1.4.1 向量分解及坐标表示 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.4.1　向量分解及坐标表示 一、必备知识基础练 1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为(　　) A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4 2.在△ABC中,,EF∥BC,EF交AC于点F,设=a,=b,则等于(　　) A.-a+b B.a-b C.a-b D.a+b 3.(2025甘肃甘南高一模拟预测)如图,在△ABC中,=2,N为线段AM上一点,且=(1-λ),则实数λ的值为(　　) A. B. C. D. 4.(多选题)设{i,j}为一组标准正交基,则关于a在基{i,j}下的坐标的说法,其中不正确的是(　　) A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y) B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2 C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y) 5.如图,A,B,C,D为平面内的四个点,,E为线段BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=　　　　　.  6.如图,C,D是△AOB的边AB的三等分点,设=e1,=e2,以{e1,e2}为基来表示=　　　 ,=　　　 .  7.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)求证:{a,b}可以作为一组基; (2)以{a,b}为基,求向量c=3e1-e2的坐标. 8.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b. (1)用a,b表示; (2)求证:B,E,F三点共线. 二、关键能力提升练 9.(多选题)若D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的有(　　) A.=a-b B.=-a+b C.=-a-b D.a+b 10.(2025甘肃甘南高一期中)已知=a,=b,=0,则=(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 11.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j组成一组基{i,j},对于平面内的一个向量a.若|a|=2,θ=45°,则向量a在基{i,j}下的坐标为　　　　　.  12.如图所示,在△ABC中,F为BC边上一点,2=a,=b. (1)用向量a,b表示; (2)若3,连接DF并延长,交AC于点E,=λ,=μ,求λ和μ的值. 三、学科素养创新练 13.如图,已知△OAB,若正实数x,y满足x+y<1,且有=x+y.证明:点P必在△OAB内部. 参考答案 1.D　因为向量e1与e2不共线, 所以解得 2.A　∵,∴=-. 又EF∥BC,∴). ∴=-)==-a+b. 3.D　因为=2,所以,故)=. 因为A,N,M三点共线,所以可设=t,则. 因为=(1-λ), 所以解得λ=. 故选D. 4.BCD　由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误. 5.　因为,即, 所以2. 又E为线段BC的中点,所以)=,所以λ=,μ=,则λ+μ=. 6.e1+e2　e1+e2　=e1+(e2-e1)=e1+e2, (e2-e1)=e1+e2. 7.(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R), 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1,e2不共线,得 所以λ不存在,故a,b不共线,即{a,b}可以作为一组基. (2)解设c=ma+nb(m,n∈R), 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以解得 故c=2a+b,即c=(2,1). 8.(1)解如图,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC, 则=a+b,(a+b),(a+b),b, (a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a). (2)证明由(1)知,,∴共线. 又有公共点B,∴B,E,F三点共线. 9.BC　因为D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b, 所以=-=-a-b,故A错误; )=-=-a+b,故B正确; =-=-a-b,故C正确; =-=-a-b,故D错误. 故选BC. 10.C　因为, 所以)=. 因为=0,所以G为△ANC的重心, 所以)==a+b.故选C. 11.()　由题意知a=(2cos 45°,2sin 45°)=(). 12.解(1)因为2, 所以2()=,即3=2, 所以a+b. (2)若=λ,=μ,则=μ=λ, 所以=λ(), =(1-λ)+λ=4(1-λ)+λμ=4(1-λ)a+λμb. 由于a+b,所以4(1-λ)=,λμ=, 解得λ=,μ=. 13.证明由题意可设x+y=t,t∈(0,1),则=1.设P'为平面内一点,且,则)=,所以点P'在直线AB上.又∈(0,1),所以点P'在线段AB上(异于端点).因为=x+y=t,t∈(0,1), 即点P在线段OP'上(异于端点), 所以点P必在△OAB内部. 5 学科网（北京）股份有限公司 $