6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时） （题型专练）数学人教A版选择性必修第三册

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 （第1课时） 题型一：加法原理解决计数问题 1．小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（   ） A．12 B．14 C．16 D．24 2．现某学校自愿组成数学建模社团，其中高一年级3人，高二年级4人，高三年级6人，选其中一人为负责人，有多少种不同的选法?（   ） A．13 B．78 C．18 D．20 3．小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8张，商务座6张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．17 C．90 D．144 4．某兴趣小组由5名高一学生、7名高二学生和8名高三学生组成，选1名代表小组参加比赛，不同的选法有（   ） A．5种 B．7种 C．15种 D．20种 5．某日小张坐火车从沈阳市到葫芦岛市，已知当天从沈阳市到葫芦岛市的火车中，“K”字开头的车次有7个，“D”字开头的车次有2个，“C”字开头的车次有1个，“G”字开头的车次有20个，“T”字开头的车次有2个，“Z”字开头的车次有7个，则小张当日车次的选择共有 种． 题型二：乘法原理解决计数问题 6．小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 7．给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个字符要求用数字1～9，最多可以给 个程序模块命名． 8．书架上有6本不同的书，再往书架放另外3本不同的书，要求不改变原来书架上6本书的左右顺序，则不同的放法有（   ）种. A．504 B．84 C．1008 D．168 9．有4件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为（ ） A．12 B．32 C．44 D．60 10．某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（    ） A．11种 B．22种 C．30种 D．60种 题型三：两个原理混合应用解决计数问题 11．如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．某女生有件不同颜色的衬衣，件不同花样的裙子，另有套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 13．某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共种奶制品，无花果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选购方法种数为（   ） A． B． C． D． 14．已知a，b是两条相交直线，直线c分别与直线a，b异面，直线a上取4个不同的点，直线b上取3个不同的点，直线c上取2个不同的点，由这9个不同点所能确定的不同平面个数最多是（    ） A．36 B．24 C．12 D．11 15．在如图所示的电路（规定只能闭合其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有（    ）种.    A．4 B．5 C．6 D．8 题型一：多面手问题 16．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 题型二：ab与ba问题 17．3名同学计划去A，B，C，D四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是 .（用数字作答） 18．名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（   ） A． B． C． D． 19．甲、乙、丙、丁四名同学可以随机地选修王老师、张老师、李老师中任何一位老师开设的课程，则不同的选课方案有（   ） A．24种 B．36种 C．64种 D．81种 20．5个班分别从3个研学基地中选择1个基地进行综合实践活动，则不同的选择方法有 种. 21．5个老师分配到3个班里搞活动，不同的分法有 种． 22．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. (1)从书架的第层各取1本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 23．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息． (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下（小明不坐），有多少种不同的坐法？ (2)若小明与爸爸分别就座，有多少种不同的坐法？ 24．集合，.现从，中各取一个元素作为点的坐标． (1)可以得到多少个不同的点？ (2)在这些点中，位于第一象限的有几个？ 25．书架上第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书 (1) 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? (2) 从书架的第1、 2、 3层各取1本书，有多少种不同取法 (3) 从书架的第 1、 2、 3 层各取 1 本书，并将取出的这 3 本书送给3名同学阅读，共有多少种不同的排列方法？ 26．高二（1）班、（48）班、（62）班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试． (1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ (2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ (3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 （第1课时） 题型一：加法原理解决计数问题 1．小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（   ） A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据分类加法计数原理，从武汉到兰州可以乘火车（12种）或飞机（2种），总计种方式． 故选：B 2．现某学校自愿组成数学建模社团，其中高一年级3人，高二年级4人，高三年级6人，选其中一人为负责人，有多少种不同的选法?（   ） A．13 B．78 C．18 D．20 【答案】A 【分析】根据分类加法计数原理直接计算即可. 【详解】根据题意，选择其中一人为负责人，共有三种情况： 若选出的是高一学生，有3种情况； 若选出的是高二学生，有4种情况； 若选出的是高三学生，有6种情况. 由分类加法计数原理可得：共有种不同的选法. 故选：A 3．小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8张，商务座6张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．17 C．90 D．144 【答案】B 【分析】由分类加法计数原理运算即可. 【详解】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为. 故选：B 4．某兴趣小组由5名高一学生、7名高二学生和8名高三学生组成，选1名代表小组参加比赛，不同的选法有（   ） A．5种 B．7种 C．15种 D．20种 【答案】D 【分析】根据已知确定成员总数，分析即可得答案. 【详解】由题意，兴趣小组有名成员，从中选1名，有20种不同的选法． 故选：D． 5．某日小张坐火车从沈阳市到葫芦岛市，已知当天从沈阳市到葫芦岛市的火车中，“K”字开头的车次有7个，“D”字开头的车次有2个，“C”字开头的车次有1个，“G”字开头的车次有20个，“T”字开头的车次有2个，“Z”字开头的车次有7个，则小张当日车次的选择共有 种． 【答案】39 【分析】利用分类加法原理，可得答案. 【详解】由分类加法计数原理可得小张当日车次的选择共有种． 故答案为：. 题型二：乘法原理解决计数问题 6．小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理可得. 【详解】先选羽绒服有3种情况，再选棉裤有2种情况，根据分步乘法计数原理，共有搭配种数． 故选:B． 7．给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个字符要求用数字1～9，最多可以给 个程序模块命名． 【答案】 【分析】根据题意可确定每个字符的可能数，再利用分步乘法原理计算即可. 【详解】首字符要求用字母A～G或U～Z，共种可能， 后两个字符要求用数字1～9，所以后两个字符中每个各有种可能， ，所以最多可以给个程序模块命名． 故答案为：. 8．书架上有6本不同的书，再往书架放另外3本不同的书，要求不改变原来书架上6本书的左右顺序，则不同的放法有（   ）种. A．504 B．84 C．1008 D．168 【答案】A 【分析】定序问题，由分步乘法计数原理可得. 【详解】将新买的本书逐一放进去， 对第一本书，本书形成个空当，在个空当里面选一个有种选法； 对第二本书，本书形成个空当，在个空当里面选一个有种选法； 最后一本书，本书形成个空当，在个空当里面选一个有种选法； 由分步乘法计数原理可得，共有(种). 故选：A 9．有4件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为（ ） A．12 B．32 C．44 D．60 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理计算即可求解. 【详解】由分步乘法计数原理可得不同的配法种数为：. 故选：B. 10．某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（    ） A．11种 B．22种 C．30种 D．60种 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法； 第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法； 根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有（种）． 故选：C． 题型三：两个原理混合应用解决计数问题 11．如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式求解. 【详解】元件不通，设备从a到b的电路工作不正常，共有种， 元件正常，当且仅当元件都不通，设备从a到b的电路工作不正常，只有1种， 所以. 故选：B 12．某女生有件不同颜色的衬衣，件不同花样的裙子，另有套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有种选择； 所以共有种选择. 故选：B. 13．某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共种奶制品，无花果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选购方法种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合条件可将张先生不同的选购方法分为三类，选购一种，选购两种，选购三种，根据分类加法计数原理求结论. 【详解】由条件张先生不同的选购方法分为三类，选购一种，选购两种，选购三种， 选购一种商品的方法有种， 选购两种商品的方法有种， 选购三种商品的方法有种， 由分类加法计数原理可得张先生不同的选购方法种数共有种， 故选：D. 14．已知a，b是两条相交直线，直线c分别与直线a，b异面，直线a上取4个不同的点，直线b上取3个不同的点，直线c上取2个不同的点，由这9个不同点所能确定的不同平面个数最多是（    ） A．36 B．24 C．12 D．11 【答案】A 【分析】由不在同一直线上的三点确定一个平面，分直线c上取两点，取一点或不取点三种情况讨论即可得解. 【详解】根据不在同一直线上的三点确定一个平面，有以下几种情况： （1）直线c上取两点，另一点取自直线a或直线b，可以确定7个平面． （2）直线c上取一点，直线a与直线b上各取一点可以确定个平面； 直线c上取一点，另两点取自同一条直线上，可以确定4个平面． （3）直线c上不取点，另3点都在直线a或直线b上取可以确定1个平面， 所以一共能确定个不同的平面． 故选：A 15．在如图所示的电路（规定只能闭合其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有（    ）种.    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】接通电源使灯泡发光的方案可分为两类：第一类，闭合中的一个开关，共2种方法； 第二类，闭合中的一个开关，共3种方法.根据分类加法计数原理可知. 故选：B 题型一：多面手问题 16．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 【答案】18种 【分析】选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选，可得四类不同的选法，根据分类分步计数原理得出结果. 【详解】选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法． 从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法； 从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法； 从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法； 2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法． ∴共有6＋6＋4＋2＝18种选法． 题型二：ab与ba问题 17．3名同学计划去A，B，C，D四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是 .（用数字作答） 【答案】64 【分析】根据分步乘法计数原理计算. 【详解】由题意知，每位同学均有4个选择，所以不同选法种数是. 故答案为： 18．名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知每个同学都有种选择，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队， 则每个同学都有种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为种. 故选：D. 19．甲、乙、丙、丁四名同学可以随机地选修王老师、张老师、李老师中任何一位老师开设的课程，则不同的选课方案有（   ） A．24种 B．36种 C．64种 D．81种 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁四名同学每名同学选课均有王老师、张老师、李老师共3种选择，根据分步乘法计数原理共有种选择． 故选：D. 20．5个班分别从3个研学基地中选择1个基地进行综合实践活动，则不同的选择方法有 种. 【答案】243 【分析】根据分步乘法计数原理，直接求出结果即可. 【详解】由题意可知5个班分别从3个研学基地中选择1个基地进行综合实践活动，共有种不同方法. 故答案为：243. 21．5个老师分配到3个班里搞活动，不同的分法有 种． 【答案】243 【分析】应用分步乘法计数，即可得. 【详解】每个老师都有3种分配方法，故5个老师共有种. 故答案为：243 22．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. (1)从书架的第层各取1本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 【答案】(1)24 (2)26 【分析】（1）利用分步乘法计数原理求解即可. （2）利用分类加法计数原理求解即可. 【详解】（1）从书架的第层各取1本书，可以分成3个步骤完成： 第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法， 第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法， 第3步从第3层取1本体育书，有2种方法， 根据分步乘法计数原理不同取法的种数是. （2）第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有种方法， 第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法， 第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法， 根据分类加法计数原理不同取法的种数是. 23．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息． (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下（小明不坐），有多少种不同的坐法？ (2)若小明与爸爸分别就座，有多少种不同的坐法？ 【答案】(1)14 (2)182 【分析】（1）分两种情况讨论，选东面的空闲凳子，选西面的空闲凳子，利用分类加法计数原理计算可得； （2）分两步，先小明就座，再小明爸爸就座，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】（1）小明爸爸选凳子可以分两类： 第一类：选东面的空闲凳子，有种坐法； 第二类：选西面的空闲凳子，有种坐法． 根据分类加法计数原理知，小明爸爸共有（种）不同的坐法． （2）小明与爸爸分别就座，可以分两步完成： 第一步，小明先就座，从东、西面共（个）空闲凳子中选一个坐下，共种坐法； 第二步，小明爸爸再就座，从东、西面共个空闲凳子中选一个坐下，共种坐法． 由分步乘法计数原理知，小明与爸爸分别就座共有（种）不同的坐法． 24．集合，.现从，中各取一个元素作为点的坐标． (1)可以得到多少个不同的点？ (2)在这些点中，位于第一象限的有几个？ 【答案】(1)24 (2)8 【分析】（1）分选中的元素为，中的元素为，及选中的元素为，中的元素为两种情况讨论，利用分步乘法计数原理及分类加法计数原理计算可得； （2）结合第一象限内点的坐标的特征，利用分步乘法计数原理及分类加法计数原理计算即可； 【详解】（1）一个点的坐标由，两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点， 又集合与中的元素互不相同， 所以可分为两类： 第一类：选中的元素为，中的元素为，有（个）不同的点； 第二类：选中的元素为，中的元素为，有（个）不同的点． 由分类加法计数原理得不同的点的个数为． （2）第一象限内的点，必须为正数，从而只能取，中的正数， 又集合与中的元素互不相同， 所以可分为两类： 第一类：选中的正元素为，中的正元素为，有（个）不同的点； 第二类：选中的正元素为，中的正元素为，有（个）不同的点． 由分类加法计数原理得不同的点的个数为． 25．书架上第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书 (1) 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? (2) 从书架的第1、 2、 3层各取1本书，有多少种不同取法 (3) 从书架的第 1、 2、 3 层各取 1 本书，并将取出的这 3 本书送给3名同学阅读，共有多少种不同的排列方法？ 【答案】(1)9 (2)24 (3)144 【分析】（1）利用分类加法原理，即可求解； （2）利用分步乘法原理，即可求解； （3）根据（2）的结果，再多一步分配，即可求解. 【详解】（1）从书架上个任取一本书，可以有三种方案：第一种方案从第一层取一本计算机书，有4种方法； 第二种方案从第二层取一本文艺书，有3种方法； 第三种方案从第三层取一本体育书，有2种方法． 根据分类加法计数原理，共有种. （2）分3步完成：第一步从第一层取一本计算机书，有4种方法； 第二步从第二层取一本文艺书，有3种方法； 第三步从第三层取一本体育书，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，共有种方法. （3）由 (2) 可知，从书架的第 1、 2、 3 层各取 1 本书，有种不同取法 . 送给3名同学阅读，则为三本书的全排列，， 则共有种不同的排列方法. 26．高二（1）班、（48）班、（62）班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试． (1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ (2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ (3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 【答案】(1)21种； (2)315种； (3)143种． 【分析】（1）根据分类加法计数原理求解； （2）根据分步乘法计数原理求解； （3）综合利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解； 【详解】（1）事件选一人当组长可分三类方案完成， 第一类，组长从（1）班选出，有7种选法、 第二类，组长从（48）班选出，有5种选法、 第三类，组长从（62）班选出，有9种选法， 根据分类加法计数原理，选一人当组长有种选法， （2）如果老师任组长，每班选一名副组长，则需要分三步， 第一步，从（1）班选一名同学担任副组长，有7种选法， 第二步，从（48）班选一名同学担任副组长，有5种选法， 第三步，从（62）班选一名同学担任副组长，有9种选法， 根据分步乘法计数原理，每班选一名副组长共有种选法； （3）事件推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，可分为三类方案， 第一类，若两人来自（1）班和（48）班，有种选法， 第二列，若两人来自（1）班和（62）班，有种选法， 第三类，若两人来（48）班和（62）班，有种选法， 综上可知，这两人来自不同的班级的不同的选法有种． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $