第二单元 多边形的面积（平行四边形）（解决问题讲义）数学青岛版五四学制四年级下册

第二单元 多边形的面积（平行四边形） 1.平行四边形面积的意义： ----理解平行四边形面积的含义，明确面积是指平行四边形所占平面的大小 2.平行四边形面积公式的推导： ----通过割补、平移等方法，将平行四边形转化为长方形，掌握“转化思想” 3.平行四边形面积公式的应用： ----牢记平行四边形面积=底×高（S=ah），能根据公式直接计算面积 4.底和高的对应关系： ----明确计算面积时，底与高必须是相互垂直的对应边，避免错用非对应底和高 5.实际问题解决： ----结合生活场景，运用面积公式解决平行四边形物体的面积计算问题，培养应用意识 类型1 平行四边形面积的应用： 典型例题1：一个平行四边形广告牌，底是1.5米，高是1.4米，如果要油漆装饰它的两面，每平方米需要油漆0.7千克，共需要多少千克的油漆？ 【答案】2.94千克 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高即可求出广告牌一面的面积，再乘2即可求出需要涂漆的面积，再乘每平方米需要涂漆的质量0.7千克，即可求出共需要多少千克的油漆。 【详解】1.5×1.4×2×0.7 ＝2.1×2×0.7 ＝2.94（千克） 答：共需要2.94千克的油漆。 变式训练：张伯伯承包了一块3.9公顷的平行四边形菜地种白菜，已知菜地的高是60米。为了规划灌溉管道，需要计算菜地的底边长。你能帮张伯伯算出底是多少米吗？ 【答案】 650米 【分析】已知面积是3.9公顷，高是60米。平行四边形的面积计算公式为底乘高。由于面积单位是公顷，而高和底的单位是米，需要先将面积换算成平方米（1公顷＝10000平方米）。换算后，面积是39000平方米。根据面积公式，底等于面积除以高，即39000÷60。计算该除法即可得出底边长。 【详解】1公顷＝10000平方米 3.9×10000＝39000（平方米） 底＝39000÷60＝650（米） 答：菜地的底边长是650米。 类型2 利用平移法求平行四边形面积解决问题： 典型例题2：如图是一个平行四边形花园，张伯伯在花园中修了一条垂直于花园底边的小路，这条小路宽1米，面积是9平方米，然后在其余部分种上太阳花，如果每平方米需要1.4克太阳花种子，这个花园一共需要多少克太阳花种子？ 【答案】189克 【分析】由长方形的面积＝长×宽，可推导出长＝长方形的面积÷宽，据此用小路的面积（9平方米）除以小路的宽（1米）可求出小路的长（9米），即平行四边形的高； 观察图形可知，种太阳花的面积相当于一个底（16－1）米、宽9米的平行四边形的面积；根据平行四边形的面积＝底×高求出种太阳花的面积；最后用种太阳花的面积乘1.4求出一共需要太阳花种子的质量。 【详解】9÷1＝9（米） （16－1）×9×1.4 ＝15×9×1.4 ＝135×1.4 ＝189（克） 答：这个花园一共需要189克太阳花种子。 变式训练：如图，一块平行四边形的空地中有一条长7米，宽2米的长方形小路。 （1）求空地的面积。 （2）计划将空地进行绿化改造，每平方米空地的绿化需40元，这块平行四边形空地绿化需要多少元？ 【答案】161平方米；6440元 【分析】（1）通过平移可知，空地的面积相当于底（25－2）米、高7米的平行四边形的面积根据平行四边形的面积公式S＝ah代入即可解答； （2）用求出的平行四边形的面积乘每平方米空地绿化所需的40元，即可求出绿化所需金额。 【详解】（1）（25－2）×7 ＝23×7 ＝161（平方米） 答：空地的面积为161平方米。 （2）161×40＝6440（元） 答：这块平行四边形空地绿化需要6440元。 【点睛】本题考查了平行四边形的面积公式的运用。 A夯实基础 1．一个平行四边形果园，底是60米，对应的高是40米。如果每12平方米种一棵果树，那么这个果园一共可以种（    ）棵果树。 A．200 B．240 C．288 D．360 【答案】A 【分析】平行四边形的面积＝底×高，据此先列式求出果园的面积，求一共可以种多少棵果树就是求果园的面积中有多少个12，据此用除法列式计算。 【详解】60×40÷12 ＝2400÷12 ＝200（棵） 即这个果园一共可以种200棵果树。 故答案为：A 2．一个由木条钉成的平行四边形，底是10厘米，高是6厘米。把它拉成一个长方形，这个长方形的面积可能是（    ）平方厘米。 A．60 B．78 C．36 D．56 【答案】B 【分析】解答这道题需明确：把一个由木条钉成的平行四边形拉成一个长方形，周长不变，面积变大。已知平行四边形的底是10厘米，高是6厘米。先求出平行四边形的面积。形成的长方形的面积一定比这个面积大。据此解答。 【详解】根据分析： 求平行四边形的面积： （平方厘米） 长方形的面积一定大于60平方厘米。 A．60＝60，不符合。     B．78＞60，符合。      C．36＜60，不符合。      D．56＜60，不符合。 故答案为：B 3．一个平行四边形相邻两条边的长度分别是5厘米和8厘米，其中一条底边上的高是7厘米，这个平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 A．40 B．35 C．56 D．无法确定 【答案】B 【分析】平行四边形底边上的高一定小于另一条邻边，所以高是7厘米对应的底是5厘米。平行四边形面积＝底×高，直接将数据代入即可计算出平行四边形的面积。 【详解】5×7＝35（平方厘米） 即这个平行四边形的面积是35平方厘米。 故答案为：B 4．如图，一块平行四边形菜地的中间有一条长6m、宽1m的长方形小路，则菜地的面积是( )m2。 【答案】138 【分析】解答这道题需熟知：长方形面积＝长×宽；平行四边形面积＝底×高。图中长方形长为6m，宽为1m，则平行四边形的高为6m，且从图中可知平行四边形的底为24m。可以利用菜地面积＝平行四边形面积－长方形小路面积进行计算。据此解答。 【详解】根据分析： 平行四边形面积： 长方形小路面积： 菜地面积： 所以菜地的面积是。 5．一个平行四边形的面积是。已知两条底边上的高分别是和，这个平行四边形的周长是( )。 【答案】114 【分析】根据平行四边形的面积公式“面积 ＝ 底×高”，可求出两条底边的长度。再由平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，所以其周长 ＝ 两条邻边长度之和×2”，把两条底边长度代入即可解答。 【详解】540÷20＝27（cm） 540÷18＝30（cm） （27＋30）×2 ＝57×2 ＝114（cm） 因此，这个平行四边形的周长是114。 6．如下图中平行四边形的面积是( )平方米；如果高增加3米，面积是( )平方米；如果底增加3米，面积是( )平方米。 【答案】 4a 7a 4a＋12 【分析】根据平行四边形面积＝底×高，据此求出底是a米，高是4米的平行四边形面积； 高增加3米，则高是4＋3＝7（米），底是a米，据此求出高增加3米平行四边形面积； 底增加3米，则底是（a＋3）米，高是4米，据此求出底增加3米平行四边形面积。 【详解】a×4＝4a（平方米） a×（4＋3） ＝a×7 ＝7a（平方米） （a＋3）×4 ＝a×4＋3×4 ＝（4a＋12）平方米 平行四边形的面积是4a平方米；如果高增加3米，面积是7a平方米；如果底增加3米，面积是（4a＋12）平方米。 B培优拔高 7．下图是一块平行四边形土地，中间有一条小路，涂色部分是稻田，稻田的面积是多少？如果每平方米稻田可产稻谷1.5千克，那么这块稻田可产多少千克稻谷？ 【答案】 4000平方米；6000千克 【分析】观察图形可知，整块土地是平行四边形，中间的小路也是平行四边形，我们可以想象把中间的小路去掉，小路两旁的稻田并在一起可以看作一个新的平行四边形，新的平行四边形的底是原来平行四边形土地的底减去小路的底，即（81－1）米，高没有变化，还是50米，根据平行四边形面积＝底×高，用（81－1）乘50即为稻田的面积，因为每平方米可产稻谷1.5千克，用1.5乘稻田面积就是这块稻田的总产量。 【详解】（81－1）×50 ＝80×50 ＝4000（平方米） 1.5×4000＝6000（千克） 答：这块稻田的面积是4000平方米，可产6000千克稻谷。 8．一块平行四边形麦田。它的底是140米，高是50米，共收小麦4.9吨。平均每公顷收小麦多少吨？ 【答案】 7吨 【分析】先根据“平行四边形的面积＝底×高”用140乘50计算出麦田面积为7000平方米；然后将7000平方米换算成0.7公顷；再用4.9除以0.7即可。 【详解】140×50＝7000（平方米） 7000平方米＝0.7公顷 4.9÷0.7＝7（吨） 答：平均每公顷收小麦7吨。 9．暑假期间，光明小学组织五年级同学赴乡村劳动教育基地开展研学实践，通过农事体验和自主生活训练，培养同学们的劳动意识与实践能力。该基地的花卉区有一个平行四边形的牡丹园（如下图），如果每平方米可以种4株牡丹花，那么这个牡丹园一共可以种多少株牡丹花？ 【答案】4160株 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，求出牡丹园的面积，再乘每平方米可以种植的牡丹花数量4，即为种植的牡丹花的数量。 【详解】40×26×4 ＝1040×4 ＝4160（株） 答：这个牡丹园一共可以种4160株牡丹花。 10．为美化小区环境，如图所示，物业计划在小区内的一块平行四边形空地上预留一块边长为2.5米的正方形区域建造一个喷泉，其余部分植上草皮。 （1）植草皮的区域占地多少平方米？ （2）在这块平行四边形空地的四周每隔1.2米摆一盆花（四个角上也要摆），一共可以摆放多少盆花？ 【答案】（1）56.39平方米 （2）30盆 【分析】（1）根据平行四边形面积＝底×高，正方形面积＝边长×边长，代入数据，题中5.8米是平行四边形的高，求出平行四边形空地面积和喷泉面积，再用平行四边形空地面积－喷泉面积，即可求出植草皮的区域占地面积。 （2）根据平行四边形周长的求法，求出空地的周长；因为是封闭型，所以用平行四边形周长除以间隔，即可求出摆放花盆的数量，据此解答。 【详解】（1）10.8×5.8－2.5×2.5 ＝62.64－6.25 ＝56.39（平方米） 答：植草皮的区域占地56.39平方米。 （2）（10.8＋7.2）×2÷1.2 ＝18×2÷1.2 ＝36÷1.2 ＝30（盆） 答：一共可以摆放30盆花。 11．在一块底是15米，高是12米的平行四边形菜地种植番茄，一共收了1350千克番茄，平均每平方米菜地可收多少千克番茄？ 【答案】7.5千克 【分析】分析题目，根据平行四边形的面积＝底×高求出菜地的面积，再用收的番茄总质量除以菜地的面积即可解答。 【详解】15×12＝180（平方米） 1350÷180＝7.5（千克） 答：平均每平方米菜地可收7.5千克番茄。 C思维拓展 12．一块平行四边形菜地（如图），今年菜地里种的土豆共收获了47.5千克，平均每平方米菜地收获多少千克土豆？ 【答案】5千克 【分析】根据平行四边形面积＝底×高，先算出平行四边形的面积，再用总的收获量除以面积得到每平方米收获的土豆重量。 【详解】3.8×2.5＝9.5（平方米） 47.5÷9.5＝5（千克） 答：平均每平方米菜地收获5千克土豆。 13．如图，一块长方形地，长是16米，宽是10米，中间铺了一条宽2.5米的石子路，其余地方铺上草皮。如果铺1平方米草皮需要25元，那么铺这些草皮一共需要多少钱？ 【答案】3375元 【分析】观察图形可知，铺草皮的面积＝长方形的面积－平行四边形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算，求出铺草皮的面积，再乘铺1平方米草皮需要的钱数，即是铺这些草皮一共需要的总钱数。 【详解】16×10－2.5×10 ＝160－25 ＝135（平方米） 25×135＝3375（元） 答：铺这些草皮一共需要3375元。 14．五（1）班有一块平行四边形的责任田（如下图），责任田的中间有一条长12米、宽1米的小路，这块责任田的种植面积是多少？ 【答案】228平方米 【分析】用平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，再用平行四边形的面积减去长方形的面积，即可求得这块责任田的种植面积是多少。 【详解】20×12－12×1 ＝240－12 ＝228（平方米） 答：这块责任田的种植面积是228平方米。 15．据测算，占地1平方千米的沙漠蝗虫群中，个体数有4000万之多，计划采用机器喷药的方式消灭蝗虫，机器喷药的方式每小时能消灭2公顷农田里的蝗虫。如图是该地区的一块农田，消灭这块农田里的蝗虫要多少小时？ 【答案】9小时 【分析】分析题目，先根据平行四边形的面积＝底×高代入数据求出这块地的面积是多少平方米，再根据1公顷＝10000平方米，把平方米化为公顷，最后用面积除以2即可解答。 【详解】450×400＝180000（平方米） 180000平方米＝18公顷 18÷2＝9（时） 答：消灭这块农田里的蝗虫要9小时。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 多边形的面积（平行四边形） 1.平行四边形面积的意义： ----理解平行四边形面积的含义，明确面积是指平行四边形所占平面的大小 2.平行四边形面积公式的推导： ----通过割补、平移等方法，将平行四边形转化为长方形，掌握“转化思想” 3.平行四边形面积公式的应用： ----牢记平行四边形面积=底×高（S=ah），能根据公式直接计算面积 4.底和高的对应关系： ----明确计算面积时，底与高必须是相互垂直的对应边，避免错用非对应底和高 5.实际问题解决： ----结合生活场景，运用面积公式解决平行四边形物体的面积计算问题，培养应用意识 类型1 平行四边形面积的应用： 典型例题1：一个平行四边形广告牌，底是1.5米，高是1.4米，如果要油漆装饰它的两面，每平方米需要油漆0.7千克，共需要多少千克的油漆？ 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高即可求出广告牌一面的面积，再乘2即可求出需要涂漆的面积，再乘每平方米需要涂漆的质量0.7千克，即可求出共需要多少千克的油漆。 变式训练：张伯伯承包了一块3.9公顷的平行四边形菜地种白菜，已知菜地的高是60米。为了规划灌溉管道，需要计算菜地的底边长。你能帮张伯伯算出底是多少米吗？ 类型2 利用平移法求平行四边形面积解决问题： 典型例题2：如图是一个平行四边形花园，张伯伯在花园中修了一条垂直于花园底边的小路，这条小路宽1米，面积是9平方米，然后在其余部分种上太阳花，如果每平方米需要1.4克太阳花种子，这个花园一共需要多少克太阳花种子？ 【分析】由长方形的面积＝长×宽，可推导出长＝长方形的面积÷宽，据此用小路的面积（9平方米）除以小路的宽（1米）可求出小路的长（9米），即平行四边形的高； 观察图形可知，种太阳花的面积相当于一个底（16－1）米、宽9米的平行四边形的面积；根据平行四边形的面积＝底×高求出种太阳花的面积；最后用种太阳花的面积乘1.4求出一共需要太阳花种子的质量。 变式训练：如图，一块平行四边形的空地中有一条长7米，宽2米的长方形小路。 （1）求空地的面积。 （2）计划将空地进行绿化改造，每平方米空地的绿化需40元，这块平行四边形空地绿化需要多少元？ A夯实基础 1．一个平行四边形果园，底是60米，对应的高是40米。如果每12平方米种一棵果树，那么这个果园一共可以种（    ）棵果树。 A．200 B．240 C．288 D．360 2．一个由木条钉成的平行四边形，底是10厘米，高是6厘米。把它拉成一个长方形，这个长方形的面积可能是（    ）平方厘米。 A．60 B．78 C．36 D．56 3．一个平行四边形相邻两条边的长度分别是5厘米和8厘米，其中一条底边上的高是7厘米，这个平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 A．40 B．35 C．56 D．无法确定 4．如图，一块平行四边形菜地的中间有一条长6m、宽1m的长方形小路，则菜地的面积是( )m2。 5．一个平行四边形的面积是。已知两条底边上的高分别是和，这个平行四边形的周长是( )。 6．如下图中平行四边形的面积是( )平方米；如果高增加3米，面积是( )平方米；如果底增加3米，面积是( )平方米。 B培优拔高 7．下图是一块平行四边形土地，中间有一条小路，涂色部分是稻田，稻田的面积是多少？如果每平方米稻田可产稻谷1.5千克，那么这块稻田可产多少千克稻谷？ 8．一块平行四边形麦田。它的底是140米，高是50米，共收小麦4.9吨。平均每公顷收小麦多少吨？ 9．暑假期间，光明小学组织五年级同学赴乡村劳动教育基地开展研学实践，通过农事体验和自主生活训练，培养同学们的劳动意识与实践能力。该基地的花卉区有一个平行四边形的牡丹园（如下图），如果每平方米可以种4株牡丹花，那么这个牡丹园一共可以种多少株牡丹花？ 10．为美化小区环境，如图所示，物业计划在小区内的一块平行四边形空地上预留一块边长为2.5米的正方形区域建造一个喷泉，其余部分植上草皮。 （1）植草皮的区域占地多少平方米？ （2）在这块平行四边形空地的四周每隔1.2米摆一盆花（四个角上也要摆），一共可以摆放多少盆花？ 11．在一块底是15米，高是12米的平行四边形菜地种植番茄，一共收了1350千克番茄，平均每平方米菜地可收多少千克番茄？ C思维拓展 12．一块平行四边形菜地（如图），今年菜地里种的土豆共收获了47.5千克，平均每平方米菜地收获多少千克土豆？ 13．如图，一块长方形地，长是16米，宽是10米，中间铺了一条宽2.5米的石子路，其余地方铺上草皮。如果铺1平方米草皮需要25元，那么铺这些草皮一共需要多少钱？ 14．五（1）班有一块平行四边形的责任田（如下图），责任田的中间有一条长12米、宽1米的小路，这块责任田的种植面积是多少？ 15．据测算，占地1平方千米的沙漠蝗虫群中，个体数有4000万之多，计划采用机器喷药的方式消灭蝗虫，机器喷药的方式每小时能消灭2公顷农田里的蝗虫。如图是该地区的一块农田，消灭这块农田里的蝗虫要多少小时？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $