专题强化01：小船渡河、关联速度问题【7大考点+7大题型】-2025-2026学年高一下学期物理《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教版必修第二册)

专题强化01：小船渡河、关联速度问题 【考点归纳】 【技巧归纳】 一：“关联”速度问题的处理 首先明确物体的实际速度为合速度，将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。 二：小船渡河问题 渡河时间最短和航程最短两类问题： 1． 关于最短时间，可根据运动等时性原理由船对静水的分运动时间来求解，由于河宽一定，当船对静水速度v1垂直河岸时，如图所示，垂直河岸方向的分速度最大，所以必有tmin＝. 2．关于最短航程，一般考察水流速度v2小于船对静水速度v1的情况较多，此种情况船的最短航程就等于河宽d，此时船头指向应与上游河岸成θ角，如图所示，且cos θ＝；若v2＞v1，则最短航程s＝d，此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝. 技巧规律总结： 1．船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2．三种速度：v1（船在静水中的速度）、v2（水流速度）、v（船的实际速度）。 3．三种情景 （1）过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，（d为河宽）。 （2）过河路径最短（v2<v1时）：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短=d。船头指向上游与河岸夹角为α，。 （3）过河路径最短（v2>v1时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。由图可知：，最短航程：。 【题型归纳】 题型一：过河最短问题 【例1】．（25-26高一上·黑龙江·期末）如图所示是某救援船水上渡河演练的示意图，假设船头始终垂直河岸，船的速度大小恒定，虚线ABC是救援船渡河的轨迹，其中点是出发点，点位于点的正对岸，AB段是直线，BC段是曲线。下列说法正确的是（　　） A．此时救援船渡河时间最长 B．此时救援船渡河位移最短 C．AB段中水流速度不变 D．BC段中水流速度不断增大 【答案】C 【详解】AB．因船头垂直河岸方向渡河，故渡河时间最短，但渡河位移不是最短，AB错误； CD．保持船头垂直于河岸，且船的速度不变，根据等时性可知，AB段中相等的时间水平方向运动的位移相同，因此水流速度不变，BC段中相等的时间水平方向运动的位移变短，因此水流速度不断减小，C正确、D错误。 故选C。 【举一反三】 1．（25-26高一上·吉林白山·期末）如图所示是小船过河的情景，已知水流速度恒定，下列说法正确的是（　　） A．要想位移最短，船头应该朝向1的方向 B．要想时间最短，船头应该朝向图中1的方向 C．若船头朝向2，不可能在A点靠岸 D．要想到达B点，船头应该朝向图中3的方向 【答案】B 【详解】A．要想位移最短，则合速度方向沿图中1方向，所以船头应该朝向图中1的左侧方向，故A错误； B．要想时间最短，船头应垂直河岸，应朝向图中1的方向，故B正确； C．若船头朝向2，则合速度方向有可能沿图中1方向，小船会在点靠岸，故C错误； D．要想到达点，则合速度方向沿图中3方向，所以船头应该朝向图中3的左侧方向，故D错误。 故选B。 2．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）一条汽艇过河救援，河水流速，船在静水中速度，汽艇过河过程中船头方向始终与河岸垂直，下列说法正确的是（　　） A．汽艇渡河所用时间最短 B．汽艇的实际运动轨迹与河岸垂直 C．汽艇在河水中的合速度大小是 D．汽艇渡河位移最短 【答案】A 【详解】A．汽艇渡河所用时间取决于垂直河岸方向的速度分量，由于汽艇过河过程中船头方向始终与河岸垂直，所以汽艇渡河所用时间最短，故A正确； B．汽艇的实际运动轨迹由合速度方向决定，汽艇在河水中的合速度方向与河岸不垂直，所以汽艇的实际运动轨迹与河岸不垂直，故B错误； C．汽艇在河水中的合速度大小为，故C错误； D．由于船在静水中速度大于河水流速，当合速度垂直于河岸时，汽艇渡河位移最短；汽艇过河过程中船头方向始终与河岸垂直，合速度方向不垂直河岸，汽艇渡河位移不是最短，故D错误。 故选A。 3．（25-26高一上·江苏南京·月考）小船从同一地点三次渡河，河中水流速度各处相同，改变小船在静水中的速度分别为v1、v2、v3，方向如图所示，三次渡河过程中船头均指向上游，运动轨迹垂直于河岸，下列说法正确的是（　　） A．小船三次渡河中合速度v3时最大 B．三次渡河中小船的合速度大小相同 C．小船在静水中的速度为v1时渡河所用的时间最短 D．小船在静水中的速度小于水流速度时也能达到正对岸 【答案】C 【详解】AB．设船头指向与水平岸之间夹角为，且 三次渡河中，小船的合速度均垂直于河岸方向，大小为 故有，故AB错误； C．渡河时间，所以小船在静水中的速度为时渡河所用的时间最短，故C正确； D．若水流速度大于船在静水中的速度，小船不能到达正对岸，故D错误。 故选C。 题型二：船速大于水速 【例2】．（24-25高一上·广东广州·期末）如图所示，某小船船头垂直河岸渡河，已知该段河宽300m，河水流速，船在静水中的速度，下列说法正确的是（　　） A．小船做曲线运动 B．小船渡河所用时间为100s C．为使小船渡河位移最小，船头应偏向上游，小船与河岸的夹角的余弦值为0.6 D．不管河水速度多大，小船的最小渡河位移均为300m 【答案】C 【详解】A．，由题意，小船沿如图方向做匀速直线运动，故A错误； B．小船渡河所用时间为，故B错误； C．为使小船渡河位移最小，船头应偏向上游，应满足 小船与河岸的夹角的余弦值为，故C正确； D．当时，小船不能垂直过河，渡河位移会大于300m，故D错误。 故选C。 【举一反三】 1．（24-25高一下·福建泉州·月考）如图所示，小船以大小为（以水为参考系）、方向与上游河岸成角的速度从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处。已知河中各处水流速度相同，河宽。若取0.8，取0.6，则下列说法中正确的是（　　） A．小船渡河时间为 B．河中水流速度大小为 C．河中水流速度大小为 D．以河岸为参考系，小船的速度大小为 【答案】C 【详解】A．根据题意可知，小船渡河时间为，故A错误； BC．经过一段时间正好到达正对岸的B处，则河中水流速度大小为，故B错误，C正确； D．以河岸为参考系，小船的速度大小为，故D错误。 故选C。 2．（24-25高一下·甘肃张掖·阶段练习）在某次洪灾中，由于河水突然猛涨，救援部队快速响应，利用救援艇成功救出被困对岸的群众。假定该河宽180m，河水流速2.5m/s，救援艇在静水中的速度为5m/s，下列说法正确的是（　　） A．救援艇最短渡河时间为36s B．救援艇以最短位移渡河时，船头与上游河岸夹角为30° C．救援艇船头垂直河岸时，到达对岸的位置位于出发点正对岸下游的640m D．救援艇无论如何都无法垂直河岸前行 【答案】A 【详解】A．要最短时间渡河，船头需垂直河岸，渡河时间为，故A正确； BD．当船速（5m/s）大于水流速度（2.5m/s）时，最短位移为河宽本身。设船头与上游河岸夹角为，当船速的水平分量等于水流速度时，解得，即船头与上游河岸夹角为60°，此时救援艇垂直于河岸前行，故BD错误； C．救援艇船头垂直河岸时，渡河时间，到达对岸的位置在下游，故C错误。 故选A。 3．（24-25高一下·福建·期中）如图所示，河的宽度为，河水流速为，甲、乙两船均以在静水中的速度同时渡河，出发时两船相距，甲、乙两船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的点，则下列判断正确的是（　　） A．甲船在点右侧靠岸 B．甲船也能在点靠岸 C．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇 D．甲、乙两船到达对岸的时间相等 【答案】D 【详解】D．乙船恰好能直达正对岸的A点，根据速度合成与分解知vcos60°=u 将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等，渡河的时间 甲乙两船到达对岸的时间相等，故D正确； ABC．甲船沿河岸方向上的位移 可知甲船在A点左侧靠岸，甲乙两船不可能在未到达对岸前相遇，故ABC错误。 故选D。 题型三：船速小于水速 【例3】．（24-25高一下·安徽·期中）2025年4月3日，“我要上全运”第十五届全国运动会龙舟项目安徽省选拔赛在省水上运动中心举办。如图所示某船在静水中划行的速率为，要渡过30m宽的河，河水的流速为，下列说法中正确的是（　　） A．该船渡河的最小速率是 B．该船渡河所用时间最短为10s C．该船渡河所用时间最短为6s D．该船可能沿垂直河岸的航线抵达正对岸 【答案】B 【详解】A．小船的合速度范围在之间，船渡河的最小速率是，选项A错误； BC．当船自身速度垂直河岸过河，时间最短，且，选项B正确，C错误； D．因船在静水中划行的速率为小于河水的流速为，该船不可能沿垂直河岸的航线抵达对岸，选项D错误。 故选B。 【举一反三】 1．（24-25高一下·山西吕梁·期末）在某次洪灾中，由于河水突然猛涨，救援部队快速响应，利用救援艇成功救出被困对岸的群众。假定该河流两岸平行且宽度为，某段时间河水流速恒为，救援艇在静水中的速率恒定，救援艇以最短位移渡河时，发生的位移大小为100m，，，下列说法正确的是（　　） A．救援艇在静水中的速率 B．救援艇以最短位移渡河时，船头与上游河岸夹角为 C．救援艇最短渡河时间为15s D．救援艇船头垂直河岸时，到达对岸的位置位于出发点正对岸下游的60m处 【答案】A 【详解】A．当以最短位移渡河时，位移为，河宽，说明合速度方向与下游河岸夹角θ满足 故 此时船速 代入， 得 故A正确； B．由上述分析，船头与上游夹角为，而非，故B错误。 C．最短渡河时间发生在船头垂直河岸时，时间 而非15s，故C错误； D．船头垂直河岸时，渡河时间，到达对岸的位置位于出发点正对岸下游的位移 而非60m，D错误。 故选A。 2．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）某船在静水中划行的速率为6m/s，河水的流速为10m/s，要渡过60m宽的河，下列说法正确的是（　　） A．该船渡河所用的时间至少为6s B．该船用最短时间渡河时所通过的位移大小为80m C．该船渡河所通过的位移大小至少为100m D．该船以最短位移渡河时所用的时间为11s 【答案】C 【详解】A．当船头垂直于河岸行驶时，船渡河所用时间最短为 故A错误； B．该船用最短时间渡河时，则沿水流方向位移为 所通过的位移大小为 故B错误； C．因为vc<vs，所以船不能垂直于河岸行驶，如图所示 当船合速度沿AC方向时，船渡河位移最小，则 其中 联立解得，该船渡河所通过的位移大小最小为 故C正确； D．该船以最短位移渡河时所用的时间为 故D错误。 故选C。 3．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）小船在静水中的速度为3m/s，小船在一条河宽300m，水流速度为5m/s的河流中渡河，下列说法正确的是（　　） A．小船渡河最短时间为75s B．小船以最短位移渡河时，时间为125s C．小船以最短时间渡河时，位移大小为500m D．小船以最短位移渡河时，位移大小为400m 【答案】B 【详解】A．当船头垂直对岸行驶时时间最短，最短时间是 代入数据解得 故A错误； C．船以最短时间渡河，沿水流方向位移大小为 代入数据解得 船位移 故C错误； D．因船速小于水速，当合速度方向与船头方向垂直时，渡河位移最短，如图所示 设此时合速度的方向与河岸的夹角为， 渡河的最小位移为 代入数据解得 故D错误； B．小船以最短位移渡河的合速度 小船以最短位移渡河时间 故B正确。 故选B。 题型四：小船渡河的迁移问题 【例4】．（24-25高一下·安徽宣城·期末）某人划船让小船船头始终垂直河岸渡河，河的两岸平行，河宽为150m，船在静水中的速度保持不变。河中各点的水流速度大小与到较近河岸的距离d成正比，其比例系数。则下列说法中正确的是（　　） A．小船渡河的时间是75s B．小船运动的轨迹是直线 C．小船渡河的过程中最大速度是2.5m/s D．小船渡河的过程中，行驶的位移为250m 【答案】C 【详解】A．渡河时间由垂直河岸的分速度决定。河宽150m，船速1.5m/s，时间，故A错误； B．水流速度随位置变化，导致合速度方向不断改变，轨迹为曲线，故B错误； C．水流速度最大值出现在河中央（），此时 合速度，故C正确； D．小船到达河中央时，时间为 前半段，时，竖直方向上，船匀速直线运动，位移 同时水平方向上，水流速度大小为 也即水平方向上小船做匀加速直线运动，加速度大小为 到时小船水平方向上的位移大小为 解得 后半段，时，竖直方向上，船匀速直线运动，位移 其中是从50s开始计时所经历的时间，同时水平方向上，水流速度大小为 也即水平方向上小船做匀减速直线运动，加速度大小为，初速度大小为 后半程50s内，小船水平方向上的位移大小为 解得 总的水平方向上的位移为 合位移，故D错误。 故选C。 【举一反三】 1．（24-25高一下·云南红河·阶段练习）如图所示，河水由西向东流，河宽为，假定河中各点的水流速度大小与各点到较近河岸的距离的关系为（的单位为），某一可视为质点的小船船头始终垂直对岸划行，由南岸向北岸渡河，已知小船在静水中的速度为，则下列说法正确的是（　　） A．小船过河的轨迹为直线 B．小船渡河的最大速度是 C．小船渡河的时间是 D．小船在距南岸处的速度小于在距北岸处的速度 【答案】B 【详解】A．由题意可知，小船在南北方向做匀速直线运动，东西方向先加速后减速，故小船的合运动是曲线运动，不是直线运动，故A错误； B．船速不变，当水速达到最大即船行驶到河中间，则合速度最大，故B正确； C．小船渡河的时间是，故C错误； D．小船在距南岸处与在距北岸处的水流速度相等，船速不变，故合速度相等，故D错误。 故选 B。 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【详解】CD．弹珠在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，当v2垂直于竖直墙壁射出时，弹珠运动时间最短 y的最小值为，故C正确，D错误； AB．由于则弹珠水平方向的合速度可以垂直于竖直墙壁，合速度大小为 此时x的最小值为L，故AB错误。 故选C。 3．（24-25高一下·宁夏银川·期中）2024年第十二届全国民族运动会中，宁夏代表团获得20个奖项（3个一等奖、5个二等奖、12个三等奖）。如图所示，民族运动会上有一个骑射项目表演，运动员骑在奔驰的马背上沿着水平直跑道运动拉弓放箭射向他左侧的固定靶。假设运动员骑马奔驰的速度为，运动员静止时射出的箭速度为，跑道到固定靶的最近距离。若不计空气阻力和箭所受重力的影响，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则（    ） A．运动员骑马奔驰时应该瞄准靶心放箭 B．运动员应该在距离A点的地方放箭 C．箭射到靶的最短时间为 D．箭射到靶的最短时间为 【答案】B 【详解】A．箭同时参与了沿马运行方向上的匀速直线运动和垂直于马运行方向上的匀速直线运动，如图所示。显然，由运动的合成知识可知，要击中目标靶，运动员应瞄准靶心左侧放箭，故A错误； B．放箭后，对于箭，由运动学知识得 沿方向有 平行于方向有 故得放箭的位置到A点的距离为，故B正确； C D．当放出的箭平行于方向垂直于马运行方向时发射时，所需运行时间最短 由运动学知识得最短时间，故C、D均错误； 故选B。 题型五：杆链接物体“关联”速度问题 【例5】．（25-26高三上·河北衡水·月考）直角侧移门（如图甲所示）可以解决小户型浴室开关门不方便的问题，其结构可简化成如图乙（俯视图）所示，玻璃门的两端滑轮A、B通过一根可自由转动的轻杆连接，滑轮可沿直角导轨自由滑动，滑轮可视为质点。在某次关门的过程中，当玻璃门与右侧玻璃墙的夹角为60°时，滑轮A的速度大小为v，则滑轮B的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别将滑轮A、B的速度沿轻杆和垂直于轻杆方向分解，二者沿轻杆方向的分速度大小相等，则有 解得滑轮B的速度大小为 故选B。 【举一反三】 1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）如图甲是家用的人字梯，结构简图如图乙所示，该人字梯由两个完全相同的梯子AM和AN通过顶端的铰链连接而成。现需要将梯子收拢起来，底端M、N两点均以相等的速率贴着地面向中间匀速滑动过程中，顶端向上移动的速率（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【详解】M、N两点的速率和顶端上移的速率关系为，即 M、N两点均以相等的速率贴着地面向中间匀速滑动，角度变小，顶端向上移动的速率变小，故选B。 2．（24-25高一下·安徽·期中）如图所示，一轻杆底端栓接在地面，可绕着地面上的O点自由转动，顶端的A点靠在木箱的侧壁。现向右以速度v匀速挪走木箱，某时刻杆与水平地面夹角为，此时A点的速度大小和方向为（　　） A．，方向垂直于OA向下 B．，方向垂直于OA向下 C．，方向竖直向下 D．，方向竖直向下 【答案】A 【详解】点A绕点O转动，速度方向沿圆弧轨迹切线，即方向垂直于OA向下，将如图分解 则有 解得 方向垂直于OA向下。 故选A。 3．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图所示，斜劈B的倾角为37°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，A落地前速度大小为vA，则此时B的速度大小为（　　） A．vA B．vA C．vA D．vA 【答案】B 【详解】A与B的接触点，有沿着斜面向下运动，与水平向右的运动，而其合运动为竖直向下运动，即A的运动，如图所示， 根据矢量合成法则有 解得 故选B。 题型六：绳连接关联速度问题 【例6】．（25-26高一上·辽宁本溪·期末）如图甲所示为某电影公司拍摄武打片时演员吊威亚（钢丝）的场景，可以简化为如图乙所示，轨道车通过细钢丝跨过滑轮拉着演员竖直上升，便可呈现出演员飞檐走壁的效果。某次拍摄时轨道车沿水平地面以的速度向左匀速运动，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角，已知，，则下列说法正确的是（　　） A．演员正匀速上升 B．该时刻演员处于失重状态 C．该时刻演员的速度大小为 D．该时刻演员的速度大小为 【答案】C 【详解】AB．如图所示，将车速分解为沿着钢丝方向的速度和垂直于钢丝方向的速度，与演员的速度大小相等，即，车速不变，不断减小，则不断增大，即演员有竖直向上的加速度，处于超重状态，故A、B错误； CD．当时，演员的速度大小为，故C正确，D错误。 故选C。 【举一反三】 1．（25-26高一上·黑龙江·期末）如图所示，一块橡皮用细线悬挂于点，现用一支铅笔贴着细线的左侧水平向右匀速移动，运动过程中保持铅笔的高度不变，悬挂橡皮的细线始终保持竖直。在铅笔碰到橡皮前，下列说法正确的是（　　） A．橡皮处于超重状态 B．橡皮处于失重状态 C．橡皮做匀速直线运动 D．橡皮做速度大小不变的曲线运动 【答案】A 【详解】AB．设铅笔匀速移动的速度大小为，将铅笔与绳子接触点的速度沿绳方向和垂直于绳子方向分解，所以橡皮在竖直方向上的速度大小 因铅笔移动过程逐渐增大，故橡皮在竖直方向上做加速运动，橡皮处于超重状态，故A正确，B错误； CD．橡皮在水平方向上随铅笔做匀速直线运动，合速度大小 故橡皮做速度增大的曲线运动，故CD错误。 故选A。 2．（25-26高一上·青海西宁·期末）如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦与绳子质量，当绳子与水平面夹角为时，下面说法正确的是（　　） A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为 C．物体A减速上升 D．绳子对物体A的拉力大于物体A的重力 【答案】D 【详解】AB．将小车的速度分解为沿绳子方向的速度和垂直绳子方向的速度，可知物体A的速度大小等于沿绳子方向的速度，则为，AB错误； CD．根据随着θ减小，vA增加，即物体A加速上升，加速度向上，处于超重状态，即绳子对物体A的拉力大于物体A的重力，C错误，D正确。 故选D。 3．（25-26高一上·吉林延边·期末）一杆挥去人间冷暖，一钩钓尽水中日月。从古至今，垂钓都能给人们带来悠然自得的乐趣。如图所示，某钓鱼爱好者以速度收线的过程中，鱼沿水平直线从位置被拉到位置，假设鱼在A位置时细线与水平方向夹角为，鱼的速度大小为，线与杆的结点保持不动。点与鱼之间的线始终拉直，鱼视为质点，下列说法正确的是（　　） A． B． C．若该爱好者减速收线，则鱼可能做匀速运动 D．无论该爱好者怎样收线，鱼都不可能做匀速运动 【答案】C 【详解】AB．如图所示，二者的速度关系为，故AB错误； CD．随着爱好者收线，角度变大，变小，可知若该爱好者减速收线，则鱼可能做匀速运动，故C正确，D错误。 故选C。 题型七：曲线运动综合问题 【例7】．（25-26高三上·广东·月考）一小船渡河，河宽，水流速度。若船在静水中的速度为，（，）求： (1)使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？最短时间是多少？ (2)使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？ (3)若船在静水中的速度为，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？位移是多少？ 【答案】(1)船头垂直于河岸，时间为36s (2)船头向上游偏30°，时间为 (3)要使船渡河的航程最短，船头应指向上游与河岸夹角为53°，位移是300m 【详解】（1）欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示： 合速度为倾斜方向，垂直河岸方向的分速度为船在静水中的速度，所以过河的最短时间为 （2）欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角，如图乙所示： 根据几何关系有 解得 所以 即当船头向上游偏30°时航程最短。此时过河的时间为 （3）因，若要使船航程最短，船头应指向上游与河岸成角，此时船在静水中的速度与合速度相互垂直，如下图所示： 根据几何关系有 则 故最短航程为 所需要的时间为 【举一反三】 1．（24-25高一下·安徽宿州·阶段练习）如图所示，质量为物体A和质量为的物体B，用轻绳跨过光滑定滑轮相连接，在水平力F作用下，物体B沿水平地面向右运动，物体A以速度匀速上升，已知物体B与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。当物体B运动到使绳与水平方向成α=37°时。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）求： (1)物体B的速度大小 (2)物体B所受支持力和摩擦力的大小 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）物体A、B沿绳方向的速度大小相等，有 解得 （2）物体A匀速运动，绳上张力大小 物体B在竖直方向合力为0，则 解得 故物体B所受滑动摩擦力 2．（25-26高三上·河南·月考）如图所示，A、B两个物块放在光滑的水平面上，物块B的质量为m，绕过光滑定滑轮的轻绳连接在A、B两物块上，用水平拉力拉物块A使其以速度v水平向左匀速运动，某时刻定滑轮左、右两侧的轻绳与竖直方向的夹角分别为、，此时作用在物块A上的拉力大小为F，重力加速度为g，两物块均没有离开地面，，，不计滑轮质量，求此时： (1)物块B的速度大小； (2)物块B的加速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设此时物块B的速度大小为，将物块A、B的速度分别沿轻绳方向和垂直轻绳方向分解，由于轻绳不可伸长，沿轻绳方向的分速度大小相等，则有 解得 （2）此时对A研究，设绳的拉力为T，由平衡条件有 解得 对物块B研究，根据牛顿第二定律 联立解得 3．（24-25高一下·全国·期中）两河交汇形成更宽的河流，在交汇处，由于河床底部沉积状态不同从而形成不同流速的两个区域，如图所示，河两岸间距为，平行河岸中间分成宽度相同的两个区域I、Ⅱ。I区域水速大小，Ⅱ区域水速大小，方向均平行河岸向右，如图所示。小船相对静水速度大小一直是，B点为对岸上的点，且A、B连线与河岸垂直。小船从A点开始渡河，求： (1)小船以最短时间过河所用的时间； (2)小船以最短时间过河到达对岸的位置离B的距离； (3)小船要到达对岸的B点，且所用路程最短，该情况下小船过河的最短路程。 【答案】(1)100s (2)300m (3)400m 【详解】（1）船头正对对岸过河时用时最短，过I区域有                                 过Ⅱ区域有                                    总时间 （2）则小船最后在B点下游的位置离B的距离为 （3）为了能到B点，小船在I区域应向上游方向航行到I、Ⅱ分界线位置在图中C点，在Ⅱ区域时，由于，当船头方向与合速度垂直时位移有最小值，设对应船速度方向与上游夹角为，合速度与岸夹角为，轨迹从C到B，在I水域，，船合速度可以指向任一方向，若轨迹从A指向C时，过河路程最小，且刚好到对岸B位置，设与岸夹角为，CB连线与中线夹角为 由几何关系有                    在I水域，合速度指向C，C在AB连线对称轴上，过河路程为                    【专题强化】 一、单选题 1．（2025高一下·全国·专题练习）小船在静水中的航速为5m/s，水流速度为3m/s，河宽为60m。当小船船头垂直河岸渡河时，下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的最短时间为12s B．小船渡河的位移大小为60m C．小船会到达正对岸 D．小船在河水中的合速度大小为8m/s 【答案】A 【详解】A．小船渡河的最短时间为，故A正确； B．渡河时水流方向位移为，总位移，故B错误； C．船头垂直河岸时，水流未被抵消，小船无法到达正对岸，故C错误； D．合速度大小为，故D错误。 故选A。 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，有一条宽为100m的河道，一小船从岸边的某点渡河，渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直。已知小船在静水中的速度大小为4m/s，水流速度大小为3m/s。下列说法正确的是（　　） A．小船渡河过程中的位移大小为100m B．小船渡河的时间是25s C．小船在河水中航行的轨迹是曲线 D．小船在河水中的速度是7m/s 【答案】B 【详解】ABD．根据分运动和合运动的等时性，小船渡河的时间为 小船在河水中的速度为 小船渡河过程中的位移大小为 故AD错误，B正确； C．两个不在同一条直线上的匀速直线运动的合运动为匀速直线运动，故C错误。 故选B。 3．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）端午赛龙舟是中华民族的传统，某龙舟在赛龙舟比赛中要渡过80m宽两岸平直的河，该龙舟在静水中划行的速率为8m/s，河水的流速为10m/s，下列说法中正确的是（　　） A．该龙舟渡河所用时间最少为12s B．该龙舟可能沿垂直河岸的航线抵达对岸 C．该龙舟以最短位移渡河通过的位移为100m D．该龙舟渡河时船头垂直河岸，若水速突然变大，则渡河时间会变长 【答案】C 【详解】A．当龙舟的船头始终垂直于河岸时，此时渡河所用时间最小，有 解得，故A项错误； B．该龙舟在静水中的速度为8m/s，水速为10m/s，所以船的速度小于水速，龙舟无法沿垂直河岸的航线抵达对岸，故B项错误； C．结合之前的分析，设龙舟船头与河岸上游成角时，最短位移过河，有， 解得，故C项正确； D．当龙舟的船头垂直于河岸时，由之前分析可知，渡河时间仅取决于船速的垂直分量，与水速无关，所以渡河时间不变，故D项错误。 故选C。 4．（25-26高一上·云南楚雄·月考）一小船（可视为质点）渡河，河宽90m，河水的流速与船离河岸的距离d变化的关系如图所示，船在静水中的速度，若要使船以最短的时间渡河，则（　　） A．船在行驶过程中，合速度方向与河岸垂直 B．船运动的轨迹是直线 C．船渡河的最短时间是18s D．船在河水中的最大速度是5m/s 【答案】D 【详解】A．若要使船以最短的时间渡河，则船头始终与河岸垂直，合速度方向与河岸不垂直，故A错误； B．由于水流速度变化，船头始终与河岸垂直，所以合速度方向变化，运动的轨迹不可能是直线，故B错误； C．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即，故C错误； D．由题图可知船在河水中的最大速度为，故D正确。 故选D。 5．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，用一沿水平面运动的小车通过轻绳提升一滑块，滑块沿竖直杆上升，某一时刻，小车的速度大小，拴在小车上的绳子与水平方向的夹角，拴在滑块上的绳子与竖直方向的夹角。则此时滑块竖直上升的速度大小为（　　） A． B．12m/s C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，设此时滑块竖直上升的速度大小为，由于小车和滑块沿绳方向的速度大小相等，则有 解得 故选A。 6．（25-26高一上·吉林·期末）如图为自行车转弯时的俯视图，虚线表示自行车前、后两轮转弯时的轨迹，后轮所在平面与车身共面，前轮所在平面与车身夹角，此时轮轴B的速度大小。则轮轴A的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将轮A的速度分解为沿后轮B方向的速度和与后轮B速度垂直的速度，则 解得 故选D。 7．（25-26高一上·吉林·期末）如图所示，水平面上的小车向左运动，系在车后的轻绳绕过定滑轮，拉着质量为的物体上升。若小车以的速度做匀速直线运动，当车后的绳与水平方向的夹角为时，物体的速度为，绳对物体的拉力为，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．物体做匀速运动且 B． C．绳对物体的拉力为 D．物体处于失重状态 【答案】B 【详解】AB．对小车速度进行分解，如下图 二者沿绳方向的速度分量大小相等，可知物体的速度满足，故A错误，B正确； C．根据牛顿第二定律可得 由可知小车向左移动时减小增大，加速度向上，因此，故C错误； D．由可知小车向左移动时减小增大，加速度向上，物体处于超重状态，故D错误。 故选B。 8．（25-26高一上·上海·月考）如图，轨道车A通过细钢丝跨过轮轴（不计与轮轴的摩擦）拉着特技演员B上升，便可呈现出演员B飞檐走壁的效果。轨道车A沿水平地面以大小为v=5m/s的速度向左匀速运动，某时刻连接轨道车A的钢丝与水平方向的夹角为θ=37°，轮轴右侧连接演员B的钢丝竖直，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则该时刻（　　） A．演员B的速度大小为5m/s B．演员B的速度大小为6.25m/s C．演员B处于平衡状态 D．演员B处于超重状态 【答案】D 【详解】AB．由题意，把分解在沿绳的方向上，有 代入数据求得，故AB错误； CD．根据，可知车向左匀速运动，减小，增大，则增大，人做加速运动，加速度竖直向上，处于超重状态，故C错误，D正确。 故选D。 9．（25-26高三上·青海·月考）“一杆挥去人间冷暖，一钩钓尽水中日月。”从古至今，垂钓都能给人们带来悠然自得的乐趣。如图所示，某钓鱼爱好者收线的过程中，鱼沿水平直线从位置被拉到位置，线与杆的结点保持不动。点与鱼之间的线始终拉直，鱼视为质点，下列说法正确的是（　　） A．若该爱好者匀速收线，则鱼可能做减速运动 B．若该爱好者加速收线，则鱼可能做匀速运动 C．若该爱好者减速收线，则鱼可能做加速运动 D．无论该爱好者怎样收线，鱼都不可能做匀速运动 【答案】C 【详解】A．设线与水面的夹角为，由题意可知 若不变，增大，则减小，增大，选项A错误； B．若增大，减小，则一定增大，选项B错误； CD．若减小，减小，则可能增大，可能减小，也可能不变，选项C正确、D错误。 故选C。 10．（25-26高三上·四川泸州·期中）如图所示，套在细直杆上的环A由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与B相连，在外力作用下A沿杆以速度vA匀速上升经过P、Q两点，经过P点时轻绳与竖直杆间的夹角为α，经过Q点时A与定滑轮的连线处于水平方向，轻绳始终保持伸直状态。则（　　） A．经过P点时，B的速度大小等于 B．当α=30°时，A、B的速度大小之比是1∶2 C．在A从P至Q的过程中，B受到的拉力大于重力 D．经过Q点时，B的速度方向向下 【答案】C 【详解】AB．A的速度沿轻绳方向的分速度与B的速度vB大小相等，则有 当时，A、B的速度大小之比是，AB错误； CD．当A环上升至与定滑轮的连线处于水平方向的位置Q时，B的速度vB=0，当A上升时，夹角α增大，由可知，B向下做减速运动，加速度方向向上，由牛顿第二定律可知，轻绳对B的拉力大于B的重力，C正确，D错误。 故选C。 11．（25-26高三上·河南·期中）如图所示，通过光滑的定滑轮拉着小船靠岸，拉绳的速度恒为，开始时拴接小船的绳与水平方向的夹角，经时间绳与水平方向的夹角为，已知滑轮与小船上沿的高度差为，不计定滑轮大小，，。则下列说法正确的是（　　） A．小船做匀速运动 B． C．时小船的速度大小为 D．时小船的速度大小为 【答案】C 【详解】A．将船速分解为沿绳方向和垂直绳方向，则 为绳和水平方向夹角，随着角度变大，船速变大，故A错误； B．根据几何关系，故B错误； C．时小船的速度大小为，故C正确； D．时小船的速度大小为，故D错误。 故选C。 二、多选题 12．（2025高一下·全国·专题练习）一艘小船在静水中的速度为3m/s，要渡过一条宽度为60m、水流速度为4m/s的河流。下列判断正确的是（　　） A．小船不可能垂直河岸到达正对岸 B．小船渡河的最短时间是20秒 C．小船以最短时间渡河时，其实际航线是垂直河岸的 D．小船以最短位移渡河时，所需的渡河时间是25秒 【答案】AB 【详解】A．小船在静水中的速度（3m/s）小于水流速度（4m/s），无法通过调整航向完全抵消水流的影响，因此无法垂直河岸到达正对岸，故A正确。 B．最短渡河时间由船速的横向分量决定。当船头垂直河岸时，横向速度最大为3m/s，时间，故B正确。 C．最短时间渡河时，船的实际运动是船速（3m/s横向）与水速（4m/s纵向）的合成，合速度为斜向下游的矢量，航线不垂直河岸，故C错误。 D．最短位移渡河时，船头指向与合速度方向垂直，此时合速度大小 方向与河岸的夹角为 对应的时间，故D错误。 故选AB。 13．（25-26高三上·山东聊城·期中）某小船在河宽为d，水速恒定为v的河中渡河，第一次用最短时间从渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为，所用时间为；第二次用最短航程从同一渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为，所用时间为，结果两次恰好抵达对岸的同一地点，则（　　） A．第一次所用时间 B．第二次所用时间 C．两次渡河的位移之比为 D．两次渡河所用时间之比 【答案】CD 【详解】ABD．两次渡河的示意图分别如图甲，乙所示 第一次渡河所用时间最短，则有 第一次渡河时有 第二次渡河时有 所以 第二次渡河时间为 则两次渡河所用时间之比，故AB错误，D正确； C．两次渡河的初位置和末位置都相同，因此两次渡河的位移之比为，故C正确。 故选CD。 14．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）如图，小船从河岸处点出发渡河。若河宽为，河水流速，方向平行于河岸指向河的下游，船在静水中速度，船头方向与河岸垂直，船视为质点，则下列说法正确的是（　　） A．小船从A点出发经过到达对岸 B．小船到达对岸的位置在河正对岸下游处 C．若河水流速变慢，小船从点到对岸的时间可能小于 D．若小船行驶到河中央时水流变快，小船的实际速度方向会改变 【答案】BD 【详解】ABC．小船过河时间由垂直河岸的速度和河宽决定，与水流速度无关，所以小船过河时间为 小船到达对岸的位置在河正对岸下游，故AC错误，B正确； D．小船的合速度是相互垂直的船速和水速的合成，则小船行驶到河中央时水流变快，即水速变大，小船合速度的大小和方向都会变，故D正确。 故选BD。 15．（24-25高一下·广东·月考）端午赛龙舟是中华民族的传统。已知河宽，龙舟在静水中划行的速率为，河水的流速，下列说法正确的是（　　） A．当龙舟的舟头由点指向点时，龙舟可以从点沿直线到达点 B．该龙舟渡河所用时间最少为 C．该龙舟以最短距离渡河通过的位移为 D．该龙舟从点开始运动，不可能沿垂直河岸的航线抵达对岸点 【答案】BC 【详解】A．当龙舟的舟头由点指向点时，因船还参与沿水流方向的速度，则龙舟不会从点沿直线到达点，A错误； B．当龙舟的舟头指向正对岸时过河时间最短，则该龙舟渡河所用时间最少为，B正确； CD．因龙舟的静水速度大于河水的流速，可知龙舟可垂直河岸过河，即该龙舟以最短距离渡河通过的位移为，该龙舟从点开始运动，可能沿垂直河岸的航线抵达对岸点，C正确，D错误。 故选BC。 16．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为的物块B相连，B与斜面光滑接触。轻绳另一端跨过滑轮与质量为的物块A连接。A在外力作用下沿竖直杆以速度向下匀速运动，物块B始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为时，物块B的速度大小为，斜面倾角为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．B物体沿斜面向上做减速运动 B．轻绳拉力一定大于 C． D．斜面受到地面水平向左的摩擦力 【答案】BD 【详解】AC．根据绳的牵引速度关系有 解得 A在外力作用下沿竖直杆以恒定速度向下匀速运动，在此过程中逐渐减小，则增大，B物体沿斜面向上做加速运动，故AC错误； B．根据上述可知B物体沿斜面向上做加速运动，即加速度方向沿斜面向上，对B受力分析可知轻绳拉力一定大于，故B正确； D．B对光滑斜面有斜向右下方的压力，斜面在该压力作用下有向右运动的趋势，则斜面受到地面水平向左的摩擦力，故D正确。 故选BD。 17．（24-25高一下·福建漳州·期末）2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，展现出别样的东方美，寓意鱼跃龙门好运连连，如图甲所示。图乙为简化示意图，工作人员A沿水平地面向左运动拉绳时，表演者B在空中升起，绳与水平方向之间的夹角为，则（　　） A．A匀速运动时，B加速上升 B．A匀速运动时，B也匀速上升 C．当时，A与B的速度大小之比为 D．当时，A与B的速度大小之比为 【答案】AD 【详解】AB．由运动的合成和分解可得 A匀速向左运动过程中θ变小，vB增大，因此A匀速运动时，B加速上升，选项A正确，B错误； CD．根据 可得 可知当时，A与B的速度大小之比为，选项D正确，C错误。 故选AD。 18．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两球的速度大小之比为 B．甲、乙两球的速度大小之比为 C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D．甲球即将落地时，乙球的速度为0 【答案】BD 【详解】AB．设轻杆与竖直方向的夹角为，则有， 将、分别沿杆和垂直于杆的方向进行分解，则有 解得，故A错误，B正确； CD．当甲球即将落地时，即，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。 故选BD。 19．（24-25高一下·陕西渭南·期中）影视作品中的武林高手展示轻功时都是吊威亚（钢丝）的。如图所示，轨道车A通过细钢丝跨过轮轴拉着特技演员B上升，便可呈现出演员B飞檐走壁的效果。轨道车A沿水平地面以速度大小向左匀速前进，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为，连接特技演员B的钢丝竖直，取，，则该时刻（　　） A．特技演员B速度大小为 B．特技演员B速度大小为 C．特技演员B处于超重状态 D．轨道车A处于失重状态 【答案】AC 【详解】D．轨道车A沿水平地面以速度大小向左匀速前进，所以道车A处于平衡状态，故D错误； C．设连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为，将车速沿着细钢丝方向和垂直于细钢丝方向分解，可知沿着细钢丝方向的速度与特技演员B的速度大小相等，则有 其中车速不变，逐渐减小，逐渐增大，则逐渐增大，即特技演员B有竖直向上的加速度，处于超重状态，故C正确； AB．当时，则特技演员B的速度大小为 故A正确，B错误。 故选AC 三、解答题 20．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，一辆小汽车从点由静止开始以加速度水平向左做匀加速直线运动，运动到点时小汽车的速度为，此时绳子与水平面的夹角为，绳的长度为。已知绳子另一端所系重物的质量为，忽略滑轮和绳子的质量及摩擦。求： (1)重物此时的速度。 (2)绳子此时受到的拉力。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）将小汽车的速度分解为沿绳方向的分速度 垂直于绳方向的分速度 则重物的速度为 （2）小汽车垂直于绳方向的转动速度的大小变化，会产生垂直于绳方向（即垂直于半径方向）的切向加速度 而转动速度方向的变化，会产生沿绳方向（即沿半径方向）、指向滑轮的向心加速度 另外，小汽车沿绳方向的分速度的大小变化产生的加速度（方向沿斜绳向沿竖直绳向上）的大小相等，这是因为它们沿绳方向的速度大小时刻相等。可见，将小汽车的加速度分解为垂直于斜绳方向和沿斜绳方向的分量和，根据以上对小汽车和重物运动关系的深度分析可知，是由于车沿斜绳方向的分速度（等于重物的速度）的大小变化产生的加速度（大小等于重物的加速度，方向沿斜绳向下）和绕滑轮转动产生的沿斜绳指向滑轮的向心加速度的矢量和 即 则有 由牛顿第二定律可得 联立解得绳子拉力 21．（24-25高一下·山东·阶段练习）如图所示，一不可伸长的轻绳跨过定滑轮分别连接木板A和小物块B（可看作质点），A的长度为，在水平地面上向右做速度大小为的匀速直线运动，B的下方悬有一水滴，与B一起在距离地面高处的水平光滑轨道上向左运动。当轻绳与水平方向夹角时，脱落，恰好落在A的右端。已知，滑轮可看作质点，不计A的厚度，不计空气阻力，取重力加速度大小，。求 (1)脱落时，B的速度大小； (2)轻绳的长度； (3)若使落在A上，A的速度应满足什么条件？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）木板A的速度大小等于小物块B沿轻绳方向的分速度 解得 （2）由几何知：P脱落瞬间B所在位置到滑轮间的轻绳距离 P脱落后做平抛运动，竖直方向有 水平方向有 A做匀速直线运动，有 P脱落瞬间滑轮到A左端距离为，则 则轻绳的长度 解得 （3）当P落在A右端时，速度最小，即 当P落在A左端时，速度最大，有， 解得 则A的速度满足 22．（23-24高一下·陕西西安·期中）小船要渡过一条240m宽的河，水流速度为3m/s，船在静水中的航速是6m/s，河流看成由左向右流动，船由南向北渡河，结算结果保留根号。 （1）当小船以最短位移渡河，试计算： ①：小船最短的位移是多少？ ②：小船的沿着南北方向的速度是多少？ ③：船头和水平方向夹角是多少度？ ④：小船此时的渡河时间； （2）如果水流速度变为12m/s； ①：小船能否达到对岸的正对面？______。 ②：此时小船最短渡河的位移是多少？ ③：此时小船的船头和水平方向夹角是多少度？ ④：此时以最短位移渡河，渡河时间是多少？ 【答案】（1）①：240m；②：；③：60°；④：；（2）①：否；②：480m，240米；③：60°；④： 【详解】（1）当小船以最短位移渡河时，由于船的静水速度大于水流速度，则当船静水速度沿水流相反方向分速度与水流速度相等时，船可到达河正对岸，此时位移最小为河流宽度 d=240m① 此时小船的沿着南北方向的速度为 ② 船头和水平方向夹角的正弦值为 可得 ③ 此时渡河时间为 ④ （2）①如果水流速度变为12m/s，由于水流速度大于船的静水速度，则船无法达到河岸正对面； ②③④当合速度v合的方向垂直于v船时，位移最小，如图 可得 可得 则有 则最小位移为 渡河时间为 23．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）小明驾驶着小船从A点出发，欲将一批货物运送到对岸。已知河宽d=200m，水流速度为v1=2m/s，船在静水中的速度为v2=4m/s，cos53°=。 （1）若小船在河中垂直于河岸航行，小船将在何时到达对岸？ （2）要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多久？ （3）若水流速度是5m/s，船在静水中的速度是3m/s，怎样过河才能使船沿河岸方向航行的距离最小？该最小距离是多少？ 【答案】（1）；（2）船的航向偏向河流上游与河岸成角，；（3）船头偏向上游与河岸成角，267m 【详解】（1）小船的实际运动是小船在静水中的运动与船随水漂流运动的合运动，由于分运动与合运动具有等时性，因此小船渡河时间等于垂直河岸方向运动的时间，即 （2）要使小船到达正对岸，船的合速度v应垂直于河岸，如图所示 则 故，即船的航向与河岸成角，偏向河流上游。过河时间 （3）因为，船不可能垂直河岸横渡，无论船头方向如何调整，总被水流冲向下游。如图所示 设船头与河岸成角，合速度与河岸成角，可以看出角越大，船沿河岸方向航行的距离x越小，以的矢量末端为圆心，以的大小为半径画圆弧，当合速度与圆相切时，角最大，可得 船头与河岸的夹角，船做直线运动，满足 代入数据解得 即船头与河岸成角，船偏向上游时，沿河岸方向航行的距离最小，为267m。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化01：小船渡河、关联速度问题 【考点归纳】 【技巧归纳】 一：“关联”速度问题的处理 首先明确物体的实际速度为合速度，将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。 二：小船渡河问题 渡河时间最短和航程最短两类问题： 1． 关于最短时间，可根据运动等时性原理由船对静水的分运动时间来求解，由于河宽一定，当船对静水速度v1垂直河岸时，如图所示，垂直河岸方向的分速度最大，所以必有tmin＝. 2．关于最短航程，一般考察水流速度v2小于船对静水速度v1的情况较多，此种情况船的最短航程就等于河宽d，此时船头指向应与上游河岸成θ角，如图所示，且cos θ＝；若v2＞v1，则最短航程s＝d，此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝. 技巧规律总结： 1．船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2．三种速度：v1（船在静水中的速度）、v2（水流速度）、v（船的实际速度）。 3．三种情景 （1）过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，（d为河宽）。 （2）过河路径最短（v2<v1时）：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短=d。船头指向上游与河岸夹角为α，。 （3）过河路径最短（v2>v1时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。由图可知：，最短航程：。 【题型归纳】 题型一：过河最短问题 【例1】．（25-26高一上·黑龙江·期末）如图所示是某救援船水上渡河演练的示意图，假设船头始终垂直河岸，船的速度大小恒定，虚线ABC是救援船渡河的轨迹，其中点是出发点，点位于点的正对岸，AB段是直线，BC段是曲线。下列说法正确的是（　　） A．此时救援船渡河时间最长 B．此时救援船渡河位移最短 C．AB段中水流速度不变 D．BC段中水流速度不断增大 【举一反三】 1．（25-26高一上·吉林白山·期末）如图所示是小船过河的情景，已知水流速度恒定，下列说法正确的是（　　） A．要想位移最短，船头应该朝向1的方向 B．要想时间最短，船头应该朝向图中1的方向 C．若船头朝向2，不可能在A点靠岸 D．要想到达B点，船头应该朝向图中3的方向 2．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）一条汽艇过河救援，河水流速，船在静水中速度，汽艇过河过程中船头方向始终与河岸垂直，下列说法正确的是（　　） A．汽艇渡河所用时间最短 B．汽艇的实际运动轨迹与河岸垂直 C．汽艇在河水中的合速度大小是 D．汽艇渡河位移最短 3．（25-26高一上·江苏南京·月考）小船从同一地点三次渡河，河中水流速度各处相同，改变小船在静水中的速度分别为v1、v2、v3，方向如图所示，三次渡河过程中船头均指向上游，运动轨迹垂直于河岸，下列说法正确的是（　　） A．小船三次渡河中合速度v3时最大 B．三次渡河中小船的合速度大小相同 C．小船在静水中的速度为v1时渡河所用的时间最短 D．小船在静水中的速度小于水流速度时也能达到正对岸 题型二：船速大于水速 【例2】．（24-25高一上·广东广州·期末）如图所示，某小船船头垂直河岸渡河，已知该段河宽300m，河水流速，船在静水中的速度，下列说法正确的是（　　） A．小船做曲线运动 B．小船渡河所用时间为100s C．为使小船渡河位移最小，船头应偏向上游，小船与河岸的夹角的余弦值为0.6 D．不管河水速度多大，小船的最小渡河位移均为300m 【举一反三】 1．（24-25高一下·福建泉州·月考）如图所示，小船以大小为（以水为参考系）、方向与上游河岸成角的速度从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处。已知河中各处水流速度相同，河宽。若取0.8，取0.6，则下列说法中正确的是（　　） A．小船渡河时间为 B．河中水流速度大小为 C．河中水流速度大小为 D．以河岸为参考系，小船的速度大小为 2．（24-25高一下·甘肃张掖·阶段练习）在某次洪灾中，由于河水突然猛涨，救援部队快速响应，利用救援艇成功救出被困对岸的群众。假定该河宽180m，河水流速2.5m/s，救援艇在静水中的速度为5m/s，下列说法正确的是（　　） A．救援艇最短渡河时间为36s B．救援艇以最短位移渡河时，船头与上游河岸夹角为30° C．救援艇船头垂直河岸时，到达对岸的位置位于出发点正对岸下游的640m D．救援艇无论如何都无法垂直河岸前行 3．（24-25高一下·福建·期中）如图所示，河的宽度为，河水流速为，甲、乙两船均以在静水中的速度同时渡河，出发时两船相距，甲、乙两船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的点，则下列判断正确的是（　　） A．甲船在点右侧靠岸 B．甲船也能在点靠岸 C．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇 D．甲、乙两船到达对岸的时间相等 题型三：船速小于水速 【例3】．（24-25高一下·安徽·期中）2025年4月3日，“我要上全运”第十五届全国运动会龙舟项目安徽省选拔赛在省水上运动中心举办。如图所示某船在静水中划行的速率为，要渡过30m宽的河，河水的流速为，下列说法中正确的是（　　） A．该船渡河的最小速率是 B．该船渡河所用时间最短为10s C．该船渡河所用时间最短为6s D．该船可能沿垂直河岸的航线抵达正对岸 【举一反三】 1．（24-25高一下·山西吕梁·期末）在某次洪灾中，由于河水突然猛涨，救援部队快速响应，利用救援艇成功救出被困对岸的群众。假定该河流两岸平行且宽度为，某段时间河水流速恒为，救援艇在静水中的速率恒定，救援艇以最短位移渡河时，发生的位移大小为100m，，，下列说法正确的是（　　） A．救援艇在静水中的速率 B．救援艇以最短位移渡河时，船头与上游河岸夹角为 C．救援艇最短渡河时间为15s D．救援艇船头垂直河岸时，到达对岸的位置位于出发点正对岸下游的60m处 2．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）某船在静水中划行的速率为6m/s，河水的流速为10m/s，要渡过60m宽的河，下列说法正确的是（　　） A．该船渡河所用的时间至少为6s B．该船用最短时间渡河时所通过的位移大小为80m C．该船渡河所通过的位移大小至少为100m D．该船以最短位移渡河时所用的时间为11s 3．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）小船在静水中的速度为3m/s，小船在一条河宽300m，水流速度为5m/s的河流中渡河，下列说法正确的是（　　） A．小船渡河最短时间为75s B．小船以最短位移渡河时，时间为125s C．小船以最短时间渡河时，位移大小为500m D．小船以最短位移渡河时，位移大小为400m 题型四：小船渡河的迁移问题 【例4】．（24-25高一下·安徽宣城·期末）某人划船让小船船头始终垂直河岸渡河，河的两岸平行，河宽为150m，船在静水中的速度保持不变。河中各点的水流速度大小与到较近河岸的距离d成正比，其比例系数。则下列说法中正确的是（　　） A．小船渡河的时间是75s B．小船运动的轨迹是直线 C．小船渡河的过程中最大速度是2.5m/s D．小船渡河的过程中，行驶的位移为250m 【举一反三】 1．（24-25高一下·云南红河·阶段练习）如图所示，河水由西向东流，河宽为，假定河中各点的水流速度大小与各点到较近河岸的距离的关系为（的单位为），某一可视为质点的小船船头始终垂直对岸划行，由南岸向北岸渡河，已知小船在静水中的速度为，则下列说法正确的是（　　） A．小船过河的轨迹为直线 B．小船渡河的最大速度是 C．小船渡河的时间是 D．小船在距南岸处的速度小于在距北岸处的速度 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 3．（24-25高一下·宁夏银川·期中）2024年第十二届全国民族运动会中，宁夏代表团获得20个奖项（3个一等奖、5个二等奖、12个三等奖）。如图所示，民族运动会上有一个骑射项目表演，运动员骑在奔驰的马背上沿着水平直跑道运动拉弓放箭射向他左侧的固定靶。假设运动员骑马奔驰的速度为，运动员静止时射出的箭速度为，跑道到固定靶的最近距离。若不计空气阻力和箭所受重力的影响，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则（    ） A．运动员骑马奔驰时应该瞄准靶心放箭 B．运动员应该在距离A点的地方放箭 C．箭射到靶的最短时间为 D．箭射到靶的最短时间为 题型五：杆链接物体“关联”速度问题 【例5】．（25-26高三上·河北衡水·月考）直角侧移门（如图甲所示）可以解决小户型浴室开关门不方便的问题，其结构可简化成如图乙（俯视图）所示，玻璃门的两端滑轮A、B通过一根可自由转动的轻杆连接，滑轮可沿直角导轨自由滑动，滑轮可视为质点。在某次关门的过程中，当玻璃门与右侧玻璃墙的夹角为60°时，滑轮A的速度大小为v，则滑轮B的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）如图甲是家用的人字梯，结构简图如图乙所示，该人字梯由两个完全相同的梯子AM和AN通过顶端的铰链连接而成。现需要将梯子收拢起来，底端M、N两点均以相等的速率贴着地面向中间匀速滑动过程中，顶端向上移动的速率（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 2．（24-25高一下·安徽·期中）如图所示，一轻杆底端栓接在地面，可绕着地面上的O点自由转动，顶端的A点靠在木箱的侧壁。现向右以速度v匀速挪走木箱，某时刻杆与水平地面夹角为，此时A点的速度大小和方向为（　　） A．，方向垂直于OA向下 B．，方向垂直于OA向下 C．，方向竖直向下 D．，方向竖直向下 3．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图所示，斜劈B的倾角为37°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，A落地前速度大小为vA，则此时B的速度大小为（　　） A．vA B．vA C．vA D．vA 题型六：绳连接关联速度问题 【例6】．（25-26高一上·辽宁本溪·期末）如图甲所示为某电影公司拍摄武打片时演员吊威亚（钢丝）的场景，可以简化为如图乙所示，轨道车通过细钢丝跨过滑轮拉着演员竖直上升，便可呈现出演员飞檐走壁的效果。某次拍摄时轨道车沿水平地面以的速度向左匀速运动，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角，已知，，则下列说法正确的是（　　） A．演员正匀速上升 B．该时刻演员处于失重状态 C．该时刻演员的速度大小为 D．该时刻演员的速度大小为 【举一反三】 1．（25-26高一上·黑龙江·期末）如图所示，一块橡皮用细线悬挂于点，现用一支铅笔贴着细线的左侧水平向右匀速移动，运动过程中保持铅笔的高度不变，悬挂橡皮的细线始终保持竖直。在铅笔碰到橡皮前，下列说法正确的是（　　） A．橡皮处于超重状态 B．橡皮处于失重状态 C．橡皮做匀速直线运动 D．橡皮做速度大小不变的曲线运动 2．（25-26高一上·青海西宁·期末）如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦与绳子质量，当绳子与水平面夹角为时，下面说法正确的是（　　） A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为 C．物体A减速上升 D．绳子对物体A的拉力大于物体A的重力 3．（25-26高一上·吉林延边·期末）一杆挥去人间冷暖，一钩钓尽水中日月。从古至今，垂钓都能给人们带来悠然自得的乐趣。如图所示，某钓鱼爱好者以速度收线的过程中，鱼沿水平直线从位置被拉到位置，假设鱼在A位置时细线与水平方向夹角为，鱼的速度大小为，线与杆的结点保持不动。点与鱼之间的线始终拉直，鱼视为质点，下列说法正确的是（　　） A． B． C．若该爱好者减速收线，则鱼可能做匀速运动 D．无论该爱好者怎样收线，鱼都不可能做匀速运动 题型七：曲线运动综合问题 【例7】．（25-26高三上·广东·月考）一小船渡河，河宽，水流速度。若船在静水中的速度为，（，）求： (1)使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？最短时间是多少？ (2)使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？ (3)若船在静水中的速度为，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？位移是多少？ 【举一反三】 1．（24-25高一下·安徽宿州·阶段练习）如图所示，质量为物体A和质量为的物体B，用轻绳跨过光滑定滑轮相连接，在水平力F作用下，物体B沿水平地面向右运动，物体A以速度匀速上升，已知物体B与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。当物体B运动到使绳与水平方向成α=37°时。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）求： (1)物体B的速度大小 (2)物体B所受支持力和摩擦力的大小 2．（25-26高三上·河南·月考）如图所示，A、B两个物块放在光滑的水平面上，物块B的质量为m，绕过光滑定滑轮的轻绳连接在A、B两物块上，用水平拉力拉物块A使其以速度v水平向左匀速运动，某时刻定滑轮左、右两侧的轻绳与竖直方向的夹角分别为、，此时作用在物块A上的拉力大小为F，重力加速度为g，两物块均没有离开地面，，，不计滑轮质量，求此时： (1)物块B的速度大小； (2)物块B的加速度大小。 3．（24-25高一下·全国·期中）两河交汇形成更宽的河流，在交汇处，由于河床底部沉积状态不同从而形成不同流速的两个区域，如图所示，河两岸间距为，平行河岸中间分成宽度相同的两个区域I、Ⅱ。I区域水速大小，Ⅱ区域水速大小，方向均平行河岸向右，如图所示。小船相对静水速度大小一直是，B点为对岸上的点，且A、B连线与河岸垂直。小船从A点开始渡河，求： (1)小船以最短时间过河所用的时间； (2)小船以最短时间过河到达对岸的位置离B的距离； (3)小船要到达对岸的B点，且所用路程最短，该情况下小船过河的最短路程。 【专题强化】 一、单选题 1．（2025高一下·全国·专题练习）小船在静水中的航速为5m/s，水流速度为3m/s，河宽为60m。当小船船头垂直河岸渡河时，下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的最短时间为12s B．小船渡河的位移大小为60m C．小船会到达正对岸 D．小船在河水中的合速度大小为8m/s 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，有一条宽为100m的河道，一小船从岸边的某点渡河，渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直。已知小船在静水中的速度大小为4m/s，水流速度大小为3m/s。下列说法正确的是（　　） A．小船渡河过程中的位移大小为100m B．小船渡河的时间是25s C．小船在河水中航行的轨迹是曲线 D．小船在河水中的速度是7m/s 3．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）端午赛龙舟是中华民族的传统，某龙舟在赛龙舟比赛中要渡过80m宽两岸平直的河，该龙舟在静水中划行的速率为8m/s，河水的流速为10m/s，下列说法中正确的是（　　） A．该龙舟渡河所用时间最少为12s B．该龙舟可能沿垂直河岸的航线抵达对岸 C．该龙舟以最短位移渡河通过的位移为100m D．该龙舟渡河时船头垂直河岸，若水速突然变大，则渡河时间会变长 4．（25-26高一上·云南楚雄·月考）一小船（可视为质点）渡河，河宽90m，河水的流速与船离河岸的距离d变化的关系如图所示，船在静水中的速度，若要使船以最短的时间渡河，则（　　） A．船在行驶过程中，合速度方向与河岸垂直 B．船运动的轨迹是直线 C．船渡河的最短时间是18s D．船在河水中的最大速度是5m/s 5．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，用一沿水平面运动的小车通过轻绳提升一滑块，滑块沿竖直杆上升，某一时刻，小车的速度大小，拴在小车上的绳子与水平方向的夹角，拴在滑块上的绳子与竖直方向的夹角。则此时滑块竖直上升的速度大小为（　　） A． B．12m/s C． D． 6．（25-26高一上·吉林·期末）如图为自行车转弯时的俯视图，虚线表示自行车前、后两轮转弯时的轨迹，后轮所在平面与车身共面，前轮所在平面与车身夹角，此时轮轴B的速度大小。则轮轴A的速度大小为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·吉林·期末）如图所示，水平面上的小车向左运动，系在车后的轻绳绕过定滑轮，拉着质量为的物体上升。若小车以的速度做匀速直线运动，当车后的绳与水平方向的夹角为时，物体的速度为，绳对物体的拉力为，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．物体做匀速运动且 B． C．绳对物体的拉力为 D．物体处于失重状态 8．（25-26高一上·上海·月考）如图，轨道车A通过细钢丝跨过轮轴（不计与轮轴的摩擦）拉着特技演员B上升，便可呈现出演员B飞檐走壁的效果。轨道车A沿水平地面以大小为v=5m/s的速度向左匀速运动，某时刻连接轨道车A的钢丝与水平方向的夹角为θ=37°，轮轴右侧连接演员B的钢丝竖直，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则该时刻（　　） A．演员B的速度大小为5m/s B．演员B的速度大小为6.25m/s C．演员B处于平衡状态 D．演员B处于超重状态 9．（25-26高三上·青海·月考）“一杆挥去人间冷暖，一钩钓尽水中日月。”从古至今，垂钓都能给人们带来悠然自得的乐趣。如图所示，某钓鱼爱好者收线的过程中，鱼沿水平直线从位置被拉到位置，线与杆的结点保持不动。点与鱼之间的线始终拉直，鱼视为质点，下列说法正确的是（　　） A．若该爱好者匀速收线，则鱼可能做减速运动 B．若该爱好者加速收线，则鱼可能做匀速运动 C．若该爱好者减速收线，则鱼可能做加速运动 D．无论该爱好者怎样收线，鱼都不可能做匀速运动 10．（25-26高三上·四川泸州·期中）如图所示，套在细直杆上的环A由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与B相连，在外力作用下A沿杆以速度vA匀速上升经过P、Q两点，经过P点时轻绳与竖直杆间的夹角为α，经过Q点时A与定滑轮的连线处于水平方向，轻绳始终保持伸直状态。则（　　） A．经过P点时，B的速度大小等于 B．当α=30°时，A、B的速度大小之比是1∶2 C．在A从P至Q的过程中，B受到的拉力大于重力 D．经过Q点时，B的速度方向向下 11．（25-26高三上·河南·期中）如图所示，通过光滑的定滑轮拉着小船靠岸，拉绳的速度恒为，开始时拴接小船的绳与水平方向的夹角，经时间绳与水平方向的夹角为，已知滑轮与小船上沿的高度差为，不计定滑轮大小，，。则下列说法正确的是（　　） A．小船做匀速运动 B． C．时小船的速度大小为 D．时小船的速度大小为 二、多选题 12．（2025高一下·全国·专题练习）一艘小船在静水中的速度为3m/s，要渡过一条宽度为60m、水流速度为4m/s的河流。下列判断正确的是（　　） A．小船不可能垂直河岸到达正对岸 B．小船渡河的最短时间是20秒 C．小船以最短时间渡河时，其实际航线是垂直河岸的 D．小船以最短位移渡河时，所需的渡河时间是25秒 13．（25-26高三上·山东聊城·期中）某小船在河宽为d，水速恒定为v的河中渡河，第一次用最短时间从渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为，所用时间为；第二次用最短航程从同一渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为，所用时间为，结果两次恰好抵达对岸的同一地点，则（　　） A．第一次所用时间 B．第二次所用时间 C．两次渡河的位移之比为 D．两次渡河所用时间之比 14．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）如图，小船从河岸处点出发渡河。若河宽为，河水流速，方向平行于河岸指向河的下游，船在静水中速度，船头方向与河岸垂直，船视为质点，则下列说法正确的是（　　） A．小船从A点出发经过到达对岸 B．小船到达对岸的位置在河正对岸下游处 C．若河水流速变慢，小船从点到对岸的时间可能小于 D．若小船行驶到河中央时水流变快，小船的实际速度方向会改变 15．（24-25高一下·广东·月考）端午赛龙舟是中华民族的传统。已知河宽，龙舟在静水中划行的速率为，河水的流速，下列说法正确的是（　　） A．当龙舟的舟头由点指向点时，龙舟可以从点沿直线到达点 B．该龙舟渡河所用时间最少为 C．该龙舟以最短距离渡河通过的位移为 D．该龙舟从点开始运动，不可能沿垂直河岸的航线抵达对岸点 16．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为的物块B相连，B与斜面光滑接触。轻绳另一端跨过滑轮与质量为的物块A连接。A在外力作用下沿竖直杆以速度向下匀速运动，物块B始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为时，物块B的速度大小为，斜面倾角为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．B物体沿斜面向上做减速运动 B．轻绳拉力一定大于 C． D．斜面受到地面水平向左的摩擦力 17．（24-25高一下·福建漳州·期末）2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，展现出别样的东方美，寓意鱼跃龙门好运连连，如图甲所示。图乙为简化示意图，工作人员A沿水平地面向左运动拉绳时，表演者B在空中升起，绳与水平方向之间的夹角为，则（　　） A．A匀速运动时，B加速上升 B．A匀速运动时，B也匀速上升 C．当时，A与B的速度大小之比为 D．当时，A与B的速度大小之比为 18．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两球的速度大小之比为 B．甲、乙两球的速度大小之比为 C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D．甲球即将落地时，乙球的速度为0 19．（24-25高一下·陕西渭南·期中）影视作品中的武林高手展示轻功时都是吊威亚（钢丝）的。如图所示，轨道车A通过细钢丝跨过轮轴拉着特技演员B上升，便可呈现出演员B飞檐走壁的效果。轨道车A沿水平地面以速度大小向左匀速前进，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为，连接特技演员B的钢丝竖直，取，，则该时刻（　　） A．特技演员B速度大小为 B．特技演员B速度大小为 C．特技演员B处于超重状态 D．轨道车A处于失重状态 三、解答题 20．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，一辆小汽车从点由静止开始以加速度水平向左做匀加速直线运动，运动到点时小汽车的速度为，此时绳子与水平面的夹角为，绳的长度为。已知绳子另一端所系重物的质量为，忽略滑轮和绳子的质量及摩擦。求： (1)重物此时的速度。 (2)绳子此时受到的拉力。 21．（24-25高一下·山东·阶段练习）如图所示，一不可伸长的轻绳跨过定滑轮分别连接木板A和小物块B（可看作质点），A的长度为，在水平地面上向右做速度大小为的匀速直线运动，B的下方悬有一水滴，与B一起在距离地面高处的水平光滑轨道上向左运动。当轻绳与水平方向夹角时，脱落，恰好落在A的右端。已知，滑轮可看作质点，不计A的厚度，不计空气阻力，取重力加速度大小，。求 (1)脱落时，B的速度大小； (2)轻绳的长度； (3)若使落在A上，A的速度应满足什么条件？ 22．（23-24高一下·陕西西安·期中）小船要渡过一条240m宽的河，水流速度为3m/s，船在静水中的航速是6m/s，河流看成由左向右流动，船由南向北渡河，结算结果保留根号。 （1）当小船以最短位移渡河，试计算： ①：小船最短的位移是多少？ ②：小船的沿着南北方向的速度是多少？ ③：船头和水平方向夹角是多少度？ ④：小船此时的渡河时间； （2）如果水流速度变为12m/s； ①：小船能否达到对岸的正对面？______。 ②：此时小船最短渡河的位移是多少？ ③：此时小船的船头和水平方向夹角是多少度？ ④：此时以最短位移渡河，渡河时间是多少？ 23．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）小明驾驶着小船从A点出发，欲将一批货物运送到对岸。已知河宽d=200m，水流速度为v1=2m/s，船在静水中的速度为v2=4m/s，cos53°=。 （1）若小船在河中垂直于河岸航行，小船将在何时到达对岸？ （2）要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多久？ （3）若水流速度是5m/s，船在静水中的速度是3m/s，怎样过河才能使船沿河岸方向航行的距离最小？该最小距离是多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $