6.3 三元一次方程组及其解法（课件）-2025--2026学年华东师大版七年级数学下册

华东师大版数学7年级下册培优精做教学课件 6.3 三元一次方程组及其解法 第六章 一次方程组 授课教师： Home . 班 级： 七年级（*）班 . 时 间： . 2026年1月27日 2026年1月27日星期二1时6分52秒 2026年1月27日星期二1时6分53秒 问题 1 暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 比赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 勇士队在第一轮中赛了 9 场，负了 2 场，共得 17 分. 那么这个队胜了几场？平了几场呢？ x + y = 7， 3x + y = 17. x = 5， y = 2. 在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？ 胜了 10 ÷ 2 = 5（场） 方法一 平了 18 － 5×3 = 3（场） 负了 10－5－3 = 2（场） 胜一场：3 分 平一场：1 分 负一场：0 分 方法二 设胜了 x 场，平了 y 场，则负了（x － y）场. 依题意，得 x + y +（x － y）= 10， 3x + y = 18. 解得 x = 5， y = 3. 所以胜了 5 场，平了 3 场，负了 2 场. 如果设勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为 x、y、z，又将怎样呢？ 在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？ 在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？ x + y + z = 10， ① 3x + y = 18. ② x = y + z. ③ 新课探究 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ x + y + z = 10， ① 3x + y = 18. ② x = y + z. ③ 三元一次方程组：把三个共含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程合在一起，就组成了三元一次方程组. 怎样解三元一次方程组呢？ 能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) D A. B. C. D. 中考考法 8 将③代入①和②，得到 2y + 2z = 10， ④ 4y + 3z = 18. ⑤ 解得 y = 3， z = 2. 将 y = 3，z = 2 代入方程③，可以得到 x = 5. x = 5， y = 3， z = 2 . 所以这个三元一次方程组的解是 x + y + z = 10， ① 3x + y = 18. ② x = y + z. ③ 2. 解方程组 最简消元方法是( ) B A. 先消去 B. 先消去 C. 先消去 D. 先消去常数项 中考考法 10 解三元一次方程组的基本思路是什么？ 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 例 1 解方程组： 2x－3y + 4z = 3， ① 3x－2y + z = 7， ② x + 2y－3z = 1. ③ 对于这个方程组，消哪个元比较方便？为什么？ 方程②中，z 的系数为 1，因此可以由②得， z = 7－3x + 2y . ④ 将④分别代入①和③，可以消去 z. 解这个二元一次方程组，得 x = 1， y = －3. 代入④，得 z = 7－3－6 =－2 . 所以原方程组的解是 x = 1， y = －3， z = －2 . 解 由方程②，得 z = 7－3x + 2y . ④ 将④分别代入方程①和③，得 2x － 3y + 4(7－3x + 2y) = 3， x + 2y－3(7－3x + 2y) = 1. 整理，得 －2x + y = – 5， 5x－2y = 11. 能否先消去 x（或 y）？怎么做？比较一下，哪个更简便？ 3. 已知，且当 时， ；当时，；当时， ，则 的值为____. 15 中考考法 14 例 2 解方程组： 3x + 4y－3z = 3， ① 2x －3y －2z = 2， ② 5x －3y + 4z = －22. ③ 1. 先消去哪个未知数？为什么？ 2. 选择哪种消元方法得到二元一次方程组？ 解 ③－②，得 x + 2z = －8. ①×3 + ②×4，得 x－z = 1. x + 2z = －8， x－z = 1. 得方程组 解得 x = －2 ， z = －3 . 把 x = －2，z = －3 代入方程②，得 y = 0 . 所以原方程组的解是 x = －2， y = 0， z = －3 . 能否先消去 x（或 y）？怎么做？比较一下，哪个更简便？ 4. 已知，，满足 则 _______. 【点拨】 ，得，即 ， . ，得，即 ， ， . 中考考法 17 A 组 1. 解下列方程组： x + y － z = 0， ① 2x－y + 3z = 2， ② x － 4y－2z + 6 = 0. ③ （1） 解 由方程① ，得 z = x + y . ④ 将④分别代入②和③ ，得 5x + 2y = 2， x + 6y = 6. 解这个二元一次方程组，得 x = 0， y = 1. 代入④，得 z = 1 . 随堂练习 所以原方程组的解是 x = 0， y = 1， z = 1 . A 组 1. 解下列方程组： x + y － z = 0， ① 2x－y + 3z = 2， ② x － 4y－2z + 6 = 0. ③ （1） 随堂练习 3x + y = 6， ① x + 2y － z = 5， ② 5x － 3y + 2z = 4. ③ （2） 解 由方程① ，得 y = 6－3x . ④ 将④分别代入②和③ ，得 5x + z = 7， 7x + z = 11. 解这个二元一次方程组，得 x = 2， z = －3. 将 x = 2 代入④，得 y = 0 . 随堂练习 3x + y = 6， ① x + 2y － z = 5， ② 5x － 3y + 2z = 4. ③ （2） 所以原方程组的解是 x = 2， y = 0， z = －3 . 随堂练习 x + y + z = －1， ① 4x － 2y + 3z = 5， ② y － z = 8－2x. ③ （3） 解 ① + ③，得 3x + 2y = 7 . ② + ③×3，得 10x + y = 29 . 方程组 3x + 2y = 7， 10x + y = 29. 解得 x = 3， y = －1. 把 x = 3，y = －1 代入方程①，得 z = －3 随堂练习 x + y + z = －1， ① 4x － 2y + 3z = 5， ② y － z = 8－2x. ③ （3） 所以原方程组的解是 x = 3， y = －1， z = －3 . 随堂练习 2x + 3y = 5， ① 3y － 4z = 3， ② 4z + 5x = 7. ③ （4） 解 ② + ③，得 5x + 3y = 10 . 可得方程组 2x + 3y = 5， 5x + 3y = 10. 把 x = 代入方程③，得 z = － 13 53 解得 x = ， y = . 53 59 随堂练习 所以原方程组的解是 z = － . 2x + 3y = 5， ① 3y － 4z = 3， ② 4z + 5x = 7. ③ （4） 13 x = ， y = . 53 59 随堂练习 2. 某初级中学共有学生 673 人，已知八年级学生人数比其他 两个年级人数的平均数多 25 人，九年级学生人数比七年级 学生人数少 8 人. 问：3 个年级各有多少人？ 解 设七、八、九年级的学生数分别为 x、y、z. 根据题意，得 x + y + z = 673 y － 25 = x + z 2 x － 8 = z 解得 y = 241， z = 212. x = 220， 答：七年级有学生220人，八年级有学生241人，九年级有学生212人. 随堂练习 B 组 3. 解下列方程组： x + y = 8， ① y + z = －4， ② z + x = 2. ③ （1） 解 ①－②，得 x － z = 12 . 可得方程组 x － z = 12， x + z = 2. 解得 x = 7， z = －5. 把 x = 5 代入方程①，得 y = 1. 所以原方程组的解是 x = 7， y = 1， z = －5 . 随堂练习 x + y + z = 63. ② （2） x y 5 3 = = z， ① 解 由①，得 x = 5z，y = 3z. 将 x = 5z，y = 3z 代入②中，得 5z + 3z + z = 63 z = 7 所以 x = 35，y = 21 所以原方程组的解是 x = 35， y = 21， z = 7 . 随堂练习 5. 用适当的方法解方程组： （1） 中考考法 29 【解】将①代入②，得 ，整理得 ，④ 将①代入③，得，整理得 ，⑤ ，得，⑥ ，得 . 把代入⑤，得，解得 . 把，代入①，得 . 原方程组的解为 中考考法 30 （2） ，得 ，④ ，得，解得 . 将代入④中，得，解得 . 将代入②中，得，解得 . 方程组的解为 中考考法 31 课堂小结 三元一次方程组 定义 含未知数的项的次数都是 1 含有 3 个未知数 解答思路 化“三元”为“二元” 一共有三个方程 $