数，由，可得，利用平行线的性质，即可求得的度数，继而根据角度的和差关系求得答案； （2）由（1）得，，再由即可求得，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点向左作， 则． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 由（1）得，． 又∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 要探究和的数量关系，先延长DC交BE于点K，交BP于点T，借助的平行线性质得到角的等量关系，结合平分、的条件推导角相等，再利用平角的定义得出两者的数量关系； (2) 要探究和∠F的数量关系，设角平分线分后的角为未知数，利用的性质表示，结合角的和差关系表示，进而推导两者的数量关系． 【详解】（1）解：延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①． ∵，∴． ∵BP平分， ∴，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即． （2）解：延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②． ∵射线BP，CQ分别平分，， ∴，． 设，， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的定义，掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补；角平分线将角分为相等的两部分是解题的关键． 【考点五】平行公理及推论的应用 题型 14：平行公理推论的证明与应用 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线和相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 【答案】(1)，，（答案不唯一） (2)，，见解析 【分析】本题主要考查同一平面内两直线平行，平行公理推论，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的定义即可得到结论； （2）根据平行于同一直线的两直线平行即可得到结论． 【详解】（1）解：，，．（答案不唯一） （2），．理由如下： ，， ． ，， ． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数. 【答案】∠AOC=60° 【分析】由条件可证明A、O、B三点在一条件直线上，可得∠AOB为平角，再由两角的关系可求得∠AOC． 【详解】解析：因为 AO∥CD，BO∥CD, 所以A,O,B在同一条直线上， 所以∠AOB=180°. 因为∠AOC=∠AOB， 所以∠AOC=60° 【点睛】考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 【考点六】平行线的生活场景应用 题型 15：利用平行线性质与判定解决实际角度问题 1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据物理学原理可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出，最后根据对顶角相等求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，先根据题意作出图形，再根据平行线得到，，，接着根据镜面反射可得，，最后根据平角列方程求解即可． 【详解】解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于， ∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为， ∴， ∵与平行的光线， ∴，，， 由镜面反射可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质的实际应用，作，，则，根据平行线得到，，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，，点在点右边，点在点右边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与水平线的夹角为， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质及其应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）过点F作，则，再证，根据平行线的性质，通过等量代换可得； （2）过点C作，则，进而求出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：结论：， 证明：如图，过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴． 题型 16：平行线判定与性质的生活建模应用 1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图是一艘捕鱼船的航行轨迹，该船从点出发，到达点时，发现前方有一块礁石，于是改变方向，沿着南偏西方向继续前进至点，由于点处又有一块礁石，只好重新改变方向，沿着北偏西方向航行．已知，请你判断捕鱼船现在的航行方向与开始的航行方向是否一致，并说明理由． 【答案】捕鱼船现在的航行方向与开始的航行方向一致，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质与判定进行求解即可，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：捕鱼船现在的航行方向与开始的航行方向一致，理由如下： 如图，根据题意，得，， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以捕鱼船现在的航行方向与开始的航行方向一致． 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）如图，某工程队从A点出发，沿北偏西方向铺设管道，由于某些原因，段不适宜铺设，需改变方向，由B点沿北偏东的方向继续铺设段，到达C点又改变方向，从C点继续铺设段，当为多少度时，可使所铺管道？试说明理由．． 【答案】，见解析． 【分析】本题考查的是平行线的判定的应用，先得到，，再根据当时，则，即可得出答案. 【详解】解：当时，可使所铺管道．理由如下： 根据题意，得， ∴ 当时，则， ∴． ∴当时，可使所铺管道． 3．（24-25七年级下·江西宜春·月考）如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？请把下列解题过程补充完整． 理由：，（已知） ．（ ） ，，（已知） ．（等量代换） ，．（ ） ． ．（ ） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可． 【详解】解：，（已知） ，（两直线平行，内错角相等） ，，（已知） ．（等量代换） ，．（平角定义） ． ，（内错角相等，两直线平行）． 4．（2024七年级·全国·竞赛）（1）如图1，，且，求证：；           　图1 （2）如图2，，且，求的值．           　图2 【答案】（1）见解析 （2） 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握和灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）作出辅助线，由平行线的性质可得角相等，结合条件即可证明； （2）作出辅助线，类比（1）的推导即可完成． 【详解】（1）证明：作， ， ， ， ， ， ； （2）解：作， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， 又， 设，则， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $