第八章 整式乘法与因式分解（单元自测卷）七年级数学新教材沪科版

第8章 整式乘法与因式分解 单元自测卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D C D B D B C B D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 11． 12．1 13． 14．3 6 三、解答题：本题共9小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（8分） 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． 先根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算，再合并同类项，即可解答． 【详解】解：．··························8分 16．（8分）（25-26七年级下·安徽淮南·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，10 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 先运用平方差和完全平方公式计算，然后去括号、合并同类项，得到化简结果，再代入计算即可． 【详解】解：原式 ，·························4分 当时，原式．·························8分 17．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式后，运用完全平方公式进行分解即可； （2）先提公因式后，运用平方差公式进行分解即可． 【详解】（1）解：原式．·························4分 （2）解：原式．···········8分 18．（8分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘， （1）逆用幂的乘方将原式整理为，再根据指数相等求出答案； （2）逆用同底数幂相乘法则得，再提出公因式，并根据指数相等得出答案； （3）逆用幂的乘方整理，再代入计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得；·························2分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得；·························5分 （3）解：∵，， ∴， ∴．·························8分 19．（10分） 【答案】(1)8；12 (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律； （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：； 故答案为8；12；·························2分 （2）解：∵①； ②； ③； ④； …… ∴； 故答案为；·························6分 （3）解：由（2）可得： 原式．············10分 20．（10分） 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，掌握根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进行变式应用是关键． （1）由观察图可得两种方法表示出图的总面积为和，关于，的等式； （2）由题意得，，两个等式作差可求得此题结果； （3）由题意得，从而可解得此题结果； 【详解】（1）解∶用两种方法表示出图的总面积为和 ， 关于，的等式， 故答案为：， ，；·························3分 （2）根据题意，得：，， ；·························6分 （3）根据题意，得图中阴影部分的面积为 ， 当，时， 图中阴影部分的面积为 ．·························10分 21．（12分） 【答案】(1) (2)①见解析；②28 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）将配成平方差，再利用平方差公式分解因式； （2）①将配方，再利用平方的非负性确定多项式的最小值； ②将配方，再求出最大值． 【详解】（1）解： ．·························4分 （2）①， ∵， ∴， ∴的最小值为．·························8分 ②， ∵， ∴， 即的最大值为28， 故答案为：28．·························12分 22．（12分） 【答案】(1) (2)是常数9 (3)1017 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式运算法则等知识． （1）根据矩形的面积公式计算即可； （2）求出甲的周长，得出正方形的面积，运算，进行判断即可； （3）根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论． 【详解】（1）解：图中甲长方形的面积， 图中乙长方形的面积， ∴，m为正整数， ∴， ∴ ∴． 故答案为：；·························2分 （2）解：长方形甲的周长， ∵正方形的周长与长方形甲的周长， 正方形的边长为， ∴， ∴， 因此，是常数9；·························6分 （3）解：由（1）得（m为正整数，） 已知的整数有且只有个，即为2026，2027，2028，2029，2030，2031，2032，2033， ∴， ∴， 解得，．·························12分 23．（14分） 【答案】(1) (2)①的值为或；②的值为 (3) 【分析】本题主要考查几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据图3是一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据图形面积公式可得出与之间的关系； （2）①由完全平方公式可得，将代入求值即可；②首先假设，，则，且，，根据（1）中的结论可求出的值； （3）假设，，则，，，由完全平方公式可得，据此求出的值． 【详解】（1）解：观察图像，一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据面积公式， 可得, 即．·························3分 （2）解：①∵，结合，代入公式， 得， ∴的值为或；·························7分 ②假设，， 则，且，， 由（1）中， 可得， 即．·························10分 （3）解：假设，，则，，， ∵， 得， 故．·························14分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 整式乘法与因式分解 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（2024·安徽·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·月考）某科研团队用高分子制备出一种厚度只有200微米的智能变色液晶高分子薄膜．已知1微米米，则“200微米”用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·月考）老师在课堂上布置了用平方差公式分解因式的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（　　） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 6．从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·安徽淮南·月考）若的展开式中不含有的项，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 8．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 10．（25-26七年级下·云南昆明·期中）观察下列各式： ； ； ． 利用你发现的规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 11．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知，则的值为 ． 12．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）对于任意实数，定义一种新运算：，例如．若，则 ． 13．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式（的次数由大到小的排列，的次数由小到大的排列）的系数规律（两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方左右两个数之和） 根据上面的规律，的展开式为 ． 14．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）规定两正数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，根据定义可得：，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 三、解答题：本题共9小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（8分）（25-26七年级下·安徽合肥·期中）计算： 16．（8分）（25-26七年级下·安徽淮南·月考）先化简，再求值：，其中． 17．（8分）（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）因式分解： (1)； (2)． 18．（8分）（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 19．（10分）（23-24七年级下·安徽滁州·月考）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①； ②； ③； ④； … (1)计算：______；______． (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 20．（10分）（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为 的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图 的大正方形． (1)观察图，请你用两种方法表示出图的总面积． 方法∶ ； 方法∶ ； 请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式： ． (2)已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求 的值； (3)用一张型纸板和一张型纸板拼成图所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积． 21．（12分）（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）发现与探索． (1)小明的解答：． 根据小明的解答将因式分解； (2)小丽的思考：代数式，无论a取何值，都大于或等于0，再加上4，则代数式大于或等于4，即有最小值，为4． ①说明：代数式的最小值为； ②请仿照小丽的思考，直接写出代数式的最大值为______． 22．（12分）（25-26七年级下·安徽芜湖·月考）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、． (1)请判断与的大小： ； (2)若一个正方形的周长与甲的周长相等，且该正方形的面积为，试探究：与的差（即）是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由； (3)若满足条件的整数有且只有个，求的值． 23．（14分）（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：．现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． (1)在图3中，根据图中条件，猜想并验证与之间的关系：_________（用含的代数式表示出来）； 【解决问题】 (2)①若，求的值； ②当时，求的值； 【拓展提升】 (3)如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 整式乘法与因式分解 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（2024·安徽·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·月考）某科研团队用高分子制备出一种厚度只有200微米的智能变色液晶高分子薄膜．已知1微米米，则“200微米”用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 根据1微米米，将200微米转换为米，再利用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵1微米米米， ∴200微米米米米； 故选：D． 3．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式． 根据定义判断各选项． 【详解】解：A、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、该变形是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C、原式是因式分解，符合题意； D、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂相乘，合并同类项，同底数幂相除，积的乘方等幂的运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘，合并同类项，同底数幂相除，积的乘方等幂的运算逐项判断即可． 【详解】解：A、，本选项的计算错误； B、，本选项的计算错误； C、，本选项的计算错误； D、，本选项的计算正确． 故选：D 5．（25-26七年级下·安徽合肥·月考）老师在课堂上布置了用平方差公式分解因式的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（　　） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式分解因式，公式为，需检查每道题目是否符合该形式． 【详解】解：①，符合平方差公式； ②，不是平方差形式，无法用平方差公式分解； ③，符合平方差公式； ④，符合平方差公式； ∴第②道题错误， 故选：B． 6．从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴． 故选：D． 7．（25-26七年级下·安徽淮南·月考）若的展开式中不含有的项，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先展开多项式，找到项的系数并令其为零，解出a的值． 【详解】解： ， ∵展开式中不含有项， ∴， ∴． 故选：B． 8．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值． 【详解】解：， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ． 故选：C． 9．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，以及规律探索，正确掌握整式的运算法则是解题的关键，根据题干规律将左侧化简，再利用多项式相等的条件即可得到、的值，即可解题． 【详解】解：， ， ， 即有 ， ，， 则的值是， 故选：B． 10．（25-26七年级下·云南昆明·期中）观察下列各式： ； ； ． 利用你发现的规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究问题，从题意中找出规律是解题的关键． 通过观察题干中等式的规律，可得一般形式：，将所求和式视为该形式中、的情况，直接代入计算即可． 【详解】设 ， ∵ ， 令，， ∴ ， 即 ． 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 11．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，负整数指数幂，利用同底数幂相乘的法则，将原式转化为以2为底的指数形式，再根据已知条件求出指数值，最后计算负整数指数幂． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）对于任意实数，定义一种新运算：，例如．若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式的乘法和代数式的求值，根据新定义得出代数式是解决问题的关键． 由新定义得，再把代入求值即可． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴． 故答案为：1 13．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式（的次数由大到小的排列，的次数由小到大的排列）的系数规律（两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方左右两个数之和） 根据上面的规律，的展开式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 根据图形中的“杨辉三角”的数字规律得出即可求出的展开式． 【详解】解：“杨辉三角”的数字规律可知：对应行的数字（即展开式的系数）分别为1，5，10，10，5，1，每一项的次数为5， 故， 故答案为 14．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）规定两正数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，根据定义可得：，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 3 6 【分析】本题考查了实数的运算．理清题意，熟练掌握新的运算法则，同底数幂乘法法则，是解题的关键． （1）利用规定的运算法则即可求解． （2）利用规定的运算法则，逐步脱式运算，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：3； （2） ． 故答案为：6． 三、解答题：本题共9小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（8分）（25-26七年级下·安徽合肥·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． 先根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算，再合并同类项，即可解答． 【详解】解：． 16．（8分）（25-26七年级下·安徽淮南·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，10 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 先运用平方差和完全平方公式计算，然后去括号、合并同类项，得到化简结果，再代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 17．（8分）（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式后，运用完全平方公式进行分解即可； （2）先提公因式后，运用平方差公式进行分解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 18．（8分）（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘， （1）逆用幂的乘方将原式整理为，再根据指数相等求出答案； （2）逆用同底数幂相乘法则得，再提出公因式，并根据指数相等得出答案； （3）逆用幂的乘方整理，再代入计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴， ∴． 19．（10分）（23-24七年级下·安徽滁州·月考）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①； ②； ③； ④； … (1)计算：______；______． (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 【答案】(1)8；12 (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律； （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：； 故答案为8；12； （2）解：∵①； ②； ③； ④； …… ∴； 故答案为； （3）解：由（2）可得： 原式． 20．（10分）（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为 的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图 的大正方形． (1)观察图，请你用两种方法表示出图的总面积． 方法∶ ； 方法∶ ； 请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式： ． (2)已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求 的值； (3)用一张型纸板和一张型纸板拼成图所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，掌握根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进行变式应用是关键． （1）由观察图可得两种方法表示出图的总面积为和，关于，的等式； （2）由题意得，，两个等式作差可求得此题结果； （3）由题意得，从而可解得此题结果； 【详解】（1）解∶用两种方法表示出图的总面积为和 ， 关于，的等式， 故答案为：， ，； （2）根据题意，得：，， ； （3）根据题意，得图中阴影部分的面积为 ， 当，时， 图中阴影部分的面积为 ． 21．（12分）（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）发现与探索． (1)小明的解答：． 根据小明的解答将因式分解； (2)小丽的思考：代数式，无论a取何值，都大于或等于0，再加上4，则代数式大于或等于4，即有最小值，为4． ①说明：代数式的最小值为； ②请仿照小丽的思考，直接写出代数式的最大值为______． 【答案】(1) (2)①见解析；②28 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）将配成平方差，再利用平方差公式分解因式； （2）①将配方，再利用平方的非负性确定多项式的最小值； ②将配方，再求出最大值． 【详解】（1）解： ． （2）①， ∵， ∴， ∴的最小值为． ②， ∵， ∴， 即的最大值为28， 故答案为：28． 22．（12分）（25-26七年级下·安徽芜湖·月考）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、． (1)请判断与的大小： ； (2)若一个正方形的周长与甲的周长相等，且该正方形的面积为，试探究：与的差（即）是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由； (3)若满足条件的整数有且只有个，求的值． 【答案】(1) (2)是常数9 (3)1017 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式运算法则等知识． （1）根据矩形的面积公式计算即可； （2）求出甲的周长，得出正方形的面积，运算，进行判断即可； （3）根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论． 【详解】（1）解：图中甲长方形的面积， 图中乙长方形的面积， ∴，m为正整数， ∴， ∴ ∴． 故答案为：； （2）解：长方形甲的周长， ∵正方形的周长与长方形甲的周长， 正方形的边长为， ∴， ∴， 因此，是常数9； （3）解：由（1）得（m为正整数，） 已知的整数有且只有个，即为2026，2027，2028，2029，2030，2031，2032，2033， ∴， ∴， 解得，． 23．（14分）（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：．现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． (1)在图3中，根据图中条件，猜想并验证与之间的关系：_________（用含的代数式表示出来）； 【解决问题】 (2)①若，求的值； ②当时，求的值； 【拓展提升】 (3)如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 【答案】(1) (2)①的值为或；②的值为 (3) 【分析】本题主要考查几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据图3是一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据图形面积公式可得出与之间的关系； （2）①由完全平方公式可得，将代入求值即可；②首先假设，，则，且，，根据（1）中的结论可求出的值； （3）假设，，则，，，由完全平方公式可得，据此求出的值． 【详解】（1）解：观察图像，一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据面积公式， 可得, 即． （2）解：①∵，结合，代入公式， 得， ∴的值为或； ②假设，， 则，且，， 由（1）中， 可得， 即． （3）解：假设，，则，，， ∵， 得， 故，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $