专题强化02：抛体运动规律（平抛运动、斜抛运动）【9大考点+9大题型】-2025-2026学年高一下学期物理《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教版必修第二册)

专题强化02：抛体运动规律（平抛运动、斜抛运动） 【考点归纳】 【技巧归纳】 1、平抛运动的两个推论 (1)平抛运动某一时刻速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α. 证明：因为tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α. (2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． 证明：如图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点．则OB＝v0t，AB＝＝gt2·＝v0t. 可见AB＝OB. 2、平抛运动与斜面的结合 平抛运动与斜面(曲面)的综合问题解题策略 情景示例 解题策略 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示 已知速度方向，常规建系，分解速度tan θ＝＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示 已知速度方向，常规建系，分解速度tan θ＝＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示 已知位移方向，常规建系，分解位移tan θ＝＝＝ 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，求飞行时间、位移等 已知位移方向，常规建系，分解位移tan θ＝＝＝ 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，求离斜面最大距离及所用时间 已知速度方向，沿斜面向下为x轴，垂直斜面向上为y轴建立坐标系，分解初速度和重力加速度，t＝，h＝ 【题型归纳】 题型一：平抛运动的基本计算 【例1】．（25-26高一上·江苏泰州·月考）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： (1)水从管口到水面的运动时间； (2)水从管口排出时的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）水在空中做平抛运动，其竖直方向为自由落体运动，则由自由落体运动的位移公式有 解得水从管口到水面的运动时间为 （2）水在空中做平抛运动，其水平方向为匀速直线运动，则有 解得水从管口排出时的速度大小为 【举一反三】 1．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）某同学在水平空地上练习网球发球技巧，将网球竖直向上抛出，网球运动到最高点时恰好被球拍水平拍出。如图所示，点离地面高，A点与落地点的水平距离，忽略空气阻力，重力加速度大小。求：（，，，） (1)网球从点运动到点所用的时间； (2)网球运动到点时的速度。 【答案】(1) (2)，速度与水平方向的夹角为 【详解】（1）网球做平抛运动，在竖直方向上有 解得 （2）网球在水平方向上有 解得 竖直方向上，根据速度公式， 根据速度的合成有 ，速度与水平方向的夹角为。 2．（25-26高三上·北京海淀·月考）如图所示，将一个小球以速度v0=5m/s从O点水平抛出，P是轨迹上的一点，已知O和P两点连线与竖直方向的夹角为45o，重力加速度g取10m/s2。求： (1)小球从O点运动到P点的时间； (2)小球通过P点时的速度； (3)小球运动的轨迹方程。 【答案】(1) (2)，方向与水平方向夹角的正切值为2 (3) 【详解】（1）小球做平抛运动，设其从O点运动到P点的时间为，由水平方向做匀速直线运动有 由竖直方向做自由落体运动有 已知O和P两点连线与竖直方向的夹角为，则 代入数据联立解得 （2）小球通过P点时竖直方向的速度为 根据平行四边形定则，可得小球通过P点时的速度大小为 设速度方向与水平方向的夹角为，则 即小球通过P点时的速度大小为，方向与水平方向夹角的正切值为2。 （3）由水平方向做匀速直线运动有 由竖直方向做自由落体运动有 联立消去可得 将，代入上式可得小球运动的轨迹方程为 3．（25-26高三上·北京西城·月考）距地面高度为的小球以的速度被水平抛出，g取。求： (1)小球在空中的飞行时间t； (2)小球落地点距抛出点的水平距离x； (3)落地时小球的速度v的大小和方向。 【答案】(1)2s (2)20m (3)，方向斜向下，与水平方向夹角的正切值为2 【详解】（1）小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，根据 可得小球在空中的飞行时间 （2）根据 解得小球落地点距抛出点的水平距离 （3）小球落地的竖直速度为 解得 则落地时小球的速度 解得 设此时速度与水平方向的夹角为，则 即方向斜向下，与水平方向夹角的正切值为2。 题型二：平抛运动的两个推论 【例2】．（24-25高一下·海南海口·期中）如图7所示，斜面的倾角为，斜面的长度为L。在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以和的速度沿同一方向水平抛出，甲球经时间恰落在斜面的底端，此时甲球速度与水平方向夹角为。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．乙球将落在斜面的中点 B．乙球经时间落在斜面上 C．乙球落在斜面上时速度与水平方向夹角为 D．乙球落在斜面上时速度大小为 【答案】C 【详解】C．甲、乙两小球均落在斜面上，位移方向相同，即位移与水平方向的夹角相同，根据平抛运动推论可知，小球落在斜面上时速度方向一定相同，故C正确； B．由平抛运动规律可得， 设斜面倾角为，则有 联立解得 乙球初速度为，所以乙球运动时间是甲球运动的时间的一半，则乙球运动时间为，故B错误； A．小球落在斜面上的位移为 乙小球运动时间为，位移为甲小球的四分之一，即乙小球不落在斜面的中点，故A错误； D．小球落在斜面上的速度为 乙小球的初速度为，所以乙球落在斜面上的速度是甲球落在斜面上速度的一半，则乙小球落在斜面上的速度为，故D错误。 故选C。 【举一反三】 1．（24-25高一下·四川成都·期中）半径为半圆形的弯曲面固定放置在水平地面上的C点，是圆心，AB是水平直径，OC是竖直半径，D是圆弧上的一个小孔，。现让视为质点的小球（直径略小于小孔D的直径）从点水平向右抛出，经过D（与小孔无碰）落到水平地面的点，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．小球在D点的速度方向垂直于过D点圆弧的切线 B．小球从O到D的时间等于D到E的时间 C．小球在点的速度大小为 D．小球在点的速度大小为 【答案】D 【详解】A．小球从O到D点做平抛运动，根据平抛运动规律速度的反向延长线过水平位移中点，小球从O点抛出，故D点的速度方向不可能由O指向D，即小球在D点的速度方向不可能垂直于过D点圆弧的切线，故A错误； CD．小球从O到D点做平抛运动，则有Rcos60°=gt12，Rsin60°=v0t1 解得小球在O点的初速度大小为，故C错误，D正确； B．根据上述可得，小球由O到D的运动时间 从O到E的运动时间有 则小球从D到E的运动时间为，故B错误； 故选D。 2．（24-25高一下·天津北辰·期中）如图，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度v1、v2、v3平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C点，抛出点及落点A、B、C点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　） A．三个小球平抛运动时间的大小关系为 B．三个小球平抛初速度的大小关系为 C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直 D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角大于60° 【答案】D 【详解】A．竖直方向上，根据 解得 可知小球竖直位移越大，运动时间越长，所以三个小球平抛运动时间的大小关系为t1=t3<t2，故A 错误； B．三个小球下落相同高度的情况下，落在C点的小球抛得最远，落在A点的小球抛得最近，由x=v0t 可知平抛初速度满足v1<v2<v3，故B错误； C．做平抛运动的物体，其某点的瞬时速度反向延长线过水平位移的中点，落在C点的小球，在C点的瞬时速度若与C点的切线垂直，则速度反向延长线必定过O点，O点并不是水平位移中点，故落在C点的小球在C点的瞬时速度不可能与C点的切线垂直，故C错误； D．落在B点的小球，位移与水平方向的夹角为45°，设速度与水平方向夹角为，根据平抛运动速度偏转角与位移偏转角的关系有 则速度与水平方向夹角大于60°，故D正确。 故选D。 3．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图所示，从倾角为的斜面上的P点，以初速度水平抛出一个小球，经时间t落在斜面上Q点，此时小球速度大小为v，方向与斜面的夹角为。若将小球从斜面上的P′点以初速度水平抛出，要使小球仍能落在Q点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球在空中运动的时间变为2t B．小球在Q点的速度大小变为4v C．P′Q之间的距离是PQ之间距离的2倍 D．小球在Q点的速度方向与斜面的夹角变为 【答案】A 【详解】A．小球在空中做平抛运动，小球落在斜面上时有 可得 则当初速度变为原来的2倍时，小球在空中的运动时间变为原来的2倍，即小球在空中运动的时间变为2t，A正确； C．根据 可知，初速度变为原来的2倍，则水平位移变为原来的4倍，其中小球的位移大小 可知PQ间距变为原来的4倍，则P′Q之间的距离是PQ之间距离的4倍，故C错误； D．小球落在斜面上的速度与水平方向夹角的正切值 可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，因为位移与水平方向夹角θ不变，则速度与水平方向夹角不变，所以两个角度之差，即α不变，与初速度无关，故D错误； B．小球落到斜面上时的速度为 初速度变为原来的2倍，故小球在Q点的速度大小变为2v，故B错误。 故选A。 题型三：飞机投弹问题 【例3】．（22-23高一下·广东深圳·期中）如图所示，一轰炸机模型沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方15m时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A．忽略空气阻力的影响，重力加速度 g取 10 m/s2，山坡倾角为θ=45°，则该模型的初速度大小为（    ）    A．20 m/s B．15 m/s C．10 m/s D．5m /s 【答案】C 【详解】轰炸机的飞行高度为H=15m，设炸弹的飞行时间为t，初速度为v0，A点的高度为h，则炸弹的水平位移为 x= v0t 竖直方向有 垂直击中山坡上的目标A，则根据速度的分解有 根据几何关系可知 代入数据解得 v0=10m/s 故选C。 【举一反三】 1．（22-23高一下·陕西西安·期中）在抗震救灾中，一架飞机水平匀速飞行。从飞机上每隔释放1包物品，先后共释放4包，若不计空气阻力，从地面上观察4包物品（　　） A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的 B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的 C．在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的 D．在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的 【答案】D 【详解】由于物品具有惯性，被释放时具有和飞机相同的水平初速度，不计空气阻力，物品水平方向做匀速直线运动，所以物品在空中任何时刻总是飞机正下方，排列成竖直的直线；物品下落过程中只受重力，竖直方向为自由落体运动，所以飞行时间相同，释放时间相隔，所以物品落地点间隔为，所以它们的落地点是等间距的。 故选D。 2．（2023高二上·浙江·学业考试）如图所示，用无人机投送小型急救包。无人机以的速度向目标位置匀速水平飞行，投送时急救包离目标位置高度为，不计空气阻力，则（　　） A．急救包落到目标位置的速度为 B．急救包落到目标位置的速度为 C．无人机离目标位置水平距离还有时投送 D．无人机离目标位置水平距离还有时投送 【答案】C 【详解】急救包做平抛运动，根据 解得 急救包落到目标位置竖直方向的速度 由于急救包水平方向的速度为，则急救包落到目标位置的速度为 急救包水平方向运动的距离 即无人机离目标位置水平距离还有时投送。 故选C。 3．（23-24高一上·湖南·期末）如图，倾角为的斜坡，斜坡高度为h，斜坡底端A点正上方有B和C两点，B点和斜坡等高。甲战斗机以水平速度飞到C点时释放炸弹，准确命中斜坡上的一点，CP的连线垂直于坡面；乙战斗机以水平速度飞到B点时释放炸弹，也准确命中斜坡上的同一点P，速度方向恰好垂直斜坡。已知两颗炸弹完全相同，则（　　）     A．C点距离A点的高度为 B． C．甲释放的炸弹和乙释放的炸弹在空中的飞行时间之比为 D．任意相同时间内甲乙两战斗机释放的炸弹在空中的速度变化量之比为 【答案】C 【详解】ABC．设从C点释放的导弹落在P点所用的时间为，从B点释放的导弹落在P点所用的时间为，对于从C点释放的导弹落，其竖直位移与水平位移相等，则根据平抛运动的规律有 而由几何关系可得 联立解得 ，， 故AB错误，C正确； D．对于甲乙释放的导弹，在任意相同时间内速度变化量 可知两导弹在任意相同时间内速度变化量相同，其比值为，故D错误。 故选C。 题型四：平抛运动的追及和相遇问题 【例4】．（24-25高一下·安徽黄山·期末）如图所示，A、B、C三个球（可视为质点）初速度大小均相同，同时水平抛出（地面水平长度足够），A、C球抛出高度相同，不计任何阻力。假定任意球与地面碰撞后都立即消失。则下列说法正确的是（　　） A．图中A、B不可能发生碰撞 B．图中B、C可能发生碰撞 C．图中A、C一定会发生碰撞 D．图中A、C不可能发生碰撞 【答案】A 【详解】A、B球竖直方向同时自由落体，任意时刻，A高度比B高，因此不可能在空中碰撞；B、C同理；A、C任意时刻高度相同，若水平位移之和等于初始时刻的水平距离，则水平方向有可能相遇，因此A、C可能相撞。 故选A。 【举一反三】 1．（2025·河北·模拟预测）某科研单位进行传感器的通讯测试，他们在相距25m的两栋楼的同一楼层的阳台将两个带传感器的小球同时抛出，初速度方向如图所示，其中A小球的初速度10m/s，B小球的初速度5m/s，不计空气阻力，重力加速度g取。下列说法中正确的是（　　） A．小球A相对小球B做匀变速运动 B．两个小球之间的最小距离为 C．小球抛出1.5s时，两个小球之间的距离为25m D．仅适当调整两个小球初速度的大小（不能为0），两个小球能够在空中相遇 【答案】B 【详解】A．由于小球A做竖直上抛运动、小球B做平抛运动，则小球A在水平方向相对于小球B做匀速直线运动，竖直方向也相对于小球B做匀速直线运动，故小球A相对小球B做匀速直线运动，故A错误； B．设经过时间t，两小球间的水平距离为 竖直距离为 所以两个小球之间的距离为 根据数学知识可知，当时，两个小球之间的距离有最小值，为，故B正确； C．根据选项B可知 解得或 故C错误； D．由前面选项分析，只有小球A相对于小球B的运动沿水平方向时，两个小球才能相碰，所以在两个小球初速度不为0的前提下，通过调整两个小球初速度大小不能使两个小球相碰，故D错误。 故选B。 2（23-24高一下·江苏南京·期中）如图所示，在M点的正上方离地高H处以水平速度向右投掷一飞盘P，反应灵敏的小狗Q同时在M点右方水平地面上的N点以速度斜向左上方跳出，结果飞盘P和小狗Q恰好在M、N连线的中点正上方相遇。为使问题简化，飞盘和小狗均可看成质点，不计飞盘和小狗运动过程所受空气的阻力，则飞盘水平抛出后至与小狗相遇的过程，下列说法正确的是（　　） A．飞盘和小狗速度的变化量不相等 B．初速度大小关系一定是> C．若小狗没去接飞盘，则飞盘一定落在N点 D．飞盘和小狗相遇点在距离地面高度处 【答案】B 【详解】A．飞盘和小狗分别做平抛和斜上抛运动，加速度均为重力加速度，根据 由于运动时间相等，所以速度变化量相等，故A错误； B．因为飞盘和小狗恰好在M、N两点连线中点的正上方相遇，说明它们的水平位移大小相等，又因为运动的时间相同，所以它们在水平方向上的速度相同，设与水平方向的夹角为，则有 可得 故B正确； C．若小狗没去接飞盘，飞盘落地时的竖直分速度为 若满足 根据运动可逆性可知，飞盘落在N点，但由于小狗的速度与水平方向的夹角不确定，所以飞盘不一定落在N点，故C错误； D．根据题意可知飞盘和小狗运动的时间相同，因为不知道小狗在竖直方向初速度的大小，所以不能判断飞盘和小狗相遇点距离地面的高度，故D错误。 故选B。 3．（23-24高一下·贵州·月考）乒乓球是我国的国球，是一项集健身、竞技和娱乐为一体的运动项目。我国乒乓健儿也多次在国际赛事上取得优异成绩。如图，两名运动员从乒乓球台两端的正上方不同高度处分别发出A、B两球（B球的高度大于A球的高度，两球到球网的水平距离相等），假设两球都做平抛运动，都恰好能越过球网，同时落到对方台面上，则下列说法正确的是（　　） A．A球比B球先出发 B．B球先到达球网上端 C．落到球台前瞬间，B球的速度一定较大 D．B球落到球台上时，距球网更近 【答案】D 【详解】A．B球下落的高度大于A球下落的高度，由竖直方向的位移关系 可知，B球下落的时间大于A球下落时间，由于两球同时落到对方台面上，故B球比A球先发出，A错误； B．由于B球的高度大于A球，故B球到达球网上端时的竖直方向的分速度大于A的竖直方向的分速度，故B球从网高落入台面所用的时间较少，两球同时落到对方台面上，故A球先到达球网上端，B错误； C．B球抛出点到网的高度大于A球抛出点到网的高度，故B球从抛出点到达球网的上端所用的时间大于A球，此过程中水平位移相同，故B球的水平初速度小于A球的水平初速度。两球落到地面时，A球的水平方向的分速度较大，B球的竖直方向分速度较大，且AB球下落高度和网的高度以及水平位移没有具体数据，故无法判断落到球台前瞬间两球的速度大小关系，C错误； D．B球的水平初速度小于A球的水平初速度，又由于B球从网高落入台面所用的时间较少，根据水平方向的位移 B球落到球台上时，距球网更近，D正确。 故选D。 题型五：斜面上的平抛运动 【例5】．（24-25高一下·贵州毕节·期中）某水流造景设施的截面如图所示，为水平喷水口，水柱刚离开的速度为，从喷出的水柱恰好能垂直撞到倾角为的斜面上的处。已知重力加速度为，不计空气阻力，水柱在空中的运动可看成平抛运动，则一滴水从到所用的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示 水滴从P到B做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，速度 竖直方向做自由落体运动，速度 因水柱垂直撞击倾角为的斜面，故撞击时速度方向与斜面垂直，即沿斜面方向的速度分量为零。将水平速度和竖直速度分解到沿斜面方向，水平速度沿斜面方向的分量为；竖直速度沿斜面方向的分量为，负号表示与斜面正方向相反。沿斜面方向合速度为零，有 代入得 化简解得 故选A。 【举一反三】 1．（2025·山东济南·一模）北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一。如图甲所示，两名跳雪爱好者（可视为质点）从雪道末端先后以初速度之比，沿水平方向向左飞出，示意图如图乙。不计空气阻力，则两名跳雪爱好者从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，下列说法正确的是（　　） A．他们飞行时间之比为 B．他们飞行的水平位移之比为 C．他们在空中飞行时离雪坡面的最大距离之比为1：3 D．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同 【答案】B 【详解】A．根据平抛运动规律有 可知t与成正比，故他们飞行时间之比为，故A错误； B．他们飞行的水平位移之比为，故B正确； C．将运动沿斜面方向与垂直斜面方向分解，则跳雪爱好者在空中飞行时离雪坡面的最大距离 可知与成正比，故他们在空中飞行时离雪坡面的最大距离，故C错误； D．设落到雪坡上的瞬时速度方向与水平方向的夹角为α，根据平抛运动规律有 可知α与初速度无关，所以他们落到雪坡上的瞬时速度方向相同，故D错误。 故选B。 2．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图高台跳雪运动员a、b（可视为质点）从雪道末端先后以初速度之比沿水平方向向左飞出。不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，下列说法正确的是 A．飞行时间之比为 B．飞行的水平位移之比为1∶4 C．落到雪坡上的瞬时速度方向一定不相同 D．在空中离雪坡面的最大距离之比为 【答案】B 【详解】A．a、b运动员落在斜面上都满足 解得 所以，故A错误； B．飞行的水平位移之比为，故B正确； C．假设落到雪坡上的瞬时速度方向与水平方向的夹角为，则 斜面倾角不变，可知两运动员落到雪坡上的瞬时速度方向一定相同，故C错误； D．将初速度分解为垂直于斜面的和平行于斜面的，垂直斜面方向做匀变速直线运动，有，垂直斜面方向的加速度为，垂直于斜面方向达到最大距离时有，解得 所以在空中离雪坡面的最大距离之比为，故D错误。 故选B。 3．（24-25高一下·山东临沂·期中）将一可视为质点的小球从倾角为的斜面顶端A点以不同速度水平抛出，第一次落在B点；第二次落在斜面C点，已知，则关于两次小球运动情况，下列说法正确的是（　　） A．两次小球在空中的时间之比为 B．两次小球水平抛出的初速度之比为 C．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为 D．两次小球远离斜面的最远距离之比为 【答案】B 【详解】AB．已知，根据几何关系可知竖直位移，水平位移 根据，可得小球做平抛运动的时间之比为 根据，可得初速度大小之比为，故A错误，B正确； CD．小球击中斜面时速度与水平方向的夹角 则，所以，故C错误； D．如图所示，将v0、g分解到垂直于斜面与沿斜面方向，离斜面最远的时候，垂直于斜面的分速度减为0，则有 得离斜面最远的距离为 得，故D错误。 故选B。 题型六：曲面上的平抛运动 【例6】．（2024·山东·二模）如图所示，为竖直平面内的半圆环的水平直径，为环上最低点，环半径为，将一个小球从点以初速度沿方向抛出，设重力加速度为，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．小球的初速度越大，碰到圆环时的竖直分位移越大 B．当小球的初速度时，碰到圆环时的竖直分速度最大 C．若取合适的值，小球能垂直撞击圆环 D．取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同 【答案】B 【详解】A．小球做平抛运动，则小球的初速度v0越大，其轨迹就越靠近ab直线，则碰到圆环时的水平分位移越大，竖直位移就越小，A错误； B．小球做平抛运动，当小球掉在c点时竖直分速度最大，设初速度为v0，则有 解得 B正确； C．小球撞击在圆弧ac段时，速度方向斜向右下方，不可能与圆环垂直；当小球撞击在圆弧cb段时，根据“中点”结论可知，由于O不在水平位移的中点，所以小球撞在圆环上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击圆环，C错误； D．v0取值不同时，小球运动的轨迹不同，落到圆环上的位置不同，则位移的偏向角不同，因速度的偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍，可知速度的偏向角不同，则小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，D错误。 故选B。 【举一反三】 1．（23-24高一下·河南·期中）如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度，，平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C三点，抛出点及落点A、B、C三点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　） A．三个小球平抛运动时间的大小关系为 B．三个小球平抛初速度的大小关系为 C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直 D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角小于60° 【答案】B 【详解】A．竖直方向上，根据 可得 可知小球竖直位移越大，运动时间越长，故三个小球平抛运动时间的大小关系为 故A错误； B．三个小球下落相同高度的情况下，C小球抛得最远，A小球拋得最近，由x=vt知平抛初速度满足 故B正确； C．做平抛运动的物体，其某点的瞬时速度反向延长线交于此时水平位移的中点，落在C点的小球，在C点的瞬时速度若与碗垂直，则速度反向延长线交于碗心O点，并不是水平位移中点，故落在C点的小球，在C点的瞬时速度不可能与C点的切线垂直，故C错误； D．落在B点的小球，此时位移与水平方向的夹角为45°，设速度与水平方向夹角为，根据平抛运动速度偏转角与位移偏转角的关系 速度与水平方向夹角大于60°，故D错误。 故选B。 2．（23-24高一下·福建福州·期中）如图所示，、两个小球均从一个倾角为的斜面顶端以不同的初速度向右水平抛出，斜面与一个圆弧对接，斜面高度与圆弧半径相等，斜面的底端在圆心O的正下方。则下列说法正确的是（　　） A．若a、b两个小球分别落到斜面和圆弧面等高位置，在空中运动时间不相同 B．若a、b两个小球分别落到斜面和圆弧面等高位置，速度变化量相同 C．a、b两个小球分别落到斜面上不同位置时，速度方向不相同 D．若小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直 【答案】B 【详解】A．平抛运动的时间由下落的高度决定，若小球分别落到斜面和圆弧面等高位置，则小球平抛运动的时间相同，A错误； B．若小球分别落到斜面和圆弧面等高位置，平抛运动时间相同，两小球在空中的加速度相同，则速度变化量为 由此可知，两小球速度变化量相同，B正确； C．a、b两个小球分别落到斜面上不同位置时，根据平抛运动规律可知 斜面的倾角为位移偏转角，则 联立可得 设速度偏转角为，则有 由于两小球落在斜面上位移偏转角相等，即速度偏转角也相等，所以速度方向相同，C错误； D．小球落在圆弧面上使，其速度方向若与该处圆的切线垂直，则速度的反向延长线一定过圆心，又因为平抛运动中速度的反向延长线过水平位移的中点，则水平位移为，竖直位移为0，与平抛运动性质不符，D错误。 故选B。 3．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，哪吒和敖丙在A点同时水平踢出两个毽子（可视为质点），初速度分别为，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为，忽略空气阻力，则（　　） A．两个毽子不会同时落到轨道上 B． C．两个毽子速度变化量方向不相同 D．落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点 【答案】B 【详解】A．由分析可知，两个毽子均为平抛运动，由几何关系，两毽子竖直方向的位移相等为 可得 则两个毽子会同时落到轨道上，A选项错误； B．由两毽子平抛运动水平方向位移为 可知，B选项正确； C．由平抛运动仅受重力，故加速度始终为竖直方向，速度变化量公式 可知速度变化量方向与加速度方向一致，故两个毽子速度变化量方向相同，C选项错误； D．由平抛运动推论，末速度的反向延长线与轴的交点为水平位移的中点，由几何关系可知O点不是水平位移中点，则落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点，D选项错误。 故选B。 题型七：类平抛运动 【例7】．（24-25高二下·云南·月考）如图所示，在一个科技展览馆内，有一个可视为光滑斜面的ABCD展示装置，该斜面是边长为的正方形，倾角为。为了展示物体的运动轨迹，工作人员在斜面左上方顶点A处设置了一个小型弹射装置，可将不同质量的物块，以相同速度弹出。某次将质量为的物块（视为质点）以平行于AB边的初速度水平射入斜面。物块射出后，会在斜面上留下运动轨迹，且恰好到达底边CD的中点E。重力加速度g取，则（　　） A．可得物块弹出的速度为 B．若仅将物块质量加倍，从A运动到底边的时间不变 C．若仅将物块质量加倍，为使物块仍能经过E点，则应减小物块从A点入射的速度 D．若仅将斜面倾角变为，射入初速度不变，则物块运动到底边的时间仍然不变 【答案】B 【详解】A．物块做类平抛运动，加速度为 根据类平抛运动的规律有， 解得，，故A错误； B．结合上述可知，物块运动时间与质量无关，可知，若仅将物块质量加倍，从A运动到底边的时间不变，故B正确； C．结合上述可知，物块运动速度与质量无关，可知，若仅将物块质量加倍，为使物块仍能经过E点，则物块从A点入射的速度不变，故C错误； D．若仅将斜面倾角变为，则加速度 射入初速度不变，根据类平抛运动的规律有 解得 可知，物块运动到底边的时间发生了变化，故D错误。 故选B。 【举一反三】 1．（24-25高一下·云南·期中）如图所示，一个倾角为的斜面固定在水平面上，其上表面光滑且为边长的正方形。现将一小球从处水平向左抛出，小球沿斜面恰好运动到底端的点。重力加速度取，空气阻力忽略不计，下列说法中不正确的是（　　） A．小球的运动轨迹一定为抛物线 B．小球在斜面上运动的时间为 C．小球在点的速度大小为 D．小球速度变化量的大小为 【答案】D 【详解】A．由分析可知小球在光滑斜面上运动时，仅受重力和斜面支持力的作用。重力沿斜面向下的分力为 故小球受到的合力为恒力。小球从B点水平向左抛出，初速度与合力不共线，所以小球做匀变速曲线运动，其轨迹为一条抛物线，故A正确，不符合题意； BC．将小球的运动分解为沿初速度方向（水平向左，设为轴）和垂直初速度方向（沿斜面向下，设为轴）的两个分运动：设小球沿斜面向下即轴方向的加速度为，根据牛顿第二定律有 解得 即小球沿斜面向下的分运动为匀加速直线运动，设运动时间为，则有 解得 又因为小球沿水平方向向左做匀速直线运动，设在点的速度为，则有 解得，故BC正确，不符合题意； D．速度变化量由加速度和时间决定，故小球的速度变化只发生在沿斜面向下的方向上。已知加速度，时间，则速度变化量，故D错误，符合题意。 故选D。 2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示的光滑固定斜面ABCD，其倾角可调节．当倾角为时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，恰好沿底端D点离开斜面；改变倾角为时，同样将该物块沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，发现物块沿CD边中点离开斜面，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．物块离开斜面时，前后两次下落的时间之比为2：1 B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为4：1 C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为1：1 D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：2 【答案】B 【详解】AB．物块在斜面上做类平抛运动，沿斜面的方向做匀加速运动 沿水平方向做匀速运动 根据牛顿第二定律有 联立解得 根据题意可知 物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为 故A错误，B正确； C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为     故C错误； D．速度变化量的大小为 物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为 故D错误。 故选B。 3．（23-24高一下·山东菏泽·期中）如图所示，光滑斜面ABCD为边长a=2.5m的正方形，斜面与水平面的倾角为30°。现将一小球从B处水平向左射出，小球沿斜面恰好到达底端D点。重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．小球在斜面上运动的时间为0.5s B．小球在B点的速度大小为2.5m/s C．小球在D点的速度大小为5m/s D．小球的速度变化量大小为10m/s 【答案】B 【详解】AB．对小球受力分析，受到重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律，可得 解得 m/s2 方向沿斜面向下； 小球从B到D做类平抛运动，水平方向有 沿斜面向下方向有 联立方程解得 s，m/s 故A错误，B正确； C．沿斜面向下方向有 m/s 在D点的速度为 m/s 故C错误； D．速度的变化量为 m/s 故D错误。 故选B。 题型八：斜抛运动 【例8】．（25-26高三上·山西·期中）某铅球运动员在投掷铅球，铅球由距离地面高处的点以与水平方向成角抛出，经的时间刚好经过点，已知点距离地面的高度为，、两点的水平间距为，重力加速度，，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A． B．初速度大小为 C．铅球的最高点距离地面的高度为 D．铅球的落地点到抛出点的水平间距为 【答案】C 【详解】AB．铅球抛出后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向的分运动为竖直上抛运动，设初速度大小为，则抛出瞬间铅球在水平方向的分速度为 在水平方向上有 则有 竖直的分速度为 竖直方向上有 则有 联立解得，，故AB错误； C．铅球抛出后上升的高度为 铅球达到的最大高度为，故C正确； D．铅球上升的时间为 铅球由最高点到落地的过程，在竖直方向上有 解得 铅球从抛出到落地的水平位移为，故D错误。 故选C。 【举一反三】 1．（2025高一下·全国·专题练习）不计空气阻力，将物体以初速度、抛射角斜向上抛出（），下列说法正确的是（　　） A．物体上升到最高点的时间为 B．射程为 C．落地时速度与水平方向的夹角为30° D．运动过程中速度的最小值为 【答案】A 【详解】A．竖直方向初速度 上升到最高点时间，故A正确； B．水平方向初速度 斜抛运动的射程为，故B错误； C．落地时竖直分速度 水平分速度 速度方向夹角满足 即，故C错误； D．速度最小值出现在最高点，此时仅剩水平分速度，故D错误。 故选A。 2．（25-26高二上·云南临沧·开学考试）如图甲所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行播种。先后抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度大小分别为2v和v，其中谷粒1的速度方向水平，谷粒2的速度方向斜向上，与水平方向成37°角。忽略空气阻力，已知重力加速度为g，，，则（　　） A．谷粒2从O点运动到最高点所用时间为 B．谷粒1、2从O到P的运动时间之比为2∶5 C．O、P两点间的水平距离为 D．O、P两点间的竖直距离为 【答案】B 【详解】A．谷粒2竖直分速度为，运动到最高点所用时间为，故A错误； BCD．设谷粒1、2从O到P的运动时间分别为、。 由运动合成与分解规律，对谷粒1有 对谷粒2有 联立得，，，故B正确，CD错误。 故选B。 3．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐距离为10m，不考虑空气阻力。重力加速度g=10m/s2。关于这次投篮，下列说法正确的是（　　） A．篮球出手时的初速度大小为m/s B．篮球在最高点的速度大小为m/s C．篮球运动到最高点时距离地面的高度为2.45m D．篮球从出手到进筐的运动时间为1.4s 【答案】B 【详解】ABD．由题可知，篮球的运动可视为对称的斜抛运动，设初速度大小为，则在竖直方向上，运动总时间 在水平方向上，有 联立，解得 运动时间为 篮球在最高点的速度大小为，故B正确，AD错误； C．篮球上升的高度为 由于篮球从一定高度抛出，则运动到最高点时距离地面的高度应大于，故C错误。 故选B。 题型九：抛体运动的综合问题 【例9】．（25-26高三上·江西·期中）某运动员（视为质点）在跳台滑雪训练中，从跳台处沿水平方向飞出，在斜坡上的处着陆，如图所示。测得、间的距离，斜坡与水平方向的夹角为。不计空气阻力，取重力加速度大小。求： (1)运动员在空中飞行的时间； (2)运动员在处的速度大小； (3)运动员在空中离坡面的最大距离。 【答案】(1)s (2) (3)m 【详解】（1）在竖直方向做自由落体运动，则 解得s （2）水平方向做匀速直线运动，则 解得 （3）将速度分解在垂直于斜面方向上，则 将重力加速度分解在垂直于斜面方向上，可得 则离坡面的最大距离满足 解得m 【举一反三】 1．（25-26高三上·江苏无锡·月考）在播种季节，农民经常采用抛秧的方式种植水稻。如图所示，某次抛秧时农民将秧苗（视为质点）从A点以大小为v0=5m/s、方向与水平面成θ=37°的速度抛出，秧苗落在水平水田上的B点（图中未画出），已知A、B两点的水平距离x=4m，不计空气阻力，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8.求： (1)秧苗在空中的运动时间t； (2)A和B两点的竖直高度h； (3)秧苗落到水田前瞬间的速度的大小。 【答案】(1) (2)2m (3) 【详解】（1）秧苗在水平方向做匀速直线运动，水平速度 则秧苗在空中运动的时间 （2）选竖直向上为正方向，秧苗的竖直初速度 在竖直方向的位移 即A和B两点的竖直高度为2m （3）根据匀变速直线运动规律可知，秧苗落入水田中时竖直方向的速度为 即竖直方向速度大小为，则秧苗落入水田中的速度 2．（24-25高一下·安徽芜湖·月考）甲图是篮球运动员正在进行投篮训练的示意图，某次投篮情景如图乙，A是篮球的投出点， B是篮球的投入点。已知篮球在A点的初速度为，与水平方向的夹角为，AB连线与水平方向的夹角为，重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)篮球在飞行过程中距A点的最大高度h； (2)离AB连线最远时的速度大小v； (3)AB之间的距离s。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）篮球在飞行过程中距 A点的最大高度为 （2）离AB连线最远时，篮球速度与AB平行，由于篮球在水平方向上做匀速直线运动，则 得 （3）水平方向 竖直方向 又 得 AB间距离为 得 3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）2024年11月12日开幕的珠海航展上，乙型空天战机“白帝”的展出引发了众多航天爱好者的热切关注，在某次实践活动中，某小组同学利用AI自动驾驶航模模拟了一场战斗场景。“白帝”空天战机正在的“高空”以的速度在水平方向做匀速直线运动，发现下方水平距离为处有一“飞舰”正在水平地面上以的速度同向匀速前行，战机立即释放一颗“空空导弹”进行攻击。已知时导弹相对战机无初速度释放，释放后立即启动自带推进器提供水平方向的加速度，推进器在时停止工作，导弹只在重力作用下继续运动。若导弹的有效击中范围为落地点周围以内，战机、导弹和“飞舰”均看成质点，不计空气阻力，，试求： (1)导弹落地前瞬间的速度大小和方向； (2)判断“飞舰”是否被有效击中，并说明理由； (3)若“飞舰”在时侦测到导弹攻击，立即从“飞舰”上发射一颗初速度大小为（相对于地面）的导弹进行拦截，假设拦截导弹发射后只在重力作用下运动，且与对方导弹发生撞击视为拦截成功，则拦截导弹的初速度与水平方向的夹角应为多少？ 【答案】(1)，与水平方向夹角满足 (2)被有效击中，导弹落地点与“飞舰”的水平距离为 (3) 【详解】（1）导弹释放后的速度大小为，做曲线运动，在水平方向先做匀加速直线运动，后做匀速直线运动，竖直方向做自由落体；根据运动学规律在竖直方向 解得 落地前瞬间，竖直方向有 水平方向有 故落地前瞬间的速度大小为 与水平方向夹角满足 （2）根据（1）中分析可知，导弹在整个过程中的水平位移为 飞舰在这段时间内做匀速运动， 此时导弹落地点距离“飞舰”为 在导弹的有效击中范围以内，故“飞舰”被有效击中。 （3）设拦截导弹的发射初速度与水平方向夹角为，并在发射后拦截成功，在时，导弹与“飞舰”在水平方向间距为 竖直方向间距为 若要拦截成功，水平方向需要满足 竖直方向需要满足 联立上式可解得 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高一上·吉林·期末）一小球从空中某点水平抛出，经过A、B两点，已知小球在A点的速度大小为、方向与水平方向成30°角，小球在B点的速度方向与水平方向成60°角，不计空气阻力，重力加速度取，则下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度为 B．小球从A点运动到B点用时 C．A点和B点间的直线距离为 D．小球从A点运动到B点，速度变化量的大小为 【答案】B 【详解】A．小球的初速度（即水平分速度）大小为，故A错误； B．小球从A到B的时间由竖直方向速度变化决定：， 则 ，故B正确； C．水平位移 竖直位移 则A点到B点的直线距离为位移大小，故C错误； D．速度变化量的大小为，方向竖直，故D错误。 故选B。 2．（25-26高一上·黑龙江·期末）如图所示，小球P从位于倾角的斜面上某点以一定初速度水平向右抛出，同时右侧等高处的小球Q以一定的初速度水平向左抛出。已知P、Q两球都落在了斜面上的同一点，且小球Q恰好垂直打到斜面上。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．P、Q两球的加速度大小之比为1∶2 B．P、Q两球运动的时间之比为2∶1 C．P、Q两球抛出的初速度大小之比为2∶3 D．P、Q两球的水平位移大小之比为3∶2 【答案】D 【详解】A．P、Q两球均做平抛运动，加速度均为重力加速度，大小之比为1∶1，故A错误； B．两球下落高度相同，由可知，两球做平抛运动的时间之比为1∶1，故B错误； C ．对小球P，根据平抛运动规律有 解得， 对小球Q，有 解得 则，故C错误； D．根据，可知P、Q两球的水平位移大小之比为3∶2，故D正确。 故选D。 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则（　　） A．a球一定先落在半圆轨道上 B．b球一定先落在斜面上 C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上 D．a球可能垂直落在半圆轨道上 【答案】C 【详解】ABC．将半圆轨道和斜面轨道重叠在一起 可知若小球初速度合适，两小球可同时落在距离出发点高度相同的交点A处，改变初速度，可以先落在半圆轨道，也可以先落在斜面上，故AB错误，C正确； D．若a球垂直落在半圆轨道上，根据几何关系知，速度方向与水平方向的夹角是位移与水平方向的夹角的2倍，而在平抛运动中，某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，两者相互矛盾，所以a球不可能垂直落在半圆轨道上，故D错误。 故选C。 4．（2025高一下·山东·学业考试）两同学在岸边向湖中水平投掷的甲、乙两枚小石子，落在水面同一位置，它们的运动轨迹如图所示。已知抛出点在同一竖直线上，不计空气阻力。关于两石子的运动，下列分析正确的是（　　） A．两石子的抛出速度一样大 B．甲石子的抛出速度更大一些 C．两石子在空中运动时间一样长 D．甲石子在空中运动时间更长一些 【答案】D 【详解】CD．根据题意可知，两石子做平抛运动，竖直方向上有 解得 由图可知，甲石子下落高度大于乙石子，则甲石子在空中运动时间更长一些，故C错误，D正确； AB．水平方向上有 解得 由图可知，两石子水平位移相等，由于甲的运动时间长，甲的初速度较小，故AB错误。 故选D。 5．（25-26高一上·吉林长春·期末）小球A从地面上方某一高度处出发，做平抛运动，同一时刻，在小球A出发点正下方的水平地面上，小球B开始做斜上抛运动，两个小球运动的轨迹如图所示。已知小球B运动的最高点与小球A的出发点位于同一水平高度，且小球A与小球B的落地点相同。下列说法中正确的是（　　） A．小球A和小球B速度的变化量相同 B．小球A和小球B同时落回地面 C．小球A和小球B可能在空中相遇 D．若小球A与小球B初速度大小相同，则小球B的初速度与水平方向的夹角为60° 【答案】D 【详解】B．设 A 由高 H 处水平抛出，则 A 下落时间满足 解得 设 B 以初速度斜上抛，其最高点与 A 的抛出点等高，则 B 从地面抛出到最高点用时与下落回地面时间相同，有 解得 B总飞行时间 故两球并不同时落地，故 B 错误； A．A 球在整个运动中仅竖直方向速度发生变化，速度的变化量为 B 球初速度竖直分量为，方向向上，落地时竖直分量为，方向向下，水平方向速度不变，则B球速度改变量 两者速度改变量大小并不相同，故A 错误； C．若两球在空中相遇，则应满足 即 整个过程，水平方向有 则 可见两球不可能在空中相遇，故C错误； D．若小球A与小球B初速度大小相同，根据 解得，故D正确； 故选D。 6．（25-26高三上·河南商丘·月考）甲、乙两个机械臂分别固定在高度和的水平轨道上，同时将货物水平抛出，两货物最终落在地面上的同一接收箱内，已知接收箱距离两抛出点水平距离相等，不计空气阻力。则下列说法正确的是（    ） A．甲机械臂抛出货物的初速度较大 B．乙机械臂抛出货物的初速度较大 C．两机械臂抛出货物的初速度大小相等 D．甲货物落地时速度方向与水平方向夹角较小 【答案】B 【详解】根据平抛运动规律，得水平位移 竖直位移 联立解得 即落地时竖直速度 速度方向与水平方向夹角 满足 。 A.甲货物货物的高度 ，故甲下落时间 水平位移相等（），由 知，，A错误； B.由上述分析，，B正确； C.，因 ，C错误； D.对甲货物：，对乙货物： 因，故 即甲货物的夹角更大，D错误。 故选B。 7．（25-26高三上·江苏南京·月考）如图所示，某滑雪者从平台P点以速度v水平向右跳出，恰好落在右侧平台最左端Q点。滑雪者（　　） A．减小速度v，仍落在Q点 B．增大速度v，落在Q点右侧 C．减小速度v，空中的运动时间不变 D．增大速度v，空中的运动时间减少 【答案】B 【详解】滑雪者从平台P点以速度v水平向右跳出，滑雪者做平抛运动，则竖直方向有 水平方向有 竖直高度决定运动时间，水平位移由水平初速度和运动时间共同决定。 A.若减小速度，由于竖直方向有，下落高度不变，运动时间不变，再根据，水平初速度减小，运动时间不变，则水平位移减小，会落在Q点左侧，故A错误； B. 若增大速度，由于竖直方向有，下落高度不变，运动时间不变，再根据，水平初速度增大，运动时间不变，则水平位移增大，会落在Q点右侧，故B正确； CD. 由于竖直方向有可知，运动时间由下落高度决定，与水平初速度无关。减小速度，滑雪者会落在Q点左侧，使下落高度变大，空中运动时间变大，增大速度，下落高度不变，空中运动时间不变，故CD错误。 故选B。 8．（25-26高二上·湖南长沙·月考）如图所示，水平地面上方有高和宽均为L的台阶，台阶下端与水平地面的交点为P，地面上Q点与P点相距L，将一小球从上方台阶端点以一定初速度水平抛出，不计空气阻力，重力加速度为g，不考虑小球的反弹，则（　　） A．小球以不同的初速度抛出后，在空中运动的时间也一定不同 B．小球落在第一级台阶上和第二级台阶上，在空中飞行时间之比为 1∶2 C．小球可能落在地面上Q点左侧 D．小球能落在地面上的最小初速度为 【答案】C 【详解】A．若小球均落在同一台阶或地面上，小球在空中飞行的时间相等，故A错误； B．小球落在第一级台阶上时，下降的高度为L，落在第二级台阶上，下降的高度为2L，根据h=gt2，可知小球在空中飞行时间之比为1∶，B错误； D．小球恰好能落在地面上有2L=vt，2L=gt2 解得临界速度v=，D错误； C．小球以v=的速度抛出时，由3L=gt'2，x=vt' 落点到P的距离d=x-2L 解得d=L<L，C正确。 故选C。 二、多选题 9．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）如图所示，明明同学向河中抛出一小石块，小石块在空中运动的过程中（不计空气阻力），下列说法正确的是（　　） A．小石块的运动为匀变速曲线运动 B．小石块的速度方向时刻在发生变化 C．小石块的速度方向与加速度方向可能在同一直线上 D．小石块的加速度方向一定沿轨迹的切线方向 【答案】AB 【详解】AD．小石块的运动过程中，小石块只受重力作用，加速度为重力加速度，加速度不变且其方向竖直向下，故小石块做匀变速曲线运动，故A正确，D错误； B．小石块做曲线运动，速度的方向沿曲线每一点的切线方向，速度方向不断改变，故B正确； C．物体做曲线运动的条件是速度与加速度不在同一条直线上，故C错误。 故选AB。 10．（2025高一下·全国·专题练习）从地面某点以初速度斜抛物体，抛射角，不计空气阻力，，物体落地点与抛出点在同一水平面，下列说法正确的是（　　） A．物体上升到最高点的时间为 B．射程为 C．落地时速度与水平方向的夹角为30° D．运动过程中速度的最小值为10m/s 【答案】AD 【详解】A．物体上升到最高点的时间为，故A正确； B．射程为，故B错误； C．根据对称性可知，落地时速度与水平方向的夹角为60°，故C错误； D．物体上升到最高点时速度最小，此时竖直方向速度为零，故运动过程中速度的最小值为，故D正确。 故选AD。 11．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为 C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球到达B处的水平方向位移大小 【答案】ABC 【详解】A．小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，大小不变，方向与初速度方向垂直，做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确； B．根据牛顿第二定律知，小球的加速度，故B正确； C．小球沿加速度方向上的位移为，根据 解得，故C正确； D．小球沿初速度方向的位移 小球沿加速度方向的位移 则小球水平方向的总位移＞v0，故D错误。 故选ABC。 12．（25-26高三上·福建宁德·期中）如图所示，倾角为的斜面上有、、三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的点，已知，不计空气阻力，由此可判断（　　） A．、、处三个小球从抛出至落到点运动时间之比为 B．、、处三个小球落在斜面上时的速度与初速度的夹角之比为 C．、、处三个小球的初速度大小之比为 D．、、处三个小球的运动轨迹可能在空中相交 【答案】BC 【详解】A．由几何关系可得三个小球下落的高度之比为9：4：1，由，可得飞行时间之比为3：2：1，故A错误； B．因为三个小球位移的方向相同，速度偏向角正切值一定是位移偏向角正切值的2倍，位移偏向角均为，所以速度与初速度之间的夹角一定相等，比值为1：1：1，故B正确； C．因三个小球下落的水平位移之比为9：4：1，时间之比为3：2：1，水平方向有x=vt，可得初速度大小之比为3：2：1，故C正确； D．最后三个小球落到同一点，故三个小球的运动轨迹不可能在空中相交，故D错误。 故选BC。 13．（2025·湖南郴州·一模）在一个倾角为θ的足够长的固定斜面上，一小球以初速度v离开斜面，方向与斜面方向成θ角斜向上。已知重力加速度为g，空气阻力不计，下列说法正确的是（　　） A．小球在空中任意相等的时间内速度变化不相等 B．小球经时间，离斜面最远 C．小球开始运动到第一次落到斜面上时间为 D．小球开始运动到第一次落到斜面上位移为 【答案】BD 【详解】A．小球在空中只受重力作用，加速度为重力速度，速度变化量 可知相等时间内速度变化一定相同，故A错误； B．将小球的运动分解为垂直斜面方向和沿斜面方向两个分运动，小球垂直斜面方向的初速度大小为 加速度大小 当小球垂直斜面的速度减为零时离斜面最远，有 故B正确； C．由斜抛的对称性可知，小球从开始运动到第一次落到斜面上时间为 故C错误； D．小球沿斜面方向的初速度大小为 加速度大小 则小球开始运动到第一次落到斜面上位移为 故D正确。 故选BD。 14．（25-26高三上·北京·月考）如图所示，假设某运动员由a点沿水平方向跳离，经过一段时间落在c点，轨迹上的b点距离连线ac最远，d点为竖直线bd与ac连线的交点，忽略一切阻力。则下列说法正确的是（　　） A．b点的速度与连线ac平行 B．运动员从a到b的时间小于b到c的时间 C．ad两点之间的距离大于dc两点的距离 D．ab两点的竖直距离与bc两点的竖直距离之比为 【答案】AD 【详解】A．运动员在空中做平抛运动，，轨迹上的b点距离连线ac最远，此时切线方向与斜面平行，即b点的速度与连线ac平行，故A正确； B．设运动员从a到b的时间为，则有 设运动员从a到c的时间为，则有 解得 可知运动员从a到b的时间等于b到c的时间，故B错误； C．根据几何关系可得， 可知ad两点之间的距离等于dc两点的距离，故C错误； D．竖直方向有， 可得ab两点的竖直距离与bc两点的竖直距离之比为，故D正确。 故选AD。 15．（25-26高三上·河北·月考）园林工人给水平的草坪浇水时，某一时刻从水管喷口斜向上喷出的水流可视为斜抛运动。水流初速度大小为，与水平方向夹角为，水管出水点和水落地点的连线与水平草坪夹角为，重力加速度，忽略空气阻力。下列说法正确的有（　　） A．水流的水平分速度为 B．水流在空中运动的时间为0.8 s C．喷口到草坪的高度为1.6 m D．水流上升的最大高度处到草坪距离为0.2 m 【答案】BC 【详解】A．水平分速度，故A错误； BC．水平位移 喷口到地面的高度 竖直位移 其中 解得，故BC正确； D．竖直方向仅受重力，相对抛出点最大高度 则相对草坪最大高度为m+0.2m=1.8 m，故D错误。 故选BC。 三、解答题 16．（25-26高一上·吉林·期末）如图所示的坐标系，x轴水平向右，y轴竖直向上，在y轴上的A点有一小球甲以水平向右的初速度v0抛出的同时，在坐标原点O有一小球乙以斜向右上方的速度抛出，C为乙运动轨迹的最高点，甲经过C点后落在x轴上的D点，乙最终落在x轴上的B点（x0，0），已知两球在C点相遇但不相碰，重力加速度为g，不计空气阻力，小球均可视为质点。求： (1)乙从O到B的运动时间以及A、O两点间的距离； (2)乙在O点的速度大小以及D、O两点间的距离。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）由斜抛运动的对称性可知甲从A到C的水平位移为0.5x0，设甲从A到C的运动时间为t0，则有 则乙从O到B的运动时间为 A、C两点的高度与CB两点的高度相等则有 A点与O点间的距离 解得 （2）把乙在O点的速度分别沿着水平方向和竖直方向分解，则有， 乙在O点的速度 综合可得 甲从A到D，由平抛运动的规律可得 D与O点间的距离 综合可得 17．（25-26高一上·吉林延边·期末）2025年12月14日，中国运动员苏翊鸣以卓越表现斩获2025-2026赛季国际雪联单板滑雪大跳台世界杯总冠军。滑雪科研团队要研判各种技术动作和空中技巧，既要在比赛中取得好成绩，又要保证运动员的人身安全。如图所示，在某中学科技小组的一次理论模拟探究中，假设苏翊鸣由点（斜坡的顶点）以速度垂直于斜坡斜向上起跳，落在倾角的斜坡上的点。（重力加速度取，忽略空气阻力，运动员可看成质点。）求该运动员 (1)在空中运动的时间； (2)离斜坡的最远距离； (3)A、B两点沿斜坡的距离。 【答案】(1)5s (2)25m (3)75m 【详解】（1）将重力加速度分解为沿方向的分加速度和垂直方向的分加速度，则， 在垂直方向，根据对称性可得运动员空中运动的时间为 （2）垂直方向，运动员做匀变速直线运动，离斜坡的最远距离为，有 解得 （3）沿斜坡方向，运动员做匀加速直线运动，有 解得 18．（25-26高一上·黑龙江·期末）如图所示，倾角的斜面体ABC固定在地面上，小物块从点由静止下滑，同时另一小球从点正上方的点水平抛出，小物块与小球同时到达斜面底端的处。已知斜面AB长，小物块与斜面体间的动摩擦因数，重力加速度取，不计空气阻力，小物块及小球均可视为质点，求： (1)小物块从点滑到点的时间； (2)小球抛出时的初速度大小及AD间的高度。 【答案】(1)1s (2)， 【详解】（1）对小物块受力分析，有 解得 由匀变速直线运动中位移与时间的关系，有 解得 （2）小球做平抛运动，水平方向有 解得 竖直方向有 解得 19．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）第24届冬季奥林匹克运动会2022年2月4日—2022年2月20日在北京举办，如图所示，中国选手跳台滑雪运动员谷爱凌在一次比赛时，经过一段时间的加速滑行后从点水平飞出，经过3s落到斜坡上的点。已知点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角，不计空气阻力（，，取）。求： (1)点与点的距离； (2)谷爱凌离开点时的速度大小； (3)谷爱凌从点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间为多少，离坡面的最远距离为多大。 【答案】(1)75m (2) (3)1.5s；9m 【详解】（1）谷爱凌在竖直方向做自由落体运动，有 解得 （2）设谷爱凌离开点时的速度为，谷爱凌在水平方向的分运动为匀速直线运动，有 解得 （3）谷爱凌的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动（初速度为、加速度为）和垂直斜面方向的类竖直上抛运动（初速度为、加速度为），当垂直斜面方向的速度减为零时，谷爱凌离斜坡最远，有 解得 而 解得 20．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）如图所示，光滑水平桌面上A、B两物块叠放在一起，空间中始终存在水平恒力F作用在物块B上（物块A始终不受此恒力作用），使物块A、B恰好一起向右加速运动，物块A质量，物块B质量，A、B间的动摩擦因数，桌面长L=1m，桌边高H=0.8m，桌面右边缘正下方为Ｏ点，A、B可看作质点（g=10m/s2），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)A、B恰好不相对滑动的临界力F0； (2)若F=6N，使A、B从桌面左端由静止开始运动，求物块A落地点距Ｏ点的水平距离x； (3)在第（2）问情况下，求A、B落地的水平距离差。 【答案】(1)15N (2)0.8m (3)0.24m 【详解】（1）A、B恰好不相对滑动，摩擦力达到最大静摩擦力，对A进行分析，根据牛顿第二定律有 对A进行分析，根据牛顿第二定律有 解得 （2）由于F=6N<F0=15N 则A、B保持相对静止向右做匀加速直线运动，从桌面左端由静止开始运动，对A、B整体进行分析，根据牛顿第二定律有 根据速度与位移的关系有 A做平抛运动过程有， 解得x=0.8m （3）B滑出后水平方向，根据牛顿第二定律有 B水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则有 A、B落地的水平距离差 解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化02：抛体运动规律（平抛运动、斜抛运动） 【考点归纳】 【技巧归纳】 1、平抛运动的两个推论 (1)平抛运动某一时刻速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α. 证明：因为tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α. (2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． 证明：如图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点．则OB＝v0t，AB＝＝gt2·＝v0t. 可见AB＝OB. 2、平抛运动与斜面的结合 平抛运动与斜面(曲面)的综合问题解题策略 情景示例 解题策略 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示 已知速度方向，常规建系，分解速度tan θ＝＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示 已知速度方向，常规建系，分解速度tan θ＝＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示 已知位移方向，常规建系，分解位移tan θ＝＝＝ 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，求飞行时间、位移等 已知位移方向，常规建系，分解位移tan θ＝＝＝ 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，求离斜面最大距离及所用时间 已知速度方向，沿斜面向下为x轴，垂直斜面向上为y轴建立坐标系，分解初速度和重力加速度，t＝，h＝ 【题型归纳】 题型一：平抛运动的基本计算 【例1】．（25-26高一上·江苏泰州·月考）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： (1)水从管口到水面的运动时间； (2)水从管口排出时的速度大小。 【举一反三】 1．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）某同学在水平空地上练习网球发球技巧，将网球竖直向上抛出，网球运动到最高点时恰好被球拍水平拍出。如图所示，点离地面高，A点与落地点的水平距离，忽略空气阻力，重力加速度大小。求：（，，，） (1)网球从点运动到点所用的时间； (2)网球运动到点时的速度。 2．（25-26高三上·北京海淀·月考）如图所示，将一个小球以速度v0=5m/s从O点水平抛出，P是轨迹上的一点，已知O和P两点连线与竖直方向的夹角为45o，重力加速度g取10m/s2。求： (1)小球从O点运动到P点的时间； (2)小球通过P点时的速度； (3)小球运动的轨迹方程。 3．（25-26高三上·北京西城·月考）距地面高度为的小球以的速度被水平抛出，g取。求： (1)小球在空中的飞行时间t； (2)小球落地点距抛出点的水平距离x； (3)落地时小球的速度v的大小和方向。 题型二：平抛运动的两个推论 【例2】．（24-25高一下·海南海口·期中）如图7所示，斜面的倾角为，斜面的长度为L。在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以和的速度沿同一方向水平抛出，甲球经时间恰落在斜面的底端，此时甲球速度与水平方向夹角为。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．乙球将落在斜面的中点 B．乙球经时间落在斜面上 C．乙球落在斜面上时速度与水平方向夹角为 D．乙球落在斜面上时速度大小为 【举一反三】 1．（24-25高一下·四川成都·期中）半径为半圆形的弯曲面固定放置在水平地面上的C点，是圆心，AB是水平直径，OC是竖直半径，D是圆弧上的一个小孔，。现让视为质点的小球（直径略小于小孔D的直径）从点水平向右抛出，经过D（与小孔无碰）落到水平地面的点，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．小球在D点的速度方向垂直于过D点圆弧的切线 B．小球从O到D的时间等于D到E的时间 C．小球在点的速度大小为 D．小球在点的速度大小为 2．（24-25高一下·天津北辰·期中）如图，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度v1、v2、v3平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C点，抛出点及落点A、B、C点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　） A．三个小球平抛运动时间的大小关系为 B．三个小球平抛初速度的大小关系为 C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直 D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角大于60° 3．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图所示，从倾角为的斜面上的P点，以初速度水平抛出一个小球，经时间t落在斜面上Q点，此时小球速度大小为v，方向与斜面的夹角为。若将小球从斜面上的P′点以初速度水平抛出，要使小球仍能落在Q点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球在空中运动的时间变为2t B．小球在Q点的速度大小变为4v C．P′Q之间的距离是PQ之间距离的2倍 D．小球在Q点的速度方向与斜面的夹角变为 题型三：飞机投弹问题 【例3】．（22-23高一下·广东深圳·期中）如图所示，一轰炸机模型沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方15m时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A．忽略空气阻力的影响，重力加速度 g取 10 m/s2，山坡倾角为θ=45°，则该模型的初速度大小为（    ）    A．20 m/s B．15 m/s C．10 m/s D．5m /s 【举一反三】 1．（22-23高一下·陕西西安·期中）在抗震救灾中，一架飞机水平匀速飞行。从飞机上每隔释放1包物品，先后共释放4包，若不计空气阻力，从地面上观察4包物品（　　） A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的 B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的 C．在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的 D．在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的 2．（2023高二上·浙江·学业考试）如图所示，用无人机投送小型急救包。无人机以的速度向目标位置匀速水平飞行，投送时急救包离目标位置高度为，不计空气阻力，则（　　） A．急救包落到目标位置的速度为 B．急救包落到目标位置的速度为 C．无人机离目标位置水平距离还有时投送 D．无人机离目标位置水平距离还有时投送 3．（23-24高一上·湖南·期末）如图，倾角为的斜坡，斜坡高度为h，斜坡底端A点正上方有B和C两点，B点和斜坡等高。甲战斗机以水平速度飞到C点时释放炸弹，准确命中斜坡上的一点，CP的连线垂直于坡面；乙战斗机以水平速度飞到B点时释放炸弹，也准确命中斜坡上的同一点P，速度方向恰好垂直斜坡。已知两颗炸弹完全相同，则（　　）     A．C点距离A点的高度为 B． C．甲释放的炸弹和乙释放的炸弹在空中的飞行时间之比为 D．任意相同时间内甲乙两战斗机释放的炸弹在空中的速度变化量之比为 题型四：平抛运动的追及和相遇问题 【例4】．（24-25高一下·安徽黄山·期末）如图所示，A、B、C三个球（可视为质点）初速度大小均相同，同时水平抛出（地面水平长度足够），A、C球抛出高度相同，不计任何阻力。假定任意球与地面碰撞后都立即消失。则下列说法正确的是（　　） A．图中A、B不可能发生碰撞 B．图中B、C可能发生碰撞 C．图中A、C一定会发生碰撞 D．图中A、C不可能发生碰撞 【举一反三】 1．（2025·河北·模拟预测）某科研单位进行传感器的通讯测试，他们在相距25m的两栋楼的同一楼层的阳台将两个带传感器的小球同时抛出，初速度方向如图所示，其中A小球的初速度10m/s，B小球的初速度5m/s，不计空气阻力，重力加速度g取。下列说法中正确的是（　　） A．小球A相对小球B做匀变速运动 B．两个小球之间的最小距离为 C．小球抛出1.5s时，两个小球之间的距离为25m D．仅适当调整两个小球初速度的大小（不能为0），两个小球能够在空中相遇 2（23-24高一下·江苏南京·期中）如图所示，在M点的正上方离地高H处以水平速度向右投掷一飞盘P，反应灵敏的小狗Q同时在M点右方水平地面上的N点以速度斜向左上方跳出，结果飞盘P和小狗Q恰好在M、N连线的中点正上方相遇。为使问题简化，飞盘和小狗均可看成质点，不计飞盘和小狗运动过程所受空气的阻力，则飞盘水平抛出后至与小狗相遇的过程，下列说法正确的是（　　） A．飞盘和小狗速度的变化量不相等 B．初速度大小关系一定是> C．若小狗没去接飞盘，则飞盘一定落在N点 D．飞盘和小狗相遇点在距离地面高度处 3．（23-24高一下·贵州·月考）乒乓球是我国的国球，是一项集健身、竞技和娱乐为一体的运动项目。我国乒乓健儿也多次在国际赛事上取得优异成绩。如图，两名运动员从乒乓球台两端的正上方不同高度处分别发出A、B两球（B球的高度大于A球的高度，两球到球网的水平距离相等），假设两球都做平抛运动，都恰好能越过球网，同时落到对方台面上，则下列说法正确的是（　　） A．A球比B球先出发 B．B球先到达球网上端 C．落到球台前瞬间，B球的速度一定较大 D．B球落到球台上时，距球网更近 题型五：斜面上的平抛运动 【例5】．（24-25高一下·贵州毕节·期中）某水流造景设施的截面如图所示，为水平喷水口，水柱刚离开的速度为，从喷出的水柱恰好能垂直撞到倾角为的斜面上的处。已知重力加速度为，不计空气阻力，水柱在空中的运动可看成平抛运动，则一滴水从到所用的时间为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2025·山东济南·一模）北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一。如图甲所示，两名跳雪爱好者（可视为质点）从雪道末端先后以初速度之比，沿水平方向向左飞出，示意图如图乙。不计空气阻力，则两名跳雪爱好者从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，下列说法正确的是（　　） A．他们飞行时间之比为 B．他们飞行的水平位移之比为 C．他们在空中飞行时离雪坡面的最大距离之比为1：3 D．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同 2．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图高台跳雪运动员a、b（可视为质点）从雪道末端先后以初速度之比沿水平方向向左飞出。不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，下列说法正确的是 A．飞行时间之比为 B．飞行的水平位移之比为1∶4 C．落到雪坡上的瞬时速度方向一定不相同 D．在空中离雪坡面的最大距离之比为 3．（24-25高一下·山东临沂·期中）将一可视为质点的小球从倾角为的斜面顶端A点以不同速度水平抛出，第一次落在B点；第二次落在斜面C点，已知，则关于两次小球运动情况，下列说法正确的是（　　） A．两次小球在空中的时间之比为 B．两次小球水平抛出的初速度之比为 C．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为 D．两次小球远离斜面的最远距离之比为 题型六：曲面上的平抛运动 【例6】．（2024·山东·二模）如图所示，为竖直平面内的半圆环的水平直径，为环上最低点，环半径为，将一个小球从点以初速度沿方向抛出，设重力加速度为，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．小球的初速度越大，碰到圆环时的竖直分位移越大 B．当小球的初速度时，碰到圆环时的竖直分速度最大 C．若取合适的值，小球能垂直撞击圆环 D．取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同 【举一反三】 1．（23-24高一下·河南·期中）如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度，，平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C三点，抛出点及落点A、B、C三点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　） A．三个小球平抛运动时间的大小关系为 B．三个小球平抛初速度的大小关系为 C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直 D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角小于60° 2．（23-24高一下·福建福州·期中）如图所示，、两个小球均从一个倾角为的斜面顶端以不同的初速度向右水平抛出，斜面与一个圆弧对接，斜面高度与圆弧半径相等，斜面的底端在圆心O的正下方。则下列说法正确的是（　　） A．若a、b两个小球分别落到斜面和圆弧面等高位置，在空中运动时间不相同 B．若a、b两个小球分别落到斜面和圆弧面等高位置，速度变化量相同 C．a、b两个小球分别落到斜面上不同位置时，速度方向不相同 D．若小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直 3．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，哪吒和敖丙在A点同时水平踢出两个毽子（可视为质点），初速度分别为，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为，忽略空气阻力，则（　　） A．两个毽子不会同时落到轨道上 B． C．两个毽子速度变化量方向不相同 D．落在D点毽子的速度的反向延长线一定过O点 题型七：类平抛运动 【例7】．（24-25高二下·云南·月考）如图所示，在一个科技展览馆内，有一个可视为光滑斜面的ABCD展示装置，该斜面是边长为的正方形，倾角为。为了展示物体的运动轨迹，工作人员在斜面左上方顶点A处设置了一个小型弹射装置，可将不同质量的物块，以相同速度弹出。某次将质量为的物块（视为质点）以平行于AB边的初速度水平射入斜面。物块射出后，会在斜面上留下运动轨迹，且恰好到达底边CD的中点E。重力加速度g取，则（　　） A．可得物块弹出的速度为 B．若仅将物块质量加倍，从A运动到底边的时间不变 C．若仅将物块质量加倍，为使物块仍能经过E点，则应减小物块从A点入射的速度 D．若仅将斜面倾角变为，射入初速度不变，则物块运动到底边的时间仍然不变 【举一反三】 1．（24-25高一下·云南·期中）如图所示，一个倾角为的斜面固定在水平面上，其上表面光滑且为边长的正方形。现将一小球从处水平向左抛出，小球沿斜面恰好运动到底端的点。重力加速度取，空气阻力忽略不计，下列说法中不正确的是（　　） A．小球的运动轨迹一定为抛物线 B．小球在斜面上运动的时间为 C．小球在点的速度大小为 D．小球速度变化量的大小为 2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示的光滑固定斜面ABCD，其倾角可调节．当倾角为时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，恰好沿底端D点离开斜面；改变倾角为时，同样将该物块沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，发现物块沿CD边中点离开斜面，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．物块离开斜面时，前后两次下落的时间之比为2：1 B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为4：1 C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为1：1 D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：2 3．（23-24高一下·山东菏泽·期中）如图所示，光滑斜面ABCD为边长a=2.5m的正方形，斜面与水平面的倾角为30°。现将一小球从B处水平向左射出，小球沿斜面恰好到达底端D点。重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．小球在斜面上运动的时间为0.5s B．小球在B点的速度大小为2.5m/s C．小球在D点的速度大小为5m/s D．小球的速度变化量大小为10m/s 题型八：斜抛运动 【例8】．（25-26高三上·山西·期中）某铅球运动员在投掷铅球，铅球由距离地面高处的点以与水平方向成角抛出，经的时间刚好经过点，已知点距离地面的高度为，、两点的水平间距为，重力加速度，，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A． B．初速度大小为 C．铅球的最高点距离地面的高度为 D．铅球的落地点到抛出点的水平间距为 【举一反三】 1．（2025高一下·全国·专题练习）不计空气阻力，将物体以初速度、抛射角斜向上抛出（），下列说法正确的是（　　） A．物体上升到最高点的时间为 B．射程为 C．落地时速度与水平方向的夹角为30° D．运动过程中速度的最小值为 2．（25-26高二上·云南临沧·开学考试）如图甲所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行播种。先后抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度大小分别为2v和v，其中谷粒1的速度方向水平，谷粒2的速度方向斜向上，与水平方向成37°角。忽略空气阻力，已知重力加速度为g，，，则（　　） A．谷粒2从O点运动到最高点所用时间为 B．谷粒1、2从O到P的运动时间之比为2∶5 C．O、P两点间的水平距离为 D．O、P两点间的竖直距离为 3．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐距离为10m，不考虑空气阻力。重力加速度g=10m/s2。关于这次投篮，下列说法正确的是（　　） A．篮球出手时的初速度大小为m/s B．篮球在最高点的速度大小为m/s C．篮球运动到最高点时距离地面的高度为2.45m D．篮球从出手到进筐的运动时间为1.4s 题型九：抛体运动的综合问题 【例9】．（25-26高三上·江西·期中）某运动员（视为质点）在跳台滑雪训练中，从跳台处沿水平方向飞出，在斜坡上的处着陆，如图所示。测得、间的距离，斜坡与水平方向的夹角为。不计空气阻力，取重力加速度大小。求： (1)运动员在空中飞行的时间； (2)运动员在处的速度大小； (3)运动员在空中离坡面的最大距离。 【举一反三】 1．（25-26高三上·江苏无锡·月考）在播种季节，农民经常采用抛秧的方式种植水稻。如图所示，某次抛秧时农民将秧苗（视为质点）从A点以大小为v0=5m/s、方向与水平面成θ=37°的速度抛出，秧苗落在水平水田上的B点（图中未画出），已知A、B两点的水平距离x=4m，不计空气阻力，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8.求： (1)秧苗在空中的运动时间t； (2)A和B两点的竖直高度h； (3)秧苗落到水田前瞬间的速度的大小。 2．（24-25高一下·安徽芜湖·月考）甲图是篮球运动员正在进行投篮训练的示意图，某次投篮情景如图乙，A是篮球的投出点， B是篮球的投入点。已知篮球在A点的初速度为，与水平方向的夹角为，AB连线与水平方向的夹角为，重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)篮球在飞行过程中距A点的最大高度h； (2)离AB连线最远时的速度大小v； (3)AB之间的距离s。 3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）2024年11月12日开幕的珠海航展上，乙型空天战机“白帝”的展出引发了众多航天爱好者的热切关注，在某次实践活动中，某小组同学利用AI自动驾驶航模模拟了一场战斗场景。“白帝”空天战机正在的“高空”以的速度在水平方向做匀速直线运动，发现下方水平距离为处有一“飞舰”正在水平地面上以的速度同向匀速前行，战机立即释放一颗“空空导弹”进行攻击。已知时导弹相对战机无初速度释放，释放后立即启动自带推进器提供水平方向的加速度，推进器在时停止工作，导弹只在重力作用下继续运动。若导弹的有效击中范围为落地点周围以内，战机、导弹和“飞舰”均看成质点，不计空气阻力，，试求： (1)导弹落地前瞬间的速度大小和方向； (2)判断“飞舰”是否被有效击中，并说明理由； (3)若“飞舰”在时侦测到导弹攻击，立即从“飞舰”上发射一颗初速度大小为（相对于地面）的导弹进行拦截，假设拦截导弹发射后只在重力作用下运动，且与对方导弹发生撞击视为拦截成功，则拦截导弹的初速度与水平方向的夹角应为多少？ 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高一上·吉林·期末）一小球从空中某点水平抛出，经过A、B两点，已知小球在A点的速度大小为、方向与水平方向成30°角，小球在B点的速度方向与水平方向成60°角，不计空气阻力，重力加速度取，则下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度为 B．小球从A点运动到B点用时 C．A点和B点间的直线距离为 D．小球从A点运动到B点，速度变化量的大小为 2．（25-26高一上·黑龙江·期末）如图所示，小球P从位于倾角的斜面上某点以一定初速度水平向右抛出，同时右侧等高处的小球Q以一定的初速度水平向左抛出。已知P、Q两球都落在了斜面上的同一点，且小球Q恰好垂直打到斜面上。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．P、Q两球的加速度大小之比为1∶2 B．P、Q两球运动的时间之比为2∶1 C．P、Q两球抛出的初速度大小之比为2∶3 D．P、Q两球的水平位移大小之比为3∶2 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则（　　） A．a球一定先落在半圆轨道上 B．b球一定先落在斜面上 C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上 D．a球可能垂直落在半圆轨道上 4．（2025高一下·山东·学业考试）两同学在岸边向湖中水平投掷的甲、乙两枚小石子，落在水面同一位置，它们的运动轨迹如图所示。已知抛出点在同一竖直线上，不计空气阻力。关于两石子的运动，下列分析正确的是（　　） A．两石子的抛出速度一样大 B．甲石子的抛出速度更大一些 C．两石子在空中运动时间一样长 D．甲石子在空中运动时间更长一些 5．（25-26高一上·吉林长春·期末）小球A从地面上方某一高度处出发，做平抛运动，同一时刻，在小球A出发点正下方的水平地面上，小球B开始做斜上抛运动，两个小球运动的轨迹如图所示。已知小球B运动的最高点与小球A的出发点位于同一水平高度，且小球A与小球B的落地点相同。下列说法中正确的是（　　） A．小球A和小球B速度的变化量相同 B．小球A和小球B同时落回地面 C．小球A和小球B可能在空中相遇 D．若小球A与小球B初速度大小相同，则小球B的初速度与水平方向的夹角为60° 6．（25-26高三上·河南商丘·月考）甲、乙两个机械臂分别固定在高度和的水平轨道上，同时将货物水平抛出，两货物最终落在地面上的同一接收箱内，已知接收箱距离两抛出点水平距离相等，不计空气阻力。则下列说法正确的是（    ） A．甲机械臂抛出货物的初速度较大 B．乙机械臂抛出货物的初速度较大 C．两机械臂抛出货物的初速度大小相等 D．甲货物落地时速度方向与水平方向夹角较小 7．（25-26高三上·江苏南京·月考）如图所示，某滑雪者从平台P点以速度v水平向右跳出，恰好落在右侧平台最左端Q点。滑雪者（　　） A．减小速度v，仍落在Q点 B．增大速度v，落在Q点右侧 C．减小速度v，空中的运动时间不变 D．增大速度v，空中的运动时间减少 8．（25-26高二上·湖南长沙·月考）如图所示，水平地面上方有高和宽均为L的台阶，台阶下端与水平地面的交点为P，地面上Q点与P点相距L，将一小球从上方台阶端点以一定初速度水平抛出，不计空气阻力，重力加速度为g，不考虑小球的反弹，则（　　） A．小球以不同的初速度抛出后，在空中运动的时间也一定不同 B．小球落在第一级台阶上和第二级台阶上，在空中飞行时间之比为 1∶2 C．小球可能落在地面上Q点左侧 D．小球能落在地面上的最小初速度为 二、多选题 9．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）如图所示，明明同学向河中抛出一小石块，小石块在空中运动的过程中（不计空气阻力），下列说法正确的是（　　） A．小石块的运动为匀变速曲线运动 B．小石块的速度方向时刻在发生变化 C．小石块的速度方向与加速度方向可能在同一直线上 D．小石块的加速度方向一定沿轨迹的切线方向 10．（2025高一下·全国·专题练习）从地面某点以初速度斜抛物体，抛射角，不计空气阻力，，物体落地点与抛出点在同一水平面，下列说法正确的是（　　） A．物体上升到最高点的时间为 B．射程为 C．落地时速度与水平方向的夹角为30° D．运动过程中速度的最小值为10m/s 11．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为 C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球到达B处的水平方向位移大小 12．（25-26高三上·福建宁德·期中）如图所示，倾角为的斜面上有、、三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的点，已知，不计空气阻力，由此可判断（　　） A．、、处三个小球从抛出至落到点运动时间之比为 B．、、处三个小球落在斜面上时的速度与初速度的夹角之比为 C．、、处三个小球的初速度大小之比为 D．、、处三个小球的运动轨迹可能在空中相交 13．（2025·湖南郴州·一模）在一个倾角为θ的足够长的固定斜面上，一小球以初速度v离开斜面，方向与斜面方向成θ角斜向上。已知重力加速度为g，空气阻力不计，下列说法正确的是（　　） A．小球在空中任意相等的时间内速度变化不相等 B．小球经时间，离斜面最远 C．小球开始运动到第一次落到斜面上时间为 D．小球开始运动到第一次落到斜面上位移为 14．（25-26高三上·北京·月考）如图所示，假设某运动员由a点沿水平方向跳离，经过一段时间落在c点，轨迹上的b点距离连线ac最远，d点为竖直线bd与ac连线的交点，忽略一切阻力。则下列说法正确的是（　　） A．b点的速度与连线ac平行 B．运动员从a到b的时间小于b到c的时间 C．ad两点之间的距离大于dc两点的距离 D．ab两点的竖直距离与bc两点的竖直距离之比为 15．（25-26高三上·河北·月考）园林工人给水平的草坪浇水时，某一时刻从水管喷口斜向上喷出的水流可视为斜抛运动。水流初速度大小为，与水平方向夹角为，水管出水点和水落地点的连线与水平草坪夹角为，重力加速度，忽略空气阻力。下列说法正确的有（　　） A．水流的水平分速度为 B．水流在空中运动的时间为0.8 s C．喷口到草坪的高度为1.6 m D．水流上升的最大高度处到草坪距离为0.2 m 三、解答题 16．（25-26高一上·吉林·期末）如图所示的坐标系，x轴水平向右，y轴竖直向上，在y轴上的A点有一小球甲以水平向右的初速度v0抛出的同时，在坐标原点O有一小球乙以斜向右上方的速度抛出，C为乙运动轨迹的最高点，甲经过C点后落在x轴上的D点，乙最终落在x轴上的B点（x0，0），已知两球在C点相遇但不相碰，重力加速度为g，不计空气阻力，小球均可视为质点。求： (1)乙从O到B的运动时间以及A、O两点间的距离； (2)乙在O点的速度大小以及D、O两点间的距离。 17．（25-26高一上·吉林延边·期末）2025年12月14日，中国运动员苏翊鸣以卓越表现斩获2025-2026赛季国际雪联单板滑雪大跳台世界杯总冠军。滑雪科研团队要研判各种技术动作和空中技巧，既要在比赛中取得好成绩，又要保证运动员的人身安全。如图所示，在某中学科技小组的一次理论模拟探究中，假设苏翊鸣由点（斜坡的顶点）以速度垂直于斜坡斜向上起跳，落在倾角的斜坡上的点。（重力加速度取，忽略空气阻力，运动员可看成质点。）求该运动员 (1)在空中运动的时间； (2)离斜坡的最远距离； (3)A、B两点沿斜坡的距离。 18．（25-26高一上·黑龙江·期末）如图所示，倾角的斜面体ABC固定在地面上，小物块从点由静止下滑，同时另一小球从点正上方的点水平抛出，小物块与小球同时到达斜面底端的处。已知斜面AB长，小物块与斜面体间的动摩擦因数，重力加速度取，不计空气阻力，小物块及小球均可视为质点，求： (1)小物块从点滑到点的时间； (2)小球抛出时的初速度大小及AD间的高度。 19．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）第24届冬季奥林匹克运动会2022年2月4日—2022年2月20日在北京举办，如图所示，中国选手跳台滑雪运动员谷爱凌在一次比赛时，经过一段时间的加速滑行后从点水平飞出，经过3s落到斜坡上的点。已知点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角，不计空气阻力（，，取）。求： (1)点与点的距离； (2)谷爱凌离开点时的速度大小； (3)谷爱凌从点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间为多少，离坡面的最远距离为多大。 20．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）如图所示，光滑水平桌面上A、B两物块叠放在一起，空间中始终存在水平恒力F作用在物块B上（物块A始终不受此恒力作用），使物块A、B恰好一起向右加速运动，物块A质量，物块B质量，A、B间的动摩擦因数，桌面长L=1m，桌边高H=0.8m，桌面右边缘正下方为Ｏ点，A、B可看作质点（g=10m/s2），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)A、B恰好不相对滑动的临界力F0； (2)若F=6N，使A、B从桌面左端由静止开始运动，求物块A落地点距Ｏ点的水平距离x； (3)在第（2）问情况下，求A、B落地的水平距离差。 2 学科网（北京）股份有限公司 $