6.2.1 排列（教学设计）数学人教A版选择性必修第三册

6.2.1 排列 教学设计 1.教学内容 本节课为人教A版（2019）选择性必修第三册6.2.1排列的第一课时，未涉及排列数概念与公式，核心围绕排列的定义展开。通过实际计数问题创设情境，引导学生对比有序与无序选取的差异，逐步抽象出排列的概念：从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列。重点强调“不同元素”“取出m个”“有序排列”三大关键特征，通过实例辨析让学生掌握排列问题的判断方法，理解排列的本质是有序的选取，为后续排列数公式的推导和应用做好概念铺垫，培养学生的抽象概括与逻辑推理能力。 2.内容解析 本节课作为排列第一课时，核心任务是建立排列概念，聚焦“有序性”本质辨析，为后续公式学习筑牢基础。教学以实际有序计数问题为情境，通过对比“从不同元素中选取并按顺序排列”与“无序选取”的差异，引导学生逐步抽象出排列的严格定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，即为一个排列。教学重点突破三大关键要点：一是明确“不同元素”是排列的前提，若元素相同则无排列意义；二是强调“有序性”是排列的核心特征，顺序不同即视为不同排列；三是通过多组实例辨析，帮助学生掌握排列问题的判断方法，能区分有序计数场景与无序计数场景。课堂通过问题链引导学生自主探究，培养抽象概括与逻辑推理能力，落实核心素养目标，同时让学生深刻理解排列与分步乘法计数原理的内在关联，为后续排列数公式的推导及应用建立认知框架，形成“实例—抽象—辨析—应用”的知识构建路径。 教学重点：理解排列的定义，掌握排列问题的判断方法，辨析“有序性”核心特征. 1.教学目标 （1）通过实例理解排列的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列（重点） （2）能应用排列知识解决简单的实际问题. （难点） （3）通过学习排列的概念，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养 2.目标解析 （1）作为课时重点，以实例为载体搭建认知桥梁，引导学生从具体场景中抽象排列概念。通过列举法、树状图法实操，将抽象概念转化为具象操作，既突破“有序性”理解难点，又为后续解决实际问题奠定基础，契合学生从具象到抽象的认知规律。 （2）作为课时难点，聚焦知识应用落地。需依托简单实际问题，引导学生先判断是否为排列问题，再用列举、树状图等方法求解，培养学生将实际场景转化为数学问题的能力，突破“建模应用”的思维壁垒。 （3）立足素养培育，通过概念抽象过程提升数学抽象能力，借助列举、推理排列结果强化逻辑推理素养，实现知识学习与素养发展的融合，落实新课标对数学核心素养的培育要求。 学生此前已掌握分类加法、分步乘法计数原理，能解决简单的计数问题，对“分步计数”的逻辑有基础认知，但掌握程度参差不齐，部分学生易混淆两类原理，分步时易出现步骤遗漏或重复的问题。本节课首次接触“排列”概念，学生缺乏对“顺序”的精准感知，这是核心认知障碍。 教学中预计遇到三大困难：一是难以准确判断实际问题是否与顺序有关，易将排列问题与普通分步计数问题混淆；二是用列举法表示排列时，易出现重复或遗漏，缺乏有序列举的方法；三是对排列概念中“不同元素”“取出元素”“排成一列”的核心要素理解不透彻，无法快速抓住问题本质。 针对以上困难，教学中可结合生活实例对比有无顺序的不同情况，强化“顺序”感知；通过示范树形图、列表法等有序列举方式，教给学生列举技巧；拆解排列概念的核心要素，通过典型例题让学生逐一辨析要素特征，深化概念理解。 教学难点：准确判断计数问题是否与顺序相关，掌握有序列举排列的方法，透彻理解排列概念的核心要素. 1． 创设情境，引入新知 校园活动主持人与节目顺序规划 学校将举办 “校园文化节文艺汇演”，筹备组从 3 名同学（甲、乙、丙）中筛选出了优秀候选人，计划安排部分同学担任主持人或确定节目出场顺序。以下是需要解决的实际问题，请同学们共同探讨。 思考：若从甲、乙、丙 3 名同学中选 2 名担任 “开场主持人” 和 “收尾主持人”（顺序不同算不同安排，即甲开场、乙收尾与乙开场、甲收尾是两种不同方案），共有多少种不同的安排方式？ 请用 “姓名 + 角色” 的形式列举出来（如：甲→开场，乙→收尾） 预设：共 6 种，具体如下：1. 甲→开场，乙→收尾；2. 甲→开场，丙→收尾 3. 乙→开场，甲→收尾；4. 乙→开场，丙→收尾； 5. 丙→开场，甲→收尾；6. 丙→开场，乙→收尾 追问1：若只要求从 3 名同学中选 2 名参与主持工作，不区分 “开场” 和 “收尾” 角色，方案数量会变化吗？两种要求的关键区别是什么？（引导学生发现 “有序分工” 与 “无序选取” 的差异） 预设：数量变化，仅 3 种：（甲、乙）、（甲、丙）、（乙、丙） 关键区别：前者 “有序分工”，后者 “无序选取”， 核心是：是否考虑顺序 追问2：若 3 名同学分别表演 3 个不同的节目（唱歌、跳舞、朗诵），每个节目由 1 人完成，且每人只表演 1 个节目，不同的节目出场顺序对应不同的演出流程，列举出所有不同的演出流程安排？ 预设：假设a同学唱歌，b同学跳舞，c同学朗诵，则流程安排如下： 1. 唱歌（a）→跳舞（b）→朗诵（c）；2. 唱歌（a）→朗诵（c）→跳舞（b）； 3. 跳舞（b）→唱歌（a）→朗诵（c）；4. 跳舞（b）→朗诵（c）→唱歌（a）； 5. 朗诵（c）→唱歌（a）→跳舞（b）；6. 朗诵（c）→跳舞（b）→唱歌（a） （或简化为元素：abc、acb、bac、bca、cab、cba） 追问3：如果把 3 名同学抽象为 3 个不同的元素（记为 a、b、c），问题 1 和问题 3 本质上是 “从 n 个不同元素中取出 m 个（m≤n），按一定顺序排成一列”，这样的排列有多少种？ 2． 探究新知 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法? 要求：先用两个计数原理求得结果 学生：学生利用所学的两个计数原理，尝试着解决该问题. 预设：要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤： 第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种选法； 第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法． 根据分步乘法计数原理：3×2=6 种 追问：用树状图表示所有不同选法 学生：自主画树状图，得出结论. 预设： 思考：如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法? 学生：根据以上问题的解答过程得出结论，并做好分享答案的准备. 预设：所有不同的排列是ab，ac，ba，bc，cb，ca．不同的排列方法种数为 3×2=6 追问：以上问题1中的“顺序”是什么？ 学生：思考得出答案：问题1的顺序为参加活动的顺序，即参加上午的活动在前, 参加下午的活动在后. 设计意图：通过问题1,采用问题串的形式，引导学生 深入思考，为抽象出排列的概念作准备. 问题2：问题2从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数? 要求：先用两个计数原理求得结果 学生：学生利用所学的两个计数原理，尝试着解决该问题. 预设：完成的事情：从4个数字中，取出3个，顺序排成一列，得到一个三位数． 即：从4个数字中，每次取出3个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数，因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数． 可以分三个步骤来解决这个问题： 第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法； 第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法； 第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为4×3×2=24 追问：用树状图表示所有不同选法 学生：自主画树状图，得出结论. 预设： 要求：用列举法，列举出所有的三位数. 师生：自主完成列举，教师巡视，并拍照准备上传展示学生结果. 预设：由此可写出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143， 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342， 412，413，421，423，431，432． 思考：如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：从4个不同的元素a，b，c，d中任意取出3个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法? 学生：根据以上问题的解答过程得出结论，并做好分享答案的准备. 预设：所有不同的排列是 不同的排列方法种数为4×3×2=24 追问：以上问题2中的“顺序”是什么？ 学生：思考得出答案：问题2的顺序为百位在前，十位居中，个位在后. 设计意图：在这一问题中元素的个数增加到了 4个， 取其中3个，增加了问题的复杂度，但本问题的解决过程 和问题1是一样的.让学生再次经历用计数原理解决这一 问题的过程，为形成排列的概念做好了准备. 思考：上述问题1，2的共同特点是什么?你能将它们推广到一般情形吗? 师生：教师提出上述问题，让学生思考、交流、 讨论. 指名学生展示讨论交流的结果，教师进一步规范学生 的表述，从而归纳出排列的定义； 预设：问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数． 排列定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列(arrangement)． 辨析：定义中包含两个基本内容：①取出元素，②按照一定的顺序排列 思考：根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是什么？ 学生：思考和讨论，并尝试得出答案. 预设：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同． 要求：根据问题1和问题2，将自己的以上结论进行举例说明 学生：将以上问题具体化，并分享. 预设：在问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列； “甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 设计意图：通过对上面的两个问题进行数学抽象，在 学生充分思考、交流、讨论的基础上得出排列的定义，让学 生经历这一过程，提升学生的数学抽象核心素养. 牛刀小试： 练1：（多选）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 预设： 练2：（多选）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从10人中选2人去游泳 C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数 预设： 3． 应用新知 例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛? 师生：教师提出问题：这一问题是不是排列问题？你能根据 排列的定义分析这一问题吗？ 学生分析、思考.教师在学生思考的同时，可以给出提示： 分析预设：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 解析预设：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为． 设计意图：引导学生用排列的概念去思考分析这一问 题，加深对排列概念的理解与认识，提升学生用所学知识 分析问题、解决问题的能力. 总结：排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关. 在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑对所取出的元素任意交换其中两个，若结果变化，则是排列问题,否则不是排列问题. 牛刀小试： 练3：从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组，那么共有多少种不同的选法? 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：分析：可以看作是从4名同学中选出2名同学，按“数学、物理”的顺序排成的一个排列． 可以先从4名同学中选出1名同学参加数学学习小组，然后从剩下的3名同学中选1名同学参加物理学习小组．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为． 例2（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法? （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法? 师生：教师引导学生分析：3名同学每人从5盘不同的菜中 取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位 置(给3名同学)的一个排列；而3名同学每人从食堂窗 口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个 排列. 预设：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙．按分步乘法计数原理，不同的取法种数为 ． （2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法．按分步乘法计数原理，不同的选法种数为 ． 总结：解决此类相似问题时，首先要分清楚是不是排列问题，其次使用分步乘法计数原理求排列总数时，要做到步骤完整，步与步之间相互独立，然后把完成每一步的方法数相乘即可得到总数. ． 牛刀小试： 练4：（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）有7种不同的书（每种不少于3本），要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多 少种不同的送法？ 预设：（1）从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，可以先从7本不同的书中选1本给第1位同学，再从剩下6本中选1本给第2位同学，最后从剩下5本中选1本给第3位同学，根据分步乘法计数原理，共有7×6×5＝210(种)不同的送法. （2）从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，每一次有7种选法，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种). 类型一：“排列”判断 例1 判断下列问题是否为排列问题. （1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）； （2）选2个小组分别去植树和种菜； （3）选2个小组去种菜； （4）选10人组成一个学习小组； （5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； （6）某班40名学生在假期相互通信. 预设：（1）虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. （2）植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. （3）（4）不存在顺序问题，不属于排列问题. （5）中每个人的职务不同，存在顺序问题，属于排列问题. （6） A给B写信与 B给A写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题. 综上，（2）（5）（6）属于排列问题,（1）（3）（4）不属于排列问题. 总结：排列问题的判断方法： (1) 元素的无重复性 (2) 元素的有序性 判断关键是看选出的元素有没有顺序要求。 题型二：排列解决“排数”问题 例题2 用1，2，3，4，5，6六个数字，可以排成多少个没有重复数字的三位数？ 预设：由题意，可以看作是从6个元素中，取三个元素，按照一定顺序排列的排列问题. 先从6个数字中，选择一个数字，作为个位，共有6种选法； 再从剩下5个数字中，选择一个数字，作为十位，共有5种选法； 最后从剩下的4个数字中，选择一个数字，作为百位，共有4中选法， 由分步乘法计数原理可得，则共有6×5×4=120(种)不同排法； 总结：排列解决“排数”问题 (1) 先根据排列的定义，判断所解决的问题是否为排列问题 (2) 将排列问题，进行分步进行 (3) 结合分步计数原理即可得解 4． 课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 作业1：完成教材：第16页 练习1；第17页 练习2,3；. 作业2：配套辅导资料对应的《排列》.  6.2.1 排列 一、排列的定义 从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。🔑 关键特征：① 元素不同 ② 取出有序 二、核心辨析 有序→是排列：元素顺序不同，排列不同 无序→非排列：仅元素组合，无顺序要求 三：典例分析区 本节课围绕排列定义展开教学，立足分步乘法计数原理基础，通过实例辨析、列举实操突破“有序”核心难点，整体达成概念理解的教学目标。教学中以生活化实例对比有序与无序问题，让学生直观感知排列本质，列举排列时引导学生用固定首位法分步操作，强化逻辑思维，但仍存在不足：部分学生对抽象问题的有序性判断仍有模糊，实例选取的梯度性可再优化；课堂互动多集中于集体辨析，对学困生的个体指导不足。后续教学需增加分层变式练习，针对有序性判断设计阶梯式问题，同时增加小组讨论环节，让学生在交流中深化对排列核心特征的理解，还需强化分步计数原理与排列概念的衔接，为后续排列数公式学习做好铺垫，注重引导学生自主归纳判断排列问题的方法，提升学生的逻辑推理素养。 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $