第1章 导数及其应用测试（单元自测·基础卷）数学湘教版选择性必修第二册

高二数学单元自测 第一章 导数及其应用·基础通关 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C D D A C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD AD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．(0,8) 14．1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 解:(1)当a=1时,f(x)=x+ln x, 所以f′(x)=1+,......1分 当x=1时,f(1)=1,f′(1)=1+1=2,….3分 切点为(1,1),….4分 则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1…..6分 (2)因为f′(x)=1+(x>0), 所以f′(2)=1+=2,解得a=2,…8分 则f(x)=x+2ln x, 所以f(2)=2+2ln 2…10分 则2+2ln 2=4+b, 解得b=2ln 2-2…13分 16．（本小题满分15分） 解:(1)f′(x)=-2bx,…1分 因为函数f(x)在x=1处与直线y=-相切, 所以即解得...7分 (2)由(1)得,f(x)=ln x-x2,定义域为(0,+∞)…8分 f′(x)=-x=,…9分 令f′(x)>0,解得0<x<1, 令f′(x)<0,得x>1….11分 所以f(x)在[,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减,…13分 所以f(x)在[,e]上的极大值为f(1)=-,无极小值….15分 17．（本小题满分15分） 解:(1)由f(x)=ln x-x2+1, 则f′(x)=-x=,x∈[,e],…1分 令f′(x)=0,解得x=1,…2分 所以当≤x<1时,f′(x)>0, 当1<x≤e时,f′(x)<0,…6分 故函数f(x)=ln x-x2+1在区间[,1)上单调递增,在区间(1,e]上单调递减.8分 (2)由(1)知f(x)max=f(1)=,…9分 f(e)=2-,f()=-…11分 因为f(e)<f()<0, 所以f(x)min=f(e)=2-<-,…13分 所以g(x)=|f(x)-m|,x∈[,e]的最大值为m+-2=,解得m=2…15分 18．（本小题满分17分） 解:(1)由题意可得f′(x)=x-a+,…1分 故f′(2)=2-a+=0,所以a=3....4分 (2)因为函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,其中 a>1, 所以f(x)的定义域为(0,+∞),...5分 f′(x)=x-a+==,...6分 令f′(x)=0, 得x1=1,x2=a-1....7分 ①若a-1=1,即a=2时,f′(x)=>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②若0<a-1<1,即1<a<2时,由f′(x)<0得,a-1<x<1;由f′(x)>0得,0<x<a-1或x>1....10分 故f(x)在(a-1,1)上单调递减,在(0,a-1),(1,+∞)上单调递增....11分 ③若a-1>1, 即a>2时,由f′(x)<0得,1<x<a-1; 由f′(x)>0得,0<x<1或x>a-1....14分 故f(x)在(1,a-1)上单调递减,在(0,1),(a-1,+∞)上单调递增....15分 综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当1<a<2时,f(x)在(a-1,1)上单调递减,在(0,a-1),(1,+∞)上单调递增; 当a>2时,f(x)在(1,a-1)上单调递减,在(0,1),(a-1,+∞)上单调 递增....17分 19．（本小题满分17分） 【解】(1)在△ABC中,由正弦定理得 解:(1)由f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立, 得m≤在(1,+∞)上恒成立....1分 令g(x)=, 则g′(x)=,...2分 故g′(e)=0,...3分 当x∈(1,e)时,g′(x)<0; x∈(e,+∞)时,g′(x)>0....5分 故g(x)在(1,e)上单调递减, 在(e,+∞)上单调递增, 故当x=e时,g(x)取最小值为g(e)=e. 所以m≤e. 即实数m的取值范围为(-∞,e]....8分 (2)由已知可知k(x)=x-2ln x-a, 函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点, 等价于函数(x)=x-2ln x的图象与直线y=a有两个不同的交点,...9分 ′(x)=1-=,故′(2)=0,...11分 所以当x∈[1,2)时,′(x)<0,(x)单调递减, 当x∈(2,3]时,′(x)>0,(x)单调递增....13分 又(1)=1,(3)=3-2ln 3,(2)=2-2ln 2, 且(1)>(3)>(2)>0,...15分 所以2-2ln 2<a≤3-2ln 3. 所以实数a的取值范围为(2-2ln 2,3-2ln 3]....17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 高二数学单元自测 第一章 导数及其应用·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.y=sin x(cos x+1)的导数是(　　) A.y′=cos 2x-cos x B.y′=cos 2x+cos x C.y′=cos 2x+sin x D.y′=cos2x+cos x 2. 曲线f(x)=sin(x+)+2ex在点(0,3)处的切线方程是(　　) A.2x+y-3=0 B.x-y+3=0 C.x-2y+6=0 D.2x-y+3=0 3.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)-ln x,则f′(e)等于(　　) A.1 B.-1 C.e-1 D.-e 4.若曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(　　) A.a=2e,b=-1 B.a=2e,b=1 C.a=,b=1 D.a=,b=-1 5.函数f(x)=x-2sin x+1在(0,π)上的单调递增区间是　　(　　) A.(0,) B.(,π) C.(0,) D.(,π) 6.函数f(x)=x-sin x在[0,]上的最小值和最大值分别是(　　) A.-,0 B.-1,0 C.-,-1 D.-, 7.函数f(x)=ax3+x+1有极值的一个充分而不必要条件是(　　) A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a<1 8.若关于x的方程3kln x=x3只有一个实数解,则k的取值范围是(　　) A.(-∞,) B.(-∞,0)∪{} C.(-∞,e) D.(-∞,0)∪{e} 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列函数中,存在极值点的是(　　) A.y=x- B.y=2|x| C. y=xsin x D.y=xln x 10. 函数y=xsin x+cos x的单调递增区间可能是(　　) A.(0,) B.(,π) C.(π,) D.(,2π) 11.已知函数f(x)的定义域为R,f(0)=-1,其导函数f′(x)满足 f′(x)>1,则下列说法正确的有(　　) A.若x1<x2,则x1-x2>f(x1)-f(x2) B.若x1<x2,则x1-x2>f(x2)-f(x1) C.不等式f(x-1)>x-2的解集为(1,+∞) D.方程f(x)-ln x=0在(1,+∞)上有解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.用边长为18 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当铁盒的容积最大时,截去的小正方形的边长为　　　　 cm.  13.已知函数f(x)的导函数为f′(x),f(x)=x2+2xf′(2),则不等式f(x)<0的解集为　　　　.  14.已知函数f(x)=x3-2ax2+3x,其中a∈R,若函数f(x)在x=1处取得极大值,则a=　　　　.  四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数f(x)=x+aln x(a∈R). (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (2)若曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值. 16．（本小题满分15分）已知函数f(x)=aln x-bx2,a,b∈R,若f(x)在x=1处与直线y=-相切. (1)求a,b的值; (2)求f(x)在[,e]上的极值. 17．（本小题满分15分）已知函数f(x)=ln x-x2+1. (1)当x∈[,e](e为自然对数的底数)时,求f(x)的单调区间; (2)设g(x)=|f(x)-m|(m>0),当x∈[,e]时,g(x)的最大值为,求实数m的值. 18．（本小题满分17分）已知函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,a>1. (1)若f′(2)=0,求a的值; (2)讨论函数f(x)的单调性. 19．（本小题满分17分）已知函数f(x)=x2-mln x,h(x)=x2-x+a. (1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围; (2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学单元自测 第一章 导数及其应用·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.y=sin x(cos x+1)的导数是(　B　) A.y′=cos 2x-cos x B.y′=cos 2x+cos x C.y′=cos 2x+sin x D.y′=cos2x+cos x 解析:因为y=sin x(cos x+1), 所以y′=cos x(cos x+1)+sin x(-sin x)=cos2x+cos x-sin2x= cos 2x+cos x.故选B. 2. 曲线f(x)=sin(x+)+2ex在点(0,3)处的切线方程是(　D　) A.2x+y-3=0 B.x-y+3=0 C.x-2y+6=0 D.2x-y+3=0 解析:f(x)=sin(x+)+2ex=cos x+2ex, f′(x)=-sin x+2ex,f′(0)=0+2=2, 所以切线方程为y-3=2(x-0), 即2x-y+3=0. 故选D. 3.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)-ln x,则f′(e)等于(　C　) A.1 B.-1 C.e-1 D.-e 解析:由f(x)=2xf′(e)-ln x,得f′(x)=2f′(e)-,令x=e得 f′(e)=2f′(e)-e-1,所以f′(e)=e-1.故选C. 4.若曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(　D　) A.a=2e,b=-1 B.a=2e,b=1 C.a=,b=1 D.a=,b=-1 解析:因为y′=aex+ln x+1, 所以当x=1时,切线的斜率k=ae+1=2, 所以a=, 又切点(1,ae)在切线上,代入可得ae=2+b,又因为a=, 解得b=-1.故选D. 5.函数f(x)=x-2sin x+1在(0,π)上的单调递增区间是　　(　D　) A.(0,) B.(,π) C.(0,) D.(,π) 解析:由题意,得 f′(x)=1-2cos x>0,解得<x<π, 故f(x)在(0,π)上的单调递增区间为(,π). 故选D. 6.函数f(x)=x-sin x在[0,]上的最小值和最大值分别是(　A　) A.-,0 B.-1,0 C.-,-1 D.-, 解析:f′(x)=-cos x, 令f′(x)>0,解得<x<, 令f′(x)<0,解得0<x<, 所以f(x)在[0,)上递减,在(,]上递增, 所以f(x)min=f()=-, 而f(0)=0,f()=-1, 故f(x)在区间[0,]上的最小值和最大值分别是-,0.故选A. 7.函数f(x)=ax3+x+1有极值的一个充分而不必要条件是(　C　) A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a<1 解析:f′(x)=3ax2+1, 若函数f(x)=ax3+x+1有极值, 则f′(x)=0有解,即3ax2+1=0有解,所以a<0. 当a<0时,f′(x)=0有解,函数f(x)=ax3+x+1有极值, 所以a<0是函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件, 函数f(x)=ax3+x+1有极值的一个充分而不必要条件应该是(-∞,0)的一个真子集,从选项判断,C选项符合条件.故选C. 8.若关于x的方程3kln x=x3只有一个实数解,则k的取值范围是(　D　) A.(-∞,) B.(-∞,0)∪{} C.(-∞,e) D.(-∞,0)∪{e} 解析:因为3kln x=x3,所以kln x3=x3,令t=x3,t>0, 可得kln t=t,当t=1时,0=1不成立,所以t≠1,所以k=, 令g(x)=(x≠1),g′(x)=, 由g′(x)>0可得x>e,由g′(x)<0可得0<x<1,或1<x<e,即g(x)在(e,+∞)上单调递增,在(0,1)和(1,e)上单调递减,函数g(x)的图象 如图. 关于x的方程3kln x=x3只有一个实数解, 则k的取值范围是(-∞,0)∪{e}.故选D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列函数中,存在极值点的是(　BCD　) A.y=x- B.y=2|x| C. y=xsin x D.y=xln x 解析:对于A,求导得y′=1+>0,函数在(-∞,0)和(0,+∞)上递增,所以函数无极值点; 对于B,x=0是函数的极小值点; 对于C,求导得y′=sin x+xcos x,当x∈(-,0)时,y′<0,当x∈(0,)时,y′>0,x=0时,y′=0,所以x=0是函数的极小值点. 对于D,求导得y′=1+ln x,当x∈(0,)时,y′<0,当x∈(,+∞)时, y′>0,x=时,y′=0,所以x=是函数的极小值点; 故选BCD. 10. 函数y=xsin x+cos x的单调递增区间可能是(　AD　) A.(0,) B.(,π) C.(π,) D.(,2π) 解析:当y′=sin x+xcos x-sin x=xcos x>0时,函数单调递增,结合选项知0<x<,< x<2π.故选AD. 11.已知函数f(x)的定义域为R,f(0)=-1,其导函数f′(x)满足 f′(x)>1,则下列说法正确的有(　AC　) A.若x1<x2,则x1-x2>f(x1)-f(x2) B.若x1<x2,则x1-x2>f(x2)-f(x1) C.不等式f(x-1)>x-2的解集为(1,+∞) D.方程f(x)-ln x=0在(1,+∞)上有解 解析:由题意知f(x)在R上单调递增,且f′(x)>1, 所以当x1<x2时,令x2=x1+Δx且Δx→0, 则f′(x)==>1, 所以x1-x2>f(x1)-f(x2),故A正确,B错误; 令g(x)=f(x)-x,则g′(x)=f′(x)-1>0, 即函数g(x)在R上单调递增, 因为f(x-1)>x-2等价于f(x-1)-(x-1)>-1, 即g(x-1)>-1,又g(0)=f(0)=-1, 所以g(x-1)>g(0),即x>1,故C正确; 令h(x)=f(x)-ln x,则h′(x)=f′(x)-, 由C知f(1)>0,即h(1)=f(1)>0, 当x>1时,h′(x)=f′(x)->0, 即函数h(x)在(1,+∞)上单调递增,故无零点, 所以方程f(x)-ln x=0在(1,+∞)上无解,故D错误.故选AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.用边长为18 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当铁盒的容积最大时,截去的小正方形的边长为　　　　 cm.  解析:设截去的小正方形的边长为x cm,铁盒的容积为V cm3,由题意得,V=x(18-2x)2(0<x<9),V′=12(3-x)(9-x), 令V′=0,则在(0,9)内有x=3. 故当x=3时,V有最大值. 答案:3 13.已知函数f(x)的导函数为f′(x),f(x)=x2+2xf′(2),则不等式f(x)<0的解集为　　　　.  解析:因为f(x)=x2+2xf′(2), 所以f′(x)=2x+2f′(2), 所以f′(2)=4+2f′(2), 所以f′(2)=-4, 所以f(x)=x2-8x, 由f(x)=x2-8x<0,解得0<x<8. 答案:(0,8) 14.已知函数f(x)=x3-2ax2+3x,其中a∈R,若函数f(x)在x=1处取得极大值,则a=　　　　.  解析:由题知,f′(x)=a2x2-4ax+3, 当a=0时,f′(x)=3>0,则f(x)在R上单调递增,无极大值,与题设 矛盾, 所以a≠0,此时,f′(x)=(ax-3)(ax-1),要使f(x)在x=1处取得极 大值, 所以f′(1)=(a-3)(a-1)=0, 可得a=1或a=3. 当a=1时,f′(x)=(x-3)(x-1),则 当f′(x)>0时,得x<1或x>3, 即f(x)在(-∞,1),(3,+∞)上单调递增; 当f′(x)<0时,得1<x<3, 即f(x)在(1,3)上单调递减; 所以x=1为极大值点,符合题设. 当a=3时,f′(x)=3(x-1)(3x-1),则 当f′(x)>0时,得x<或x>1, 即f(x)在(-∞,),(1,+∞)上单调递增; 当f′(x)<0时,得<x<1,即f(x)在(,1)上单调递减;所以x=1为极小值点,不合题设. 综上,a=1. 答案:1 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数f(x)=x+aln x(a∈R). (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (2)若曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值. 解:(1)当a=1时,f(x)=x+ln x, 所以f′(x)=1+,......1分 当x=1时,f(1)=1,f′(1)=1+1=2,….3分 切点为(1,1),….4分 则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1…..6分 (2)因为f′(x)=1+(x>0), 所以f′(2)=1+=2,解得a=2,…8分 则f(x)=x+2ln x, 所以f(2)=2+2ln 2…10分 则2+2ln 2=4+b, 解得b=2ln 2-2…13分 16．（本小题满分15分）已知函数f(x)=aln x-bx2,a,b∈R,若f(x)在x=1处与直线y=-相切. (1)求a,b的值; (2)求f(x)在[,e]上的极值. 解:(1)f′(x)=-2bx,…1分 因为函数f(x)在x=1处与直线y=-相切, 所以即解得...7分 (2)由(1)得,f(x)=ln x-x2,定义域为(0,+∞)…8分 f′(x)=-x=,…9分 令f′(x)>0,解得0<x<1, 令f′(x)<0,得x>1….11分 所以f(x)在[,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减,…13分 所以f(x)在[,e]上的极大值为f(1)=-,无极小值….15分 17．（本小题满分15分）已知函数f(x)=ln x-x2+1. (1)当x∈[,e](e为自然对数的底数)时,求f(x)的单调区间; (2)设g(x)=|f(x)-m|(m>0),当x∈[,e]时,g(x)的最大值为,求实数m的值. 解:(1)由f(x)=ln x-x2+1, 则f′(x)=-x=,x∈[,e],…1分 令f′(x)=0,解得x=1,…2分 所以当≤x<1时,f′(x)>0, 当1<x≤e时,f′(x)<0,…6分 故函数f(x)=ln x-x2+1在区间[,1)上单调递增,在区间(1,e]上单调递减.8分 (2)由(1)知f(x)max=f(1)=,…9分 f(e)=2-,f()=-…11分 因为f(e)<f()<0, 所以f(x)min=f(e)=2-<-,…13分 所以g(x)=|f(x)-m|,x∈[,e]的最大值为m+-2=,解得m=2…15分 18．（本小题满分17分）已知函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,a>1. (1)若f′(2)=0,求a的值; (2)讨论函数f(x)的单调性. 解:(1)由题意可得f′(x)=x-a+,…1分 故f′(2)=2-a+=0,所以a=3....4分 (2)因为函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,其中 a>1, 所以f(x)的定义域为(0,+∞),...5分 f′(x)=x-a+==,...6分 令f′(x)=0, 得x1=1,x2=a-1....7分 ①若a-1=1,即a=2时,f′(x)=>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②若0<a-1<1,即1<a<2时,由f′(x)<0得,a-1<x<1;由f′(x)>0得,0<x<a-1或x>1....10分 故f(x)在(a-1,1)上单调递减,在(0,a-1),(1,+∞)上单调递增....11分 ③若a-1>1, 即a>2时,由f′(x)<0得,1<x<a-1; 由f′(x)>0得,0<x<1或x>a-1....14分 故f(x)在(1,a-1)上单调递减,在(0,1),(a-1,+∞)上单调递增....15分 综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当1<a<2时,f(x)在(a-1,1)上单调递减,在(0,a-1),(1,+∞)上单调递增; 当a>2时,f(x)在(1,a-1)上单调递减,在(0,1),(a-1,+∞)上单调 递增....17分 19．（本小题满分17分）已知函数f(x)=x2-mln x,h(x)=x2-x+a. (1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围; (2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围. 解:(1)由f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立, 得m≤在(1,+∞)上恒成立....1分 令g(x)=, 则g′(x)=,...2分 故g′(e)=0,...3分 当x∈(1,e)时,g′(x)<0; x∈(e,+∞)时,g′(x)>0....5分 故g(x)在(1,e)上单调递减, 在(e,+∞)上单调递增, 故当x=e时,g(x)取最小值为g(e)=e. 所以m≤e. 即实数m的取值范围为(-∞,e]....8分 (2)由已知可知k(x)=x-2ln x-a, 函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点, 等价于函数(x)=x-2ln x的图象与直线y=a有两个不同的交点,...9分 ′(x)=1-=,故′(2)=0,...11分 所以当x∈[1,2)时,′(x)<0,(x)单调递减, 当x∈(2,3]时,′(x)>0,(x)单调递增....13分 又(1)=1,(3)=3-2ln 3,(2)=2-2ln 2, 且(1)>(3)>(2)>0,...15分 所以2-2ln 2<a≤3-2ln 3. 所以实数a的取值范围为(2-2ln 2,3-2ln 3]....17分 学科网（北京）股份有限公司5 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学单元自测 第一章 导数及其应用·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.y=sin x(cos x+1)的导数是(　　) A.y′=cos 2x-cos x B.y′=cos 2x+cos x C.y′=cos 2x+sin x D.y′=cos2x+cos x 2. 曲线f(x)=sin(x+)+2ex在点(0,3)处的切线方程是(　　) A.2x+y-3=0 B.x-y+3=0 C.x-2y+6=0 D.2x-y+3=0 3.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)-ln x,则f′(e)等于(　　) A.1 B.-1 C.e-1 D.-e 4.若曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(　　) A.a=2e,b=-1 B.a=2e,b=1 C.a=,b=1 D.a=,b=-1 5.函数f(x)=x-2sin x+1在(0,π)上的单调递增区间是　　(　　) A.(0,) B.(,π) C.(0,) D.(,π) 6.函数f(x)=x-sin x在[0,]上的最小值和最大值分别是(　　) A.-,0 B.-1,0 C.-,-1 D.-, 7.函数f(x)=ax3+x+1有极值的一个充分而不必要条件是(　　) A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a<1 8.若关于x的方程3kln x=x3只有一个实数解,则k的取值范围是(　　) A.(-∞,) B.(-∞,0)∪{} C.(-∞,e) D.(-∞,0)∪{e} 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列函数中,存在极值点的是(　　) A.y=x- B.y=2|x| C. y=xsin x D.y=xln x 10. 函数y=xsin x+cos x的单调递增区间可能是(　　) A.(0,) B.(,π) C.(π,) D.(,2π) 11.已知函数f(x)的定义域为R,f(0)=-1,其导函数f′(x)满足 f′(x)>1,则下列说法正确的有(　　) A.若x1<x2,则x1-x2>f(x1)-f(x2) B.若x1<x2,则x1-x2>f(x2)-f(x1) C.不等式f(x-1)>x-2的解集为(1,+∞) D.方程f(x)-ln x=0在(1,+∞)上有解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.用边长为18 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当铁盒的容积最大时,截去的小正方形的边长为　　　　 cm.  13.已知函数f(x)的导函数为f′(x),f(x)=x2+2xf′(2),则不等式f(x)<0的解集为　　　　.  14.已知函数f(x)=x3-2ax2+3x,其中a∈R,若函数f(x)在x=1处取得极大值,则a=　　　　.  四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数f(x)=x+aln x(a∈R). (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (2)若曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值. 16．（本小题满分15分）已知函数f(x)=aln x-bx2,a,b∈R,若f(x)在x=1处与直线y=-相切. (1)求a,b的值; (2)求f(x)在[,e]上的极值. 17．（本小题满分15分）已知函数f(x)=ln x-x2+1. (1)当x∈[,e](e为自然对数的底数)时,求f(x)的单调区间; (2)设g(x)=|f(x)-m|(m>0),当x∈[,e]时,g(x)的最大值为,求实数m的值. 18．（本小题满分17分）已知函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,a>1. (1)若f′(2)=0,求a的值; (2)讨论函数f(x)的单调性. 19．（本小题满分17分）已知函数f(x)=x2-mln x,h(x)=x2-x+a. (1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围; (2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $