第1章 导数及其应用（复习讲义）数学湘教版选择性必修第二册

第1章 导数及其应用（复习讲义） 1.通过对实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景. 2.理解函数的平均变化率、瞬时变化率,会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.理解导数的概念,会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 4.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 5.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 6．掌握函数和、差、积、商的求导法则. 7.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 8．理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数. 9．理解导数与函数的单调性的关系. 10.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 11.会用导数求函数的单调区间. 12.理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值. 13.理解函数的最值的概念. 14.了解函数的最值和极值的区别与联系. 15.会用导数求在给定区间上函数的最值. 16.能利用导数与单调性的关系画出函数的大致图象. 17.能利用导数解决与极值、最值有关的简单的不等式证明、恒成立问题. 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax (a＞0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (x＞0，a＞0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x＞0) f′(x)＝ 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 常用结论 （1）f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，且[f(x0)]′＝0. （2）′＝－(f(x)≠0)． （3）曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． （4）函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 5．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 6．函数的极值 (1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 7．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)做比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 常用结论 （1）在某区间内f′(x)＞0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． （2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． （3）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 题型一 曲线的切线切点 【例1】（1）函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．y＝－2x－1　　　　　 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 （2）已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________． 【变式1-1】曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________． 【变式1-2】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________． 【变式1-3】已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　) A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 【变式1-4】已知函数f(x)＝x＋，若曲线y＝f(x)存在两条过(1，0)点的切线，则a的取值范围是________． 【变式1-5】已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________． 题型二 不含参数函数的单调性 【例2】函数y＝4x2＋的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞)　　　　　　　 B． C．(－∞，－1) D. 【变式2-1】已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　) A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【变式2-2】已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________． 题型三 含参数函数的单调性 【例3】已知函数f(x)＝x2－x＋kln x，讨论函数f(x)的单调性． 【变式3-1】已知函数f(x)＝－2x2＋ln x在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围． 【变式3-2】已知f(x)＝a(x－ln x)＋，a＞0.讨论f(x)的单调性． 题型四 已知函数的单调性求参数 【例4】已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)． (1)若函数f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数f(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围． 【变式4-1】(例4变条件)若函数f(x)在[1，4]上单调递增，求a的取值范围． 【变式4-2】(例4变条件)若函数f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求a的取值范围． 【变式4-3】(例4变条件)若函数f(x)在[1，4]上不单调，求a的取值范围． 题型五 函数单调性的应用 【例5-1】已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(　　) A．f＞f(1)＞f B．f(1)＞f＞f C．f＞f(1)＞f D．f＞f＞f(1) 【例5-2】已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＜0.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b＜a＜c　　　　　 B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b 【例5-3】已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数都有f(x)－f′(x)＞0，设F(x)＝，则不等式F(x)<的解集为(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(1，e) D．(e，＋∞) 【变式5-1】函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　) A．(－1，1)　　　　　　　　 B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 【变式5-2】已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对于任意的x∈，都有f′(x)sin x<f(x)cos x，则(　　) A.f＞f B．f＞f(1) C.f<f D.f<f 题型六 利用导数解决函数的极值问题 【例6-1】设函数f(x)在R上可导， 其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 【例6-2】已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值． 【例6-3】已知函数f(x)＝＋(m＋1)ex＋2(m∈R)有两个不同的极值点，则实数m的取值范围为(　　) A．(－1－，－1)　　　　 B．[－，0] C．[－∞，－) D．(0，＋∞) 【例6-4】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a－b＝________． 【变式6-1】已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为(　　) A．2 B．－ C．3＋ln 2 D．－2＋2ln 2 【变式6-2】已知函数f(x)＝＋sin x，a∈R，e为自然对数的底数． (1)当a＝1时，证明：∀x∈(－∞，0]，f(x)≥1； (2)若函数f(x)在上存在极值点，求实数a的取值范围． 题型七 利用导数研究函数的最值 【例7】已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b. (1)讨论f(x)的单调性； (2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由． 【变式7-1】已知函数f(x)＝＋kln x，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值． 【变式7-2】已知函数f(x)＝aln x＋(a>0)． (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)是否存在实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 基础巩固通关测 1．已知f(x)＝x(2 021＋ln x)，若f′(x0)＝2 022，则x0＝(　　) A．e2 B．1C．ln 2 D．e 2．曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0 C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0 3．若曲线y＝aln x＋x2(a＞0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝(　　) A. B． C. D. 4．已知函数f(x)＝ln x＋，直线y＝－x＋3与曲线y＝f(x)相切，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　) A．f(b)＞f(c)＞f(d) B．f(b)＞f(a)＞f(e) C．f(c)＞f(b)＞f(a) D．f(c)＞f(e)＞f(d) 6．函数y＝x＋＋2ln x的单调递减区间是(　　) A．(－3，1)　　　　　　　 B．(0，1) C．(－1，3) D．(0，3) 7．函数f(x)＝的图象大致为(　　) 8．已知f(x)＝，则(　　) A．f(2)＞f(e)＞f(3) B．f(3)＞f(e)＞f(2) C．f(3)＞f(2)＞f(e) D．f(e)＞f(3)＞f(2) 9．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，2] B．(4，＋∞) C．(－∞，2) D．(0，3] 10．设函数f(x)＝xex＋1，则(　　) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 11．函数y＝在[0，2]上的最大值是(　　) A.　　　　　　　　　 B． C．0 D. 12．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为(　　) A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－∞，－3] 13．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________． 14．曲线y＝ex－1＋x的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为________． 15．已知函数f(x)＝ex＋ae－x在[0，1]上不单调，则实数a的取值范围为________． 16．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________． 17.函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则x＋x＝________． 18．若函数f(x)＝x3－3ax在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a的取值范围为________． 19．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________． 20．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 21．已知曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，求实数a的值． 22．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． (1)求k的值； (2)求f(x)的单调区间． 23．已知函数f(x)＝－2x2＋ln x在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围． 24．设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间； (2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围． 25．已知函数f(x)＝－1. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)设m>0，求函数f(x)在区间[m，2m]上的最大值． 能力提升进阶练 1．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝(　　) A．26 B．29 C．212 D．215 2．设曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲线C上一点M(1，－4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是函数f(x)的导函数，且∀x∈R，f′(x)＞1，f(1)＝0，则(　　) A．f(e)＜e－1　　　　　 B．f(0)＞－1 C．f(0)＜－1 D．f(e)＜f(0)＋e 4．设定义在R上的函数y＝f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝，且x∈(0，4]时，f′(x)＞，则4f(2 019)，3f(2 020)，12f(2 021)的大小关系是(　　) A．4f(2 019)＜3f(2 020)＜12f(2 021) B．3f(2 020)＜4f(2 019)＜12f(2 021) C．12f(2 021)＜3f(2 020)＜4f(2 019) D．12f(2 021)＜4f(2 019)＜3f(2 020) 5．已知函数f(x)＝xex－ln x－x－2，g(x)＝＋ln x－x的最小值分别为a，b，则(　　) A．a＝b　　　　　　　 B．a＜b C．a＞b D．a，b的大小关系不确定. 6．若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为(　　) A．2折函数 B．3折函数 C．4折函数 D．5折函数 7．设点P(x0，y0)为函数f(x)＝ln x－x3的图象上任意一点，点Q为直线2x＋y－2＝0上任意一点，则P，Q两点距离的最小值为________． 8．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，若xf′(x)＋f(x)＝(1－x)ex，且f(2)＝0，则f(x)＞0的解集为________． 9．已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； (3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． 10．设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数． (1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性． 11．已知函数f(x)＝ln x＋＋1. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)当函数g(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)有两个极值点时，求实数a的取值范围． 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 导数及其应用（复习讲义） 1.通过对实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景. 2.理解函数的平均变化率、瞬时变化率,会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.理解导数的概念,会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 4.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 5.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 6．掌握函数和、差、积、商的求导法则. 7.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 8．理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数. 9．理解导数与函数的单调性的关系. 10.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 11.会用导数求函数的单调区间. 12.理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值. 13.理解函数的最值的概念. 14.了解函数的最值和极值的区别与联系. 15.会用导数求在给定区间上函数的最值. 16.能利用导数与单调性的关系画出函数的大致图象. 17.能利用导数解决与极值、最值有关的简单的不等式证明、恒成立问题. 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax (a＞0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (x＞0，a＞0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x＞0) f′(x)＝ 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 常用结论 （1）f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，且[f(x0)]′＝0. （2）′＝－(f(x)≠0)． （3）曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． （4）函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 5．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 6．函数的极值 (1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 7．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)做比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 常用结论 （1）在某区间内f′(x)＞0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． （2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． （3）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 题型一 曲线的切线切点 【例1】（1）函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．y＝－2x－1　　　　　 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 （2）已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________． 【答案】　(1)B　(2)x－y－1＝0 【解析】　(1)通解：因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，所以f′(1)＝－2，又f(1)＝1－2＝－1，所以所求的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B. 优解：因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，f′(1)＝－2，所以切线的斜率为－2，排除C，D.又f(1)＝1－2＝－1，所以切线过点(1，－1)，排除A.故选B. (2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，所以设切点为(x0，y0)．又因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x. 所以由解得x0＝1，y0＝0. 所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 【变式1-1】曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________． 【答案】y＝2x　 【解析】设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得y′＝＋1，则该切线的斜率k＝＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 【变式1-2】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________． 【答案】(e，1) 【解析】设A(x0，ln x0)，又y′＝，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－ln x0＝(－e－x0)，化简得ln x0＝，解得x0＝e，则点A的坐标是(e，1)． 【变式1-3】已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　) A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 【答案】D 【解析】因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，与切线方程y＝2x＋b对照，可得解得故选D. 【变式1-4】已知函数f(x)＝x＋，若曲线y＝f(x)存在两条过(1，0)点的切线，则a的取值范围是________． 【答案】a＞0或a＜－2 【解析】f′(x)＝1－，设切点坐标为(x0，x0＋)，则切线方程为y－x0－＝(x－x0)，又切线过点(1，0)，所以－x0－ ＝(1－x0)，整理得2x＋2ax0－a＝0，又曲线y＝f(x)存在两条过(1，0)点的切线，故方程有两个不等实根，即满足Δ＝4a2－8(－a)＞0，解得a＞0或a＜－2. 【变式1-5】已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________． 【答案】　－e－ 【解析】　由f(x)＝x3＋ax＋，得f′(x)＝3x2＋a.因为f′(0)＝a，f(0)＝，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax.设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，g′(x)＝－，所以将②代入①得ln x0＝，所以x0＝e， 所以a＝－＝－e－. 题型二 不含参数函数的单调性 【例2】函数y＝4x2＋的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞)　　　　　　　 B． C．(－∞，－1) D. 【答案】B 解析：选B.由y＝4x2＋，得y′＝8x－， 令y′＞0，即8x－＞0，解得x＞， 所以函数y＝4x2＋的单调递增区间为. 故选B. 【变式2-1】已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　) A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 解析：选D.因为函数f(x)＝xln x，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1(x＞0)，当f′(x)＞0时， 解得x＞，即函数的单调递增区间为； 当f′(x)<0时，解得0<x<， 即函数的单调递减区间为，故选D. 【变式2-2】已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________． 答案：和 解析：f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x， 令f′(x)＝xcos x＞0， 则其在区间(－π，π)上的解集为和， 即f(x)的单调递增区间为和. 题型三 含参数函数的单调性 【例3】已知函数f(x)＝x2－x＋kln x，讨论函数f(x)的单调性． 【解析】由f(x)＝x2－x＋kln x知函数的定义域为(0，＋∞)．则f′(x)＝2x－1＋＝. 令f′(x)＝0得2x2－x＋k＝0.<i> 其判别式Δ＝1－8k. ①当Δ＝1－8k≤0，即k≥时，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数． ②当Δ＝1－8k＞0，即k＜时，<i>式的两根分别为x1＝，x2＝. 若0＜k＜，则0＜x1＜x2，当x∈(0，x1)，(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(x1，x2)时， f′(x)＜0，从而函数f(x)在(0，x1)和(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．若k≤0，则x1≤0＜x2，当x∈(0，x2)时，f′(x)＜0，x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，从而函数f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增． 综上，当k≥时，f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数；当0＜k＜时，f(x)在和上单调递增，在上单调递减；当k≤0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增． 【变式3-1】已知函数f(x)＝－2x2＋ln x在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围． 【解析】f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在区间[1，2]上为单调函数，即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0，即－4x＋≥0或－4x＋≤0在[1，2]上恒成立，即≥4x－或≤4x－. 令h(x)＝4x－，因为函数h(x)在[1，2]上单调递增， 所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3， 解得a<0或0<a≤或a≥1. 综上，a的取值范围是a＜0或0＜a≤或a≥1. 【变式3-2】已知f(x)＝a(x－ln x)＋，a＞0.讨论f(x)的单调性． 【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝a－－＋＝ ＝. (1)当0<a<2时， ＞1， 当x∈(0，1)或x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减． (2)当a＝2时， ＝1，在x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)单调递增． (3)当a＞2时，0<<1，当x∈或x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上所述，当0<a<2时，f(x)在(0，1)内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增； 当a＞2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 题型四 已知函数的单调性求参数 【例4】已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)． (1)若函数f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数f(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围． 【解析】(1)f(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)， 所以f′(x)＝－ax－2，由于f(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间， 所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2＜0有解． 即a＞－有解，设G(x)＝－， 所以只要a＞G(x)min即可． 而G(x)＝－1， 所以G(x)min＝－1. 所以a＞－1. (2)由f(x)在[1，4]上单调递减得， 当x∈[1，4]时，f′(x)＝－ax－2≤0恒成立， 即a≥－恒成立． 所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1， 因为x∈[1，4]，所以∈， 所以G(x)max＝－(此时x＝4)， 所以a≥－，即a的取值范围是. 【变式4-1】(例4变条件)若函数f(x)在[1，4]上单调递增，求a的取值范围． 【解析】由f(x)在[1，4]上单调递增得，当x∈[1，4]时，f′(x)≥0恒成立， 所以当x∈[1，4]时，a≤－恒成立， 又当x∈[1，4]时，＝－1(此时x＝1)， 所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]． 【变式4-2】(例4变条件)若函数f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求a的取值范围． 【解析】f(x)在[1，4]上存在单调递减区间， 则f′(x)＜0在[1，4]上有解， 所以当x∈[1，4]时，a＞－有解， 又当x∈[1，4]时，＝－1， 所以a＞－1，即a的取值范围是(－1，＋∞)． 【变式4-3】(例4变条件)若函数f(x)在[1，4]上不单调，求a的取值范围． 【解析】因为f(x)在[1，4]上不单调， 所以f′(x)＝0在(1，4)上有解， 即a＝－有解， 令m(x)＝－，x∈(1，4)， 则－1<m(x)<－， 所以实数a的取值范围为. 题型五 函数单调性的应用 【例5-1】已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(　　) A．f＞f(1)＞f B．f(1)＞f＞f C．f＞f(1)＞f D．f＞f＞f(1) 【答案】A. 【解析】因为f(x)＝xsin x， 所以f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)． 所以函数f(x)是偶函数，所以f＝f. 又当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x＞0， 所以f(x)在上是增函数． 所以f<f(1)<f. 所以f＞f(1)＞f，故选A. 【例5-2】已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＜0.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b＜a＜c　　　　　 B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b 【答案】D 【解析】设g(x)＝，则g′(x)＝， 又当x＜0时，xf′(x)－f(x)＜0， 所以g′(x)＜0，即函数g(x)在区间(－∞，0)内单调递减，因为f(x)为R上的偶函数，所以g(x)为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，所以函数g(x)在区间(0，＋∞)内单调递减．由0＜ln 2＜e＜3，可得g(3)＜g(e)＜g(ln 2)，即c＜a＜b，故选D. 【例5-3】已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数都有f(x)－f′(x)＞0，设F(x)＝，则不等式F(x)<的解集为(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(1，e) D．(e，＋∞) 【答案】B 【解析】　F′(x)＝＝， 又f(x)－f′(x)＞0，知F′(x)<0， 所以F(x)在R上单调递减． 由F(x)<＝F(1)，得x＞1， 所以不等式F(x)<的解集为(1，＋∞)． 【变式5-1】函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　) A．(－1，1)　　　　　　　　 B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 【答案】B 【解析】由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4＞0等价于F(x)＞F(－1)，所以x＞－1，故选B. 【变式5-2】已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对于任意的x∈，都有f′(x)sin x<f(x)cos x，则(　　) A.f＞f B．f＞f(1) C.f<f D.f<f 【答案】A 【解析】令g(x)＝， 则g′(x)＝， 由已知得g′(x)<0在上恒成立， 所以g(x)在上单调递减， 所以g＞g，即＞， 所以f＞f. 题型六 利用导数解决函数的极值问题 【例6-1】设函数f(x)在R上可导， 其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 【答案】D 【解析】由题图可知，当x<－2时，1－x＞3，此时f′(x)＞0；当－2<x<1时，0<1－x<3，此时f′(x)<0；当1<x<2时，－1<1－x<0，此时f′(x)<0；当x＞2时，1－x<－1，此时f′(x)＞0，由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． 【例6-2】已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值． 【解析】因为f(x)＝x2－1－2aln x(x＞0)， 所以f′(x)＝2x－＝. ①当a＜0时，因为x＞0，且x2－a＞0，所以f′(x)＞0对x＞0恒成立．所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值． ②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)． 所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，) (，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  极小值  所以当x＝时，f(x)取得极小值，且f()＝()2－1－2aln＝a－1－aln a，无大极值． 综上，当a＜0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值． 当a＞0时，函数f(x)在x＝处取得极小值a－1－aln a，无极大值． 【例6-3】已知函数f(x)＝＋(m＋1)ex＋2(m∈R)有两个不同的极值点，则实数m的取值范围为(　　) A．(－1－，－1)　　　　 B．[－，0] C．[－∞，－) D．(0，＋∞) 【答案】A 【解析】函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝x＋(m＋1)ex. 因为函数f(x)有两个不同的极值点， 所以f′(x)＝x＋(m＋1)ex有两个不同的零点， 故关于x的方程－m－1＝有两个不同的解． 令g(x)＝，则g(x)＝的图象与y＝－m－1的图象有两个不同的交点． g′(x)＝，当x∈(－∞，1)时，g′(x)＞0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0， 所以函数g(x)＝在区间(－∞，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．故g(x)在x＝1处取得最大值． 又当x→－∞时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，且g(1)＝，所以0＜－m－1＜， 所以－1－＜m＜－1，故选A. 【例6-4】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a－b＝________． 【答案】－7 【解析】由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则 解得或 经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7. 【变式6-1】已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为(　　) A．2 B．－ C．3＋ln 2 D．－2＋2ln 2 【答案】B 【解析】由题意得，f′(x)＝＋2ax－3，因为f(x)在x＝2处取得极小值，所以f′(2)＝4a－2＝0，解得a＝， 所以f(x)＝2ln x＋x2－3x，f′(x)＝＋x－3＝， 所以f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减， 所以f(x)的极大值为f(1)＝－3＝－.故选B. 【变式6-2】已知函数f(x)＝＋sin x，a∈R，e为自然对数的底数． (1)当a＝1时，证明：∀x∈(－∞，0]，f(x)≥1； (2)若函数f(x)在上存在极值点，求实数a的取值范围． 【解析】(1)证明：当a＝1时，f(x)＝＋sin x， 则f′(x)＝＋cos x， 当x∈(－∞，0]时，0<ex≤1，则≤－1，又cos x≤1， 所以当x∈(－∞，0]时，f′(x)＝＋cos x≤0，仅x＝0时，f′(x)＝0， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)≥f(0)＝1，即f(x)≥1. (2)f′(x)＝＋cos x，因为x∈， 所以cos x＞0 ，ex＞0， ①当a≤0时，f′(x)＞0恒成立， 所以f(x)在上单调递增，没有极值点． ②当a＞0时，f′(x)＝＋cos x在区间上单调递增， 因为f′＝ －a·e＜0，f′(0)＝－a＋1， 当a≥1，x∈时，f′(x)<f′(0)＝－a＋1≤0， 所以f(x)在上单调递减，没有极值点． 当0<a<1时，f′(0)＝－a＋1＞0，所以存在x0∈，使f′(x0)＝0， 当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(x0，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 所以f(x)在x＝x0处取得极小值，x0为极小值点． 综上，若函数f(x)在上存在极值点，则实数a∈(0，1)． 题型七 利用导数研究函数的最值 【例7】已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b. (1)讨论f(x)的单调性； (2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由． 【解析】(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝. 若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0. 故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减；若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增； 若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减． (2)满足题设条件的a，b存在． (ⅰ)当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0，1]单调递增，所以f(x)在区间[0，1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0， b＝－1. (ⅱ)当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0，1]单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1. (ⅲ)当0<a<3时，由(1)知，f(x)在[0，1]的最小值为f＝－＋b，最大值为b或2－a＋b. 若－＋b＝－1，b＝1，则a＝3，与0<a<3矛盾．若－＋b＝－1，2－a＋b＝1， 则a＝3或a＝－3或a＝0，与0<a<3矛盾． 综上，当且仅当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0，1]的最小值为－1，最大值为1. 【变式7-1】已知函数f(x)＝＋kln x，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值． 【解析】因为f(x)＝＋kln x， f′(x)＝＋＝. (1)若k＝0，则f′(x)＝－在上恒有f′(x)<0，所以f(x)在上单调递减． 所以f(x)min＝f(e)＝，f(x)max＝f＝e－1. (2)若k≠0，f′(x)＝＝. ①若k<0，则在上恒有<0， 所以f(x)在上单调递减， 所以f(x)min＝f(e)＝＋kln e＝＋k－1， f(x)max＝f＝e－k－1. ②若k>0，由k<， 得>e，则x－<0，所以<0， 所以f(x)在上单调递减． 所以f(x)min＝f(e)＝＋kln e＝＋k－1， f(x)max＝f＝e－k－1. 综上，k<时，f(x)min＝＋k－1，f(x)max＝e－k－1. 【变式7-2】已知函数f(x)＝aln x＋(a>0)． (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)是否存在实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【解析】由题意，知函数的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝－(a>0)． (1)由f′(x)>0，解得x>， 所以函数f(x)的单调递增区间是； 由f′(x)<0，解得x<， 所以函数f(x)的单调递减区间是. 所以当x＝时，函数f(x)有极小值f＝aln ＋a＝a－aln a. (2)不存在．理由如下： 由(1)可知，当x∈时，函数f(x)单调递减； 当x∈时，函数f(x)单调递增． ①若0<≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1，e]上为增函数， 故函数f(x)的最小值为f(1)＝aln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件． ②若1<≤e，即≤a<1时，函数f(x)在上为减函数，在上为增函数， 故函数f(x)的最小值为f(x)的极小值f＝aln ＋a＝a－aln a＝a(1－ln a)＝0，即ln a＝1，解得a＝e，而≤a<1，故不满足条件． ③若>e，即0<a<时，函数f(x)在[1，e]上为减函数，故函数f(x)的最小值为f(e)＝aln e＋ ＝a＋＝0，即a＝－，而0<a<，故不满足条件． 综上所述，不存在这样的实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0. 基础巩固通关测 1．已知f(x)＝x(2 021＋ln x)，若f′(x0)＝2 022，则x0＝(　　) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e 【答案】B 解析：因为f(x)＝x(2 021＋ln x)， 所以f′(x)＝2 021＋ln x＋1＝2 022＋ln x， 又f′(x0)＝2 022， 所以2 022＋ln x0＝2 022，所以x0＝1. 2．曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0 C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0 【答案】D 解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝，所以f′(1)＝－3，又f(1)＝1，所以所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0. 3．若曲线y＝aln x＋x2(a＞0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝(　　) A. B． C. D. 【答案】B 解析：因为y＝aln x＋x2(a＞0)，所以y′＝＋2x≥2，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥，因此＝2，所以a＝. 4．已知函数f(x)＝ln x＋，直线y＝－x＋3与曲线y＝f(x)相切，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 解析： f′(x)＝－(x＞0)，设切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝f′(x0)，令－＝－1，则a＝x0＋x.又切点既在切线上，又在曲线上，所以y0＝ln x0＋＝－x0＋3，所以ln x0＋(1＋x0)＝－x0＋3，即ln x0＋2x0－2＝0(*)，因为函数φ(x)＝ln x＋2x－2为增函数，且φ(1)＝0，所以方程(*)有唯一解x0＝1，所以a＝2. 5.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　) A．f(b)＞f(c)＞f(d) B．f(b)＞f(a)＞f(e) C．f(c)＞f(b)＞f(a) D．f(c)＞f(e)＞f(d) 【答案】C 解析：由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数， 因为a<b<c，所以f(c)＞f(b)＞f(a) 6．函数y＝x＋＋2ln x的单调递减区间是(　　) A．(－3，1)　　　　　　　 B．(0，1) C．(－1，3) D．(0，3) 【答案】B 解析： 方法一：令y′＝1－＋<0，得－3<x<1，又x＞0，故所求函数的单调递减区间为(0，1)．. 方法二：由题意知x＞0，故排除A、C选项；又f(1)＝4<f(2)＝＋2ln 2，故排除D选项． 7．函数f(x)＝的图象大致为(　　) 【答案】B 解析：函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0，x∈R}，当x＞0时，函数f′(x)＝，可得函数的极值点为x＝1，当x∈(0，1)时，函数是减函数，x＞1时，函数是增函数，并且f(x)＞0，选项B、D满足题意． 当x<0时，函数f(x)＝<0，选项D不正确，选项B正确． 8．已知f(x)＝，则(　　) A．f(2)＞f(e)＞f(3) B．f(3)＞f(e)＞f(2) C．f(3)＞f(2)＞f(e) D．f(e)＞f(3)＞f(2) 【答案】D 解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e. 所以当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝e时，f(x)max＝f(e)＝，而f(2)＝＝，f(3)＝＝，所以f(e)＞f(3)＞f(2)， 9．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，2] B．(4，＋∞) C．(－∞，2) D．(0，3] 【答案】A 解析：因为f(x)＝x2－9ln x，所以f′(x)＝x－(x＞0)，由x－≤0，得0<x≤3，所以f(x)在(0，3]上是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0，3]，所以a－1＞0且a＋1≤3，解得1<a≤2. 10．设函数f(x)＝xex＋1，则(　　) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 【答案】D 解析：由f(x)＝xex＋1，可得f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)>0可得x>－1，即函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数；令f′(x)<0可得x<－1，即函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，所以x＝－1为f(x)的极小值点． 11．函数y＝在[0，2]上的最大值是(　　) A.　　　　　　　　　 B． C．0 D. 【答案】A 解析：易知y′＝，x∈[0，2]，令y′>0，得0≤x<1，令y′<0，得1＜x≤2，所以函数y＝在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y＝在[0，2]上的最大值是y|x＝1＝，故选A. 12．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为(　　) A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－∞，－3] 【答案】D 解析：由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表： x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，所以k≤－3. 13．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________． 答案：1＋e 解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex， 所以f′(x)＝1＋ex， 所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e. 14．曲线y＝ex－1＋x的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为________． 答案：y＝2x 解析：设切点坐标为(x0，ex0－1＋x0)，因为y′＝ex－1＋1，所以切线的斜率k＝ex0－1＋1，故切线方程为y－ex0－1－x0＝(ex0－1＋1)(x－x0)．因为切线过原点，所以0－ex0－1－x0＝(ex0－1＋1)(0－x0)，解得x0＝1，将x0＝1代入y－e x0－1－x0＝(e x0－1＋1)(x－x0)，可得切线方程为y＝2x，故答案为y＝2x. 15．已知函数f(x)＝ex＋ae－x在[0，1]上不单调，则实数a的取值范围为________． 答案：(1，e2) 解析：方法一：假如函数f(x)在[0，1]上单调，则当函数f(x)在[0，1]上单调递增时，f′(x)＝ex－ae－x≥0在[0，1]上恒成立，即a≤e2x，x∈[0，1]恒成立，即a≤(e2x)min＝1；当函数f(x)在[0，1]上单调递减时，f′(x)＝ex－ae－x≤0在[0，1]上恒成立，即a≥e2x，x∈[0，1]恒成立，即a≥(e2x)max＝e2，故函数f(x)在[0，1]上单调时，a≤1或a≥e2，因此，函数f(x)在[0，1]上不单调时， 1＜a＜e2. 方法二：因为函数f(x)在[0，1]上不单调，所以f′(x)＝ex－ae－x＝0在(0，1)上有根，即a＝e2x在(0，1)上有解，所以1＜a＜e2. 16．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________． 答案：∪[2，＋∞) 解析：由f(x)图象特征可得， f′(x)在和[2，＋∞)上大于0，在上小于0， 所以xf′(x)≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2， 所以xf′(x)≥0的解集为∪[2，＋∞)． 17.函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则x＋x＝________． 答案： 解析：函数f(x)的图象过原点，所以d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函数f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2，由题意知x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝. 18．若函数f(x)＝x3－3ax在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a的取值范围为________． 答案：[1，4) 解析：因为f′(x)＝3(x2－a)，所以当a≤0时，f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增，f(x)没有极值点，不符合题意；当a>0时，令f′(x)＝0得x＝±，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示： x (－∞，－) － (－，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  因为函数f(x)在区间(－1，2)上仅有一个极值点，所以或 解得1≤a<4. 19．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________． 答案： 解析：f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)， 由f′(x)＝0得x＝±a， 当－a<x<a时，f′(x)<0，函数单调递减； 当x>a或x<－a时，f′(x)>0，函数单调递增， 所以f(x)的极大值为f(－a)，极小值为f(a)． 所以f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0.解得a>.所以a的取值范围是. 20．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0， 即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－. 所以a的取值范围为∪. 21．已知曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，求实数a的值． 解：因为f′(x)＝ln x＋1， 所以曲线f(x)＝xln x在x＝e处的切线斜率为k＝2， 又f(e)＝e， 则曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线方程为y＝2x－e. 由于切线与曲线y＝x2＋a相切， 可联立 得x2－2x＋a＋e＝0， 所以Δ＝4－4(a＋e)＝0，解得a＝1－e. 22．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． (1)求k的值； (2)求f(x)的单调区间． 解：(1)由题意得f′(x)＝， 又因为f′(1)＝＝0，故k＝1. (2)由(1)知，f′(x)＝， 设h(x)＝－ln x－1(x＞0)，则h′(x)＝－－<0， 即h(x)在(0，＋∞)上是减函数． 由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0； 当x＞1时，h(x)<0，从而f′(x)<0. 综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 23．已知函数f(x)＝－2x2＋ln x在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围． 解：f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在区间[1，2]上为单调函数，即f′(x)＝－4x＋≥0 或f′(x)＝－4x＋≤0，即－4x＋≥0或－4x＋≤0在[1，2]上恒成立， 即≥4x－或≤4x－. 令h(x)＝4x－，因为函数h(x)在[1，2]上单调递增， 所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3， 解得a<0或0<a≤或a≥1. 综上，a的取值范围是a＜0或0＜a≤或a≥1. 24．设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间； (2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围． 解：(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a，可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝－2a＝， 当a≤0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增． 当a>0时，若x∈，则g′(x)＞0，函数g(x)单调递增， 若x∈，则g′(x)＜0，函数g(x)单调递减． 所以当a≤0时，函数g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a>0时，函数g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)由(1)知，f′(1)＝0. ①当a≤0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，即f′(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意． ②当0<a<时，>1，由(1)知f′(x)在上单调递增，可得当x∈(0，1)时，f′(x)＜0， x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在 x＝1处取得极小值，不合题意． ③当a＝时，＝1，f′(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意． ④当a>时，0<<1，当x∈时，f′(x)单调递减，所以f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)单调递减，所以f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意， 综上可知，实数a的取值范围为. 25．已知函数f(x)＝－1. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)设m>0，求函数f(x)在区间[m，2m]上的最大值． 解：(1)因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝， 由得0<x<e；由得x>e. 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)． (2)①当，即0<m≤时，[m，2m]⊆(0，e)，函数f(x)在区间[m，2m]上单调递增， 所以f(x)max＝f(2m)＝－1； ②当m<e<2m，即<m<e时，[m，e)⊆(0，e)，(e，2m]⊆(e，＋∞)， 函数f(x)在区间[m，e)上单调递增，在(e，2m]上单调递减， 所以f(x)max＝f(e)＝－1＝－1； ③当m≥e时，[m，2m]⊆(e，＋∞)，函数f(x)在区间[m，2m]上单调递减，所以f(x)max＝f(m)＝－1. 综上所述，当0<m≤时，f(x)max＝－1；当<m<e时，f(x)max＝－1；当m≥e时，f(x)max＝－1. 能力提升进阶练 1．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝(　　) A．26 B．29 C．212 D．215 【答案】C 解析：因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x， 所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8. 因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.故选C. 2．设曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲线C上一点M(1，－4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 解析：y′＝12x3－6x2－18x，则y′|x＝1＝12×13－6×12－18×1＝－12， 所以曲线y＝3x4－2x3－9x2＋4在点M(1，－4)处的切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即12x＋y－8＝0.联立解得或 或 故切线与曲线C还有其他的公共点(－2，32)，， 所以切线l与曲线C的公共点个数为3.故选C. 3．已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是函数f(x)的导函数，且∀x∈R，f′(x)＞1，f(1)＝0，则(　　) A．f(e)＜e－1　　　　　 B．f(0)＞－1 C．f(0)＜－1 D．f(e)＜f(0)＋e 【答案】C 解析：令g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1＞0，所以g(x)在R上单调递增，由g(e)＞g(1)得f(e)－e＞f(1)－1＝－1，所以f(e)＞e－1，故选项A不正确．由g(0)＜g(1)得f(0)＜f(1)－1＝－1，故选项B不正确，选项C正确．由g(e)＞g(0)得f(e)－e＞f(0)，所以f(e)＞f(0)＋e，故选项D不正确．故选C. 4．设定义在R上的函数y＝f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝，且x∈(0，4]时，f′(x)＞，则4f(2 019)，3f(2 020)，12f(2 021)的大小关系是(　　) A．4f(2 019)＜3f(2 020)＜12f(2 021) B．3f(2 020)＜4f(2 019)＜12f(2 021) C．12f(2 021)＜3f(2 020)＜4f(2 019) D．12f(2 021)＜4f(2 019)＜3f(2 020) 【答案】D 解析：因为f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以4f(2 019)＝4f(3)，3f(2 020)＝3f(4)，12f(2 021)＝12f(1)．令g(x)＝，则g′(x)＝，因为x∈(0，4]时，f′(x)＞，所以g′(x)＞0，所以g(x)在(0，4]上单调递增，故＜＜，整理可得12f(1)＜4f(3)＜3f(4)，即12f(2 021)＜4f(2 019)＜3f(2 020)，故选D. 5．已知函数f(x)＝xex－ln x－x－2，g(x)＝＋ln x－x的最小值分别为a，b，则(　　) A．a＝b　　　　　　　 B．a＜b C．a＞b D．a，b的大小关系不确定 【答案】A 解析：令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，因为当x＜0时，0＜ex＜1，当x≥0时ex≥1.所以h(x)在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以ex≥x＋1. 所以f(x)＝xex－ln x－x－2＝eln x·ex－ln x－x－2＝ex＋ln x－(x＋ln x)－2≥x＋ln x＋1－(x＋ln x)－2＝－1＝a， g(x)＝＋ln x－x＝x－1ex－2＋ln x－x＝e－ln x＋x－2＋ln x－x≥x－ln x－2＋1＋ln x－x＝－1＝b，所以a＝b，故选A. 6．若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为(　　) A．2折函数 B．3折函数 C．4折函数 D．5折函数 【答案】C 解析：f′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)·(ex－3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或 ex＝3x＋2. 易知x＝－2是f(x)的一个极值点， 又ex＝3x＋2，结合函数图象，y＝ex与y＝3x＋2有两个交点．又e－2≠3×(－2)＋2＝－4. 所以函数y＝f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数． 7．设点P(x0，y0)为函数f(x)＝ln x－x3的图象上任意一点，点Q为直线2x＋y－2＝0上任意一点，则P，Q两点距离的最小值为________． 答案： 解析：由题意知，当函数f(x)的图象在点P(x0，y0)处的切线l1与直线l2：2x＋y－2＝0平行，且PQ⊥l2时，P，Q两点之间的距离最小．因为f(x)＝ln x－x3，所以f′(x)＝－3x2，所以－3x＝－2，解得x0＝1，所以y0＝－1，故切线l1的方程为2x＋y－1＝0.由两平行直线之间的距离公式可得切线l1与直线l2之间的距离d＝＝，故P，Q两点距离的最小值为. 8．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，若xf′(x)＋f(x)＝(1－x)ex，且f(2)＝0，则f(x)＞0的解集为________． 答案：(0，2) 解析：设F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝(1－x)ex，设F(x)＝(ax＋b)ex＋c，则F′(x)＝(ax＋b＋a)ex，所以，解得，所以F(x)＝(2－x)·ex＋c，又F(2)＝2f(2)＝0，所以c＝0，所以F(x)＝(2－x)ex，f(x)＝ex，由f(x)＞0，得0＜x＜2，所以不等式f(x)＞0的解集是(0，2)． 9．已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； (3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． 因为f′(x)＝3x2＋1. 所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. 所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1， 所以直线l的方程为 y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16， 又因为直线l过点(0，0)， 所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16， 整理得，x＝－8， 所以x0＝－2， 所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. 所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y＝－x＋3垂直， 所以切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x＋1＝4， 所以x0＝±1. 所以或 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 10．设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数． (1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性． 解：(1)由题意知当a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞)， 此时f′(x)＝，可得f′(1)＝，又f(1)＝0， 所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.　 (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝＋＝. 当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)． ①当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②当a<－时，Δ<0，g(x)<0， f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ③当－<a<0时，Δ＞0， 设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点， 则x1＝，x2＝. 由于x1＝＝＞0， 所以当x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(x1，x2)时，g(x)＞0， f′(x)＞0， 函数f(x)单调递增，当x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减． 综上可得： 当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当－<a<0时，f(x)在， 上单调递减， 在上单调递增． 11．已知函数f(x)＝ln x＋＋1. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)当函数g(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)有两个极值点时，求实数a的取值范围． 解：(1)由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝， 所以x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)． 所以当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝2，无极大值． (2)g′(x)＝ln x＋＋1－a＝f(x)－a，由(1)得 当a≤2时，g′(x)≥0恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(x)无极值点． 当a＞2时，g′(1)＝2－a＜0， 令x＝ea，则ea＞e2＞1，g′(ea)＝ln ea＋＋1－a＝＋1＞0， 所以g′(x)在(1，ea)存在唯一零点x2， 令x＝e－a，则0＜e－a＜1，g′(e－a)＝ln e－a＋＋1－a＝ea－2a＋1， 设h(x)＝ex－2x＋1(x＞2)，则h′(x)＝ex－2＞e2－2＞0， 所以h(x)在(2，＋∞)上单调递增，所以h(x)＞e2－3＞0， 所以h(a)＞0，即g′(e－a)＞0， 所以g′(x)在(e－a，1)上存在唯一零点x1， 所以x∈(0，x1)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；x∈(x1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减； x∈(x2，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增． 所以x＝x1是g(x)的极大值点，x＝x2是g(x)的极小值点． 综上所述，当g(x)有两个极值点时，实数a的取值范围是(2，＋∞)． 5 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $