专题01 利用导数证明不等式（专项训练）数学湘教版选择性必修第二册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题 利用导数证明不等式 目录 A题型建模·专项突破 题型一、构造函数证明不等式 题型二、双函数最值法证明不等式 题型三、函数赋值法证明正整数不等式 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、构造函数证明不等式 1.已知函数x)=1一lnxx,g(x)=aex+lx一bx,若曲线y=x)与曲线y=g(x)的一个公共点 是 A(1,1),且在点A处的切线互相垂直. (1)求a,b的值； (2)证明：当x≥1时，x)十g(x)≥2x. 2.已知函数x)=ax十xnx在x=e一2(e为自然对数的底数)处取得极小值. 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求实数a的值； (2)当x>1时，求证：x)>3(x一1) 3.已知函数x)=lnx十ax2+(2a+1)x. (1)讨论x)的单调性； (2)当a0时，证明x)≤-34a-2. 4.已知函数x)=e+exln x(其中e是自然对数的底数) (1)求曲线y=x)在点(1,1)处的切线方程； 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)求证：fx)≥ex2. 5.已知函数x)=x21n尤，证明：x)≥x2一x. 6.已知函数x)=aex-lnx一1. (1)设x=2是x)的极值点，求a,并求x)的单调区间； 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)证明：当a≥le时，fx)≥0. 7.已知函数x)=lnx一aln xx2, (1)若a=1,求x)的单调区间： (2)若a=0,x∈(0,1)，证明：x2-1x<f(x)ex. 题型二、双函数最值法证明不等式 1.已知函数x)=elnx一ax(a∈R). (1)讨论x)的单调性： (2)当a=e时，证明：fx)一er+2ex≤0. 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.已知函数x)=xnx-ax,g(x)=xex+1-2e2(x>0). (I)当a=一1时，求函数x)在(0，+∞)上的最值： (2)求函数g(x)的最大值； (3)证明：对一切x∈(0，+∞)，都有lnx+1>1ex十1-2e2x成立. 3.已知x)=xnx. (I)求函数x)在[t,t+2](>0)上的最小值； (2)证明：对一切x∈(0，+∞)，都有lnx>Iex一2ex成立. 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.已知函数x)=x2+2x-2xe* (1)求函数x)的极值； (2)当x>0时，证明：x)-2x+x2+x3<-2elnx. 5.已知函数x)=elnx一ax(a∈R), (1)讨论函数x)的单调性； (2)当a=e时，证明：x式x)一e+2ex≤0 题型三、函数赋值法证明正整数不等式 1.若函数x)=ex一ax一1(a>0)在x=0处取得极值 (I)求α的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值； (2)证明1+12+13+…+1n>ln(n+1)n∈N*). 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.已知函数x)=ln(x十a)一x2-x在x=0处取得极值. (1)求实数a的值； (2)证明：对于任意的正整数n,不等式2+34十49+…十n+1n2>ln(n+1)都成立. 3.已知函数x)=lnx十lx. (1)求函数x)的单调区间和极值； (2)若对任意的x>1,恒有ln(x一1)+k+1≤x成立，求k的取值范围； (3)证明：ln222+ln332+…+lnn2<2n2-n-14(n+1)(n∈N*,n≥2). 7/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.已知函数x)=x-1一alnx. (1)若x)≥0，求a的值； (2)证明：对于任意正整数n,lalvs-4 allcol1+f12)八avs4alco11+f122)·… lalvs4allcol(1+(12n))<e B 综合攻坚·能力跃升 1.设定义在(0，十∞)上的函数fx)的导函数f(x)满足()>1，则() A.2)-1)>n2 B.2)-1)n2 C.2)-1>1 D.2)-1)1 2.若0<x1<x2<1,则() A.e*2-e*>In x2-In x1 B.e*2-e*1<In x2-In x C.x2e'1>x1e'2 D.x2e'1<x1e'2 3.已知函数x)=aer-lnx-l. (1)设x=2是x)的极值点，求a,并求x)的单调区间； 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)证明：当a≥le时，fx)≥0. 4.已知函数x)=lnx十ax,a∈R. (1)讨论函数x)的单调性； (2)当a>0时，证明fx)≥2a一1a. 5.已知函数x)=elnx一ax(a∈R). 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)讨论x)的单调性； (2)当a=e时，证明：fx)一er+2ex≤0. 6.已知函数x)=ln(x+a)一x2-x在x=0处取得极值. (1)求实数a的值； (2)证明：对于任意的正整数n,不等式2十34十49+…+n+1n2>ln(n+1)都成立. 7.设a为实数，函数x)=ex一2x十2a,x∈R (1)求x)的单调区间与极值； 10/12函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题 利用导数证明不等式 目录型 A题型建模·专项突破 题型一、构造函数证明不等式 题型二、双函数最值法证明不等式 题型三、函数赋值法证明正整数不等式 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、构造函数证明不等式 1.已知函数x)=1一lnxx,g(x)=aex+lx一bx,若曲线y=x)与曲线y=g(x)的一个公共点 是 A(1,1),且在点A处的切线互相垂直. (1)求a,b的值： (2)证明：当x≥1时，x)+g(x)≥2x. 解：(1)因为fx)=1一lnx,所以f(x)=lnx一1x2, P(1)=-1.因为g(x)=aeex+1x-bx, 所以g'(x)=-aeex-lx2-b 因为曲线y=x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直，所 以g(1)=1,且f(1)g(1)=-1, 所以g(1)=a+1-b=1,g'(1)=-a-1-b=1,解得a=-1,b=-1. (2)证明：由(1)知，g(x)=一eex+lx+x 则x)十g(x)≥2x台1一lnxx-eex-1x十x≥0. 令h(x)=1-lnxx-eex-1x+x(x≥1)， h(1)=0,h'(x)=-1-Inxx2+eex+1x2+1=Inxx2+eex+1. 因为x≥1，所以h(x)=lnxx2+eex+1>0, 所以h(w)在[1，+∞)上单调递增， 所以h(x)≥h(1)=0, 1/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即1-lnxx-eex-1x+x≥0， 所以当x≥1时，x)十g(x)≥2x 2.已知函数x)=ax十xnx在x=e一2(e为自然对数的底数)处取得极小值. (1)求实数a的值； (2)当x>1时，求证：x)>3(x一1). 解：(1)因为x)=ax十xnx, 所以f(x)=a+lnx+1, 因为函数x)在x=e一2处取得极小值， 所以f(e-2=0,即a+lne-2+1=0, 所以a=1,所以f(x)=lnx十2 当fx)>0时，心e-2:当fx)<0时，0e-2, 所以x)在(0，e一2上单调递减，在(e一2，十∞)上单调递增， 所以x)在x=e一2处取得极小值，符合题意，所以a=1. (2)证明：由(1)知a=1,所以f)=x+xnx 令gx)=x)-3(c-1) 即g(x)=xnx-2x+3(x>0). g'()=lnx一1，由g'(x)=0,得x=e. 由g'(x)P>0,得x>e:由g(x)0,得0<<e 所以g()在(0，e)上单调递减，在(e,+o∞)上单调递增， 所以g(x)在(1，+∞)上的最小值为g(e)=3一e>0. 于是在(1，+∞)上，都有g()≥g()P0, 所以x)>3(x一1). 3.已知函数x)=lnx+ax2+(2a+1)x, (1)讨论x)的单调性； (2)当a<0时，证明x)≤一34a一2. 解：(1))的定义域为(0，+∞)，(6)=1x+2a+2a+1=(Gx+1)(2ar+1）x 当a≥0，则当x∈(0，十∞)时，f(x)>0,故x)在(0，十∞)上单调递增。 当a<0,则当x∈(0，一12a)时，f(x)>0:当x∈(-12a,+o∞)时，(x)0. 故x)在(0，一12)上单调递增，在(-12a,+o∞)上单调递减 (2)证明：由(1)知，当a0时，fx)在x=-12a取得最大值，最大值为f尺-12a)=ln(-12a)-1一14a 2/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以fx)≤-34a-2等价于ln(-12a)-1-14a≤-34a-2,即ln(-12a)+12a+1≤0.设g(x) =血x一x+1,则g'(x)=1x一1.当x∈(0,1)时，g'()>0:当x∈(1，+∞)时，g'(x)0.所以 g)在(0,1)上单调递增，在(1，十©)上单调递减.故当x=1时，g(x)取得最大值，最大值为 g(1)=0.所以当x>0时，g)≤0.从而当a<0时，ln(-12a)+12a+1≤0，即fx)≤-34a-2. 4.已知函数x)=er+exnx(其中e是自然对数的底数) (1)求曲线y=x)在点(1,1)处的切线方程： (2)求证：x)≥ex2. 解：(1)因为函数fx)=er+exln x(>0), 所以fx)=er+e(1+nx),f1)=e, 所以f'(1)=2e 所以曲线y=x)在点(1,1)处的切线方程为 y-e=2e(x-1),Bp y=2ex-e (2)要证fx)≥ex2,即证e+exnx≥ex2, 即证ex一lx+lnx-x≥0， 构造函数Gx)=ex一1x十lnx一x(>0), 则G'(x)=ex-1(x-1)x2+1x-1=ex-1(x-1)十x-x2x2=(x-1)(ex-1-x)x2. 令Hx)=e-1一x,则H'(x)=e-1一1 当x>1时，(x)>0,H(x)单调递增： 当0<x<1时，(x)<0,H(x)单调递减 所以H(x)≥H(1)=0. 于是当0<x<1时，G(x)<0,Gx)单调递减： 当x>1时，G(x)>0,G(x)单调递增. 于是Gx)≥G1)=0, 命题得证 5.已知函数x)=x21nx,证明：fx)≥x2一x. 证明：函数(x)=x21nx的定义域为(0，+oo), 要证明x)≥x2-x,只需证明x2nx≥x2-x,即证明nx≥1一lx 令(x)=lnx-as4alco11-flx),则1(x)=1x-1x2=x-1x2.当0<x<1时，h(x)<0,则 hx)单调递减， 3/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当x>1时，(x)>0,则h(x)单调递增， 所以当x=1时，函数(c)取得极小值，即最小值为(1)， 则h(x)≥h(1)=0,即1nx≥1一1x, 故原不等式成立 6.已知函数x)=ae*-lnx一1. (I)设x=2是x)的极值点，求a,并求x)的单调区间； (2)证明：当a≥le时，fx)≥0. 解：(1)x)的定义域为(0，十∞)，P()=ae一1x 由题设知，'(2)=0，所以a=l2e2 从而x)=12e2er-nx-1,f(c)=12e2er-lx 当0<x2时，(c)0:当x>2时，f()>0. 所以x)在(0,2)单调递减，在(2，十∞)单调递增. (2)证明：当a≥1e时，x)≥exe-nx-1. 设g(x)=exe-lnx-1,则g'(x)=exe-lx. 当0<x<1时，g'(x)0；当x>1时，g'x)>0. 所以x=1是g(x)的最小值点 故当>0时，g(x)≥g(1)=0 因此，当a≥le时，x)≥0 7.已知函数x)=lnx一aln xx2, (1)若a=1,求x)的单调区间； (2)若a=0,x∈(0,1)，证明：x2-1x<f(x)ex. 解：(1)当a=1时，fx)=lnx-lnxx2,x∈(0，+o∞)， 所以fx)=1x-1-2lnx3=x2-1+2nxx3 =(-1)(6x+1)+21nxx3. 当x∈(0,1)时，f(x)<0,当x∈(1，+∞)时，f(x)>0, 所以x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增. (2)证明：当a=0,x∈(0,1)时，x2-1x<f(x)ex等价于一In xex-+x2-1x<0, 因为当x∈(0,1)时，e*∈(1，e),-lnx>0, 所以一In xex<一nx, 所以只需要证-hx十x2-1x<0在(0,1)上恒成立. 4/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 令g)=-lnx+x2-1x,x∈(0,1)， 所以g'(x)=-1x+2x+1x2=2x3-x+1x2>0, 则函数g(w)在(0,1)上单调递增，于是g(x)<-ln1+1-1=0, 所以当x∈(0,1)时，x2-1x<f(x)ex 题型二、双函数最值法证明不等式 1.已知函数x)=elnx一ax(a∈R). (I)讨论x)的单调性： (2)当a=e时，证明：xx)-e+2ex≤0. 解：(1)f(x)=ex一a(c>0) ①若a≤0，则f(x)>0,x)在(0，+∞)上单调递增： ②若a>0,则当0<x<ea时，f(x)P0, 当x>ea时，(x)0, 故x)在als4 alcol(0,ea)上单调递增，在as4 alcol(fea),+oo上单调递减. (2)证明：方法一：因为心0，所以只需证x)≤exx一2e, 当a=e时，由(1)知，x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 所以x)max=f1)=一e 记gx)=exx-2e(>0), 则g'x)=(x-1)ex2, 所以当0<x<1时，g'(x)0,g(x)单调递减， 当x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)mim=g(1)=一e. 综上，当>0时，f)<g(x), 即x)≤exx-2e,即fx)-er+2ex≤0 方法二：由题意知，即证exlnx一ex2-er+2ex≤0， 从而等价于lnx一x十2≤exex 设函数g(x)=lnx-x+2,则g'(x)=1x一1. 所以当x∈(0,1)时，g'(x)>0,当x∈(1，+∞)时，g'(x)0, 故gx)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 从而g()在(0，+∞)上的最大值为g(1)=1. 设函，数h(x)=exex,则hH(x)=ex(x-1）ex2 5/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以当x∈(0,1)时，h'()0,当x∈(1，+∞)时，h'(x)>0, 故(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 从而h(x)在(0，+∞)上的最小值为h(1)=1 综上，当>0时，g(x)≤h(x),即x)-ex十2ex≤0 2.已知函数x)=xnx-ax,g(x)=xex+1-2e2(x>0). (1)当a=一1时，求函数fx)在(0，+∞)上的最值； (2)求函数g(x)的最大值； (3)证明：对一切x∈(0，+∞)，都有lnx+1>1ex十1-2e2x成立. 解：(1)函数x)=xlnx一ax的定义域为(0，+∞). 当a=一1时，x)=xnx+x f(x)=Inx+2. 由f(x)=0,得x=1e2 当x∈alvs4 alcol(0,f1e2)时，fP(x)<0:当x>1e2时，f(x)>0. 所以x)在x=1e2处取得极小值，也是最小值. fx)min=flalvs4alcol(fle2))=-1e2, 显然当x→十∞时，fx)→十∞，x)没有最大值 (2)易知g'(x)=lavs4 alcol(fx2e2)'=1-xex+1. 所以当0<x<1时，g'(x)>0: 当x>1时，g'(x)<0 所以g(x)的最大值为g(1)=一1e2 (3)证明：当x>0时，lnx+1>lex+1-2e2x等价于xlnx+1)>xex+1-2e2 由(1)知当a=一1时，x)=xnx十x的最小值是一le2,当且仅当x=1e2时取等号. 又由(2)知g(x)max=g(1)=-1e2, 因此x)>g(x), 故1+nx>lex+1-2e2x 3.已知x)=xnx. (1)求函数x)在[t,t+2](>0)上的最小值： (2)证明：对一切x∈(0，+∞)，都有lnx>1ex-2ex成立. 解：(1)由fx)=xnx,>0,得f(c)=lnx+1, 令f(x)=0,得x=1e. 6/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当x∈las4alco1(0,f1e)时，P(x)<0,f)单调递减： 当x∈alvs4 al col(fle,+oo)时，Px)>0,fx)单调递增. ①当0<tKle<t+2,即0<t1e时， fx)min=falvs4allcolofle))=-le; ②当1e≤tt十2，即t≥1e时，fx)在[t,t+2]上单调递增，x)mm=ft)=nt 所以fx)mim=一f(1lele), (2)证明：问题等价于证明xIn x-xex-2e(c∈(0，十∞). 由(I)可知fx)=xnx(x∈(0，十∞)的最小值是一Ie, 当且仅当x=le时取到. 设m(x)=xex-2e(x∈(0，+o∞)， 则m'c)=1一xex, 由m(x)0得>1时，m(c)为减函数， 由m'(x)>0得0<x<1时，m(x)为增函数 易知m(x)max=m(1)=一le,当且仅当x=1时取到. 从而对一切x∈(0，十o∞)，xlnx≥一le≥xex一2e,两个等号不同时取到，即证对一切x∈(0， +∞)都有ln>1ex-2ex成立 4.已知函数x)=x2+2x一2xe* (1)求函数x)的极值； (2)当x>0时，证明：x)-2x十x2+x3<-2elnx. 解：因为函数x)=x2+2x一2xe(x∈R), 所以f(x)=2x+2-2er-2xex=(2x+2)1-e). 由f(x)=0,得x=一1或x=0,列表如下： x (∞，一1) -1 (-1,0) (0,+∞) f() 0 十 0 Ax) 极小值 极大值 所以当x=一1时，x)概小值=（一1）=1一2十2×1e=2e一1：当x=0时，x)极大值=0)=0 (2)证明：要证明fx)-2x+x2+x3<-2elnx,即证2er-c2-2x>2 eln xx(x>0). 令gx)=2er-x2-2x(x>0), 则g'(x)=2(e-x-1).令mc)=2(e-x-1),则m'(x)=2(ex-1)>0,所以g(x)在(0，+oo)上单 调递增，g'(x)>g'(0)=0. 7/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以g()在(0，十0)上单调递增，g()>g(0)=2 令h(x)=2 eln xx(x>0),则h(x)=2e(1一lnx)x2, 可得hx)在(0，e)上单调递增，在(e,十oo)上单调递减，所以h(x)≤h(e)=2 又gx)与h(x)取最值点不同， 所以g(x)>h(x)在(0，十oo)上恒成立， 2ex-x2-2x>2eln xx(x>0). 所以当x>0时，fx)-2x+x2+x3<-2elnx 5.已知函数x)=elnx一ax(a∈R): (I)讨论函数x)的单调性； (2)当a=e时，证明：xx)-ex+2ex≤0. (I)解：fc)=ex一a(>0), ①若a≤0，则fx)>0,x)在(0，十o)上单调递增： ②若a>0,则当0<x<ea时，f()>0: 当x>ea时，f(x)0. 故x)在as4 alicol(O,fea)上单调递增，在aps4 al col(fea,+oo上单调递减. (2)证明：因为>0，所以只需证x)≤exx-2e, 当a=e时，由(1)知，x)在(0,1)上单调递增，在(1，十o)上单调递减 所以x)max=fl)=一e 设gx)=exx-2e(x>0),则g'(x)=(x-1）exx2, 所以当0x<1时，g'(x)0,g(x)单调递减： 当心1时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)mim=g(1)=一e. 综上，当>0时，x)≤g(x),即x)≤exx一2e 即x)-er+2ex≤0得证. 题型三、函数赋值法证明正整数不等式 1.若函数x)=e一ax一1(a>0)在x=0处取得极值， (1)求α的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值； (2)证明1+12+13+…+1n>ln(n+1)n∈N). 解：(1)因为x=0是函数极值，点，所以P(0)=0,所以a=1.所以x)=e一x一1，易知 f()=ex-1 8/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当x∈(0，+∞)时，(x)>0, 当x∈(-∞，0)时，f(x)<0, 故极值0)是函数的最小值 (2)证明：由(1)知e≥x+1.即1n(x十1)≤x, 当且仅当x=0时，等号成立， 令x=l(k∈N,则1k>lnas4 alcol(I+flk),即1k>lnI+k, 所以1k>ln(1+)一lnk=1,2,…,n), 累加得1+12+13++1n>n(n+1)(m∈N). 2.已知函数x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值， (1)求实数a的值； (2)证明：对于任意的正整数n,不等式2十34十49+…+n+1n2>ln(n+1)都成立. 解：(1)因为f(x)=1x十a一2x一1，又因为x=0为x)的极值，点，所以f(0)=1a一1=0， 所以a=1. (2)证明：由(1)知fx)=lnc+1)-x2-x 函数x)的定义域为（一1，十∞）. 因为f()=1x+1-2x-1=-x（2x+3)x+1. 令fx)>0得-1<x<0 当x变化时，)，子()变化情况如下表 x (-1,0) 0 (0,+∞) f(x) 十 0 Ax) 极大值 所以)≤0)=0，即1n(x十1)≤x2+x(当且仅当x=0时取等号). x=In,Inlalvs4\allcol(fIn)+1)<\alvs4\allcol(f(In))2+In, 即nn+1n<n+1n2,所以ln21+ln32+…+lnn+1n<2+34++n+1n2. 即2+34+49+…+n+1n2>n(n+1). 3.已知函数x)=1nx十1x (1)求函数x)的单调区间和极值： (2)若对任意的x>1,恒有ln(x一1)+k+1≤x成立，求k的取值范围； 9/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)证明：ln222+ln332+…+lnnn2<2n2-n-14(n+1)(n∈N*,n≥2). 解：(1)x)的定义域是(0，十∞)， (x)=一lnxx2,由f(x)=0→x=1,列表如下： (0,1) (1,+∞) f(x) 0 fx) 单调递增 极大值 单调递减 因此函数)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，+∞)，极大值为1)=1，无极小 值 (2)因为⊙1， n(x-1)+k+1≤a台ln(x-1)+lx-1≤k台fx-1)≤k, 所以x一1)加mx≤k,所以k≥1. (3)证明：由(1)可得x)=lnx十1x≤x加max=f1)=1→lnx≤1一1x,当且仅当x=1时取等号. 令x=n2(n∈N，n≥2). 则nn2n2<1-1n2→nnm2<12as4alco1(1-f1n2) <121-f1n(n+1)月 =12avs4alco1(1-f11n+1)(n≥2)， 所以ln222+ln332+…+lnm2 </2\alvs4\al\col(1-\f(113)+/2\a\vs4\al\col(1-\f(114)+..+/2\alvs4\al\col(1-\f(11n/) =12avs4 alcol(n-1+f112)=2n2-n-14(n+1）(n∈N,n≥2). 4.已知函数x)=x一1一alnx (1)若fx)≥0，求a的值； (2)证明：对于任意正整数n,avs4 allcol(1+f12)八avs4alco1I+f122)·… lalvs4lallcol(1+f12n))<e. 解：（①）x)的定义域为(0，十∞) ①若a≤0，因为fas4 alcollf12)=一12+an2<0,所以不满足题意： ②若a>0,由f(x)=1一ax=x一ax知，当x∈(0，a)时，(x)0:当x∈(a,十o∞)时，(x) >0.所以x)在(0，a)上单调递减，在(，+∞)上单调递增，故x=a是x)在(0，+∞)的唯一最 小值点 因为1)=0，所以当且仅当a=1时，x)≥0，故a=1. 10/16