第六章 计数原理（高效培优单元自测·提升卷）数学人教A版高二选择性必修第三册

第六章 计数原理（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先列举出不大于30的10个素数，再分别求出从10个素数中任取两个素数的情况，以及这些情况中两个素数之和为30的情况，再根据古典概型的概率公式计算即可得解. 【详解】不大于30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个. 从中随机选取两个素数有种情况， 其中被选取的两个素数之和为30的有，，共3种情况， 故所求概率为. 故选：A 2．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【答案】B 【分析】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解． 【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种． 故选：B． 3．若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知能被整除，可得出，结合二项式定理可知能被整除，即可得出合适的选项. 【详解】因为既能被整除又能被整除，故能被整除， 因为 ， 且能被整除，故能被整除， 设，可得，故的最小值为. 故选：D.. 4．在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得展开式的通项公式，再令的指数部分为，由此可求得结果. 【详解】展开式的通项公式为， 令，则，所以， 所以的系数为， 故选：C. 5．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先将女生排好，再利用插空法，排列男生，并根据分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位， 再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种站法． 故选：D． 6．已知二项式的展开式中，二项式系数的和为，则二项式系数最大的项是（   ） A．第3项 B．第、项 C．第4项 D．第、项 【答案】C 【分析】根据二项式系数的和为求出 的值，再利用二项式系数的性质即可求解. 【详解】因为的展开式中，二项式系数的和为64，所以，解得；所以该二项式的展开式共7项，所以二项式系数最大的项为第4项. 故选：C． 7．若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（   ） A．12 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【分析】利用公式二项式系数和为得到，解得的值，求出，整理后设的次数为，求出，从而计算出常数项. 【详解】的展开式中二项式系数和为，，， 设为常数项，则， 故，解得，则. 故选：C. 8．现有标有数字1，2，3，4，⋯，9的卡片各两张，从中选出若干张，记选出的卡片数字之和为9的方法总数为，则下列各式的展开式中的系数为的选项是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出选出的卡片数字之和为9的方法总数，再由组合知识确定展开式中的系数，逐项判断即可得解. 【详解】若选一张卡片有9一种情况，有种方法， 若选两张卡片有1，8；2，7；3，6；4，5，四种情况，有种方法， 若选三张卡片有1，1，7；1，2，6；1，3，5；1，4，4；2，2，5；2，3，4，六种情况， 有种方法， 若选四张卡片有1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3， 有种方法， 若选五张卡片有1，1，2，2，3一种情况，有种方法， 所以． 对A选项，有9个括号选带的项，有1个括号选1，所以的系数为，故A错误； 对B选项，由于，，，所以的系数为，故B错误； 对C选项，若由单独组成，其他项为常数，则有2种，系数为2， 若由两项组成，有，；，；，；，，四种情况，其他项为常数，则系数为， 所以的系数，故C错误； 对D选项， ， 若由单独组成，其他项为常数，则有种，系数为2， 若由两项组成，有，；，；，；，，四种情况，其他项为常数， 则系数为，同理若由三项组成，有，，；，，；，，；，，；，，；，，，六种情况，其他项为常数，则系数为， 同理，若由四项组成，有，，，；，，，；，，，；，，，，四种情况，其他为常数，则系数为， 同理，若由五项组成，有，，，，，一种情况，其他项为常数，则系数为，所以系数为，故D正确； 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某产品的加工需要经过道工序，下列说法正确的是（   ） A．其中某道工序放在最前，有种不同的加工顺序 B．其中某道工序不放在最前，也不放在最后，有种不同的加工顺序 C．其中某两道工序必须相邻，有种不同的加工顺序 D．其中某两道工序不能相邻，有种不同的加工顺序 【答案】ABD 【分析】根据排列的定义，结合捆绑法、插空法逐一判断即可. 【详解】A：某道工序放在最前，其他道工序进行排列即可， 则有种方法，因此本选项说法正确； B：因为某道工序不放在最前，也不放在最后，所以从其他道工序中选出道工序放在最前最后两个位置， 这道工序和剩下的道工序进行排列，则有种方法，因此本选项说法正确； C：因为某两道工序必须相邻，所以把这两道工序捆绑，连同其他道工序进行排列， 则有种方法，因此本选项说法不正确； D：因为某两道工序不能相邻，所以首先其他道工序进行排列，形成个空，然后这两道工序进行插空， 则有种方法，因此本选项说法正确. 故选：ABD 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由二项式定理写出的展开式的通项，求出的系数判断A；对于B，C，D，先求出常数项，再令，求出，减去，可判断B；令，求出，即可求得判断C；令，求出，再利用通项求得，即可求出，判断D. 【详解】的展开式的通项为. 令，得. 对于A，令，得，所以A错误. 对于B，令，得，所以，所以B正确. 对于C，由通项可知，为奇数时，对应项的系数为负数，即均小于零；为偶数时，对应项的系数为正数，即均大于零. 所以. 令，得. 所以，所以C正确. 对于D，令，得 由通项，令，得. 所以，所以D错误. 故选：BC. 11．已知的展开式中常数项为35，为实数，则下列说法正确的有（   ） A．的展开式中各二项式系数之和为64 B． C．的展开式中各项的系数之和为0 D．的展开式中系数最大的项为第4项或第5项 【答案】BC 【分析】对A，由二项式系数之和为，计算判断；对B，根据二项展开式的通项公式求得常数项，进而求得判断；对C，令即可得各项系数之和判断；对D，根据二项式的通项公式求解系数最大项即可判断. 【详解】对于A，的展开式中各二项式系数之和为，故A错误； 对于B，的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的展开式的常数项为， 由题意得，解得，故B正确； 对于C，由B得，令，得该展开式的各项系数之和为，故C正确； 对于D，由B得，该展开式的通项公式为，可得为偶数时，系数才有可能取到最大值， 由，，，， 可知展开式中系数最大的项是第5项，故D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两人相邻的不同坐法共有 种．（结果用数字作答） 【答案】72 【分析】根据特殊位置法，结合两人相邻，第3人的不同位置进行分类讨论进行求解即可. 【详解】设6个座位编号为， 第一步，从3个人中选两人相邻，共有种方法； 第二步，这相邻两人先选择位置，然后第3人按照要求进行选择， 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式， 所以不同坐法共有种. 故答案为： 13．如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第n行是的展开式的二项式系数，直观解释了二项式系数规律.记第行从左至右的第个数为，若被675除所得的余数为，则 ， . 【答案】 26 325 【分析】对于第一空，将表示为，然后利用二项式知识可得答案；对于第二空，由第一空结合二项式定理与杨辉三角关系可得答案. 【详解】对于第一空， 因为 所以被675除所得的余数为26； 对于第二空，由图可得第行，第个数为展开式的第项二项式系数. 则. 故答案为：；. 14．九宫格是一个源自中国古代的概念，具有多种含义和应用，在数学领域：九宫格是一种数字游戏，起源于河图洛书，要求在九个小格子中填入不同的数字，使得每一行每一列和对角线上的数字之和都相等.将1~9的自然数填入九个格中，如图1的九宫格，“?”处应填的数字是 ；如图2，不同的九宫格共有 种. 【答案】 6 8 【分析】利用九宫格性质列式求解；确定九宫格中心位置的数字，再确定数字9所在位置，利用分步乘法计数原理求解即得. 【详解】设九宫格的三行（从上到下）的数字从左到右分别为；；， 而，则，由，得， 由，得，，解得，， 所以“?”处应填的数字是6； 数字5在九宫格的正中，数字9不能在九宫格的四个角上，否则：如，由， 知或中有一个数大于15，矛盾，因此数字9只能在与5同行或同列的4个位置之一， 此时1位置确定，而，角上的数字可互换位置，其它数字只有一种填法， 所以不同九宫格共有种. 故答案为：6；8 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动． (1)共有多少种不同的选择方法? (2)若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法? (3)若要求选出的名志愿者中有男女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用组合进行计数，可求结果； （2）先计算出选出的三人都是男生、都是女生的选法数，然后利用选法总数减去都是男生、都是女生的选法数可求结果； （3）根据分步乘法计数原理，结合组合数和排列数的计算，可求解出结果. 【详解】（1）从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动， 其方法数为种； （2）若选的三人都是男生，有种选法， 若选的三人都是女生，有种选法， 所以既有男生又有女生的选法有种； （3）根据题意，分步进行分析： ①从名男志愿者和名女志愿者中选出男女，选择方法数共有种， ②安排选出的人分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，有种情况， 故不同选派方法数为种． 16．（15分）在的展开式中，第4项的二项式系数和第2023项的二项式系数相等. (1)求展开式中所有二项式系数的和； (2)求展开式中所有奇数项的系数和； (3)求展开式中系数最大的项是第几项？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二项式系数的性质求出值，进而可得二项式系数的和； （2）设，则，则所有奇数项的系数和等于 ，计算可解； （3）设展开式中系数最大的项是第项，列不等式计算即可求解. 【详解】（1）因为，所以. 所以展开式中所有二项式系数的和等于. （2）设，则， 所以展开式中奇数项的系数即为展开式中奇次项的系数 所以展开式中所有奇数项的系数和等于. （3）设展开式中系数最大的项是第项， 则，解得， 又因为，所以， 所以展开式中系数最大项是第1351项. 17．（16分）（1）化简； （2）设，为正整数，若在中，唯一的最大的数是，试求的值. 【答案】（1）；（2）或13 【分析】（1）逆用二项式定理展开式化简即可； （2）先利用二项式展开式通项公式求得，然后判断其单调性，根据题意列不等式求解即可. 【详解】（1）原式； （2）因为二项式展开式的通项为， ， 若，则，得， 当时，；当时，；当时，， 因为在中，唯一的最大的数是，且， 所以，即，又为正整数，所以或13. 18．（16分）在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． (1)如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； (2)假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选： ①五局三胜：先赢得三局者为胜，最多打五局； ②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局． 若甲在一局中获胜的概率为，用含的式子表示在两种赛制下甲获胜的概率，并分析当时，从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率的计算公式结合组合数公式即可求解； （2）分别计算五局三胜定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，比较大小． 【详解】（1）设至少有2个是“长发球回合”为事件， 10个发球回合中，其中“长发球回合”的有7个， 则总事件由中，至少有2个是“长发球回合”有， 所以， 即从这10个发球回合中随机抽取3个，至少有2个是“长发球回合”的概率为； （2）五局三胜，甲获胜的概率为 三局两胜，甲获胜的概率为； 当时，， 因此从甲的角度考虑，三局两胜对他更有利． 19．（17分）我们学过组合数的定义，，其中，并且．牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标推广到任意实数，规定广义组合数是组合数的一种推广，其中，且规定．于是广义二项式定理可写成：，其中．等式右端有无穷项． (1)求和的值． (2)计算的近似值，保留到小数点后位． (3)求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）根据广义组合数公式代入即可求解； （2）根据，代入广义二项式定理的展开式即可求解； （3）分析式子特征，考虑的展开式中，的系数即可求解. 【详解】（1），. （2） （3）根据已知条件所给式子， 考虑的展开式中，的系数． 左式为，的系数为， 右式中的系数为， 所以． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（   ） A． B． C． D． 2．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 3．若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 5．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 6．已知二项式的展开式中，二项式系数的和为，则二项式系数最大的项是（   ） A．第3项 B．第、项 C．第4项 D．第、项 7．若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（   ） A．12 B．15 C．20 D．30 8．现有标有数字1，2，3，4，⋯，9的卡片各两张，从中选出若干张，记选出的卡片数字之和为9的方法总数为，则下列各式的展开式中的系数为的选项是（   ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某产品的加工需要经过道工序，下列说法正确的是（   ） A．其中某道工序放在最前，有种不同的加工顺序 B．其中某道工序不放在最前，也不放在最后，有种不同的加工顺序 C．其中某两道工序必须相邻，有种不同的加工顺序 D．其中某两道工序不能相邻，有种不同的加工顺序 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 11．已知的展开式中常数项为35，为实数，则下列说法正确的有（   ） A．的展开式中各二项式系数之和为64 B． C．的展开式中各项的系数之和为0 D．的展开式中系数最大的项为第4项或第5项 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两人相邻的不同坐法共有 种．（结果用数字作答） 13．如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第n行是的展开式的二项式系数，直观解释了二项式系数规律.记第行从左至右的第个数为，若被675除所得的余数为，则 ， . 14．九宫格是一个源自中国古代的概念，具有多种含义和应用，在数学领域：九宫格是一种数字游戏，起源于河图洛书，要求在九个小格子中填入不同的数字，使得每一行每一列和对角线上的数字之和都相等.将1~9的自然数填入九个格中，如图1的九宫格，“?”处应填的数字是 ；如图2，不同的九宫格共有 种. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动． (1)共有多少种不同的选择方法? (2)若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法? (3)若要求选出的名志愿者中有男女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法? 16．（15分）在的展开式中，第4项的二项式系数和第2023项的二项式系数相等. (1)求展开式中所有二项式系数的和； (2)求展开式中所有奇数项的系数和； (3)求展开式中系数最大的项是第几项？ 17．（16分）（1）化简； （2）设，为正整数，若在中，唯一的最大的数是，试求的值. 18．（16分）在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． (1)如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； (2)假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选： ①五局三胜：先赢得三局者为胜，最多打五局； ②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局． 若甲在一局中获胜的概率为，用含的式子表示在两种赛制下甲获胜的概率，并分析当时，从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 19．（17分）我们学过组合数的定义，，其中，并且．牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标推广到任意实数，规定广义组合数是组合数的一种推广，其中，且规定．于是广义二项式定理可写成：，其中．等式右端有无穷项． (1)求和的值． (2)计算的近似值，保留到小数点后位． (3)求的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $