第二单元 多边形的面积（三角形） （解决问题讲义）数学青岛版五四学制四年级下册

第二单元 多边形的面积（三角形） 1.三角形面积的意义： ----理解三角形面积的含义，明确其表示三角形所占平面的大小 2.三角形面积公式的推导： ----通过剪拼、转化等方法，推导出三角形面积=底×高÷2（S=ah÷2），建立公式推导的逻辑认知 3.三角形面积的计算： ----掌握公式中底和高的对应关系，能正确代入数据计算三角形面积 4.实际问题应用： ----结合生活场景，运用三角形面积公式解决实际测量、计算等问题 5.面积单位的规范使用： ----牢记面积单位（平方厘米、平方分米、平方米等）的适用场景，计算结果规范标注单位 类型1 三角形的面积解决问题： 典型例题1：妙想家在一块底边为4米，高为3.5米的三角形空地上种满了鲜花，如果每平方米土地的鲜花卖300元，这块三角形空地上的鲜花可以卖多少元？ 【答案】2100元 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据求出三角形空地的面积，再乘每平方米土地上鲜花的价格，即可求出这块三角形空地上的鲜花可以卖多少元。 【详解】4×3.5÷2×300 ＝14÷2×300 ＝7×300 ＝2100（元） 答：这块三角形空地上的鲜花可以卖2100元。 变式训练：农场里有一块三角形的种植试验田，底是26米，高是15.5米。这块试验田的面积是多少平方米？如果每平方米可以种植8株小番茄，这块地一共可以种植多少株小番茄？ 【答案】201.5平方米；1612株 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，代入数据，求出三角形试验田的面积；再用试验田的面积×每平方米种植小番茄的株数，即可解答。 【详解】26×15.5÷2 ＝403÷2 ＝201.5（平方米） 201.5×8＝1612（株） 答：这块试验田的面积是201.5平方米，这块地一共可以种植1612株小番茄。 类型2 平行线间三角形的面积问题： 典型例题2：下面两条平行线之间有两个三角形（①号和②号）。 （1）这两个三角形的面积相等吗？（    ）（选填“相等”或“不相等”。） （2）请在下面表格中画一个与②号三角形面积相等的三角形。 【答案】（1）相等；（2）见详解 【分析】（1）三角形面积＝底×高÷2，这两个三角形的底均为2，高均为4，那么这两个三角形等底等高、面积相等； （2）可以画一个与②号三角形等底等高的三角形，使它们的面积相等。 【详解】（1）这两个三角形的面积相等吗？相等。 （2）如图： （答案不唯一） 变式训练：（1）如图中有（    ）对三角形的面积相等。 （2）你还能画出和三角形ABC面积相等的三角形吗？画一画，你发现了什么？ 我发现了：（    ）。 【答案】（1）2 （2）见详解 【分析】根据题意两平行线之间的距离相等，再依据三角形面积公式即可判断面积相等的三角形。 画出和三角形ABC面积相等的三角形，可以以BC为底，在AD直线上任取一点作为三角形的顶点和B，C两点分别连接，即可画出。 【详解】（1）∆ABC和∆DBC，它们的高是两平行线间的距离相等。而且底都是BC，根据三角形面积公式可知它们的面积相等。∆ABC和∆DBC都包含一个公共的∆BEC，去掉这个公共的三角形后，两个三角形剩余的部分是∆ABE和∆DCE面积也相等，所以有2对三角形面积相等。 （2）如图所示： 等底等高的三角形的面积相等 A夯实基础 1．剪纸是古老的民间艺术。小红的妈妈剪了一个精美的“寿”字窗花，它的轮廓是一个底为8分米，高为5分米的三角形，这个窗花的面积是（    ）。 A．40平方分米 B．20平方分米 C．13平方分米 D．26平方分米 【答案】B 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入计算，即可求得这个窗花的面积是多少平方分米。 【详解】8×5÷2 ＝40÷2 ＝20（平方分米） 所以这个窗花的面积是20平方分米。 故答案为：B 2．如图，三角形ABD的面积是60平方米，线段BC长2米，线段CD长8米，三角形ACD的面积是（    ）平方米。 A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】D 【分析】已知三角形ABD的面积是60平方米，底边BD＝BC＋CD＝2＋8＝10米，根据“三角形面积＝底×高÷2”，用三角形面积乘2除以底求出高； 三角形ACD的高和三角形ABD的高相等，底边CD长8米，根据“三角形面积＝底×高÷2”即可求出三角形ACD的面积。 【详解】2＋8＝10（米） 60×2÷10 ＝120÷10 ＝12（米） 12×8÷2 ＝96÷2 ＝48（平方米） 所以三角形ACD的面积是48平方米。 故答案为：D 3．一个三角形与一个平行四边形底相等，面积也相等。平行四边形的高是12厘米，三角形的高是（    ）厘米。 A．6 B．12 C．24 D．无法确定 【答案】C 【分析】等面积等底的平行四边形和三角形，三角形的高是平行四边形高的2倍，平行四边形的高×2＝三角形的高，据此列式计算。 【详解】12×2＝24（厘米） 三角形的高是24厘米。 故答案为：C 4．一个平行四边形的底是9厘米，高是5厘米，它的面积是( )平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】 45 22.5 【分析】①平行四边形的面积＝底×高，已知底和高，直接代入公式计算即可。 ②三角形的面积＝底×高÷2，由于该三角形与平行四边形等底等高，所以可以先算出平行四边形的面积，再除以2即可求得三角形面积。 【详解】①（平方厘米） ②（平方厘米） 所以，一个平行四边形的底是9厘米，高是5厘米，它的面积是45平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是22.5平方厘米。 5．一个三角形广告牌的底边长1.2米，底边上对应的高是0.4米，它的面积是( )平方米，如果给这个广告牌的正面刷上油漆，每平方米需要油漆1.5千克。刷完这个广告牌需要( )千克油漆。 【答案】 0.24 0.36 【分析】根据三角形面积＝底乘高除以2计算，用三角形面积乘每平方米需要油漆1.5千克即为需要多少千克油漆。 【详解】1.2×0.4÷2＝0.24（平方米） 0.24×1.5＝0.36（千克） 所以它的面积是0.24平方米，刷完这个广告牌需要0.36千克油漆。 6．如下图，在由五个正方形拼成的长方形中，画了两个三角形，三角形A的面积是25平方厘米，那么三角形B的面积是( )平方厘米。 【答案】25 【分析】设每个正方形的边长为a。三角形A：底为1个正方形的边长a，高也为正方形的边长a。三角形B：底同样为1个正方形的边长a，高也等于正方形的边长a。根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入底和高的数值后，两个三角形的面积表达式均为a2，因此二者面积相等。已知三角形A的面积是25平方厘米，所以三角形B的面积也为25平方厘米。据此解答。 【详解】设每个正方形的边长为a。 三角形A的面积：a×a÷2 ＝a2÷2 ＝a2 三角形B的面积：a×a÷2 ＝a2÷2 ＝a2 因此三角形A的面积与三角形B的面积相等。 因为三角形A的面积是25平方厘米，所以三角形B的面积是25平方厘米。 B培优拔高 7．李明家在一块三角形菜地上种白菜，菜地的底是9.6m，高是16m。如果每平方米收25kg白菜，这块地一共能收多少千克白菜？ 【答案】1920千克 【分析】由题意知，我们需要先求出这块三角形菜地的面积，再乘每平方米的白菜产量25千克，就是这块菜地一共收白菜多少千克。 【详解】根据分析得出： ＝÷2 ＝（平方米） ×25＝1920（千克） 答：这块地一共能收1920千克白菜。 8．一个梯形，如果上底减少3厘米，就变成一个三角形，面积比原来的梯形减少6平方厘米；如果上底增加5厘米，就变成一个平行四边形。这个梯形原来的面积是多少平方厘米？ 【答案】22平方厘米 【分析】一个梯形，如果上底减少3厘米，就变成一个三角形，面积比原来的梯形减少6平方厘米，则这个梯形的上底为3厘米，减少的图形为三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，用减少的面积6平方厘米乘2再除以3即可求出这个三角形的高即为梯形的高； 如果上底增加5厘米，就变成一个平行四边形，则这个梯形的下底长为（3＋5＝8）厘米，再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2即可求出这个梯形的面积。 【详解】6×2÷3＝4（厘米） 3＋5＝8（厘米） （3＋8）×4÷2 ＝11×4÷2 ＝22（平方厘米） 答：这个梯形原来的面积是22平方厘米。 【点睛】根据梯形的面积公式以及图形的变化形状，即可确定梯形的上底，下底以及高即可求解梯形的面积。 9．一种三角形板材，量得它的底是2.4米，高是1.5米。如果每平方米板材的价格是68元，买这样的一块板材需要多少钱？ 【答案】122.4元 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，计算出这块板材的面积，板材面积×每平方米价格＝买这样的一块板材需要的钱数。 【详解】2.4×1.5÷2×68 ＝1.8×68 ＝122.4（元） 答：买这样的一块板材需要122.4元钱。 10．如图是一个平行四边形，把它分割成三个三角形后，其中两个空白三角形的面积分别是平方厘米和平方厘米，中间涂色三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】24平方厘米 【分析】由图可知涂色部分和平行四边形等底等高，所以涂色部分的面积为平行四边形的一半，空白部分的两个三角形等高，三角形的面积为：，两三角形的底相加等于涂色三角形的底，空白部分的面积就等于涂色部分的面积。 【详解】8＋16＝24（平方厘米） 答：中间涂色三角形的面积是24平方厘米。 11．红领巾是少先队员的标志，它代表红旗的一角，是革命先烈的鲜血染成的。小号三角形红领巾的底边长是100厘米，高是33厘米。做20条这样的红领巾，至少需要多大面积的绸布？ 【答案】 33000平方厘米 【分析】红领巾的形状是三角形，已知底边长和高，根据三角形面积＝底×高÷2，计算出一条红领巾的面积，再乘20条，得到所需绸布的总面积。 【详解】一条红领巾的面积： （平方厘米） 20条红领巾的面积：（平方厘米） 答：至少需要33000平方厘米的绸布。 C思维拓展 12．刘爷爷要在一块底是15米，对应的高是12米的三角形空地里栽树苗，如果每棵树苗的占地面积是0.6平方米，这块三角形空地里最多可以栽多少棵树苗？ 【答案】150棵 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，代入数据算出三角形空地的面积，再用总面积除以每棵树苗的占地面积，得到这块空地上最多可以栽的树苗棵数。 【详解】15×12÷2 ＝180÷2 ＝90（平方米） 90÷0.6＝150（棵） 答：这块三角形空地里最多可以栽150棵树苗。 13．一个三角形果园，面积是560平方米，要从点A安装一条水管到BC边，这条水管最短长多少米？如果1米水管要26.5元，安装这条水管需要多少元？ 【答案】28米；742元 【分析】已知三角形果园的面积是560平方米，底边长度为40米，根据“三角形面积＝底×高÷2”，用三角形的面积乘2除以底求出三角形的高，即为这条水管的最短长度； 1米水管26.5元，用1米水管的价格乘长度即可求出安装这条水管所需要的钱数。据此解答。 【详解】560×2÷40 ＝1120÷40 ＝28（米） 26.5×28＝742（元） 答：这条水管最短长28米，安装这条水管需要742元。 14．一块三角形玉米地，底长为180米，高为50米，平均每平方米地收玉米6.5千克，这块地共收玉米多少千克？ 【答案】29250千克 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，可求得三角形的面积，再用三角形的面积乘平均每平方米地收玉米6.5千克，即可求得这块地共收玉米多少千克。 【详解】180×50÷2 ＝9000÷2 ＝4500（平方米） 6.5×4500＝29250（千克） 答：这块地共收玉米29250千克。 15．校园的一角有一块三角形空地，底是36.5米，高是14米。同学们想把它开垦出来种上向日葵。如果每棵向日葵占地0.25平方米，这块地可种多少棵向日葵？ 【答案】1022棵 【分析】先根据“”求出这块三角形空地的面积，这块地可以种向日葵的棵数＝这块三角形空地的面积÷每棵向日葵的占地面积，据此解答。 【详解】36.5×14÷2÷0.25 ＝511÷2÷0.25 ＝255.5÷0.25 ＝1022（棵） 答：这块地可种1022棵向日葵。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 多边形的面积（三角形） 1.三角形面积的意义： ----理解三角形面积的含义，明确其表示三角形所占平面的大小 2.三角形面积公式的推导： ----通过剪拼、转化等方法，推导出三角形面积=底×高÷2（S=ah÷2），建立公式推导的逻辑认知 3.三角形面积的计算： ----掌握公式中底和高的对应关系，能正确代入数据计算三角形面积 4.实际问题应用： ----结合生活场景，运用三角形面积公式解决实际测量、计算等问题 5.面积单位的规范使用： ----牢记面积单位（平方厘米、平方分米、平方米等）的适用场景，计算结果规范标注单位 类型1 三角形的面积解决问题： 典型例题1：妙想家在一块底边为4米，高为3.5米的三角形空地上种满了鲜花，如果每平方米土地的鲜花卖300元，这块三角形空地上的鲜花可以卖多少元？ 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据求出三角形空地的面积，再乘每平方米土地上鲜花的价格，即可求出这块三角形空地上的鲜花可以卖多少元。 变式训练：农场里有一块三角形的种植试验田，底是26米，高是15.5米。这块试验田的面积是多少平方米？如果每平方米可以种植8株小番茄，这块地一共可以种植多少株小番茄？ 类型2 平行线间三角形的面积问题： 典型例题2：下面两条平行线之间有两个三角形（①号和②号）。 （1）这两个三角形的面积相等吗？（    ）（选填“相等”或“不相等”。） （2）请在下面表格中画一个与②号三角形面积相等的三角形。 【分析】（1）三角形面积＝底×高÷2，这两个三角形的底均为2，高均为4，那么这两个三角形等底等高、面积相等； （2）可以画一个与②号三角形等底等高的三角形，使它们的面积相等。 变式训练：（1）如图中有（    ）对三角形的面积相等。 （2）你还能画出和三角形ABC面积相等的三角形吗？画一画，你发现了什么？ 我发现了：（    ）。 A夯实基础 1．剪纸是古老的民间艺术。小红的妈妈剪了一个精美的“寿”字窗花，它的轮廓是一个底为8分米，高为5分米的三角形，这个窗花的面积是（    ）。 A．40平方分米 B．20平方分米 C．13平方分米 D．26平方分米 2．如图，三角形ABD的面积是60平方米，线段BC长2米，线段CD长8米，三角形ACD的面积是（    ）平方米。 A．12 B．24 C．36 D．48 3．一个三角形与一个平行四边形底相等，面积也相等。平行四边形的高是12厘米，三角形的高是（    ）厘米。 A．6 B．12 C．24 D．无法确定 4．一个平行四边形的底是9厘米，高是5厘米，它的面积是( )平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是( )平方厘米。 5．一个三角形广告牌的底边长1.2米，底边上对应的高是0.4米，它的面积是( )平方米，如果给这个广告牌的正面刷上油漆，每平方米需要油漆1.5千克。刷完这个广告牌需要( )千克油漆。 6．如下图，在由五个正方形拼成的长方形中，画了两个三角形，三角形A的面积是25平方厘米，那么三角形B的面积是( )平方厘米。 B培优拔高 7．李明家在一块三角形菜地上种白菜，菜地的底是9.6m，高是16m。如果每平方米收25kg白菜，这块地一共能收多少千克白菜？ 8．一个梯形，如果上底减少3厘米，就变成一个三角形，面积比原来的梯形减少6平方厘米；如果上底增加5厘米，就变成一个平行四边形。这个梯形原来的面积是多少平方厘米？ 9．一种三角形板材，量得它的底是2.4米，高是1.5米。如果每平方米板材的价格是68元，买这样的一块板材需要多少钱？ 10．如图是一个平行四边形，把它分割成三个三角形后，其中两个空白三角形的面积分别是平方厘米和平方厘米，中间涂色三角形的面积是多少平方厘米？ 11．红领巾是少先队员的标志，它代表红旗的一角，是革命先烈的鲜血染成的。小号三角形红领巾的底边长是100厘米，高是33厘米。做20条这样的红领巾，至少需要多大面积的绸布？ C思维拓展 12．刘爷爷要在一块底是15米，对应的高是12米的三角形空地里栽树苗，如果每棵树苗的占地面积是0.6平方米，这块三角形空地里最多可以栽多少棵树苗？ 13．一个三角形果园，面积是560平方米，要从点A安装一条水管到BC边，这条水管最短长多少米？如果1米水管要26.5元，安装这条水管需要多少元？ 14．一块三角形玉米地，底长为180米，高为50米，平均每平方米地收玉米6.5千克，这块地共收玉米多少千克？ 15．校园的一角有一块三角形空地，底是36.5米，高是14米。同学们想把它开垦出来种上向日葵。如果每棵向日葵占地0.25平方米，这块地可种多少棵向日葵？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $