第四单元 认识负数（解决问题讲义）数学青岛版五四学制四年级下册

第四单元 认识负数 1.负数的意义与读写： ----认识负数的含义，理解负数是表示相反意义的量，掌握正数（+）和负数（-）的读写方法，建立负数的实际概念 2.正数、负数与0的关系： ----明确0既不是正数也不是负数，理解正数都大于0、负数都小于0的特点，掌握正负数与0的大小关联 3.生活中负数的应用场景： ----结合温度、收支、海拔、方向等生活实例，认识负数在实际生活中的具体应用，能准确用正负数表示相反意义的量 4.正负数解决实际问题的方法： ----掌握运用正负数表示实际情境中数量关系的技巧，能通过分析正负数的含义，解决温度比较、收支计算、距离判断等实际问题 5.正负数的大小比较与实际运用： ----掌握正数与正数、正数与负数、负数与负数的大小比较方法，能结合解决问题的需求，通过比较正负数大小分析实际情境中的数量规律 类型1 温度的认识及比较解决问题： 典型例题1：气温会随着海拔的升高而降低，海拔每升高100米，气温就下降0.6℃。5月爸爸去四川旅行，看到了“山顶白雪皑皑，山脚山花烂漫”的奇特景观。他在海拔约2500米的康定城时温度是20℃，攀登上海拔5500米的四姑娘山（二峰）山顶时，温度是多少℃？ 【答案】2℃ 【分析】用5500减去2500求出从康定城到四姑娘山（二峰）山顶时海拔升高的高度，再除以100求出海拔升高的高度里有多少个100米，有多少个100米就有多少0.6摄氏度，据此求出下降的温度，再用20摄氏度减去下降的温度即可解答。 【详解】（5500－2500）÷100×0.6 ＝3000÷100×0.6 ＝30×0.6 ＝18（℃） 20℃－18℃＝2℃ 答：山顶是2℃。 变式训练：下表是某一天四个城市的最高气温。 城市 武汉 北京 昆明 长春 最高气温/℃ 5 0 15 －10 （1）你会在温度计上表示出这些温度吗？ （2）把这四个城市的最高气温按从高到低的顺序排列起来。 【答案】（1）见详解；　 （2）15℃＞5℃＞0℃＞﹣10℃ 【分析】（1）以0刻度为标准，5、15在0刻度上方，﹣10在0刻度下方； （2）温度是零下的，数字越大，温度越低，0℃比任何一个零下几摄氏度都高；温度是零上的，数字越大，温度越高，0℃比任何一个零上几摄氏度都低；据此进行比较即可。 【详解】（1）作图如下： 　 （2）15℃＞5℃＞0℃＞﹣10℃ 类型2 温度的应用解决问题： 典型例题2：优优看到“会当凌绝顶，一览众山小”想知道泰山的高度，爸爸告诉优优，可以用温差来测量泰山的高度。请你帮优优算一算泰山的高度大约是多少米？ 【答案】1500米 【分析】根据资料②，某一天山顶温度是﹣2℃，山脚温度是7℃，那么这一天山顶与山脚的温差是2＋7＝9℃； 根据资料①，海拔每升高100米，温度大约下降0.6℃；用除法求出这一天山顶与山脚的温差9℃里面有几个0.6℃，就有几个100米，据此算出泰山的高度。 【详解】2＋7＝9（℃） 9÷0.6×100 ＝15×100 ＝1500（米） 答：泰山的高度大约是1500米。 变式训练：下表是天气预报给出的我国部分城市某日的最高气温。 北京 沈阳 南京 重庆 武汉 ﹣15℃ ﹣25℃ ﹣10℃ 6℃ 3℃ （1）北京与沈阳哪个城市的温度高？ （2）把北京、沈阳、南京、重庆、武汉的温度按照从低到高的顺序排列起来。 （3）北京气温比武汉气温低多少度？ 【答案】（1）北京 （2）﹣25℃＜﹣15℃＜﹣10℃＜3℃＜6℃ （3）18℃ 【分析】（1）比较北京和沈阳两个城市的温度大小。 （2）任何一个负数都比正数小，负数比较大小时，数值大的反而越小，数值小的反而越大。据此将各个城市的温度按照从低到高的顺序排列起来。 （3）北京温度比0℃低15℃，武汉温度比0℃高3℃，则北京气温比武汉气温低18℃。 【详解】（1）﹣15℃＞﹣25℃ 答：北京的温度高。 （2）﹣25℃＜﹣15℃＜﹣10℃＜3℃＜6℃。 （3）15＋3＝18（℃） 答：北京气温比武汉气温低18℃。 【点睛】本题考查正负数比较大小的方法，需熟练掌握。 类型3 正负数的概念及辨认解决问题： 典型例题3：一只蜗牛从点A出发，在一条直线上来回爬行。假设向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程（单位：厘米）依次为﹢5、﹣3、﹢9、﹣6、﹣4、﹢6、﹣7。这只蜗牛最后是否爬到了点A？ 【答案】是 【分析】结合题意知：向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数。 将所有的正数和负数分别加起来，如果正数和与负数和相等，说明回到了A点，不相等就没有回到A点。 【详解】5＋9＋6 ＝14＋6 ＝20（厘米） 3＋6＋4＋7 ＝9＋4＋7 ＝13＋7 ＝20（厘米） 20＝20 答：这只蜗牛最后爬到了点A。 变式训练：五年级一班同学参加小学生体质健康测试，根据《国家学生体质测试标准》，男生一分钟仰卧起坐做50个或50个以上可得100分，如果把50个作为标准记作0，第一小组中的五位同学仰卧起坐的成绩记录如下表： 姓名 张楠 李光辉 程一恒 王毅强 宋慧斌 成绩（个） ﹣2 ﹢5 ﹢3 0 ﹣4 （1）这个小组中得100分的同学有（    ）个。 （2）没得100分的同学一共做了多少个仰卧起坐？ 【答案】（1）3 （2）94个 【分析】（1）正数、负数表示两种相反意义的量。根据规定把50个作为标准记作0，超过标准的记作正，低于标准的就记作负。 观察表格，记作正数或0的就是得100分的同学，数出人数即可。 （2）观察表格，记作负数的就是没得100分的同学，用标准个数减去比标准低的个数，求出实际个数，再相加即可。 【详解】（1）这个小组中得100分的同学是李光辉﹢5个，程一恒﹢3个，王毅强0个，一共有3个。 所以，这个小组中得100分的同学有（3）个。 （2）张楠：50－2＝48（个） 宋慧斌：50－4＝46（个） 一共：48＋46＝94（个） 答：没得100分的同学一共做了94个仰卧起坐。 类型4 正负数的读法和写法解决问题： 典型例题4：某批白糖每袋的标准质量是200克。从这批白糖中抽取4袋，结果如下：①203.3克，②194.7克，③205.2克，④198.8克。 （1）如果把超过标准质量的记作正数，不足的记作负数，分别表示出4袋白糖的质量。 （2）如果质量在2005克范围内为合格，这4袋白糖的合格率是多少？ 【答案】 （1）①﹢3.3克，②﹣5.3克，③﹢5.2克，④﹣1.2克； （2）50% 【分析】（1）以200克为标准，超过部分记为正，不足记为负，分别计算实际质量与200克的差，再用正负数表示即可； （2）合格范围：（克）到（克）之间，再比较找出合格的袋数，根据合格袋数÷总袋数×100%，代入数据计算即可。 【详解】（1）（克） （克） （克） （克） 4袋白糖的质量分别可表示为：①﹢3.3克，②﹣5.3克，③﹢5.2克，④﹣1.2克 （2）合格范围：（克）到（克）之间 有2袋合格 2÷4×100%＝50% 答：这4袋白糖的合格率是50%。 变式训练：一列数以50为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，记录如下：﹢3，﹣5，﹢1，﹢3，﹣4，﹣3，﹣5，﹣2。 （1）求出这列数的和。 （2）求出这列数的平均数。 （3）将这列数的平均数与标准数进行比较，结果用正、负数表示。 【答案】（1）388 （2）48.5 （3）结果记为：﹣1.5 【分析】（1）要想求出这列数的和，就要知道每一个数是多少；因为这列数是以50为标准，将超过的记为正数、不足的记为负数，所以可用加减法将这列数一一还原，再求出这列数的和； （2）由题意，这列数共有8个，可用上一问中的这列数的和除以8，就得到了这列数的平均数； （3）如果平均数比50大，可将其与50的差记为正数；如果平均数比50小，则可在50与其的差前面添上负号，记为负数。 【详解】（1）（50＋3）＋（50－5）＋（50＋1）＋（50＋3）＋（50－4）＋（50－3）＋（50－5）＋（50－2） ＝53＋45＋51＋53＋46＋47＋45＋48 ＝388 答：这列数的和为388。 （2）388÷8＝48.5 答：这列数的平均数为48.5。 （3）因为：48.5＜50，所以平均数可记作： ﹣（50－48.5）＝﹣1.5 答：结果记为：﹣1.5。 【点睛】主要考查了对正负数的认识及应用，要能够理解标准数的含义，它是这一列数的基准，其他数都以它为标准，如果比它大就记为正数、反之记为负数；有了基准数，还要有经过比较后记录下来的正负数，才能一一将这列数还原；还原后才能顺利求得总和及平均数。 类型5 正负数的意义及应用解决问题： 典型例题5：亮亮、兰兰、林林、玲玲、阳阳5人的身高情况如下表。 姓名 亮亮 兰兰 林林 玲玲 阳阳 身高 150cm 130cm 140cm 145cm 135cm 相对身高 ﹣10cm (1)这5名同学的平均身高是( )cm。 (2)以平均身高为标准，兰兰矮10cm，记作﹣10cm。请写出另外4名同学的身高情况，完成上表。 【答案】(1)140 (2)﹢10cm；0cm；﹢5cm；﹣5cm 【分析】根据题意可知：平均身高＝总身高÷人数；以平均身高为标准，超过平均身高，记为正，低于平均身高记为负；据此解答。 【详解】（1） （厘米） 这5名同学的平均身高是140厘米。 （2）亮亮身高150厘米高于平均身高10厘米，记作＋10厘米； 林林身高140厘米等于平均身高，记作0厘米； 玲玲身高145厘米高于平均身高5厘米，记作＋5厘米； 阳阳身高135厘米低于平均身高5厘米，记作﹣5厘米； 填表如下： 姓名 亮亮 兰兰 林林 玲玲 阳阳 身高 150cm 130cm 140cm 145cm 135cm 相对身高 ＋10cm -10cm 0cm ＋5cm -5cm 变式训练：某零件加工厂负责加工一批汽车零件，原计划每天加工300个，但实际上每天加工的数量与计划有出入，下表为一周的实际加工情况（多加工记为正，少加工记为负）。 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 ﹢10个 ﹣6个 ﹣12个 ﹢18个 ﹣5个 ﹢24个 ﹣8个 这个零件加工厂这一周实际加工了多少个零件？ 【答案】 2121个 【分析】由题目可知，多加工记为正，少加工记为负，星期一是﹢10个，说明比原计划的300个，多加工了10个，星期二是﹣6个，说明比原计划的300个，少加工了6个，星期三是﹣12个，说明比原计划的300个，少加工了12个，星期四是﹢18个，说明比原计划的300个，多加工了18个，星期五是﹣5个，说明比原计划的300个，少加工了5个，星期六是﹢24个，说明比原计划的300个，多加工了24个，星期日是﹣8个，说明比原计划的300个，少加工了8个。 可以计算出总偏差：（个），这周总共多加工了21件。原计划一周加工的总量为：300×7＝2100（个），实际加工量＝原计划总量＋总偏差，即2100＋21＝2121（个）。 【详解】（个） （个） （个） 答：这个零件加工厂这一周实际加工了2121个零件。 类型6 正负数在数轴上的表示解决问题： 典型例题6：下面直线上的每小段表示1m，小宇以0为起点。 (1)小宇从起点向西行2m记作﹣2m，那么从起点向东行8m记作( )。 (2)小宇从起点先向西行5m，再向东行9m，求他此时的位置。 【答案】(1)﹢8m (2)见详解 【分析】(1)由题意可知，向西行记为负，那么向东行应记为正，所以从起点向东行8m记作+8m。 (2)小宇从起点先向西行5m，此时位置为-5m，再向东行9m，相当于在-5m的基础上加上9m，即可求出此时的位置。 【详解】（1）因为向西行2m记作-2m，所以向东行8m记作+8m。 （2）从起点向西行5m，位置是-5m，再向东行9m，，向东多，所以此时位置是+4m。 变式训练：小亮从起点向西走5m记作﹣5m，那么小亮又走了＋11m是什么意思？此时小亮距离起点多远？请在直线上用“☆”表示小亮现在的位置。 【答案】又走了m表示小亮向东走了11m； 此时小亮距离起点6m远； 在直线上的位置如下图所示： 【分析】因为规定向西走5m记作m，西和东是相反方向，所以“＋”表示向东走，那么小亮又走了m的意思是向东走11m； 小亮最初位置在起点（0点），先向西走5m到位置，再向东走11m，相当于在的基础上向反方向走11个单位长度，即6m，所以此时小亮距离起点6m； 在给定直线上找到表示6的点标记即可。 【详解】那么小亮又走了m是表示小亮向东走了11m； 此时小亮距离起点6m远； 在直线上的位置如下图所示： 类型7 正负数的大小比较解决问题： 典型例题7：二十四节气是我国古代用来指导农事的补充历法，小新收集了小寒大寒两个节气的资料，其中“小寒胜大寒”的说法让他产生了好奇，真的是这样吗？请你根据数据回答： 2021—2024年某地区小寒、大寒当天最低气温统计表 年份 2021 2022 2023 2024 小寒的最低温度 ﹣4℃ ﹣6℃ ﹣8℃ ﹣11℃ 大寒的最低温度 ﹣6℃ ﹣8℃ ﹣7℃ ﹣6℃ （1）2021年大寒当天的最低气温是（    ）摄氏度，2024年小寒当天的最低气温是（    ）摄氏度。 （2）2021—2024年该地区哪些年是小寒更冷？哪些年是大寒更冷？ 【答案】（1）﹣6；﹣11 （2）2023年、2024年；2021年、2022年 【分析】（1）从表格中可以直接看出，2021年大寒当天的最低气温是﹣6℃。2024年小寒当天的最低气温是﹣11℃。 （2）2021年：小寒最低气温﹣4℃，大寒最低气温﹣6℃，因为﹣4＞﹣6，所以大寒更冷。2022年：小寒最低气温﹣6℃，大寒最低气温﹣8℃，因为﹣6＞﹣8，所以大寒更冷。2023年：小寒最低气温﹣8℃，大寒最低气温﹣7℃，因为﹣8＜﹣7，所以小寒更冷。2024年：小寒最低气温﹣11℃，大寒最低气温﹣6℃，因为﹣11＜﹣6，所以小寒更冷。 【详解】（1）2021年大寒当天的最低气温是﹣6℃。2024年小寒当天的最低气温是﹣11℃。 （2）2021年：﹣4＞﹣6，所以大寒更冷； 2022年：﹣6＞﹣8，所以大寒更冷； 2023年：﹣8＜﹣7，所以小寒更冷； 2024年：﹣11＜﹣6，所以小寒更冷； 答：2023年、2024年小寒更冷；2021年、2022年大寒更冷。 变式训练：四年一班进行了跳绳比赛，下表是5名同学的成绩。1分内跳绳100为基准，超过记作正数，不足的记作负数，并按从小到大的顺序排列。 姓名 淘气 笑笑 奇思 妙想 小华 1分跳的数量/下 65 118 96 110 108 与基数100相比 【答案】﹣35；﹢18；﹣4；﹢10；﹢8 ﹣35＜﹣4＜﹢8＜﹢10＜﹢18 【分析】5位同学跳绳的数量已知，求出这个数量与100的差，比100少多少就用负几表示，比100多多少就用正几表示，据此填表。从小到大排列时，负数比所有的正数都小，负号后面的数越大这个负数越小，正号后面的数越小这个数就越小，据此来排序。 【详解】100－65＝35（下） 118－100＝18（下） 100－96＝4（下） 110－100＝10（下） 108－100＝8（下） 姓名 淘气 笑笑 奇思 妙想 小华 1分跳的数量/下 65 118 96 110 108 与基数100相比 ﹣35 ﹢18 ﹣4 ﹢10 ﹢8 ﹣35＜﹣4＜﹢8＜﹢10＜﹢18 【点睛】明白正、负数在此题中的意义是解答的关键。 A夯实基础 1．我们把海平面看成分界线，用海拔0米表示海平面的平均高度，海平面以上用正数表示，海平面以下用负数表示。下列海拔最接近海平面的是（    ）。 A．﹣90米 B．﹢111米 C．﹢21.5米 D．﹣10米 【答案】D 【分析】根据题意，用海拔0米表示海平面的平均高度，海平面以上用正数表示，海平面以下用负数表示，比较各选项与海平面的海拔值，差值越小，就越接近海平面，据此解答即可。 【详解】A．﹣90米，表示海平面以下90米，与海平面的差值是90米； B．﹢111米，表示海平面以上111米，与海平面的差值是111米； C．﹢21.5米，表示海平面以上21.5米，与海平面的差值是21.5米； D．﹣10米，表示海平面以下10米，与海平面的差值是10米。 所以，我们把海平面看成分界线，用海拔0米表示海平面的平均高度，海平面以上用正数表示，海平面以下用负数表示。海拔最接近海平面的是﹣10米。 故答案为：D 2．下图是某食品包装袋的标签，随机抽检4袋，测得净含量分别为①25.1kg②24.9kg③25.05kg④24.88kg。净含量不合格的是（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据题目可知，该食品的净含量在25kg±0.1kg，先用25－0.1求出最小净含量，再用25＋0.1求出最大净含量，据此选出不合格的即可。 【详解】25－0.1＝24.9（kg） 25＋0.1＝25.1（kg） A．①25.1kg正好为最大净含量，合格； B．②24.9kg正好为最小净含量，合格； C．③24.9kg＜25.05kg＜25.1kg，合格； D．④24.88kg＜24.9kg，不合格。 净含量不合格的是④。 故答案为：D 3．四年级一班同学的平均身高是131厘米，以这个为标准，小明身高用正负数表示为，那么小明的身高为（    ）厘米。 A．2 B．129 C．131 D．133 【答案】B 【分析】正负数表示两种相反意义的量，超过平均身高记为“正”，低于平均身高记为“负”；据此解答。 【详解】根据分析：小明身高用正负数表示为，说明比平均身高低2厘米。 131－2＝129（厘米） 所以小明的身高为129厘米。 故答案为：B 4．一袋饼干的净含量标着“200±5克”，那么这袋饼干的标准重量是( )克，最多不超过( )克。 【答案】 200 205 【分析】根据题意，一袋饼干的净含量标着“200±5克”，表示的是质量范围，据此可知标准重量是200克，最多不超过（200＋5）克，据此解答。 【详解】200＋5＝205（克） 所以这袋饼干的标准重量是200克，最多不超过205克。 5．四（2）班学生跳绳比赛的平均成绩为每人每分钟120下，老师记数时，高于平均数用正数表示，低于平均数用负数表示。王明的成绩是﹢10下，刘丽的成绩是﹣8下，王明实际跳了( )下，刘丽实际跳了( )下。 【答案】 130 112 【分析】结合题意，四（2）班学生跳绳比赛的平均成绩为每人每分钟120下，老师记数时，高于平均数用正数表示，低于平均数用负数表示，王平的成绩是﹢10下，表示他高于平均数10下，用平均数加上10下就是其实际跳的，刘丽的成绩是﹣8下，说明她低于平均数8下，用平均数减去8就是其实际跳的。 【详解】根据分析可知： 王明实际跳了：120＋10＝130（下） 刘丽实际跳了：120－8＝112（下） 6．水库的警戒水位是22米，把超过22米的部分记作“﹢”，把低于22米部分记作“﹣”。暴雨过后，水库的水位线达到22.5米，应记作( )米，第二天水位下降到21.8米，应记作( )米。 【答案】 ﹢0.5 ﹣0.2 【分析】用正负数来表示具有意义相反的两种量：22米为标准记为0，超出的部分为正，不足的部分为负，即可解答。 【详解】22.5－22＝0.5（米） 22－21.8＝0.2（米） 所以暴雨过后，水库的水位线达到22.5米，应记作﹢0.5米，第二天水位下降到21.8米，应记作﹣0.2米。 B培优拔高 7．五（1）班平均体重为32.5千克，超出平均体重部分为正，低于平均体重部分为负，小林的体重记为﹢3.4千克，小华的体重记为﹣3.6千克。两人的实际体重分别是多少？ 【答案】小林35.9千克；小华28.9千克 【分析】正负数可以表示相反意义的量。超出平均体重部分为正，低于平均体重部分为负，平均体重＋超出平均体重部分＝小林的体重，平均体重－低于平均体重部分＝小华的体重。 【详解】32.5＋3.4＝35.9（千克）    32.5－3.6＝28.9（千克） 答：小林的实际体重是35.9千克，小华的实际体重是28.9千克。 8．除夕夜，社区环保活动群中大家都在送祝福、发红包，海海的爸爸在群中发、抢了不少的红包（如下表）。发了的红包钱数记为负，抢了的红包钱数记为正。 海海的爸爸一共发了几个红包？抢了几个红包？最终赚或亏了多少钱？ 【答案】4个，5个，亏了7.78元。 【分析】区分发/抢红包：根据“负数表示发红包，正数表示抢红包”，统计负数和正数的个数； 计算发/抢的总金额：分别求和负数（发的总金额）、正数（抢的总金额）； 计算最终盈亏：比较抢的总金额和发的总金额，再计算差额。 【详解】由分析可知： 看表中负数4个，所以发了4个红包，正数5个，所以抢了5个红包。 发了：（元） 抢了：（元） 发的总金额＞抢的总金额，所以亏了； （元）   答：海海的爸爸一共发了4个红包，抢了5个红包，亏了7.78元。 9．小强从家向西走了300米记作﹢300米，到达了甲地。第二天他又从家走了﹣200米到达了乙地，甲、乙两地的距离是多少米？ 【答案】500米 【分析】题目中规定“向西走记作﹢300米”，因此：正数表示向西走，负数表示向东走（与西相反的方向）。甲地：从家向西走300米，位置为家西边300米处。乙地：从家走了﹣200米，即向东走200米，位置为家东边200米处。甲在小强家西边300米，乙在小强家东边200米，两地距离为两段路程之和：300＋200＝500（米）。 【详解】甲地位置为家西边300米处，乙地位置为家东边200米处。 300＋200＝500（米） 答：甲、乙两地的距离是500米。 10．下表记录了一辆公交车经过3个站台时，乘客人数的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数。 站台 1号站台 2号站台 3号站台 上车人数 ﹢5 ﹢9 ﹢10 下车人数 ﹣6 ﹣3 ﹣8 车上原来有16名乘客，经过这3站后，现在车上有多少名乘客？ 【答案】23名 【分析】正数表示上车人数，在1号站台上车5人，2号站台上车9人，3号站台上车10人。所以总上车人数为5＋9＋10＝24人。负数表示下车人数，即在1号站台下车6人，2号站台下车3人，3号站台下车8人，那么总下车人数为6＋3＋8＝17人。车上原来有16名乘客，用16加24再减17即可得出现在车上有多少名乘客。 【详解】5＋9＋10＝24（人） 6＋3＋8＝17（人） 16＋24－17＝23（人） 答：现在车上有23名乘客。 11．下表是某水位监测站的部分水位资料（以警戒水位为标准，记作0米，超过部分记为正，低于部分记为负）。 时间 水位 5月25日 ﹣0.43米 6月25日 ﹢0.6米 7月25日 ﹢0.52米 8月25日 ﹢1米 （1）5月25日和6月25日的水位相差多少米？ （2）6月25日和7月25日的水位相差多少米？ （3）5月25日到8月25日，水位发生了什么变化？为了更好地防洪防汛，有什么建议？ 【答案】 （1）1.03米 （2）0.08米 （3）见详解 【分析】（1）已知5月25日水位为﹣0.43米，即低于警戒水位0.43米；6月25日水位为﹢0.6米，即高于警戒水位0.6米；所以两天水位相差0.43＋0.6＝1.03米。 （2）已知6月25日水位为﹢0.6米，即高于警戒水位0.6米；7月25日水位为﹢0.52米，即高于警戒水位0.52米；所以两天水位相差0.6－0.52＝0.08米。 （3）5月25日水位﹣0.43米，低于警戒水位，之后逐渐上升，8月25日达到﹢1米，高于警戒水位，整体呈从低于警戒水位持续上升到高于警戒水位的变化趋势。所以要加强防洪巡查，提前加固堤坝等。（答案不唯一，合理即可） 【详解】（1）0.43＋0.6＝1.03（米） 答：5月25日和6月25日的水位相差1.03米。 （2）0.6－0.52＝0.08（米） 答：6月25日和7月25日的水位相差0.08米。 （3）水位从低于警戒水位0.43米上升到高于警戒水位1米，整体呈上升趋势；建议加强防洪巡查，提前加固堤坝等。（答案不唯一，合理即可） C思维拓展 12．为了让参观者有更好的参观体验，某展览馆采取提前分时段预约的形式，严格控制客流量。没有人用“0”表示，进去1人用“﹢1”表示。下面是8：30~12：00某展览馆人员进出情况。（展览馆里人员严格控制在600人以内） 时间 8：30 9：00 9：30 10：00 10：30 11：00 11：30 12：00 进出人数 ﹢140 ﹢180 ﹢160 ﹢80 ﹣220 ﹣170 0 ﹣50 （1）10：00时展览馆里的人数符合标准吗？算一算。 （2）“﹣50”表示（    ），12：00展览馆内有（    ）人。 【答案】（1）展览馆里共有560人，符合标准。 （2）出去50人；120。 【分析】（1）根据10：00及之前，进入的人数相加，可得出10：00时展览馆里的人数，与展览馆里人员严格控制在600人以内比较大小，可做出展览馆里的人数是否符合标准的判断。（2）由进去1人用“﹢1”表示，则“－××”表示出去××人，将12：00之前的所有进出人数做加减，可得12：00展览馆内有多少人。 【详解】（1）140＋180＋160＋80 ＝320＋160＋80 ＝480＋80 ＝560（人） 因为560＜600，所以符合标准。 （2）140＋180＋160＋80－220－170－50 ＝320＋160＋80－220－170－50 ＝480＋80－220－170－50 ＝560－220－170－50 ＝340－170－50 ＝170－50 ＝120（人） “﹣50”表示出去50人，12：00展览馆内有120人。 13．六年级女生仰卧起坐的及格标准是1分钟完成40个。下面是六一班第一小组8名女生的测试成绩，超过及格标准的用正数表示，不足及格标准的用负数表示，符合标准的用0表示。 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 成绩（个） ﹢3 ﹣3 ﹢5 0 ﹣4 ﹣2 ﹢4 ﹣1 （1）8名同学中，成绩最高的同学比成绩最低的同学多做了几个仰卧起坐？ （2）8名女生一共做了多少个仰卧起坐？ 【答案】（1）9个 （2）322个 【分析】（1）成绩用正负数表示，正数越大成绩越高，负数越小成绩越低。所以最高是﹢5，最低是﹣4。因为及格标准是40个，﹢5表示比40个多做5个，即（40＋5），﹣4表示比40个少做4个，即（40－4），然后计算它们的差值即可。 （2）因为及格标准是40个，正数表示比40个多做的个数，负数表示比40个少做的个数。0则表示刚好及格，即40个。正数有﹢3、﹢5、﹢4，3＋5＋4＝12个，即表示8名同学多做的个数。负数有﹣3、﹣4、﹣2、﹣1，3＋4＋2＋1＝10个，即表示8名同学少做的个数。共有8名同学，及格标准是40个，所以用40乘8后再加上12，然后减去10即可得出8名女生一共做了多少个仰卧起坐。 【详解】（1）最高是﹢5，最低是﹣4。 40＋5－（40－4） ＝40＋5－36 ＝45－36 ＝9（个） 答：成绩最高的同学比成绩最低的同学多做了9个仰卧起坐。 （2）3＋5＋4＝12（个） 3＋4＋2＋1＝10（个） 40×8＋12－10 ＝320＋12－10 ＝332－10 ＝322（个） 答：8名女生一共做了322个仰卧起坐。 14．六（1）班原来有班费70元，四月份买练习本花去19元，卖废纸挣了25元，林老师给同学们买小贴画花了16元，卖废塑料瓶又挣了27元。 （1）如果我们把收入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示，请你帮林老师在下表中记录班费的收支情况。 内容 原有班费 买练习本 卖废纸 买小贴画 卖废塑料瓶 金额（元） （2）六（1）班四月份一共收入多少元？一共支出多少元？结余多少元？ 【答案】（1）70；﹣19；﹢25；﹣16；﹢27 （2）52元；35元；87元 【分析】（1）正负数可以表示具有相反意义的量，收入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示，原来有班费70元，据此填表； （2）四月份的收入包括卖废纸25元和卖废塑料瓶27元，支出包括买练习本19元和买小贴画16元，分别相加即可求出总收入和总支出；结余的钱数通过原有班费加上所有收入减去所有支出计算得出。 【详解】（1）班费的收支情况如下： 内容 原有班费 买练习本 卖废纸 买小贴画 卖废塑料瓶 金额（元） 70 ﹣19 ﹢25 ﹣16 ﹢27 （2）四月份总收入：25＋27＝52（元） 四月份总支出：19＋16＝35（元） 结余计算： 70＋52－35 ＝122－35 ＝ 87（元） 答：六（1）班四月份一共收入52元，一共支出35元，结余87元。 15．一艘物流货轮从大连开出，途经青岛、连云港、上海、宁波、温州、福州，最后抵达厦门。下表记录了这艘货轮装货、卸货的情况。（装货为正，卸货为负） 停靠的港口城市 大连 青岛 连云港 上海 宁波 温州 福州 厦门 装、卸集装箱的个数 ﹢360 ﹣102 ﹢280 ﹢90 ﹣430 ﹢310 ﹣290 ﹢190 ﹣160 ﹢168 ﹣190 ﹣226 （1）这艘货轮途经（    ）港口没有卸货，途经（    ）港口没有装货。 （2）这艘货轮途经（    ）港口后装载的集装箱的个数最多。 （3）这艘货轮从上海港口出发时，货轮上装载了多少个集装箱？ 【答案】（1）连云港；福州；（2）连云港；（3）508个 【分析】（1）观察表格，大连（只有﹢360）、连云港（只有﹢90）、福州（只有﹣190）、厦门（只有﹣226），大连因为是出发的港口，所以途径没有卸货（数据无负数）的港口是连云港。数据中没有正数（装货为正），福州（只有﹣190）、厦门（只有﹣226）。因为厦门是终点的港口，所以途径没有装货（数据无正数）的港口是福州。 （2）大连出发后：初始（大连装货后）360个。青岛后：360－102＋280＝538个。连云港后：538＋90＝628个。上海后：628－430＋310＝508个。宁波后：508－290＋190＝408个。温州后：408－160＋168＝416个。福州后：416－190＝226个。据此分析比较即可。 （3）从大连开始逐步计算到上海前的数量：大连装货后360个；青岛：360－102＋280＝538个；连云港：538＋90＝628个；上海出发时（即到上海港口操作后的数量）：628－430＋310＝508个。 【详解】（1）连云港（﹢90）、福州（﹣190）。 这艘货轮途经连云港港口没有卸货，途经福州港口没有装货。 （2）初始（大连装货后）360个。 青岛：360－102＋280＝538（个） 连云港：538＋90＝628（个） 上海：628－430＋310＝508（个） 宁波后：508－290＋190＝408（个） 温州后：408－160＋168＝416（个） 福州后：416－190＝226（个） 这艘货轮途经连云港港口后装载的集装箱的个数最多。 （3）大连装货后360个。 360－102＋280＝538（个） 538＋90＝628（个） 628－430＋310＝508（个） 答：这艘货轮从上海港口出发时，货轮上装载了508个集装箱。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 认识负数 1.负数的意义与读写： ----认识负数的含义，理解负数是表示相反意义的量，掌握正数（+）和负数（-）的读写方法，建立负数的实际概念 2.正数、负数与0的关系： ----明确0既不是正数也不是负数，理解正数都大于0、负数都小于0的特点，掌握正负数与0的大小关联 3.生活中负数的应用场景： ----结合温度、收支、海拔、方向等生活实例，认识负数在实际生活中的具体应用，能准确用正负数表示相反意义的量 4.正负数解决实际问题的方法： ----掌握运用正负数表示实际情境中数量关系的技巧，能通过分析正负数的含义，解决温度比较、收支计算、距离判断等实际问题 5.正负数的大小比较与实际运用： ----掌握正数与正数、正数与负数、负数与负数的大小比较方法，能结合解决问题的需求，通过比较正负数大小分析实际情境中的数量规律 类型1 温度的认识及比较解决问题： 典型例题1：气温会随着海拔的升高而降低，海拔每升高100米，气温就下降0.6℃。5月爸爸去四川旅行，看到了“山顶白雪皑皑，山脚山花烂漫”的奇特景观。他在海拔约2500米的康定城时温度是20℃，攀登上海拔5500米的四姑娘山（二峰）山顶时，温度是多少℃？ 【分析】用5500减去2500求出从康定城到四姑娘山（二峰）山顶时海拔升高的高度，再除以100求出海拔升高的高度里有多少个100米，有多少个100米就有多少0.6摄氏度，据此求出下降的温度，再用20摄氏度减去下降的温度即可解答。 变式训练：下表是某一天四个城市的最高气温。 城市 武汉 北京 昆明 长春 最高气温/℃ 5 0 15 －10 （1）你会在温度计上表示出这些温度吗？ （2）把这四个城市的最高气温按从高到低的顺序排列起来。 类型2 温度的应用解决问题： 典型例题2：优优看到“会当凌绝顶，一览众山小”想知道泰山的高度，爸爸告诉优优，可以用温差来测量泰山的高度。请你帮优优算一算泰山的高度大约是多少米？ 【分析】根据资料②，某一天山顶温度是﹣2℃，山脚温度是7℃，那么这一天山顶与山脚的温差是2＋7＝9℃； 根据资料①，海拔每升高100米，温度大约下降0.6℃；用除法求出这一天山顶与山脚的温差9℃里面有几个0.6℃，就有几个100米，据此算出泰山的高度。 变式训练：下表是天气预报给出的我国部分城市某日的最高气温。 北京 沈阳 南京 重庆 武汉 ﹣15℃ ﹣25℃ ﹣10℃ 6℃ 3℃ （1）北京与沈阳哪个城市的温度高？ （2）把北京、沈阳、南京、重庆、武汉的温度按照从低到高的顺序排列起来。 （3）北京气温比武汉气温低多少度？ 类型3 正负数的概念及辨认解决问题： 典型例题3：一只蜗牛从点A出发，在一条直线上来回爬行。假设向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程（单位：厘米）依次为﹢5、﹣3、﹢9、﹣6、﹣4、﹢6、﹣7。这只蜗牛最后是否爬到了点A？ 【分析】结合题意知：向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数。 将所有的正数和负数分别加起来，如果正数和与负数和相等，说明回到了A点，不相等就没有回到A点。 变式训练：五年级一班同学参加小学生体质健康测试，根据《国家学生体质测试标准》，男生一分钟仰卧起坐做50个或50个以上可得100分，如果把50个作为标准记作0，第一小组中的五位同学仰卧起坐的成绩记录如下表： 姓名 张楠 李光辉 程一恒 王毅强 宋慧斌 成绩（个） ﹣2 ﹢5 ﹢3 0 ﹣4 （1）这个小组中得100分的同学有（    ）个。 （2）没得100分的同学一共做了多少个仰卧起坐？ 类型4 正负数的读法和写法解决问题： 典型例题4：某批白糖每袋的标准质量是200克。从这批白糖中抽取4袋，结果如下：①203.3克，②194.7克，③205.2克，④198.8克。 （1）如果把超过标准质量的记作正数，不足的记作负数，分别表示出4袋白糖的质量。 （2）如果质量在2005克范围内为合格，这4袋白糖的合格率是多少？ 【分析】（1）以200克为标准，超过部分记为正，不足记为负，分别计算实际质量与200克的差，再用正负数表示即可； （2）合格范围：（克）到（克）之间，再比较找出合格的袋数，根据合格袋数÷总袋数×100%，代入数据计算即可。 变式训练：一列数以50为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，记录如下：﹢3，﹣5，﹢1，﹢3，﹣4，﹣3，﹣5，﹣2。 （1）求出这列数的和。 （2）求出这列数的平均数。 （3）将这列数的平均数与标准数进行比较，结果用正、负数表示。 类型5 正负数的意义及应用解决问题： 典型例题5：亮亮、兰兰、林林、玲玲、阳阳5人的身高情况如下表。 姓名 亮亮 兰兰 林林 玲玲 阳阳 身高 150cm 130cm 140cm 145cm 135cm 相对身高 ﹣10cm (1)这5名同学的平均身高是( )cm。 (2)以平均身高为标准，兰兰矮10cm，记作﹣10cm。请写出另外4名同学的身高情况，完成上表。 【分析】根据题意可知：平均身高＝总身高÷人数；以平均身高为标准，超过平均身高，记为正，低于平均身高记为负；据此解答。 变式训练：某零件加工厂负责加工一批汽车零件，原计划每天加工300个，但实际上每天加工的数量与计划有出入，下表为一周的实际加工情况（多加工记为正，少加工记为负）。 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 ﹢10个 ﹣6个 ﹣12个 ﹢18个 ﹣5个 ﹢24个 ﹣8个 这个零件加工厂这一周实际加工了多少个零件？ 类型6 正负数在数轴上的表示解决问题： 典型例题6：下面直线上的每小段表示1m，小宇以0为起点。 (1)小宇从起点向西行2m记作﹣2m，那么从起点向东行8m记作( )。 (2)小宇从起点先向西行5m，再向东行9m，求他此时的位置。 【分析】(1)由题意可知，向西行记为负，那么向东行应记为正，所以从起点向东行8m记作+8m。 (2)小宇从起点先向西行5m，此时位置为-5m，再向东行9m，相当于在-5m的基础上加上9m，即可求出此时的位置。 变式训练：小亮从起点向西走5m记作﹣5m，那么小亮又走了＋11m是什么意思？此时小亮距离起点多远？请在直线上用“☆”表示小亮现在的位置。 类型7 正负数的大小比较解决问题： 典型例题7：二十四节气是我国古代用来指导农事的补充历法，小新收集了小寒大寒两个节气的资料，其中“小寒胜大寒”的说法让他产生了好奇，真的是这样吗？请你根据数据回答： 2021—2024年某地区小寒、大寒当天最低气温统计表 年份 2021 2022 2023 2024 小寒的最低温度 ﹣4℃ ﹣6℃ ﹣8℃ ﹣11℃ 大寒的最低温度 ﹣6℃ ﹣8℃ ﹣7℃ ﹣6℃ （1）2021年大寒当天的最低气温是（    ）摄氏度，2024年小寒当天的最低气温是（    ）摄氏度。 （2）2021—2024年该地区哪些年是小寒更冷？哪些年是大寒更冷？ 【分析】（1）从表格中可以直接看出，2021年大寒当天的最低气温是﹣6℃。2024年小寒当天的最低气温是﹣11℃。 （2）2021年：小寒最低气温﹣4℃，大寒最低气温﹣6℃，因为﹣4＞﹣6，所以大寒更冷。2022年：小寒最低气温﹣6℃，大寒最低气温﹣8℃，因为﹣6＞﹣8，所以大寒更冷。2023年：小寒最低气温﹣8℃，大寒最低气温﹣7℃，因为﹣8＜﹣7，所以小寒更冷。2024年：小寒最低气温﹣11℃，大寒最低气温﹣6℃，因为﹣11＜﹣6，所以小寒更冷。 变式训练：四年一班进行了跳绳比赛，下表是5名同学的成绩。1分内跳绳100为基准，超过记作正数，不足的记作负数，并按从小到大的顺序排列。 姓名 淘气 笑笑 奇思 妙想 小华 1分跳的数量/下 65 118 96 110 108 与基数100相比 A夯实基础 1．我们把海平面看成分界线，用海拔0米表示海平面的平均高度，海平面以上用正数表示，海平面以下用负数表示。下列海拔最接近海平面的是（    ）。 A．﹣90米 B．﹢111米 C．﹢21.5米 D．﹣10米 2．下图是某食品包装袋的标签，随机抽检4袋，测得净含量分别为①25.1kg②24.9kg③25.05kg④24.88kg。净含量不合格的是（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 3．四年级一班同学的平均身高是131厘米，以这个为标准，小明身高用正负数表示为，那么小明的身高为（    ）厘米。 A．2 B．129 C．131 D．133 4．一袋饼干的净含量标着“200±5克”，那么这袋饼干的标准重量是( )克，最多不超过( )克。 5．四（2）班学生跳绳比赛的平均成绩为每人每分钟120下，老师记数时，高于平均数用正数表示，低于平均数用负数表示。王明的成绩是﹢10下，刘丽的成绩是﹣8下，王明实际跳了( )下，刘丽实际跳了( )下。 6．水库的警戒水位是22米，把超过22米的部分记作“﹢”，把低于22米部分记作“﹣”。暴雨过后，水库的水位线达到22.5米，应记作( )米，第二天水位下降到21.8米，应记作( )米。 B培优拔高 7．五（1）班平均体重为32.5千克，超出平均体重部分为正，低于平均体重部分为负，小林的体重记为﹢3.4千克，小华的体重记为﹣3.6千克。两人的实际体重分别是多少？ 8．除夕夜，社区环保活动群中大家都在送祝福、发红包，海海的爸爸在群中发、抢了不少的红包（如下表）。发了的红包钱数记为负，抢了的红包钱数记为正。 海海的爸爸一共发了几个红包？抢了几个红包？最终赚或亏了多少钱？ 9．小强从家向西走了300米记作﹢300米，到达了甲地。第二天他又从家走了﹣200米到达了乙地，甲、乙两地的距离是多少米？ 10．下表记录了一辆公交车经过3个站台时，乘客人数的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数。 站台 1号站台 2号站台 3号站台 上车人数 ﹢5 ﹢9 ﹢10 下车人数 ﹣6 ﹣3 ﹣8 车上原来有16名乘客，经过这3站后，现在车上有多少名乘客？ 11．下表是某水位监测站的部分水位资料（以警戒水位为标准，记作0米，超过部分记为正，低于部分记为负）。 时间 水位 5月25日 ﹣0.43米 6月25日 ﹢0.6米 7月25日 ﹢0.52米 8月25日 ﹢1米 （1）5月25日和6月25日的水位相差多少米？ （2）6月25日和7月25日的水位相差多少米？ （3）5月25日到8月25日，水位发生了什么变化？为了更好地防洪防汛，有什么建议？ C思维拓展 12．为了让参观者有更好的参观体验，某展览馆采取提前分时段预约的形式，严格控制客流量。没有人用“0”表示，进去1人用“﹢1”表示。下面是8：30~12：00某展览馆人员进出情况。（展览馆里人员严格控制在600人以内） 时间 8：30 9：00 9：30 10：00 10：30 11：00 11：30 12：00 进出人数 ﹢140 ﹢180 ﹢160 ﹢80 ﹣220 ﹣170 0 ﹣50 （1）10：00时展览馆里的人数符合标准吗？算一算。 （2）“﹣50”表示（    ），12：00展览馆内有（    ）人。 13．六年级女生仰卧起坐的及格标准是1分钟完成40个。下面是六一班第一小组8名女生的测试成绩，超过及格标准的用正数表示，不足及格标准的用负数表示，符合标准的用0表示。 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 成绩（个） ﹢3 ﹣3 ﹢5 0 ﹣4 ﹣2 ﹢4 ﹣1 （1）8名同学中，成绩最高的同学比成绩最低的同学多做了几个仰卧起坐？ （2）8名女生一共做了多少个仰卧起坐？ 14．六（1）班原来有班费70元，四月份买练习本花去19元，卖废纸挣了25元，林老师给同学们买小贴画花了16元，卖废塑料瓶又挣了27元。 （1）如果我们把收入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示，请你帮林老师在下表中记录班费的收支情况。 内容 原有班费 买练习本 卖废纸 买小贴画 卖废塑料瓶 金额（元） （2）六（1）班四月份一共收入多少元？一共支出多少元？结余多少元？ 15．一艘物流货轮从大连开出，途经青岛、连云港、上海、宁波、温州、福州，最后抵达厦门。下表记录了这艘货轮装货、卸货的情况。（装货为正，卸货为负） 停靠的港口城市 大连 青岛 连云港 上海 宁波 温州 福州 厦门 装、卸集装箱的个数 ﹢360 ﹣102 ﹢280 ﹢90 ﹣430 ﹢310 ﹣290 ﹢190 ﹣160 ﹢168 ﹣190 ﹣226 （1）这艘货轮途经（    ）港口没有卸货，途经（    ）港口没有装货。 （2）这艘货轮途经（    ）港口后装载的集装箱的个数最多。 （3）这艘货轮从上海港口出发时，货轮上装载了多少个集装箱？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $