专题03 排列六大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第三册

专题03 排列六大常考题型 题型一：排列数的计算 题型二：排列数的证明 题型三：全排列问题 题型四：元素有限制的排列问题 题型五：相邻排列问题 题型六：不相邻排列问题 题型一：排列数的计算 1．（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）280；（2） 【分析】（1）利用排列数和组合数的公式计算；（2）利用组合数运算求解. 【详解】（1）； （2）由题意可得，解得，且， 由，可得，解得， 又因为，所以，故不等式的解集为. 2．已知正整数满足，则 . 【答案】5 【分析】按组合数、排列数公式列出等式求解即可. 【详解】由题意得，且，得，即. 故答案为：5. 3．可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列的计算公式即可求解. 【详解】. 故选：C 4．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据排列数和组合数的公式和性质进行计算即可. 【详解】对A选项，，A正确； 对B选项，左边=，B错误； 对C选项，方法一：，方法二：，C正确； 对D选项，，故D错误. 故选：AC. 5．若，则（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据排列数和组合数的计算方法，列出方程，求出结果. 【详解】由得，解得. 故选：D. 6．6个人站成一排，甲、乙、丙三人从左到右的顺序保持一定，有多少种不同的站法？ 【答案】120 【分析】由倍缩法解决定序问题即可. 【详解】（种）. 7．下列数中，与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排列数公式可逐项验证. 【详解】．对于选项A，． 对于选项B，． 对于选项C，． 对于选项D，． 故选：B． 8．定义双阶乘符号：当是自然数时，表示不超过且与有相同奇偶性的所有正整数的乘积，例如：，，则下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双阶乘的概念计算判断ACD，根据双阶乘的概念利用对数运算求解判断B. 【详解】由题意知，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D. 题型二：排列数的证明 9．求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）（2）（3）应用排列数公式化简求值、证明恒等关系及解不等式； 【详解】（1）； （2），. （3）依题意，有，可得， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又，得，所以的解集为. 10．若m，n为正整数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据组合数和排列数的计算公式和性质，对每个选项逐一计算即可判断. 【详解】对A：由组合数性质：可知，A正确； 对B：，故B错误； 对C：，，左右两边不相等，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：AD 11．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为， ， 所以，故C正确； 对于D：因为， 所以，故D错误. 故选：BC 12．下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用排列数和组合数公式求解即可. 【详解】根据组合数公式得，则A错误； 根据排列数公式得，则B正确； 根据排列数公式得，则C正确； 根据组合数公式得，， 即，则D正确． 故选:BCD. 13．已知m、n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据排列数计算公式证明； （2）根据排列数计算公式证明. 【详解】（1）根据排列数公式，可以得到． 所以，． （2）根据排列数公式，可以得到 ． 所以，． 14．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】分别利用排列数定义和性质直接证明（1）、（2）. 【详解】（1）左边右边． （2）左边右边． 15．求证：（、为大于1的自然数）． 【答案】证明见解析 【分析】由排列数的计算公式证明即可 【详解】 16．下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用阶乘、排列组合数公式作转化判断各选项正误. 【详解】A：，正确； B：，错误； C：，正确； D：，正确； 故选：ACD 题型三：全排列问题 17．8人围绕圆桌而坐，共有多少种坐法？ 【答案】5040种 【分析】将圆桌而坐的问题转化为坐成一排的问题，再利用全排列即可. 【详解】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，如图4所示，所以固定一人，并从此位置把圆形展成直线其余7人共有种排法，即5040种．    18．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有不同坐法的种数为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】由排列数即可直接求解； 【详解】坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人， 若把人抽象成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置， 则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置， 显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题，从而不同的坐法种数为． 故选：B 19．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个无重复数字的七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有 个． 【答案】144 【分析】要使其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，只需分步完成，先排奇数位数字，再排偶数位数字即可. 【详解】依题意可分两步完成： 第一步，将四个数在奇数位上全排，有种方法， 第二步，将三个数在偶数位上全排，有种方法， 由分步乘法计数原理，共有这样的七位数个． 故答案为：144. 20．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数． (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 【答案】(1)5400种 (2)3360种 (3)360种 【分析】（1）先选后排，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可； （2）先选后排，先安排该男生，根据分步乘法计数原理计算即可； （3）根据分步乘法计数原理计算即可． 【详解】（1）先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有种，后排有种， 共（种）． （2）先选后排，但先安排该男生，有（种）． （3）先从除去该男生、该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其中3人全排有种，共（种）． 21．现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相邻问题捆绑法，即可结合全排列求解. 【详解】在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不全相邻的方法数，即， 故选:B． 22．甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从，，三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为 ． 【答案】486 【分析】先安排甲、乙、丙去三个社区，再让余下4人选择所去社区，然后利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】依题意，甲、乙、丙恰好去三个不同的社区有种方法， 除甲、乙、丙外的余下4人，每个选择一个社区的方法有3种，4人去社区的方法种数为， 所以所有不同的选择种数为. 故答案为：486 【点睛】方法点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 23．如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【分析】（1）由全排列公式求出答案； （2）先选出两个区域种植同一种颜色的花，再考虑其他三种颜色的花，利用分步乘法计数原理得到答案； （3）对区域种植的花的颜色分类讨论，求出各种情况的种植方案数，相加后得到答案. 【详解】（1）由全排列可得，共有种不同的种植方案． （2）第一步，先将5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花，共有种方案； 第二步，再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域，共有种方案． 所以共有种不同的种植方案． （3）要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中，则必然有2个区域种植相同颜色的花． 第一类，区域种植红色的花，4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花， 则相同颜色的花必然种植在或区域，共有种方案． 第二类，区域种植黄色的花，同理可得，共有种方案． 第三类，区域种植蓝色的花，若有2个区域种植白色的花， 则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，所以不可能有2个区域种植白色的花， 故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有种方案． 第四类，区域种植白色的花，同理可得，共有种方案． 综上，共有种不同的种植方案． 24．现有4个医疗小组和4个需要援助的国家，若每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法共有 种. 【答案】 【分析】将个医疗小组全排列即可. 【详解】依题意将个医疗小组全排列即可，即不同的分配方法共有种. 故答案为：. 题型四：元素有限制的排列问题 25．让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲在乙的左边； (2)甲在乙的左边，乙在丙的左边． 【答案】(1)360 (2)120 【分析】（1）［方法一］结合排列数，利用倍缩法求解即可； ［方法二］结合排列数，利用空位法求解即可. （2）［方法一］结合排列数，利用倍缩法求解即可； ［方法二］结合排列数，利用空位法求解即可. 【详解】（1）［方法一］倍缩法：不考虑甲、乙顺序，有种排法，甲、乙全排有（种）排法， 所以甲在乙的左边的排法共有（种）． ［方法二］空位法：从6个位置中选择4个位置把除甲、乙外的其余4人放入，共有种排法， 再将甲、乙按序排入余下的2个位置，因此共有（种）排法． （2）［方法一］倍缩法：不考虑甲、乙、丙顺序，有种排法，甲、乙、丙全排有（种）排法， 所以甲在乙的左边，乙在丙的左边共有（种）排法． ［方法二］空位法：从6个位置中选择3个位置把除甲、乙、丙外的其余3人放入，共有种排法， 再将甲、乙、丙按序排入余下的3个位置，因此共有（种）排法． 26．让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲、乙必须相邻； (2)甲、乙、丙在一起． 【答案】(1)240 (2)144 【分析】（1）方法一：利用捆绑法，将甲、乙“捆绑”在一起当成一个元素与其他4名学生排列即可求解；方法二：利用间接法和插空法，先求当甲、乙不相邻时的排法，最后利用间接法求出甲、乙必须相邻的排法即可； （2）利用捆绑法，将甲、乙、丙“捆绑”在一起当成一个元素与其他3名学生排列即可求解. 【详解】（1）方法一：捆绑法：第1步，将甲、乙“捆绑”在一起当成一个元素与其他4名学生排列，有种排法； 第2步，排甲、乙，有种排法，所以共有（种）排法． 方法二：间接法和插空法：当甲、乙不相邻时，第1步，先排列除甲、乙之外的4名学生，有种排法； 第2步，如图所示，在排好的4名学生的5个空隙中选择其中2个空隙排甲、乙，有种排法， 所以共有（种）排法．所以甲、乙必须相邻的排法共有（种）．    （2）捆绑法：第1步，将甲、乙、丙“捆绑”在一起当成一个元素与其他3名学生排列，有种排法； 第2步，排甲、乙、丙，有种排法，所以共有（种）排法． 27．让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲必须在排头； (2)甲不在排头也不在排尾； (3)甲不在排头，乙不在排尾． 【答案】(1)120 (2)480 (3)504 【分析】（1）甲必须在排头，其他人全排即可； （2）方法一：甲不在排头也不在排尾，甲有种排法，其他全排即可；方法二：先排排头和排尾，其他全排即可； （3）分甲在排尾和甲不在排尾进行讨论排列即可. 【详解】（1）先排甲，有1种排法，再排其他5人，有种排法，所以共有（种）排法． （2）方法一：特殊元素法：先排甲，有种排法，再排其他5人，有种排法， 所以共有（种）排法． 方法二：特殊位置法：先排排头和排尾，有种排法，再排其他4个位置，有种排法， 所以共有（种）排法． （3）对甲进行分类，第一类，甲在排尾，有（种）排法； 第二类，甲不在排尾，有（种）排法， 所以共有（种）排法． 28．某校组织学生参加数学、物理、化学三项学科竞赛，要求每名学生只报名一项竞赛，且每项竞赛至少有一人参加．若有5名学生报名，其中甲、乙都不参加化学竞赛，则不同的报名方案共有 种（用数字作答）． 【答案】62 【分析】根据化学竞赛报名人数1人，2人，3人分情况讨论，结合排列数、组合数计算. 【详解】这5名学生中，若化学竞赛只有1人报名，则报名方案有种； 若化学竞赛有2人报名，则报名方案有种； 若化学竞赛有3人报名，则报名方案有种． 故该班这5名学生不同的报名方案共有种． 故答案为：62. 29．学生食堂提供共4种主食和共5种配菜，李明同学想点2种主食与2种配菜，则（   ） A．不选主食的方法种数为30 B．主食和配菜都选的方法种数为12 C．配菜至少选1种的方法种数为54 D．主食，配菜只选2种的方法种数为21 【答案】ABD 【分析】由两种计数原理结合组合数逐个判断即可. 【详解】对于A，不选主食的方法种数为，A正确； 对于B，主食和配菜都选的方法种数为，B正确； 对于C，配菜至少选1种的方法种数为，C错误； 对于D，主食，配菜只选2种的方法种数为，D正确． 故选：ABD． 30．甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（   ） A．144种 B．168种 C．192种 D．216种 【答案】C 【分析】讨论甲坐的位置，然后根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】如图所示，甲坐位置①，乙有3种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法； 甲坐位置②，乙有2种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法； 甲坐位置③，乙有3种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法， 所以不同坐法种数共有种． 故选：C 31．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序排法种数为（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 【答案】C 【分析】先排两位爸爸，再将两个小孩排在一起，有种排法，进而将两位妈妈和孩子进行全排列，相乘后得到答案. 【详解】（捆绑法）爸爸排法有种，两个小孩排在一起看成一体，有种排法， 妈妈和孩子共有种排法， ∴排法种数共有 （种）方法. 故选：C 32．某次介绍会需要安排6个产品的介绍顺序，其中3个产品来自A公司，2个产品来自B公司，1个产品来自C公司． (1)求B公司的2个产品的介绍顺序相邻的方案数； (2)求同一个公司产品的介绍顺序不相邻，C公司的产品既不是第一个介绍，也不是最后一个介绍的方案数． 【答案】(1)240 (2)96 【分析】（1）将B公司的2个产品的介绍顺序捆绑在一起，进行排列； （2）先排A公司的3个产品有种排法，由于同一个公司产品的介绍顺序不相邻，故分两类情况：一是B公司的2个产品和C公司的1个产品都在A公司的3个产品之间，二是B公司的2个产品中的1个和C公司的1个产品在A公司的3个产品之间，另一个在第一个或最后一个,可得解. 【详解】（1）将B公司的2个产品的介绍顺序捆绑在一起， 与其他4个产品进行全排列，共有种， 故B公司的2个产品的介绍顺序相邻的方案数有240种； （2）先排A公司的3个产品有种排法， 由于同一个公司产品的介绍顺序不相邻，故分两类情况： 一是B公司的2个产品和C公司的1个产品都在A公司的3个产品之间， 即B公司的2个产品中的1个和C公司的1个产品相邻， 共有种排法， 二是B公司的2个产品中的1个和C公司的1个产品在A公司的3个产品之间， 另一个在第一个或最后一个，共有， 所以共有种方案. 题型五：相邻排列问题 33．甲､乙等6人围成一圈，且甲､乙两人相邻，则不同的排法共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【答案】D 【分析】根据环状排列的计算方法，结合元素相邻的计算方法求解. 【详解】因为由于环状排列没有首尾之分，将个不同元素围成的环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有种排法， 由于个不同元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法. 甲､乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲､乙2人可换位，有种坐法，故所求坐法为种. 故选：D 34．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】ABD 【分析】根据题意，由分布、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【详解】对于选项A，课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，通过捆绑法，将课程“礼”“乐”“射”看成一个整体， 与其他3门课程全排列，共有种排法，故A正确； 对于选项B，在所有排列中，课程“礼”排在“乐”的后面与课程“乐”排在课程“礼”的后面的情况等可能， 各占一半，所以课程“礼”排在课程“乐”的后面的排法有种，故B正确； 对于选项C，课程“射”“御”排在不相邻两周，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选， 在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，故C错误； 对于选项D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，用总的排法数减去课程“乐” 排在第一周的排法数，再减去课程“御”排在最后一周的排法数，然后加上课程“乐” 排在第一周且 课程“御”排在最后一周的排法，则总的排法为种，若课程“乐”排在第一周的排法为种， 若课程“御”排在最后一周的排法为种， 课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周的排法为种， 则满足条件的排法数为种，故D正确. 故选：ABD. 35．某班星期二上午有五节课，下午有三节课，安排的课程有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育，其中数学是上午或下午连续的两节课，其余课程各一节，现将体育课安排在下午的第三节，则不同的安排方案有（    ） A．120 B．480 C．600 D．720 【答案】C 【分析】对数学课分上下午安排，由分类加法计数原理即得. 【详解】若数学课安排在下午，只能安排在6，7节，其余5节课全排列，有(种)不同的安排方案， 若数学课安排在上午，可以是12，23，34，45，共4种，其余5节课全排列，有 (种)不同的安排方案， 由分类加法计数原理，共有(种)不同的安排方案. 故选：C 36．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ，2位老师相邻的排法种数为 ． 【答案】 2903040 725760 【分析】第一空，可由插空法求解，第二空可由捆绑法求解； 【详解】（插空法）8名学生的排列方法有种，隔开了9个空位， 在9个空位中排列2位老师，方法数为，由分步乘法计数原理， 2位老师不相邻总的排法种数为， 2位老师相邻的排法种数为． 故答案为：2903040；725760 37．七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（   ） A．96种 B．120种 C．192种 D．240种 【答案】C 【分析】先将甲乙捆绑成一个单元，再讨论其所排位置，运算求解. 【详解】由题意可知，丙排在第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位， 故不同的排法有种. 故选：C. 38．春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【答案】D 【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案. 【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 39．四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（    ） A．288种 B．144种 C．96种 D．72种 【答案】B 【分析】利用插空法和捆绑法求解即可. 【详解】第一步：先对2名女生进行排队，有种排法； 第二步：将除甲和乙之外的人进行排队，有种排法； 第三步：甲、乙采用插空的方式，有种排法．所以共有种． 故选：B. 40．现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【详解】（1）由题意可得共种不同的站法． （2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 题型六：不相邻排列问题 41．6个人站成一排，甲、乙不相邻，有多少种不同的站法？ 【答案】480 【分析】由插空法即可求解. 【详解】（种）. 42．下列叙述正确的是（   ） A．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D．正十二边形的对角线的条数是54 【答案】BCD 【分析】应用间接法求不同排法数判断A；先排千位，再排其它三位判断B；应用分步计数原理判断C；根据对角线定义及分步计数原理求对角线条数判断D. 【详解】A：将5人作全排列有种，先求甲丙相邻的情况，将甲和丙捆绑，再和其他三人全排列，有， 若甲与丙不相邻，则共有种，错； B：从1、2、3中选一个放在千位有种，再把余下的3个数作全排种，共有种，对； C：由题意，每个人都有3种选择，故共有种，对； D：对于任意一个顶点都有9条对角线，但会重复计算一次，故共有条，对. 故选：BCD 43．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目．由于文艺晚会受时间影响，需要分两场演出，若要求4个音乐节目安排在第一个晚上，舞蹈和曲艺节目安排在第二个晚上，并且舞蹈和曲艺节目各自不能相邻，原来第一个和最后一个节目位置不变，有多少种不同的排法？ 【答案】种 【分析】根据分步乘法计数原理，结合不相邻问题即可由排列求解. 【详解】解：第一步先排音乐节目，有种排法； 第二步再排曲艺节目，有种排法； 第三步再排舞蹈节目，把舞蹈放到曲艺节目之间，有种排法， 所以共有种排法． 44．武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（   ）种 A．114 B．120 C．126 D．132 【答案】A 【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可. 【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班， 所以必有一人值班3天，另两人各值班2天. 第一类：值班3天在、、、、、时，共有种不同的值班方法； 第二类：值班3天在、时，共有种不同的值班方法； 第三类：值班3天在时，共有种不同的值班方法； 第四类：值班3天在时，共有种不同的值班方法； 综上可知三位老师在国庆节7天假期共有种不同的值班方法. 故选：A 45．为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： (1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； (2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； (3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 【答案】(1)300 (2)240 (3)2160 【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】（1）因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可， 所以排法种数为：种. （2）完成这件事可以分两步： 第一步：先选人，有种选法； 第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：. 由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：. （3）完成这件事的方法可以分两类： 第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种； 第二类：小钱和小赵都参加，方法有. 由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：. 46．照相时第一排共有6名男生已经站好，现要在这排男生中插入3名女生，要求女生互不相邻，且不在两端，那么不同的排法种数为（    ） A．60 B．48 C．24 D．32 【答案】A 【分析】利用插空法即可得到答案. 【详解】将3名女生插入6名男生中间的5个空档中，有种排法． 故选：A. 47．有辆车停放个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有 种停放方法． 【答案】72 【分析】根据题意分货车甲不靠边和货车甲靠边两种情况求解，然后利用分类加法原理求解即可. 【详解】先停入货车甲，若货车甲不靠边，共有种停法，则乙车有种停法， 除甲、乙外的其它三辆车共有种停法； 若货车甲靠边，共有种停法，则乙车有种停法， 除甲、乙外的其它三辆车的排法共有种， 故共有种停放方法. 故答案为：72 48．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A．如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲、乙不相邻的排法种数为72种 D．甲在乙左边的排列的排法有30种 【答案】BC 【分析】按照题目要求将各个排列的总数算出比对答案即可. 【详解】对于A，如果甲、乙必须相邻，那么将甲乙捆绑， 不同的排法有种，所以选项A错误； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲， 则不同的排法分为两类：甲排最左端：种； 乙排最左端：种， 即不同排法共有种，所以选项B正确； 对于C，甲、乙不相邻的排法种数为种，所以选项C正确； 对于D，甲在乙左边的排列的排法有种，所以选项D错误. 故选：BC. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 排列六大常考题型 题型一：排列数的计算 题型二：排列数的证明 题型三：全排列问题 题型四：元素有限制的排列问题 题型五：相邻排列问题 题型六：不相邻排列问题 题型一：排列数的计算 1．（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 2．已知正整数满足，则 . 3．可表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若，则（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 6．6个人站成一排，甲、乙、丙三人从左到右的顺序保持一定，有多少种不同的站法？ 7．下列数中，与不相等的是（    ） A． B． C． D． 8．定义双阶乘符号：当是自然数时，表示不超过且与有相同奇偶性的所有正整数的乘积，例如：，，则下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：排列数的证明 9．求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 10．若m，n为正整数且，则（    ） A． B． C． D． 11．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 13．已知m、n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 14．求证： (1)； (2)． 15．求证：（、为大于1的自然数）． 16．下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三：全排列问题 17．8人围绕圆桌而坐，共有多少种坐法？ 18．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有不同坐法的种数为（   ） A．6 B． C． D． 19．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个无重复数字的七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有 个． 20．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数． (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 21．现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 22．甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从，，三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为 ． 23．如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 24．现有4个医疗小组和4个需要援助的国家，若每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法共有 种. 题型四：元素有限制的排列问题 25．让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲在乙的左边； (2)甲在乙的左边，乙在丙的左边． 26．让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲、乙必须相邻； (2)甲、乙、丙在一起． 27．让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲必须在排头； (2)甲不在排头也不在排尾； (3)甲不在排头，乙不在排尾． 28．某校组织学生参加数学、物理、化学三项学科竞赛，要求每名学生只报名一项竞赛，且每项竞赛至少有一人参加．若有5名学生报名，其中甲、乙都不参加化学竞赛，则不同的报名方案共有 种（用数字作答）． 29．学生食堂提供共4种主食和共5种配菜，李明同学想点2种主食与2种配菜，则（   ） A．不选主食的方法种数为30 B．主食和配菜都选的方法种数为12 C．配菜至少选1种的方法种数为54 D．主食，配菜只选2种的方法种数为21 30．甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（   ） A．144种 B．168种 C．192种 D．216种 31．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序排法种数为（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 32．某次介绍会需要安排6个产品的介绍顺序，其中3个产品来自A公司，2个产品来自B公司，1个产品来自C公司． (1)求B公司的2个产品的介绍顺序相邻的方案数； (2)求同一个公司产品的介绍顺序不相邻，C公司的产品既不是第一个介绍，也不是最后一个介绍的方案数． 题型五：相邻排列问题 33．甲､乙等6人围成一圈，且甲､乙两人相邻，则不同的排法共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 34．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 35．某班星期二上午有五节课，下午有三节课，安排的课程有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育，其中数学是上午或下午连续的两节课，其余课程各一节，现将体育课安排在下午的第三节，则不同的安排方案有（    ） A．120 B．480 C．600 D．720 36．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ，2位老师相邻的排法种数为 ． 37．七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（   ） A．96种 B．120种 C．192种 D．240种 38．春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 39．四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（    ） A．288种 B．144种 C．96种 D．72种 40．现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 题型六：不相邻排列问题 41．6个人站成一排，甲、乙不相邻，有多少种不同的站法？ 42．下列叙述正确的是（   ） A．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D．正十二边形的对角线的条数是54 43．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目．由于文艺晚会受时间影响，需要分两场演出，若要求4个音乐节目安排在第一个晚上，舞蹈和曲艺节目安排在第二个晚上，并且舞蹈和曲艺节目各自不能相邻，原来第一个和最后一个节目位置不变，有多少种不同的排法？ 44．武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（   ）种 A．114 B．120 C．126 D．132 45．为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： (1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； (2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； (3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 46．照相时第一排共有6名男生已经站好，现要在这排男生中插入3名女生，要求女生互不相邻，且不在两端，那么不同的排法种数为（    ） A．60 B．48 C．24 D．32 47．有辆车停放个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有 种停放方法． 48．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A．如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲、乙不相邻的排法种数为72种 D．甲在乙左边的排列的排法有30种 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $