专题 7.3 定义、命题、定理（知识梳理 + 题型精析 +真题专练）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 7.3 定义、命题、定理（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】定义 1 【题型 1】定义的判断 1 【知识点二】命题 3 【题型 2】命题及命题的题设与结论 3 【题型 3】命题的真假判断 4 【知识点三】基本事实与定理 7 【题型 4】定理的判断 7 【知识点四】证明 8 【题型5】已知证明过程填写理论依据 9 【题型6】写出一个命题的已知、求证及证明过程 11 【题型7】根据给出的论断组命题并证明 14 【题型8】逻缉推理与论证 17 二.中考真题 19 （一）填空题（5题） 19 （二）解答题（1题） 22 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】定义 定义：是对数学对象进行清晰、明确的描述，它揭示了该对象的本质特征，能够帮助我们准确理解这个对象，并作出准确的判断。具体来说，定义通常会明确数学对象的构成要素或本质属性。 【题型 1】定义的判断 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义问题，定义是由三部分组成：被定义项、定义项和定义联项，能区别语句中的定义，定理，作图语句是解题关键．据此逐一判断即可． 【详解】解：A.是数学语言，不是定义，故该选项不符合题意； B. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，故该选项不符合题意； C. 用“”连接而成的式子叫作等式是定义，故该选项符合题意； D. 同角的补角相等是定理不是定义，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·福建福州·期中）下列描述属于定义的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．三角形的内角和等于 C．对顶角相等 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键． 根据定义的概念逐项判断即可． 【详解】解：A． 两直线平行，内错角相等是平行线的性质，故该选项不符合题意； B． 三角形的内角和等于是三角形的内角和定理，故该选项不符合题意； C． 对顶角相等是定理，故该选项不符合题意； D． 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形是定义，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列描述不属于定义的是(     ) A．无限不循环小数叫做无理数 B．三角形任何两边的和大于第三边 C．在同一平面内三条线段首尾顺次相接得到的图形叫做三角形 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】B 【分析】根据课本中的数学定义即可作答. 【详解】解：A. 无限不循环小数叫做无理数,正确,是无理数的定义, B. 三角形任何两边的和大于第三边,不属于定义,是三角形三边关系的性质, C. 在同一平面内三条线段首尾顺次相接得到的图形叫做三角形,是定义, D. 含有未知数的等式叫做方程,是定义, 【点睛】本题考查了数学定义,属于简单题,熟练掌握课本中的数学定义是解题关键. 【知识点二】命题 （1）命题的定义：可以判断为正确（真）或错误（假）的陈述语句叫做命题。被判断为正确的命题叫真命题，被判断为错误的命题叫假命题。 （2） 命题的结构：数学中的命题常可写成 “如果…… 那么……” 的形式：“如果” 后接的部分叫做题设，是已知事项。“那么” 后接的部分是结论，是由已知事项推出的事项。 对于题设和结论不明显的命题，需要经过分析将其改写成 “如果…… 那么……” 的形式， 【题型 2】命题及命题的题设与结论 【例题2】（人教版七下第23页练习第3题改编）（24-25七年级下·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论： (1)如果a是有理数，那么； (2)如果，那么； (3)两直线平行，内错角相等． 【答案】(1)题设：a是有理数．结论： (2)题设：，．结论： (3)题设：两条直线平行．结论：内错角相等． 【分析】本题考查的是命题，命题是由题设和结论两部分组成的，每一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，如果后面的文字是题设，那么后面的文字是结论. 任何一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，如果后面的语言为题设，那么后面的语言是结论，以此来解题. 【详解】（1）解：命题如果a是有理数，那么，题设：a是有理数．结论：． （2）命题如果，那么，题设：，．结论：． （3）命题两直线平行，内错角相等，题设：两条直线平行．结论：内错角相等． 【变式1】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）下列选项是命题的是（    ） A．作直线 B．今天的天气好吗？ C．连接、两点 D．同角的余角相等 【答案】D 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断. 【详解】解：A、作线段为描述性语言，不是命题； B、今天的天气好吗？语句为疑问句，不是命题； C、连接、两点为描述性语言，不是命题； D、同角的余角相等，是命题， 故选：D. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【变式2】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）如图： 观察图形，请用“如果……，那么……”的形式写出一个命题：_________________． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查了命题的结构，熟练掌握命题的结构是解题的关键．根据图片找到命题的条件和结论，如果后面是条件，那么后面是结论，原命题的条件是，结论是． 【详解】解：根据题意，如果，那么． 故答案为：如果，那么． （3）命题的真假判断：由题设成立，能保证结论一定成立的命题叫做真命题；由题设成立，不能保证结论一定成立的命题最做假命题。 【题型 3】命题的真假判断 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）写出三个命题，并判断它们的真假．如果有假命题，请举出反例． 【答案】1．命题：所有直角都相等．真命题． 2．命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角．假命题．反例：等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角． 3．命题：两点之间，线段最短．真命题．（答案不唯一） 【分析】本题考查了判断命题真假，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； “所有直角都相等”：直角的定义是等于的角，因此所有直角的度数均为，必然相等，是真命题． “如果两个角相等，那么它们是对顶角”：相等的角不一定是对顶角（对顶角需满足“两条直线相交形成”的位置关系）．反例中“等腰三角形的两个底角”仅满足度数相等，但并非对顶角，故为假命题． “两点之间，线段最短”：这是几何中的基本公理，两点之间的所有连线中，线段的长度是最短的，是真命题． 【详解】解：1．命题：所有直角都相等．真命题． 2．命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角．假命题．反例：等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角． 3．命题：两点之间，线段最短．真命题．（答案不唯一） 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）下列命题中正确的是（    ） A．同位角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 C．两点之间，直线最短 D．过一点作已知直线的平行线，有且只有一条 【答案】B 【分析】此题考查真假命题的判断，根据相关知识逐项进行判断即可． A选项同位角相等需两直线平行才成立，否则不一定；C选项应为两点之间线段最短；D选项过一点作已知直线的平行线，需分点在直线上或外，不一定有且只有一条；B选项根据平行线的判定定理，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确． 【详解】解：A选项：只有当两直线平行时，同位角才相等，否则不一定，∴ A错误． ∵ 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，∴ B选项正确． C选项：两点之间，线段最短，直线是无限长的，∴ C错误． D选项：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；但过直线上一点，不存在与已知直线平行的直线（除本身），∴ D错误． 故选：B． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）判断下列命题是真命题还是假命题． (1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等． (2)如果，那么． 【答案】(1)假命题 (2)假命题 【分析】本题主要考查了命题真假判断，准确掌握命题中所涉及的知识点是解题的关键． （1）根据平行线性质，只有当两直线平行时，内错角才相等； （2）绝对值相等的数可能相等或互为相反数． 【详解】（1）当两条直线不平行时，被第三条直线所截形成的内错角不一定相等，例如，若两条直线相交，则它们的内错角不相等，因此，命题缺少“两直线平行”的条件，故为假命题． （2）若，则或，例如，当，时，，但，因此，命题不成立，为假命题． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④． (1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） (2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 【答案】(1)假 (2)添加，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． （1）利用平行线的判定方法进而判断即可； （2）利用平行线的判定方法添加，根据平行线的性质得出，利用角的和差关系即可求出，根据平行线的判定定理即可得结论． 【详解】（1）解：∵、不是、被第三条直线所截的角， ∴若，无法判定， ∴若，则是假命题， 故答案为：假 （2）解：添加条件， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【知识点三】基本事实与定理 1. 基本事实：是被公认的、无需证明的真命题，它可以作为后续推理的原始依据。例如：两点确定一条直线；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 2. 定理：定理是正确性经过推理证实的真命题，它可以作为继续推理的依据。例如：对顶角相等； 内错角相等，两直线平行。 【题型 4】定理的判断 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查公理与定理的区分．公理是不需要证明的基本命题，而定理是通过公理推导出的命题，据此可得答案． 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系． 根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 【答案】2/两 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理． 首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④、⑤是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①2与6的平均值是4，故此命题是假命题，不是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把5代入方程，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和为，是经过证明的是真命题，故是定理； ⑤等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； 综上所述：③和④是定理，共2个． 故答案为：2． 【知识点四】证明 证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断的过程。它通常以基本事实、定义、已有的定理为依据，通过逻辑推导来验证命题的真假。这样的推理过程叫做证明 【题型5】已知证明过程填写理论依据 【例题5】（23-24七年级下·陕西西安·月考）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 【变式1】（23-24七年级下·湖南长沙·月考）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 【变式2】（23-24七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 【题型6】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证． 【详解】已知：，，． 求证：． 证明：，（已知）， （等量代换）， （等式的性质）． （已知）， （等式的性质）， （等量代换）． 【变式1】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 【变式2】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 【题型7】根据给出的论断组命题并证明 【例题7】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 【变式2】（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 【题型8】逻缉推理与论证 【例题7】（2025·湖南长沙·模拟预测）四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 【答案】C 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，仔细读题是解决本题的关键． 根据小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，进而判断即可． 【详解】解：根据题意得，小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾， ∴两人的话必有一真一假， ∵“只有一个小孩说真话”， ∴小张和小明的话都是假话， ∴小明说“我没有打破窗户的玻璃”是假话，说明小明打破了玻璃． 故选C． 【变式1】（25-26九年级上·湖南·月考）小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月 号．（填日期） 【答案】16 【分析】本题考查推理与论证和有理数加法的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据6月有30天，再由小明条件可知，若有5个星期二，则第一个星期二必须在1日或2日；分别计算两种情况下星期二日期之和，判断是否满足小李条件（和不为75），从而确定第一个星期二为2日，进而找到第三个星期二日期即可． 【详解】解：6月有30天，若有5个星期二，则第一个星期二可能为1日或2日， 若1日为星期二，则星期二日期为1、8、15、22、29， 和为，与小李条件矛盾； 若2日为星期二，则星期二日期为2、9、16、23、30， 和为，符合小李条件． ∴第一个星期二为2日，第三个星期二为16日． 故答案为：16． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五个班级进行数学对抗赛，且比赛规则规定为单循环（即每两个班级之间都要进行一场对抗赛）．对抗赛中途统计了甲、乙、丙、丁四个班级已经赛过的场数，结果是甲班场，乙班场，丙班场，丁班场．对抗赛进行到这个时候，戊班进行了几场比赛？ 【答案】戊班进行了场对抗赛，分别是与甲班、乙班进行的 【分析】本题考查了推理逻辑证明，将甲、乙、丙、丁、戊五个班级用五个点表示，每两队间比赛，用连线表示，即可观察得各班比赛场次，解题的关键是结合题意恰当分类进行分析． 【详解】解：如图，将甲、乙、丙、丁、戊五个班级用五个黑点表示，将各班之间比赛的情况用线段连接， 甲班已经比赛过场，说明甲班与乙、丙、丁、戊四个班级均已各比赛了场．因为是单循环比赛，所以在接下来的赛程中，甲班已经没有比赛了； 丁班只赛过场，说明丁班的这一场比赛只能是与甲班对抗的； 乙班赛了场，说明乙班没有与丁班对抗，它是与甲、丙、戊班各赛了场； 丙班赛了场，说明丙班是与甲班、乙班对抗的． 因此，从图中可以十分明了地看出，戊班进行了场对抗赛，分别是与甲班、乙班进行的． 二.中考真题 （一）填空题（5题） 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查举例说明假命题，根据绝对值的意义，一个负数的绝对值等于它的相反数，举出一个反例即可． 【详解】解：当时，，，此时； ∴“”是假命题， 故答案为：0（答案不唯一）． 2．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题． 【详解】解：∵ ∴， ∴若，则是假命题， 故答案为：假． 4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表： 收割机编号 A，B B，C C，D D，E A，E 所需时间（小时） 23 19 20 22 18 则收割最快的一台收割机编号是 ． 【答案】C 【分析】本题考查推理能力．利用同时启动其中的两台收割机，收割面积相同的田地所需时间分析对比，能求出结果． 【详解】解：同时启动A，B两台收割机，所需的时间为23小时， 同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时， 得到C比A快； 同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时， 同时启动C，D两台收割机，所需的时间为20小时， 得到B比D快； 同时启动A、B两台收割机，所需的时间为23小时， 同时启动A，E两台收割机，所需的时间为18小时， 得到E比B快； 同时启动C，D两台收割机，所需的时间为20小时， 同时启动D，E两台收割机，所需的时间为22小时， 得到C比E快． 综上，收割最快的一台收割机编号是C． 故答案为：C． 5．（2023·北京·中考真题）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟． 【答案】 53 28 【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案． 【详解】解：由题意得：（分钟）， 即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟； 假设这两名学生为甲、乙， ∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成， ∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟， 然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟， 最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟， ∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟）， 故答案为：53，28； 【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． （二）解答题（1题） 6．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】(1)假命题，见解析； (2)假命题，见解析； (3)真命题，证明见解析； (4)假命题，见解析． 【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 【详解】（1）解：是假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）解：是假命题，反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）解：是真命题，证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）解：是假命题，反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 7.3 定义、命题、定理（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】定义 1 【题型 1】定义的判断 1 【知识点二】命题 3 【题型 2】命题及命题的题设与结论 3 【题型 3】命题的真假判断 4 【知识点三】基本事实与定理 7 【题型 4】定理的判断 7 【知识点四】证明 8 【题型5】已知证明过程填写理论依据 9 【题型6】写出一个命题的已知、求证及证明过程 11 【题型7】根据给出的论断组命题并证明 14 【题型8】逻缉推理与论证 17 二.中考真题 19 （一）填空题（5题） 19 （二）解答题（1题） 22 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】定义 定义：是对数学对象进行清晰、明确的描述，它揭示了该对象的本质特征，能够帮助我们准确理解这个对象，并作出准确的判断。具体来说，定义通常会明确数学对象的构成要素或本质属性。 【题型 1】定义的判断 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义问题，定义是由三部分组成：被定义项、定义项和定义联项，能区别语句中的定义，定理，作图语句是解题关键．据此逐一判断即可． 【详解】解：A.是数学语言，不是定义，故该选项不符合题意； B. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，故该选项不符合题意； C. 用“”连接而成的式子叫作等式是定义，故该选项符合题意； D. 同角的补角相等是定理不是定义，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·福建福州·期中）下列描述属于定义的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．三角形的内角和等于 C．对顶角相等 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键． 根据定义的概念逐项判断即可． 【详解】解：A． 两直线平行，内错角相等是平行线的性质，故该选项不符合题意； B． 三角形的内角和等于是三角形的内角和定理，故该选项不符合题意； C． 对顶角相等是定理，故该选项不符合题意； D． 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形是定义，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列描述不属于定义的是(     ) A．无限不循环小数叫做无理数 B．三角形任何两边的和大于第三边 C．在同一平面内三条线段首尾顺次相接得到的图形叫做三角形 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】B 【分析】根据课本中的数学定义即可作答. 【详解】解：A. 无限不循环小数叫做无理数,正确,是无理数的定义, B. 三角形任何两边的和大于第三边,不属于定义,是三角形三边关系的性质, C. 在同一平面内三条线段首尾顺次相接得到的图形叫做三角形,是定义, D. 含有未知数的等式叫做方程,是定义, 【点睛】本题考查了数学定义,属于简单题,熟练掌握课本中的数学定义是解题关键. 【知识点二】命题 （1）命题的定义：可以判断为正确（真）或错误（假）的陈述语句叫做命题。被判断为正确的命题叫真命题，被判断为错误的命题叫假命题。 （2） 命题的结构：数学中的命题常可写成 “如果…… 那么……” 的形式：“如果” 后接的部分叫做题设，是已知事项。“那么” 后接的部分是结论，是由已知事项推出的事项。 对于题设和结论不明显的命题，需要经过分析将其改写成 “如果…… 那么……” 的形式， 【题型 2】命题及命题的题设与结论 【例题2】（人教版七下第23页练习第3题改编）（24-25七年级下·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论： (1)如果a是有理数，那么； (2)如果，那么； (3)两直线平行，内错角相等． 【答案】(1)题设：a是有理数．结论： (2)题设：，．结论： (3)题设：两条直线平行．结论：内错角相等． 【分析】本题考查的是命题，命题是由题设和结论两部分组成的，每一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，如果后面的文字是题设，那么后面的文字是结论. 任何一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，如果后面的语言为题设，那么后面的语言是结论，以此来解题. 【详解】（1）解：命题如果a是有理数，那么，题设：a是有理数．结论：． （2）命题如果，那么，题设：，．结论：． （3）命题两直线平行，内错角相等，题设：两条直线平行．结论：内错角相等． 【变式1】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）下列选项是命题的是（    ） A．作直线 B．今天的天气好吗？ C．连接、两点 D．同角的余角相等 【答案】D 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断. 【详解】解：A、作线段为描述性语言，不是命题； B、今天的天气好吗？语句为疑问句，不是命题； C、连接、两点为描述性语言，不是命题； D、同角的余角相等，是命题， 故选：D. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【变式2】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）如图： 观察图形，请用“如果……，那么……”的形式写出一个命题：_________________． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查了命题的结构，熟练掌握命题的结构是解题的关键．根据图片找到命题的条件和结论，如果后面是条件，那么后面是结论，原命题的条件是，结论是． 【详解】解：根据题意，如果，那么． 故答案为：如果，那么． （3）命题的真假判断：由题设成立，能保证结论一定成立的命题叫做真命题；由题设成立，不能保证结论一定成立的命题最做假命题。 【题型 3】命题的真假判断 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）写出三个命题，并判断它们的真假．如果有假命题，请举出反例． 【答案】1．命题：所有直角都相等．真命题． 2．命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角．假命题．反例：等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角． 3．命题：两点之间，线段最短．真命题．（答案不唯一） 【分析】本题考查了判断命题真假，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； “所有直角都相等”：直角的定义是等于的角，因此所有直角的度数均为，必然相等，是真命题． “如果两个角相等，那么它们是对顶角”：相等的角不一定是对顶角（对顶角需满足“两条直线相交形成”的位置关系）．反例中“等腰三角形的两个底角”仅满足度数相等，但并非对顶角，故为假命题． “两点之间，线段最短”：这是几何中的基本公理，两点之间的所有连线中，线段的长度是最短的，是真命题． 【详解】解：1．命题：所有直角都相等．真命题． 2．命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角．假命题．反例：等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角． 3．命题：两点之间，线段最短．真命题．（答案不唯一） 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）下列命题中正确的是（    ） A．同位角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 C．两点之间，直线最短 D．过一点作已知直线的平行线，有且只有一条 【答案】B 【分析】此题考查真假命题的判断，根据相关知识逐项进行判断即可． A选项同位角相等需两直线平行才成立，否则不一定；C选项应为两点之间线段最短；D选项过一点作已知直线的平行线，需分点在直线上或外，不一定有且只有一条；B选项根据平行线的判定定理，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确． 【详解】解：A选项：只有当两直线平行时，同位角才相等，否则不一定，∴ A错误． ∵ 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，∴ B选项正确． C选项：两点之间，线段最短，直线是无限长的，∴ C错误． D选项：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；但过直线上一点，不存在与已知直线平行的直线（除本身），∴ D错误． 故选：B． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）判断下列命题是真命题还是假命题． (1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等． (2)如果，那么． 【答案】(1)假命题 (2)假命题 【分析】本题主要考查了命题真假判断，准确掌握命题中所涉及的知识点是解题的关键． （1）根据平行线性质，只有当两直线平行时，内错角才相等； （2）绝对值相等的数可能相等或互为相反数． 【详解】（1）当两条直线不平行时，被第三条直线所截形成的内错角不一定相等，例如，若两条直线相交，则它们的内错角不相等，因此，命题缺少“两直线平行”的条件，故为假命题． （2）若，则或，例如，当，时，，但，因此，命题不成立，为假命题． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④． (1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） (2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 【答案】(1)假 (2)添加，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． （1）利用平行线的判定方法进而判断即可； （2）利用平行线的判定方法添加，根据平行线的性质得出，利用角的和差关系即可求出，根据平行线的判定定理即可得结论． 【详解】（1）解：∵、不是、被第三条直线所截的角， ∴若，无法判定， ∴若，则是假命题， 故答案为：假 （2）解：添加条件， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【知识点三】基本事实与定理 1. 基本事实：是被公认的、无需证明的真命题，它可以作为后续推理的原始依据。例如：两点确定一条直线；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 2. 定理：定理是正确性经过推理证实的真命题，它可以作为继续推理的依据。例如：对顶角相等； 内错角相等，两直线平行。 【题型 4】定理的判断 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查公理与定理的区分．公理是不需要证明的基本命题，而定理是通过公理推导出的命题，据此可得答案． 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系． 根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题可以作定理的有 个． ①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式． 【答案】2/两 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理． 首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④、⑤是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①2与6的平均值是4，故此命题是假命题，不是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把5代入方程，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和为，是经过证明的是真命题，故是定理； ⑤等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； 综上所述：③和④是定理，共2个． 故答案为：2． 【知识点四】证明 证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断的过程。它通常以基本事实、定义、已有的定理为依据，通过逻辑推导来验证命题的真假。这样的推理过程叫做证明 【题型5】已知证明过程填写理论依据 【例题5】（23-24七年级下·陕西西安·月考）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 【变式1】（23-24七年级下·湖南长沙·月考）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 【变式2】（23-24七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 【题型6】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证． 【详解】已知：，，． 求证：． 证明：，（已知）， （等量代换）， （等式的性质）． （已知）， （等式的性质）， （等量代换）． 【变式1】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 【变式2】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 【题型7】根据给出的论断组命题并证明 【例题7】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 【变式2】（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 【题型8】逻缉推理与论证 【例题7】（2025·湖南长沙·模拟预测）四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 【答案】C 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，仔细读题是解决本题的关键． 根据小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，进而判断即可． 【详解】解：根据题意得，小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾， ∴两人的话必有一真一假， ∵“只有一个小孩说真话”， ∴小张和小明的话都是假话， ∴小明说“我没有打破窗户的玻璃”是假话，说明小明打破了玻璃． 故选C． 【变式1】（25-26九年级上·湖南·月考）小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月 号．（填日期） 【答案】16 【分析】本题考查推理与论证和有理数加法的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据6月有30天，再由小明条件可知，若有5个星期二，则第一个星期二必须在1日或2日；分别计算两种情况下星期二日期之和，判断是否满足小李条件（和不为75），从而确定第一个星期二为2日，进而找到第三个星期二日期即可． 【详解】解：6月有30天，若有5个星期二，则第一个星期二可能为1日或2日， 若1日为星期二，则星期二日期为1、8、15、22、29， 和为，与小李条件矛盾； 若2日为星期二，则星期二日期为2、9、16、23、30， 和为，符合小李条件． ∴第一个星期二为2日，第三个星期二为16日． 故答案为：16． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五个班级进行数学对抗赛，且比赛规则规定为单循环（即每两个班级之间都要进行一场对抗赛）．对抗赛中途统计了甲、乙、丙、丁四个班级已经赛过的场数，结果是甲班场，乙班场，丙班场，丁班场．对抗赛进行到这个时候，戊班进行了几场比赛？ 【答案】戊班进行了场对抗赛，分别是与甲班、乙班进行的 【分析】本题考查了推理逻辑证明，将甲、乙、丙、丁、戊五个班级用五个点表示，每两队间比赛，用连线表示，即可观察得各班比赛场次，解题的关键是结合题意恰当分类进行分析． 【详解】解：如图，将甲、乙、丙、丁、戊五个班级用五个黑点表示，将各班之间比赛的情况用线段连接， 甲班已经比赛过场，说明甲班与乙、丙、丁、戊四个班级均已各比赛了场．因为是单循环比赛，所以在接下来的赛程中，甲班已经没有比赛了； 丁班只赛过场，说明丁班的这一场比赛只能是与甲班对抗的； 乙班赛了场，说明乙班没有与丁班对抗，它是与甲、丙、戊班各赛了场； 丙班赛了场，说明丙班是与甲班、乙班对抗的． 因此，从图中可以十分明了地看出，戊班进行了场对抗赛，分别是与甲班、乙班进行的． 二.中考真题 （一）填空题（5题） 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查举例说明假命题，根据绝对值的意义，一个负数的绝对值等于它的相反数，举出一个反例即可． 【详解】解：当时，，，此时； ∴“”是假命题， 故答案为：0（答案不唯一）． 2．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题． 【详解】解：∵ ∴， ∴若，则是假命题， 故答案为：假． 4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表： 收割机编号 A，B B，C C，D D，E A，E 所需时间（小时） 23 19 20 22 18 则收割最快的一台收割机编号是 ． 【答案】C 【分析】本题考查推理能力．利用同时启动其中的两台收割机，收割面积相同的田地所需时间分析对比，能求出结果． 【详解】解：同时启动A，B两台收割机，所需的时间为23小时， 同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时， 得到C比A快； 同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时， 同时启动C，D两台收割机，所需的时间为20小时， 得到B比D快； 同时启动A、B两台收割机，所需的时间为23小时， 同时启动A，E两台收割机，所需的时间为18小时， 得到E比B快； 同时启动C，D两台收割机，所需的时间为20小时， 同时启动D，E两台收割机，所需的时间为22小时， 得到C比E快． 综上，收割最快的一台收割机编号是C． 故答案为：C． 5．（2023·北京·中考真题）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟． 【答案】 53 28 【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案． 【详解】解：由题意得：（分钟）， 即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟； 假设这两名学生为甲、乙， ∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成， ∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟， 然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟， 最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟， ∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟）， 故答案为：53，28； 【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． （二）解答题（1题） 6．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】(1)假命题，见解析； (2)假命题，见解析； (3)真命题，证明见解析； (4)假命题，见解析． 【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 【详解】（1）解：是假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）解：是假命题，反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）解：是真命题，证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）解：是假命题，反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $