第五章 一元一次方程（课件）2025--2026学年华东师大版七年级数学下册

华东师大版数学7年级下册培优精做教学课件 章末复习 第五章 一元一次方程 授课教师： Home . 班 级： 七年级（*）班 . 时 间： . 2026年1月27日 2026年1月27日星期二10时9分58秒 2026年1月27日星期二10时9分59秒 知识结构 实际问题 一元一次方程 解一元一次方程 一元一次方程的解 数量关系 方程变形 分析 抽象 等量关系 设元 运算 解释 检验 要点回顾 相关概念: 含有________的等式叫做方程； 只含有_____个未知数、左右两边的式子都是_____，并且含未知数的项的次数都是_____的方程叫做一元一次方程； 使方程中等号左右两边的值_____的未知数的值叫做方程的解. 未知数 1 整式 1 相等 求方程的解的过程叫做________； 解方程 等式的基本性质： 性质1：等式两边都加上(或都减去)同一个数或 同一个整式，所得结果___________； 性质2：等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数 不能为0) ，所得结果___________. 如果 a =b，那么a + c= b+ c，a-c=b-c . 如果 a =b，那么ac= bc， = (c≠0) . 仍是等式 仍是等式 解一元一次方程的步骤: 步骤 根据 注意事项 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 方程的变形规则2 分配律、去括号法则 方程的变形规则1 合并同类项法则 方程的变形规则2 ①不漏乘；②注意给分子添括号. ①不漏乘；②括号前面是“-”号，括号内各项要变号. 移项要变号 系数相加，不漏项 不要忘记未知数系数的符号 解决一元一次方程的实际问题: 实际问题 列方程 解答 设未知数 找等量关系 求解 检验 一般步骤： 审 设 列 解 验 答 1.解下列方程: A组 （1） x-1= x+3 ； （2）5(x-5)+2(x-12) = 0； 【选自教材P26 复习题 第1题】 解:（1）移项，得 x- x= 3+1. 合并同类项，得 x= 4. 将未知数的系数化为 1 ，得 x= 24 . 随堂练习 1.解下列方程: A组 （1） x-1= x+3 ； （2）5(x-5)+2(x-12) = 0； 【选自教材P26 复习题 第1题】 （2）去括号，得 5x-25+2x-24 = 0. 移项，得 5x+2x= 25+24 . 合并同类项，得 7x= 49 . 将未知数的系数化为 1 ，得 x= 7 . 随堂练习 （3）4x+3=2(x-1) +1； （4）y+ = ； 1.解下列方程: A组 【选自教材P26 复习题 第1题】 （3）去括号，得 4x+3=2x-2 +1 . 移项，得 4x-2x = -2 +1-3 . 合并同类项，得 2x = -4 . 将未知数的系数化为 1 ，得 x = -2 . 随堂练习 （3）4x+3=2(x-1) +1； （4）y+ = ； 1.解下列方程: A组 【选自教材P26 复习题 第1题】 （4）去分母，得 6y+3 = 2(2-y) . 去括号，得 6y+3 = 4-2y . 移项，得 6y+2y = 4-3 . 合并同类项，得 8y = 1 . 将未知数的系数化为 1 ，得 y = . 随堂练习 （6） - = 1 . 1.解下列方程: A组 （5） (3x+7) = 2- x； 【选自教材P26 复习题 第1题】 （5）去括号，得 x +2 = 2- x . 移项，得 x + x = 2-2 . 合并同类项，得 x = 0 . 将未知数的系数化为 1 ，得 x = 0 . 随堂练习 （6） - = 1 . 1.解下列方程: A组 （5） (3x+7) = 2- x； 【选自教材P26 复习题 第1题】 （6）去分母，得 4(2x+5)-3(3x-2) = 24. 去括号，得 8x+20-9x + 6 = 24 . 移项，得 8x -9x = 24-20-6 . 合并同类项，得 - x = -2 . 将未知数的系数化为 1，得 x = 2 . 随堂练习 2. （1）x 取何值时，代数式 4x-5 与 3x-6 的值互为相反数? （2）k 取何值时，代数式 的值比 的值小 1? 【选自教材P26 复习题 第2题】 解:（1）由题意，得(4x-5)+(3x-6)=0 ， 解得 x = . 所以 x 取 时，代数式 4x-5 与 3x-6 的值互为相反数. （2）由题意，得 -=1， 解得 k= . 所以 k 取 时，代数式 值比 的值小 1 . 随堂练习 3.课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组 8 人，后来重新编组，每组 12 人，这样就比原来减少 2 组. 问：这些学生共有多少人? 【选自教材P26 复习题 第3题】 解:设这些学生共有 x 人， 根据题意，得 - = 2 ， 解得 x = 48 . 经检验，符合题意. 答:这些学生共有 48 人. 随堂练习 4.一种药品现在售价为每盒 56.10元，比原来降低了 15%. 问：原售价为多少元? 【选自教材P26 复习题 第4题】 解:设原售价为x 元， 根据题意，得x (1-15%) = 56.10， 解得 x = 66.00. 经检验，符合题意. 答:原售价为 66.00 元. 随堂练习 5.用一根直径为 12 cm的圆柱形铅柱，铸造 10 只直径为 12 cm的铅球. 问：应截取多长的铅柱?(球的体积公式为V= πR3) 【选自教材P26 复习题 第5题】 解:设应截取 x cm 长的铅柱， 根据题意，得 π×()2 ·x = 10×π×()3， 解得 x = 80. 经检验，符合题意. 答:应截取 80 cm 长的铅柱. 随堂练习 6.一个三位数，百位数字比十位数字大 1，个位数字比十位数字的 3 倍少 2 .若将三个数字的顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是1171.求这个三位数. 【选自教材P26 复习题 第6题】 解:设这个三位数的十位数字为 x，则百位数字为 x+1，个位数字为3x-2. 根据题意，得100(x+1)+10x+(3x-2)+100(3x-2)+10x+(x+1)=1171， 解得 x = 3 . 经检验，符合题意. 则这个三位数的百位数字为 x+1=4，个位数字为3x-2=7 . 所以这个三位数为 4×100+3×10+7×1=437. 随堂练习 7.七年级 3 个班为希望小学捐赠图书.七(1)班捐了152 册，七(2)班捐书数是 3 个班捐书数的平均数，七(3)班捐书数是 3 个班捐书总数的 40% .3 个班共捐了多少册? 【选自教材P26 复习题 第7题】 解：设 3 个班共捐了x 册， 根据题意，得 152++40%x = x， 解得 x = 570. 经检验，符合题意. 答:3 个班共捐了 570 册. 随堂练习 8.解下列方程: B组 （1） [2(x- ) + ] = 5x； （2）2 = - ； 【选自教材P27 复习题 第8题】 解:（1）去中括号，得 3(x-)+1 = 5x . 去括号，得 3x- +1 = 5x . 移项，得 3x- = -1 . 合并同类项，得 - = . 将未知数的系数化为 1，得 = - . 随堂练习 8.解下列方程: B组 （1） [2(x- ) + ] = 5x； （2）2 = - ； 【选自教材P27 复习题 第8题】 （2）去分母，得 40-5(3x-7) = -4(x+17) . 去括号，得 40-15x+35 = -4x-68 . 移项，得 -15x+4x = -68-40-35 . 合并同类项，得 -11x = -143 . 将未知数的系数化为 1 ，得 x = 13 . 随堂练习 （3）2.4 = x； 8.解下列方程: B组 【选自教材P27 复习题 第8题】 （4） ( x-1)-2-x = 2 . （3）去分母，得 24-5(x-4)=2×3x . 去括号，得 24-5x+20 = 6x . 移项，得 -5x-6x =-24-20 . 合并同类项，得 -11x =-44 . 将未知数的系数化为 1 ，得x = 4 . 随堂练习 （3）2.4 = x； 8.解下列方程: B组 【选自教材P27 复习题 第8题】 （4） ( x-1)-2-x = 2 . （4）去括号，得 x--2-x = 2 . 移项，得 x-x = 2++ 2 . 合并同类项，得 - x = . 将未知数的系数化为 1，得 x =-8. 随堂练习 9.已知 x= 是方程 3(m - x)+ x =5 m 的解，求 m 的值. 【选自教材P27 复习题 第9题】 解:将 x= 代入方程，得 3(m - )+ =5 m . 解得 m =- . 随堂练习 10.当 k 取何值时，关于 x 的方程 2(2x-3)=1-2x和 8-k=2(x+1) 的解相同? 【选自教材P27 复习题 第10题】 解:解方程 2(2x-3)=1-2x ，得 x = . 把 x = 代入 8-k=2(x+1) ，得 8-k=2×(+1) ， 解得 k = . 随堂练习 11.学校在植树活动中种了杨树和杉树两类树木，已知种植杨树的棵数比总数的一半多 56 棵，种植杉树的棵数比总数的三分之一少 14 棵. 两类树木各种了多少棵? 【选自教材P27 复习题 第11题】 解:设两类树木共种了x 棵， 根据题意，得 (+56) +(-14)=x ， 解得 x =252 . 经检验，符合题意. 所以种植杨树的棵数是 +56 = 182， 种植杉树的棵数是 252-182=70. 答:杨树种了 182 棵，杉树种了 70 棵. 随堂练习 12.从甲地到乙地，长途汽车原需行驶 7 h，开通高速公路后，路程缩短了 30 km，车速平均每小时增加了 30 km，结果只需 4 h即可到达. 求甲、乙两地之间高速公路的路程. 【选自教材P27 复习题 第12题】 解:设甲、乙两地之间高速公路的路程为 x km，根据题意，得 -=30 ， 解得 x = 320 . 经检验，符合题意. 答:甲、乙两地之间高速公路的路程为 320 km . 随堂练习 13.当 x = 2 时，代数式 2x2+(3-c)x+c 的值是10，求当x=-3时这个代数式的值 . C组 【选自教材P27 复习题 第13题】 解:由题意，将 x=2 代入2x2+(3-c)x+c=10 ， 得 2×22+2×(3-c) +c =10， 解得 c = 4. 所以代数式为 2x2-x+4 . 将 x=-3 代入代数式，得2x2-x+4 = 25 . 随堂练习 14.解下列方程： （1）|x-3| = 2； （2） |2x+1| = 1 . 【选自教材P27 复习题 第14题】 解:（1）①当x-3 ≥0，即x ≥ 3 时，x-3=2，解得 x= 5 . ②当x-3＜0，即x＜3 时，x-3=-2，解得 x= 1. 所以 x= 5 或 x=1 . （2）①当 2x+1≥0，即x ≥ -时， (2x+1)=1， 解得 x= 2 . ②当2x+1＜0，即x＜-时， (2x+1)=-1， 解得 x= -3 . 所以 x= 2 或 x= -3 . 随堂练习 15.小明为班级购买笔记本用作晚会上的奖品. 回来时向生活委员小亮交账说：“一共买了 36 本，有两种规格，单价分别为1.80 元和 2.60 元.去时我领了100 元，现在找回 27.60 元. ” 小亮算了一下，说：“你肯定搞错了. ” 小明一想，发觉的确不对，因为他把自己口袋里原有的 2 元钱一起当作找回的钱款给了小亮.请你算一算：两种笔记本各买了多少?想一想有没有可能找回 27.60元，试应用方程的知识予以解释. 【选自教材P27 复习题 第15题】 随堂练习 解:设购买单价为 1.80 元的笔记本 x 本， 根据题意，得 1.80x +2.60 (36-x)= 100 - 27.60 +2， 解得 x = 24 . 经检验，符合题意. 所以36-x = 12. 所以购买单价为 1.80 元的笔记本 24 本，单价为 2.60 元的笔记本 12 本. 如果按照小明原来报的价格，那么设购买单价为 1.80 元的笔记本y 本. 根据题意，得 1.80y+2.60 (36-y)= 100 - 27.60 ， 解得 y = 26.50 . 因为不符合生活实际，不可能买 0.5 本， 所以没有可能找回 27.60 元. 随堂练习 16.七年级(5)班有46位同学，安排值日生时要考虑：周一至周五每天除打扫教室外，还要打扫学校包干区；包干区面积不大，平时人数可少些，周五大扫除时要和打扫教室的人数差不多；周一早晨需安排 1 位或 2 位同学打扫教室；每位同学每周轮到一次值日. 请你代理劳动委员，安排值日人数. 【选自教材P27 复习题 第16题】 解:周一至周五每天安排6人打扫教室，周一至周四每天安排2人打扫包干区，周五安排6人打扫包干区，周一早晨安排2人打扫教室.(答案不唯一) 随堂练习 考点1 方程及方程的解 1. 下列各式：，（， 为已知 数），， 中，方程有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知关于的方程的解是，则 的 值为___. 5 中考考法 32 考点2 等式的基本性质 3. 下列利用等式的基本性质变形错误的是( ) C A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 中考考法 33 考点3 一元一次方程的定义 4. 有下列方程：； ； ；； ，其中是一元一次 方程的有( ) A A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 已知是关于 的一元一次方程，则 ( ) B A. 3或1 B. 1 C. 3 D. 0 中考考法 34 考点4 解一元一次方程 6. 下列变形正确的是( ) D A. 由移项得 B. 由去分母得 C. 由去括号得 D. 由去括号、移项、合并同类项得 中考考法 35 7. [成都中考] 任意给一个数 ，按下列程序进行计算.若输出 的结果是15，则 的值为___. 3 中考考法 36 8. 解下列方程： （1） ； 【解】去分母，得 . 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 中考考法 37 （2） ； 去分母，得 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 中考考法 38 （3） . 原方程可化为 . 去分母，得 . 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 中考考法 39 考点5 一元一次方程的应用 9. 如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律 所组成的图形，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有7 个三角形，第3个图形中有10个三角形……按照此规律排列 下去，第个图形中有2 026个三角形，则 _____. 675 中考考法 40 【点拨】第1个图形中有4个三角 形，即 ； 第2个图形中有7个三角形，即 ； 第3个图形中有10个三角形，即 ；…； 按照此规律排列下去，第个图形中有 个三角形，所 以，解得 . 中考考法 41 10. 我们规定一种运算 ，如 ，再如 若 与的值始终相等，则 的值 为__. 中考考法 42 【点拨】 ; .根据题意得 ,即 ,所 以,,解得,.所以 . 中考考法 43 11. 第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨 市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇 受大众关注.现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为, 两种包装， 该工厂共有1 000名工人. 中考考法 44 （1）若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒 的人数的2倍少 200人，请求出生产盲盒 的工人人数. 【解】设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒 的工人 人数为 人， 由题意，得 ， 解得 . 答：生产盲盒 的工人人数为400人. 中考考法 45 （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼 包由2个盲盒和3个盲盒 组成.已知每名工人平均每天可以 生产20个盲盒或10个盲盒 ，且每天只能生产一种包装的盲 盒.该工厂应该安排多少名工人生产盲盒 ，多少名工人生产 盲盒 才能使每天生产的盲盒正好配套？ 中考考法 46 设安排名工人生产盲盒，则安排 名工人生产 盲盒 ， 由题意得 ， 解得 . 所以 （名）. 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒 ，750名工人生产 盲盒 才能使每天生产的盲盒正好配套. 中考考法 47 12. 某中学学生步行到郊外旅行，七（1）班的学生组成前队， 步行速度为 ，七（2）班的学生组成后队，步行速度 为；前队出发 后，后队才出发，同时后队派一名 联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速 度为 . 中考考法 48 （1）后队追上前队需要多长时间？ 【解】设后队追上前队需要 ， 根据题意得，解得 . 所以后队追上前队需要 . （2）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少千米？ ， 所以联络员走的路程是 . 中考考法 49 （3）七（1）班出发多少小时后两队相距 ？ 设七（1）班出发后两队相距 ， 当七（2）班没有出发时， ； 当七（2）班出发，但没有追上七（1）班时， ，解得 ； 当七（2）班超过七（1）班时， ， 解得 . 所以七（1）班出发或或后两队相距 . 中考考法 50 思想1 整体思想 13. 若是关于的方程的解，则 的值为___. 7 14. 解方程： . 中考考法 51 【解】去分母，得 ， 整理.得 . 方程两边都除以3，得 . 移项、合并同类项，得.系数化为1，得 . 中考考法 52 思想2 分类讨论思想 15. 解关于的方程： . 【解】把方程 变形， 得 . 分三种情况： （1）当，即 时，方程只有一个解，为 ； 中考考法 53 （2）当，，即， 时，方程 有无数个解； （3）当，，即， 时，方程 无解. 本题求方程的解，对形如“ ”的方程化简时，应 根据， 的取值讨论解的情况，体现了分类讨论思想的运用. . . 中考考法 思想3 数形结合思想 16. [驻马店期中] 已知代数式 是关 于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上， 两点所表 示的数分别是和 （如图）. （1）____， ___; 6 中考考法 55 （2）有一动点从点 出发第一次向左运动1个单位长度，然 后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在新的位置 第三次向左运动3个单位长度……按照如此规律不断地左右 运动，当运动到第2 025次时，点 所表示的数为________; 中考考法 56 【点拨】依题意知，点 第一次运动后所表示的数为 ，第二次运动后所表示的数为 ， 第三次运动后所表示的数为, ,则第2 025 次运动后所表示的数为 中考考法 57 （3）若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点 以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点 从原点开始以每 秒 个单位长度的速度向左运动.在运动过程 中，的值始终保持不变，求 的值. 中考考法 58 【解】设运动时间为秒,则运动后点表示的数为 ， 点表示的数为，点表示的数为 . 所以， . 所以 . 因为 的值始终保持不变， 所以.所以 . 故当的值始终保持不变时，的值为 . 中考考法 59 $