2026年寒假验收卷（范围：二次根式、一元二次方程、勾股定理）八年级数学新教材沪科版

2026年寒假验收卷 范围：二次根式、一元二次方程及其应用、勾股定理及其逆定理 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（      ） A． B． C． D．且 3．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）由下列条件不能判定（、、分别为、、的对应边）为直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D． 4．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各式中，运算正确的是 （    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）据某校教务处统计，该校九年级上学期学生平均每天书面作业时长为165分钟，经两次调整后，作业时长降至85分钟．设两次调整的平均下降率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·安徽安庆·开学考试）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，则电动车车棚的长（）为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，在中，，点D在线段上，点E在线段上， ，，则线段的长为（    ） A． B． C． D．2 10．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，在等边中，为的平分线，在，上分别取点，，且，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 11．比较大小： （填“”、“=”、“”）． 12．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，求这种药品平均每次降价的百分率 ． 13．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求 ． （2）过点作于点．在点的运动过程中，当 时，能使． 三、解答题：本题共9小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（8分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）计算： (1) (2) 16．（8分）（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）解下列方程： (1)； (2)． 17．（8分）（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1． (1)图1中画出线段，要求． (2)在图2网格中面出一个腰长为且面积为5的等腰． 18．（8分）（24-25八年级下·安徽黄山·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 19．（10分）（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．设某天该衬衫每件降价元，则： (1)该衬衫的销量为 件，每件可获利 元； (2)如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利1200元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？ (3)商场销售这批衬衫能否通过降价每天盈利1500元？ 20．（10分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 21．（12分）（25-26九年级上·安徽宿州·月考）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ． ∵， ∴． ∴当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ． ∵， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是-1． (1)【直接应用】若，试求的最小值； (2)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 22．（12分）（25-26八年级上·安徽·假期作业）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 23．（14分）（23-24八年级下·安徽宿州·期末）综合与实践 【模型建立】 （1）如图1，在与中，D是边上的动点，，，，连接． ①求的最小值； ②判断，，之间的数量关系，并证明． 【模型应用】 （2）如图2，已知是等边三角形，，，求的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年寒假验收卷 范围：一元二次方程及其应用、勾股定理及其逆定理 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D A D B A B B D A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 11． 12． 13． 14． 5或11 三、解答题：本题共9小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（8分） 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了二次根式的加减，实数的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先利用二次根式的性质化简各项，再相加即可； （2）先计算算术平方根、乘方、立方根，再计算加减． 【详解】（1）原式 ·····································4分 （2）原式 ．····································8分 16．（8分） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得，；····································4分 （2）解：∵， ∴， 则， ∴， 解得，；····································8分 17．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的判定，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理可得直角边长为2和1的直角三角形斜边长为，据此作图即可 （2）根据勾股定理可得直角边长为3和1的直角三角形斜边长为，再根据面积为5作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； ····································4分 （2）解：如图所示，即为所求． ····································8分 18．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于0证明即可； （2）先用因式分解法解一元二次方程，或，由题意可知，然后解不等式即可． 【详解】（1）证明：， ， 方程总有两个实数根；····································3分 （2）解：， ， 或， 方程有一个根为非负数， ， ．····································8分 19．（10分） 【答案】(1)，； (2)衬衫的单价应降元． (3)商场销售这批衬衫不能通过降价每天盈利1500元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握根据数量关系列方程并求解是解题的关键． （1）根据单价降低与销量、每件获利的关系直接推导． （2）根据总盈利每件盈利销量列出方程，求解后结合减少库存的要求确定答案． （3）同样根据总盈利公式列出方程，通过判别式判断方程是否有实数根，从而确定能否达到相应盈利． 【详解】（1）解：因为单价每降元，多售出件，降价元， 所以销量为件； 原来每件盈利元，降价元， 所以每件可获利元， 故答案为：，；····································2分 （2）解：根据题意，， 解得，． 因为要尽快减少库存， 所以． 答：衬衫的单价应降元．····································6分 （3）解：假设能盈利元，则， 展开得， 整理得， 两边同时除以得． 判别式， 所以方程无实数根，不能每天盈利元． 所以商场销售这批衬衫不能通过降价每天盈利1500元． 答：商场销售这批衬衫不能通过降价每天盈利1500元．····································10分 20．（10分） 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则，再根据列式求解即可； （3）用绿植每平方米的造价乘以空地的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 答：这个四边形对角线的长度为；····································3分 （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 答：这块空地的面积为；····································6分 （3）解：元， 答：在这块空地上绿植美化需花费元．····································10分 21．（12分） 【答案】(1)2020 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）根据已知得出，即可求解； （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为，得出，即可求解． 【详解】（1）解：（1）． ∵，， ∴． ∴的最小值是.····································6分 （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为， 根据题意，得． ∵，∴．∴． ∴当时，有最大值，最大值是． ∴围成的菜地的最大面积是．····································12分 22．（12分） 【答案】（1）；（2）2025；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：；····································2分 （2） ．····································6分 （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴原式．··················9分 ∵ ∴原式 ．····································12分 23．（14分） 【答案】（1）①2；②，理由见解析 （2） 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得出要使最小，即最小，即时，最小．再由等腰直角三角形的性质求解即可； ②先证明，得到，，即可得出，再由勾股定理求解即可． （2）延长到点，使．先证明，得到，，从而得出，即可证得是等边三角形，得到．当时，最短，然后由等边三角形的性质与勾股定理求解． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ，． 要使最小，则最小，当时，最小． 由等腰直角三角形的性质，可得此时， ∴．····································4分 ②． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵，， ．····································8分 （2）如图，延长到点，使． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 当时，最短， 由等边三角的性质可知，． 由勾股定理得， ∴的最小值为．····································14分 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定与性质．此题是三角形综合题目，熟练掌握相关性质与判定的综合运用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年寒假验收卷 范围：一元二次方程及其应用、勾股定理及其逆定理 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键， 根据一元二次方程的定义分析各选项是否符合条件即可得到答案． 【详解】解：A：中，若，则不是二次方程，故此项错误； B：中含有两个未知数x和y，不是一元方程，故此项错误； C：含有分式，不是整式方程，故此项错误； D：可化为，是一元二次方程，此项正确； 故选：D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（      ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．二次根式被开方数必须是非负数和分式的分母不为0．根据二次根式被开方数必须是非负数和分式的分母不为0的条件，得到，求解即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， ∴ 解得：且． 故选：D． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）由下列条件不能判定（、、分别为、、的对应边）为直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D． 【答案】A 【分析】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，三角形内角和定理的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断各选项是否能判定直角三角形． 【详解】解：设，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不能判定为直角三角形， 故A符合． ∵， ∴， ∴能判定为直角三角形， 故B不符合； ∵，，， ∴，， ∴， ∴能判定为直角三角形， 故C不符合； ∵，， ∴， ∴， ∴能判定为直角三角形， 故D不符合． 故选：A． 4．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各式中，运算正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握算理是解决问题的关键．根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】A、，与不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）据某校教务处统计，该校九年级上学期学生平均每天书面作业时长为165分钟，经两次调整后，作业时长降至85分钟．设两次调整的平均下降率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解平均下降率的含义，即每次减少相同比例，是解题的关键。利用经两次调整后作业时长=九年级下学期学生平均每天书面作业时长×（1-两次调整中每次的平均下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 6．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．熟知以上知识点是正确解决本题的关键． 根据一元二次方程有实数根的条件是判别式大于或等于零列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 方程 有实数根， ∴ 判别式 ， ∴ ， ∴ ． 故 的取值范围是 ． 故选B． 8．（25-26九年级上·安徽安庆·开学考试）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，则电动车车棚的长（）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【详解】解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去 ， 故选：B． 9．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，在中，，点D在线段上，点E在线段上， ，，则线段的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】延长至点F，使，连接，可得垂直平分，从而得到，设，则，证明，可得，设，则，在中，根据勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点F，使，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， 即． 故选：D 【点睛】本题考查中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，利用方程思想进行求解，是解题的关键． 10．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，在等边中，为的平分线，在，上分别取点，，且，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质、轴对称有关的线段最值问题、勾股定理等，准确添加辅助线是解题的关键． 首先判断最小值时所对应的情况，添加辅助线后计算线段长度，结合线段长度和差计算以及勾股定理，依次计算出、、的长度，最终计算出ME的长度． 【详解】解：∵，， ∴，∴， 判断最值情况，以为对称轴作点的对称点，则，连接，故当最小时即为的长度，过点作交于点，如下图所示： ∵，， ∴，∵， ∴，结合， ∴，由勾股定理可得， ∵，，， ∴， 结合，， 由勾股定理得， 即的最小值为， 故选A． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 11．比较大小： （填“”、“=”、“”）． 【答案】 【分析】根据，结合，得到，解答即可． 本题考查了二次根式的大小比较，比较被开方数的大小是解题的关键． 【详解】解：根据，又，故， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，求这种药品平均每次降价的百分率 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据两次连续降价后的价格关系列方程求解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意，得， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 故药品每次降价的百分率是， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，得出．设分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】解：如图，设分别交、于点、点， ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：38． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求 ． （2）过点作于点．在点的运动过程中，当 时，能使． 【答案】 5或11 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知勾股定理是解题的关键． （1）先求出的长，再求出的长，最后根据勾股定理求解即可； （2）分点P在上和点P在的延长线上，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：当秒时，， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：； （2）①当点P在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使． 故答案为：5或11． 三、解答题：本题共9小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（8分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了二次根式的加减，实数的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先利用二次根式的性质化简各项，再相加即可； （2）先计算算术平方根、乘方、立方根，再计算加减． 【详解】（1）原式 ·····································4分 （2）原式 ．····································8分 16．（8分）（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得，；····································4分 （2）解：∵， ∴， 则， ∴， 解得，；····································8分 17．（8分）（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1． (1)图1中画出线段，要求． (2)在图2网格中面出一个腰长为且面积为5的等腰． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的判定，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理可得直角边长为2和1的直角三角形斜边长为，据此作图即可 （2）根据勾股定理可得直角边长为3和1的直角三角形斜边长为，再根据面积为5作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； ····································4分 （2）解：如图所示，即为所求． ····································8分 18．（8分）（24-25八年级下·安徽黄山·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于0证明即可； （2）先用因式分解法解一元二次方程，或，由题意可知，然后解不等式即可． 【详解】（1）证明：， ， 方程总有两个实数根；····································3分 （2）解：， ， 或， 方程有一个根为非负数， ， ．····································8分 19．（10分）（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．设某天该衬衫每件降价元，则： (1)该衬衫的销量为 件，每件可获利 元； (2)如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利1200元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？ (3)商场销售这批衬衫能否通过降价每天盈利1500元？ 【答案】(1)，； (2)衬衫的单价应降元． (3)商场销售这批衬衫不能通过降价每天盈利1500元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握根据数量关系列方程并求解是解题的关键． （1）根据单价降低与销量、每件获利的关系直接推导． （2）根据总盈利每件盈利销量列出方程，求解后结合减少库存的要求确定答案． （3）同样根据总盈利公式列出方程，通过判别式判断方程是否有实数根，从而确定能否达到相应盈利． 【详解】（1）解：因为单价每降元，多售出件，降价元， 所以销量为件； 原来每件盈利元，降价元， 所以每件可获利元， 故答案为：，；····································2分 （2）解：根据题意，， 解得，． 因为要尽快减少库存， 所以． 答：衬衫的单价应降元．····································6分 （3）解：假设能盈利元，则， 展开得， 整理得， 两边同时除以得． 判别式， 所以方程无实数根，不能每天盈利元． 所以商场销售这批衬衫不能通过降价每天盈利1500元． 答：商场销售这批衬衫不能通过降价每天盈利1500元．····································10分 20．（10分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则，再根据列式求解即可； （3）用绿植每平方米的造价乘以空地的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 答：这个四边形对角线的长度为；····································3分 （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 答：这块空地的面积为；····································6分 （3）解：元， 答：在这块空地上绿植美化需花费元．····································10分 21．（12分）（25-26九年级上·安徽宿州·月考）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ． ∵， ∴． ∴当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ． ∵， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是-1． (1)【直接应用】若，试求的最小值； (2)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)2020 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）根据已知得出，即可求解； （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为，得出，即可求解． 【详解】（1）解：（1）． ∵，， ∴． ∴的最小值是.····································6分 （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为， 根据题意，得． ∵，∴．∴． ∴当时，有最大值，最大值是． ∴围成的菜地的最大面积是．····································12分 22．（12分）（25-26八年级上·安徽·假期作业）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1）；（2）2025；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：；····································2分 （2） ．····································6分 （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴原式．··················9分 ∵ ∴原式 ．····································12分 23．（14分）（23-24八年级下·安徽宿州·期末）综合与实践 【模型建立】 （1）如图1，在与中，D是边上的动点，，，，连接． ①求的最小值； ②判断，，之间的数量关系，并证明． 【模型应用】 （2）如图2，已知是等边三角形，，，求的最小值． 【答案】（1）①2；②，理由见解析 （2） 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得出要使最小，即最小，即时，最小．再由等腰直角三角形的性质求解即可； ②先证明，得到，，即可得出，再由勾股定理求解即可． （2）延长到点，使．先证明，得到，，从而得出，即可证得是等边三角形，得到．当时，最短，然后由等边三角形的性质与勾股定理求解． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ，． 要使最小，则最小，当时，最小． 由等腰直角三角形的性质，可得此时， ∴．····································4分 ②． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵，， ．····································8分 （2）如图，延长到点，使． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 当时，最短， 由等边三角的性质可知，． 由勾股定理得， ∴的最小值为．····································14分 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定与性质．此题是三角形综合题目，熟练掌握相关性质与判定的综合运用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $