第1章 导数及其应用（知识清单）数学湘教版选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 清单01 导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为 ． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 清单02 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝ f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝ f(x)＝sin x f′(x)＝ f(x)＝cos x f′(x)＝ f(x)＝ax (a＞0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ex f′(x)＝ f(x)＝logax (x＞0，a＞0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x＞0) f′(x)＝ 清单03 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝ ． (2)[f(x)·g(x)]′＝ ． (3)′＝ (g(x)≠0)． 清单04 复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ ，即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积． 常用结论 （1）f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，且[f(x0)]′＝0. （2）′＝－(f(x)≠0)． （3）曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． （4）函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 清单05 函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x) 0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) 0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 清单06 函数的极值 (1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： 1 如果在x0附近的左侧f′(x) 0，右侧f′(x) 0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x) 0，右侧f′(x) 0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； 2 求方程f′(x) 0的根； 3 考查f′(x)在方程f′(x) 0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 值． 清单07 函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ； ②将函数y＝f(x)的各 与 处的函数值f(a)，f(b)做比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 常用结论 （1）在某区间内f′(x)＞0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． （2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． （3）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 易错点1 导数的运算法则运用不正确 例题. 函数y＝的导函数为________． 易错点2不会用方程法解导数求值 例题.设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝________． 易错点3 求导时不能掌握复合函数的求导法则致误 例题.已知函数f(x)＝sin，则f′(x)＝________． 易错点4 原函数与导函数的关系不清致误 例题. 函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 易错点5 极值点存在的条件不清致误 例题.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________． 易错点6 忽视函数的定义域 例题. 函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________． 1.函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　) A．xsin x B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x 2.函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为(　　) 3.曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________． 4.若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________． 5.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　) A．在区间(－3，1)上f(x)是增函数 B．在区间(1，3)上f(x)是减函数 C．在区间(4，5)上f(x)是增函数 D．在区间(3，5)上f(x)是增函数 6.函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减　　　　　　 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 7.函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________． 8.已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的最大值是________． 9.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 10.设函数f(x)＝＋ln x，则(　　) A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 11.函数y＝xex的最小值是________． 12.函数f(x)＝x－aln x(a>0)的极小值为________． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 导数及其应用 清单01 导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 清单02 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax (a＞0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (x＞0，a＞0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x＞0) f′(x)＝ 清单03 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 清单04 复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 常用结论 （1）f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，且[f(x0)]′＝0. （2）′＝－(f(x)≠0)． （3）曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． （4）函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 清单05 函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 清单06 函数的极值 (1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 清单07 函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)做比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 常用结论 （1）在某区间内f′(x)＞0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． （2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． （3）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 易错点1 导数的运算法则运用不正确 例题. 函数y＝的导函数为________． 解析：y′＝＝. 答案：y′＝ 易错点2不会用方程法解导数求值 例题.设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝________． 答案：－ 解析：因为f(x)＝f′sin x＋cos x， 所以f′(x)＝f′cos x－sin x， 所f′＝f′cos－sin， 即f′＝－1，所以f(x)＝－sin x＋cos x， f′(x)＝－cos x－sin x. 故f′＝－cos－sin＝－. 易错点3 求导时不能掌握复合函数的求导法则致误 例题.已知函数f(x)＝sin，则f′(x)＝________． 答案：2cos 解析：f′(x)＝[sin]′＝cos·′＝2cos. 易错点4 原函数与导函数的关系不清致误 例题. 函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 答案：C 解析：导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点． 易错点5 极值点存在的条件不清致误 例题.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，－1) 解析：因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a. 因为函数y＝ex＋ax有大于零的极值点， 所以方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， 因为当x＞0时，－ex<－1，所以a＝－ex<－1. 易错点6 忽视函数的定义域 例题. 函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________． 答案：(0，1) 解析：由f′(x)＝1－<0，得＞1，即x<1，又x＞0，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)． 1.函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　) A．xsin x B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x 解析：选B.y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. 2.函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为(　　) 解析：选B.由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0. 3.曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________． 解析：因为y＝2ln(x＋1)，所以y′＝.当x＝0时，y′＝2，所以曲线 y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x. 答案：y＝2x 4.若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________． 解析：设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x， 所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2， 所以－x0＝ln 2，所以x0＝－ln 2， 所以y0＝eln 2＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)． 答案：(－ln 2，2) 5.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　) A．在区间(－3，1)上f(x)是增函数 B．在区间(1，3)上f(x)是减函数 C．在区间(4，5)上f(x)是增函数 D．在区间(3，5)上f(x)是增函数 解析：选C.由图象可知，当x∈(4，5)时，f′(x)>0，故f(x)在(4，5)上是增函数． 6.函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减　　　　　　 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 解析：选D.因为f′(x)＝－sin x－1<0. 所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D. 7.函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________． 解析：由f′(x)＝1－<0，得>1，即x<1，又x>0，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)． 答案：(0，1) 8.已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的最大值是________． 解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2， 又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3. 答案：3 9.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 解析：选C.设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1、x2、x3、x4. 当x<x1时，f′(x)>0，f(x)为增函数， 当x1<x<x2时，f′(x)<0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C. 10.设函数f(x)＝＋ln x，则(　　) A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 解析：选D.f′(x)＝－＋＝(x>0)， 当0<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0， 所以x＝2为f(x)的极小值点． 11.函数y＝xex的最小值是________． 解析：因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x>－1时，y′>0；当x<－1时，y′<0，所以当x＝－1时函数取得最小值，且ymin＝－. 答案：－ 12.函数f(x)＝x－aln x(a>0)的极小值为________． 解析：因为f(x)＝x－aln x(a>0)，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－(a>0)， 由f′(x)＝0，解得x＝a. 当x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a. 答案：a－aln a 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $