第二单元 多边形的面积（梯形） （解决问题讲义）数学青岛版五四学制四年级下册

第二单元 多边形的面积（梯形） 1.梯形的认识： ----认识梯形的特征及上底、下底、高的定义，建立梯形的图形观念 2.梯形面积公式的推导： ----理解梯形通过割补转化为平行四边形（或三角形）的推导过程，明确公式由来 3.梯形面积的计算： ----掌握梯形面积公式：S=(a+b)h÷2（a为上底，b为下底，h为高），能准确代入计算 4.梯形面积的实际应用： ----结合生活场景（如梯形菜地、花坛等），运用公式解决实际面积问题 5.梯形面积的估测： ----结合图形特点与生活经验，掌握估测梯形面积的方法，提升估测意识与能力 类型1 梯形的面积解决问题： 典型例题1：王奶奶家有一个用篱笆围成的小菜园（如下图）。围小菜园的篱笆全长45米，这个小菜园的面积是多少平方米？ 【分析】观察图形可知，小菜园是直角梯形，高为20米，篱笆全长45米（包含梯形的上底、下底和高），用篱笆总长减去高即可求出梯形上底和下底的长度总和。然后根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”即可求出这个小菜园的面积。据此解答。 变式训练：一个梯形的广告牌，上底是8米，下底是12米，高是6米。如果要给这个广告牌的正反两面刷上油漆，每平方米用油漆0.6千克，一共需要多少千克油漆？ 类型2 与梯形相关的重叠问题问题： 典型例题2：如图，两个相同的直角三角形ABC和直角三角形DEF重叠在一起，已知AB长32厘米，DG长12厘米，BE长20厘米，求涂色部分梯形CFDG的面积。 【分析】两个相同的直角三角形ABC和直角三角形DEF重叠在一起，所以涂色部分的面积与梯形ABEG面积相等，AB＝DE＝32厘米，则GE＝DE－DG＝32－12＝20厘米，再根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出梯形ABEG面积，即是涂色部分的面积。 变式训练：如图，有两个完全相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。 A夯实基础 1．某校师生同台参与了大型经典诵读活动，排成了一个等腰梯形的队形。第一排15人，最后排20人，每相邻两排相差1人，一共有（    ）名师生。 A．102 B．103 C．104 D．105 2．一个梯形的上底是6cm，下底是10cm，高是5cm。若上底增加1cm，下底减少1cm，高不变，则新梯形的面积和原梯形的面积相比，（    ）。 A．不变 B．变小 C．变大 D．无法确定谁大 3．王爷爷用27米长的篱笆靠墙围成一块梯形菜地（如图），已知这块梯形菜地的高是9米，则这块菜地的面积是（    ）平方米。 A．72 B．81 C．144 D．162 4．两个完全相同的直角梯形恰好能拼成一个边长是10厘米的正方形，那么每个梯形上底和下底的和是( )厘米，面积是( )平方厘米。 5．如图，将一个上底a米，下底b米，高h米的梯形，剪拼成一个平行四边形。剪拼后平行四边形的底是( )米，高是( )米。 6．有一堆粗细相同的圆木，现在把它们堆成一个近似的梯形（如图）。这堆圆木的最上面有4根，最下面有10根，正好堆了7层。一共有( )根圆木。 B培优拔高 7．小充家用64米长的篱笆靠一面墙围了一块梯形的菜地（如下图），这块菜地的面积是多少平方米？如果每平方米能收白菜12千克，这块地能收白菜多少千克？ 8．如图，用一道篱笆把长方形花圃分成两部分，梯形部分种玫瑰，三角形部分种月季。已知种玫瑰的面积比种月季的大60平方米。种玫瑰部分的梯形的上底是多少？ 9．王阿姨想购买一套公寓。销售人员告诉她，这套公寓的室内面积为40平方米。王阿姨感觉没有那么大，她根据房屋平面图自行测量，如图，销售人员值得信任吗？说明理由。 10．便利店老板要给门口的等腰梯形装饰牌刷油漆，装饰牌上底16米、下底22米、高3米。如果每平方米需要用油漆1kg，50kg油漆够不够？ 11．阳光小学有一块试验田，形状如下图。如果每平方米收萝卜6千克，这块试验田一共可以收萝卜多少千克？ C思维拓展 12．在智慧农业园区，有一块由智能系统管理的长方形种植区域，用于种植两种特色蔬菜（由智能设备自动分区，示意如图）。种A蔬菜的面积比种B蔬菜的面积多400平方米，A蔬菜种植了多少平方米？ 13．一个加工厂运来一批钢管，共110根。把它们堆成梯形的形状，最上层5根，最下层有15根。这堆钢管一共堆了多少层？ 14．在学习中我们采用割补、转化等多种方法计算组合图形面积。你会计算如图图形的面积吗？先在图中画出你的解题思路，再根据你的解题思路，计算图形的面积。 15．笑笑读了“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”后，画出了一幅帆船简笔画图案（如下图，单位：厘米），这个图案的面积是多少平方厘米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 多边形的面积（梯形） 1.梯形的认识： ----认识梯形的特征及上底、下底、高的定义，建立梯形的图形观念 2.梯形面积公式的推导： ----理解梯形通过割补转化为平行四边形（或三角形）的推导过程，明确公式由来 3.梯形面积的计算： ----掌握梯形面积公式：S=(a+b)h÷2（a为上底，b为下底，h为高），能准确代入计算 4.梯形面积的实际应用： ----结合生活场景（如梯形菜地、花坛等），运用公式解决实际面积问题 5.梯形面积的估测： ----结合图形特点与生活经验，掌握估测梯形面积的方法，提升估测意识与能力 类型1 梯形的面积解决问题： 典型例题1：王奶奶家有一个用篱笆围成的小菜园（如下图）。围小菜园的篱笆全长45米，这个小菜园的面积是多少平方米？ 【答案】 250平方米 【分析】观察图形可知，小菜园是直角梯形，高为20米，篱笆全长45米（包含梯形的上底、下底和高），用篱笆总长减去高即可求出梯形上底和下底的长度总和。然后根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”即可求出这个小菜园的面积。据此解答。 【详解】45－20＝25（米） 25×20÷2 ＝500÷2 ＝250（平方米） 答：这个小菜园的面积是250平方米。 变式训练：一个梯形的广告牌，上底是8米，下底是12米，高是6米。如果要给这个广告牌的正反两面刷上油漆，每平方米用油漆0.6千克，一共需要多少千克油漆？ 【答案】 72千克 【分析】已知梯形广告牌的上底是8米，下底是12米，高是6米，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出广告牌的单面面积，乘2得到正反两面的总面积，再乘每平方米的用漆量，即可求出一共需要的油漆量。 【详解】（8＋12）×6÷2 ＝20×6÷2 ＝120÷2 ＝60（平方米） 60×2×0.6 ＝120×0.6 ＝72（千克） 答：一共需要72千克油漆。 类型2 与梯形相关的重叠问题问题： 典型例题2：如图，两个相同的直角三角形ABC和直角三角形DEF重叠在一起，已知AB长32厘米，DG长12厘米，BE长20厘米，求涂色部分梯形CFDG的面积。 【答案】520平方厘米 【分析】两个相同的直角三角形ABC和直角三角形DEF重叠在一起，所以涂色部分的面积与梯形ABEG面积相等，AB＝DE＝32厘米，则GE＝DE－DG＝32－12＝20厘米，再根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出梯形ABEG面积，即是涂色部分的面积。 【详解】梯形ABEG的上底是32－12＝20（厘米），下底是32厘米，高是20厘米； 面积：（20＋32）×20÷2 ＝52×20÷2 ＝520（平方厘米） 答：涂色部分梯形CFDG的面积是520平方厘米。 变式训练：如图，有两个完全相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。 【答案】99平方厘米 【分析】因为两个梯形的面积相等，减去中间重叠部分的面积，则可得阴影部分的面积就等于空白梯形下半部分的梯形的面积，且下半部分这个梯形的下底和高已知，上底可以求出，从而可以求其面积，也就求得了阴影部分的面积。 【详解】空白部分下半部分梯形：上底＝19－5＝14cm；下底等于19cm；高＝6cm （14＋19）×6÷2 ＝33×3 ＝99（平方厘米） 答：阴影部分的面积是99平方厘米。 【点睛】此题考查不规则图形的问题的求法，一般都是利用转换成规则图形来求解。 A夯实基础 1．某校师生同台参与了大型经典诵读活动，排成了一个等腰梯形的队形。第一排15人，最后排20人，每相邻两排相差1人，一共有（    ）名师生。 A．102 B．103 C．104 D．105 【答案】D 【分析】已知一个等腰梯形的队形，第一排15人，最后排20人，每相邻两排相差1人，那么一共有（20－15＋1）排；根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出师生的总人数。 【详解】20－15＋1＝6（排） （15＋20）×6÷2 ＝35×6÷2 ＝105（名） 一共有105名师生。 故答案为：D 2．一个梯形的上底是6cm，下底是10cm，高是5cm。若上底增加1cm，下底减少1cm，高不变，则新梯形的面积和原梯形的面积相比，（    ）。 A．不变 B．变小 C．变大 D．无法确定谁大 【答案】A 【分析】梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，那么梯形的上底增加1cm，下底减少1cm，高不变，则梯形的上底、下底的和不变，所以梯形的面积不变，据此解答。 【详解】一个梯形的高不变，上底增加1cm，下底减少1cm，则梯形的上底与下底的和不变，它的面积与原面积相比不变。 故答案为：A 3．王爷爷用27米长的篱笆靠墙围成一块梯形菜地（如图），已知这块梯形菜地的高是9米，则这块菜地的面积是（    ）平方米。 A．72 B．81 C．144 D．162 【答案】B 【分析】由题意知：用27米长的篱笆靠墙围成一块梯形菜地，且梯形菜地的高是9米，则梯形菜地的（上底＋下底）＝27－9＝18（米） 再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可。 【详解】（27－9）×9÷2 ＝18×9÷2 ＝162÷2 ＝81（平方米） 所以王爷爷用27米长的篱笆靠墙围成一块梯形菜地（如图），已知这块梯形菜地的高是9米，则这块菜地的面积是81平方米。 故答案为：B 4．两个完全相同的直角梯形恰好能拼成一个边长是10厘米的正方形，那么每个梯形上底和下底的和是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 10 50 【分析】两个完全相同的直角梯形拼成边长为10厘米的正方形，拼接时梯形的上底与下底会拼接成正方形的一条边，因此梯形上底和下底的和等于正方形的边长，即10厘米。根据正方形的面积公式为：面积＝边长×边长，代入数据求出正方形面积。因为两个梯形完全相同且拼成了这个正方形，所以单个梯形的面积是正方形面积的一半。据此解答。 【详解】梯形上底和下底的和等于正方形的边长，即10厘米。 10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（平方厘米） 所以两个完全相同的直角梯形恰好能拼成一个边长是10厘米的正方形，那么每个梯形上底和下底的和是10厘米，面积是50平方厘米。 5．如图，将一个上底a米，下底b米，高h米的梯形，剪拼成一个平行四边形。剪拼后平行四边形的底是( )米，高是( )米。 【答案】 a＋b h÷2 【分析】由图可知，把一个梯形剪开拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于梯形上、下底之和，平行四边形的高等于梯形高的一半。据此解答。 【详解】已知梯形上底a米，下底b米，高h米，所以剪拼后平行四边形的底是（a＋b）米，高是（h÷2）米。 6．有一堆粗细相同的圆木，现在把它们堆成一个近似的梯形（如图）。这堆圆木的最上面有4根，最下面有10根，正好堆了7层。一共有( )根圆木。 【答案】49 【分析】根据梯形面积公式，圆木根数＝（最上面的根数＋最下面的根数）×层数÷2，列式计算即可。 【详解】（4＋10）×7÷2 ＝14×7÷2 ＝49（根） 一共有49根圆木。 B培优拔高 7．小充家用64米长的篱笆靠一面墙围了一块梯形的菜地（如下图），这块菜地的面积是多少平方米？如果每平方米能收白菜12千克，这块地能收白菜多少千克？ 【答案】312平方米；3744千克 【分析】由图可知，梯形菜地一面靠墙，篱笆总长64米，高12米，用篱笆总长度减去高即可求出上底和下底的和，再根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”即可求出菜地的面积；每平方米收白菜12千克，用每平方米收白菜的重量乘菜地面积即可得到能收的白菜总量。 【详解】64－12＝52（米） 52×12÷2 ＝624÷2 ＝312（平方米） 12×312＝3744（千克） 答：这块菜地的面积是312平方米，能收白菜3744千克。 8．如图，用一道篱笆把长方形花圃分成两部分，梯形部分种玫瑰，三角形部分种月季。已知种玫瑰的面积比种月季的大60平方米。种玫瑰部分的梯形的上底是多少？ 【答案】6米 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，结合图形可知三角形底是10米，设三角形的高是x米，此时梯形的上底为（20－x）米，梯形的下底是20米，梯形的高是10米，则三角形的面积＝10x÷2（平方米），梯形的面积＝（20－x＋20）×10÷2（平方米），再根据种玫瑰的面积比种月季的大60平方米，得出等量关系：梯形的面积－三角形的面积＝60，据此列出方程并求解即可。 【详解】解：设三角形的高是x米，则梯形的上底为（20－x）米。 （20－x＋20）×10÷2－10x÷2＝60 （40－x）×10÷2－10x÷2＝60 40×10÷2－10x÷2－10x÷2＝60 400÷2－5x－5x＝60 200－5x－5x＝60 200－10x＝60 200－10x＋10x＝60＋10x 60＋10x＝200 60＋10x－60＝200－60 10x＝140 10x÷10＝140÷10 x＝14 20－x＝20－14＝6 答：种玫瑰部分的梯形的上底是6米。 9．王阿姨想购买一套公寓。销售人员告诉她，这套公寓的室内面积为40平方米。王阿姨感觉没有那么大，她根据房屋平面图自行测量，如图，销售人员值得信任吗？说明理由。 【答案】值得信任；理由见详解 【分析】把房屋平面图补成一个长10米、宽5米的大长方形，根据长方形面积＝长×宽，求出长方形的面积.补全后右上角缺失一个梯形，该梯形上底4米、下底10－4＝6米、高5－3＝2米，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出缺失梯形的面积。最后用大长方形面积减去缺失梯形的面积，求出房屋实际面积。将求出的实际面积与销售人员所说的40平方米比较即可判断。据此解答。 【详解】10×5－（4＋10－4）×（5－3）÷2 ＝50－10×2÷2 ＝50－20÷2 ＝50－10 ＝40（平方米） 40＝40 答：销售人员值得信任，因为房屋实际面积为40平方米，等于销售人员所说的40平方米。 10．便利店老板要给门口的等腰梯形装饰牌刷油漆，装饰牌上底16米、下底22米、高3米。如果每平方米需要用油漆1kg，50kg油漆够不够？ 【答案】 不够 【分析】将数据代入梯形的面积公式：S＝（a＋b）×h÷2，求出梯形的面积，再用面积乘每平方米需要用油漆的质量求出油漆的总质量，最后比较即可。 【详解】（16＋22）×3÷2×1 ＝38×3÷2×1 ＝114÷2×1 ＝57×1 ＝57（千克） 57＞50，所以50千克油漆不够用。 答：50千克油漆不够。 11．阳光小学有一块试验田，形状如下图。如果每平方米收萝卜6千克，这块试验田一共可以收萝卜多少千克？ 【答案】25728千克 【分析】这块试验田是由一个底边长为80米，高为56米的三角形和一个上底为48米，下底为80米，高为32米的梯形组成； 根据三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2即可求出试验田的面积，用试验田的面积乘每平方米萝卜的产量6千克即可求出这块试验田一共可以收萝卜多少千克。 【详解】80×56÷2＋（48＋80）×32÷2 ＝80×56÷2＋128×32÷2 ＝2240＋2048 ＝4288（平方米） 4288×6＝25728（千克） 答：这块试验田一共可以收萝卜25728千克。 C思维拓展 12．在智慧农业园区，有一块由智能系统管理的长方形种植区域，用于种植两种特色蔬菜（由智能设备自动分区，示意如图）。种A蔬菜的面积比种B蔬菜的面积多400平方米，A蔬菜种植了多少平方米？ 【答案】1400平方米 【分析】由图可知：长方形的长是60米，宽是40米，根据长方形面积＝长×宽，求出种植区的总面积，即A、B两种蔬菜的面积和；又已知A的面积比B多400平方米，即两者的面积差，根据和差问题中求大数的公式：大数＝（和＋差）÷2，即A的面积＝（和＋差）÷2，代入数值，即可求出A蔬菜的种植面积。 【详解】60×40＝2400（平方米） （2400＋400）÷2 ＝2800÷2 ＝1400（平方米） 答：A蔬菜种植了1400平方米。 13．一个加工厂运来一批钢管，共110根。把它们堆成梯形的形状，最上层5根，最下层有15根。这堆钢管一共堆了多少层？ 【答案】11层 【分析】这道题要根据梯形的面积计算方法进行解答，最上层5根相当于上底，最下层15根相当于下底，110相当于梯形的面积，求层数是求高。梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，所以用110乘2，除以（上底＋下底）的和即可解答。 【详解】110×2÷（5＋15） ＝220÷20 ＝11（层） 答：这堆钢管一共堆了11层。 14．在学习中我们采用割补、转化等多种方法计算组合图形面积。你会计算如图图形的面积吗？先在图中画出你的解题思路，再根据你的解题思路，计算图形的面积。 【答案】33平方厘米 【分析】 如图：，把图形分成2个部分，一部分是长是6厘米，宽是3厘米的长方形面积，一部分是上底3厘米，下底是7厘米，高是（9－6）厘米的梯形，根据长方形面积＝长×宽，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答（解法不唯一）。 【详解】 如图： 6×3＋（3＋7）×（9－6）÷2 ＝6×3＋10×3÷2 ＝18＋30÷2 ＝18＋15 ＝33（平方厘米） 答：图形面积是33平方厘米。 15．笑笑读了“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”后，画出了一幅帆船简笔画图案（如下图，单位：厘米），这个图案的面积是多少平方厘米？ 【答案】240平方厘米 【分析】观察图形可知，这个图案的面积＝三角形的面积＋梯形的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】8×10÷2 ＝80÷2 ＝40（平方厘米） （26＋14）×10÷2 ＝40×10÷2 ＝200（平方厘米） 40＋200＝240（平方厘米） 答：这个图案的面积是240平方厘米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $