智慧广场（排列问题）（解决问题讲义）数学青岛版五四学制四年级下册

智慧广场（排列问题） 1.简单排列的认识与应用： ----认识排列的含义，明确排列具有有序性（顺序不同则结果不同），能结合数字排列、排队顺序等具体情境，有序找出所有排列结果 2.简单组合的认识与应用： ----认识组合的含义，明确组合具有无序性（顺序不同结果相同），能结合握手问题、物品搭配等具体情境，不重复、不遗漏找出所有组合结果 3.排列与组合的区别： ----掌握区分排列与组合的核心标准，关键判断问题是否与顺序相关：与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合 4.解决排列组合问题的常用方法： ----掌握列举法、连线法、列表法等基础方法，能根据问题特点选择合适的方法，培养有序思考的习惯，确保结果不重复、不遗漏 5.实际情境中的排列组合应用： ----结合生活实际（如服装搭配、路线选择、节目编排等），运用排列组合知识解决简单实际问题，提升逻辑推理和解决实际问题的能力 类型1 排列问题： 典型例题1：爱打篮球的小明刚进入校园，就迫不及待地跑去篮球场投篮。他连续进行了10次投篮，其中有3次投进，且恰好有两次是连续投进的，那么他投篮的过程有多少种不同的情况？ 【答案】56种 【分析】 投篮进球记为“”，不进球记为“”，连续两次进球记为“”。单独投进的既不能与连续投进的前一个位置相邻，也不与的后一个位置相邻，否则会有3次连续进球。一共有（10－3＝7）次。7次排列后之间及两端有8个间隔，如图：，需要将和插入8个间隔中，且不能插入同一个间隔。将插入第一个间隔，有7种插法，如图：、、、、、、。有8种插入方法，一共有（8×7）种插入方法。 【详解】10－3＝7（次） （7＋1）×7 ＝8×7 ＝56（种） 答：他投篮的过程有56种不同的情况。 【点睛】将连续投进视为一个整体，再与单独投进的情况组合排列。画图更加简洁易懂。 变式训练：牛市口和天府广场之间需要设计多少种车票（往返车票视为同一种车票）？ 【答案】10种 【分析】通过逐步列举从牛市口到天府广场不同站地下车的情况，计算出所有可能的地铁票种类，往返车票视为同一种车票，即天府广场到春熙路和春熙路到天府广场算一种车票，所以按单程车票种类计算即可，据此解答。 【详解】天府广场到春熙路、东门大桥、牛王庙、牛市口，共4种车票； 春熙路到东门大桥、牛王庙、牛市口，共3种车票； 东门大桥到牛王庙、牛市口，共2种车票； 牛王庙到牛市口，共1种车票。 4＋3＋2＋1＝10（种） 答：牛市口和天府广场之间需要设计10种车票。 类型2 数字中的排列问题： 典型例题2：妈妈买了一块牛肉，价格是□□.□元，已知牛肉的金额由1、4、6这三个数字组成。这块牛肉的价格可能是多少元？ 【答案】可能是14.6元、16.4元、41.6元、46.1元、61.4元、64.1元 【分析】牛肉的价格是□□.□元，是由3个数字和小数点组成的一位小数，整数部分用了2个数字，小数部分用了1个数字，据此进行列举即可解此题。 【详解】把1和4放在整数部分，6放在小数部分，组成的小数是14.6、41.6； 把1和6放在整数部分，4放在小数部分，组成的小数是16.4、61.4； 把6和4放在整数部分，1放在小数部分，组成的小数是64.1、46.1； 答：这块牛肉的价格可能是14.6元、16.4元、41.6元、46.1元、61.4元、64.1元。 变式训练：将1至8这8个数按照某种顺序排成一排，先将相邻的两个数相乘，再把这7个乘积相加，得到的和的最大值是多少？ 【答案】189 【分析】要使相邻两数乘积之和最大，需将较大的数放在中间位置，使较大数多次参与相乘；需将较小数放在两端，使较小数少次参与相乘。 【详解】排列为：1，3，5，7，8，6，4，2。（排列方法不唯一） 1×3＝3 3×5＝15 5×7＝35 7×8＝56 8×6＝48 6×4＝24 4×2＝8 3＋15＋35＋56＋48＋24＋8＝189 答：得到的和的最大值是189。 【点睛】将较大的数放在中间位置，使较大数多次参与相乘；将较小数放在两端，使较小数少次参与相乘。 类型3 含0的组数问题： 典型例题3：从数字0，5，6，7，8，9中任意挑选5个组成能被5除尽且各位数字互异的五位数，那么共可以组成多少个不同的五位数？ 【答案】216个 【分析】能被5除尽的数，其个位只能是0或5。 如果个位为0，则剩下的4个数位可以从5，6，7，8，9中任意选择4个不同的数字排成一排，于是有（5×4×3×2）种选法。 如果个位为5，则首位只能从6，7，8，9这4个位置中选择1个，剩下的3个数位可以从6，7，8，9中剩下的3个数及0中任意选择3个不同的数字排成一排，于是有（4×4×3×2）种选法。 【详解】5×4×3×2 ＝20×3×2 ＝60×2 ＝120（种） 4×4×3×2 ＝16×3×2 ＝48×2 ＝96（种） 120＋96＝216（种） 答：共可组成216个不同的五位数。 【点睛】本题主要考查被5整除数的特征。排列、组合以及简单计数原理的应用。注意把特殊元素与位置综合分析，分类讨论。 变式训练：用8，6，3，0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？最大的一个是多少？（在组成的数中，每个数字只能用一次） 【答案】18个；863 【分析】一个整数，从右往左依次为个位，十位，百位。用8，6，3，0这四个数字，组成三位数，先排百位，百位上不能为0，所以有3种排法；再排十位，有3种排法；再排个位，有2种排法，共有3×3×2＝18（个）； 用这四个数字要组成最大的三位数，把这些数字按从大到小依次放在百位、十位和个位上即可；据此解答。 【详解】3×3 ＝9×2 ＝18（个） 组成最大的一个三位数是863。 答：可以组成18个不同的三位数；最大的一个是863。 A夯实基础 1．用0、1、2、3四张数字卡片可以组成（    ）个不同的四位数。 A．4 B．24 C．18 【答案】C 【分析】先排千位，因为0不能放在千位上，所以有3种排法；再排百位，有3种排法；再排十位，有2种排法；再排个位，有1种排法，共有3×3×2×1＝18种；据此解答。 【详解】3×3×2×1＝18（种） 所以，最多可以摆成18个不同的四位数。 故答案为：C 2．四年级三班在运动会接力赛中，决定让短跑速度最快的A同学跑最后一棒，B同学、C同学、D同学跑其他三棒，可以有（    ）种不同的安排方法。 A．4 B．6 C．8 【答案】B 【分析】按照一定的顺序排列D、B和C三名同学，由于A同学跑最后一棒，只看前三名同学的排列方法即可，顺序排列如下： DBC DCB BDC BCD CDB CBD 【详解】根据分析，一共有6种不同的安排方法。 故答案为：B 3．有语文、数学、英语三本书，将它们叠放在一起有（    ）种叠法。 A．3 B．6 C．8 【答案】B 【分析】由题意可知，将三本书进行叠放，当语文书在最下面时，有2种叠法，即：语文、数学、英语或语文、英语、数学；当数学书在最下面时，有2种叠法，即数学、语文、英语或数学、英语、语文；当英语书在最下面时，有2种叠法，即英语、数学、语文或英语、语文、数学，将所有的叠法加起来，据此即可解答。 【详解】2×3＝6（种） 所以有语文、数学、英语三本书，将它们叠放在一起有6种叠法。 故答案为：B 4．甲、乙、丙、丁四名同学排成一行跳舞，如果乙同学固定在左数第二个位置，其余的同学任意排，可以有( )种不同的排法。 【答案】6 【分析】乙的位置固定后，相当于三个位置由甲、丙、丁排列，左数第一个位置有3种选择，选定后左数第三个位置有2种选择，选定后左数第四个位置有1种选择，所以是3×2×1种不同的排法。 【详解】乙的位置固定后，相当于三个位置由甲、丙、丁排列。 3×2×1 ＝6×1 ＝6（种） 所以可以有6种不同的排法。 5．祥和小区要新设置一处垃圾回收点，他们采购了4个垃圾桶，分别装可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾，4个垃圾桶排成一行摆放，其中可回收垃圾要放在最左侧，共有( )种摆放方案。 【答案】6 【分析】（1）将四个垃圾桶排成一排，共有四个位置，其中可回收垃圾要放在最左侧，剩余的三个垃圾桶放在剩余的三个位置上；从左往右数，第二个位置有3种摆法，所以我们需要分别考虑第二个位置是不可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾的情况，固定第二个位置后，再选取不重复的情况进行有序组合，据此解答。 【详解】根据分析可知，可回收垃圾要放在最左侧，剩余的三个垃圾桶放在剩余的三个位置上； 第二个位置是不可回收垃圾的摆放方法有2种： 可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾； 可回收垃圾、不可回收垃圾、其他垃圾、有害垃圾； 第二个位置是有害垃圾的摆放方法有2种： 可回收垃圾、有害垃圾、不可回收垃圾、其他垃圾； 可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾、不可回收垃圾； 第二个位置是其他垃圾的摆放方法有2种： 可回收垃圾、其他垃圾、有害垃圾、不可回收垃圾； 可回收垃圾、其他垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾； （种） 所以共有6种摆放方案。 6．拍毕业照时，有四位同学与王老师照相，王老师站在中间，其余同学任意排，有( )种不同的排法。 【答案】24 【分析】按顺序、不重复、不遗漏的列出所有的排列方法，注意王老师站在中间； 假设四位同学分别为甲、乙、丙、丁，甲排在左边第一位可以排列为：甲、乙、王老师、丙、丁，甲、乙、王老师、丁、丙，甲、丙、王老师、乙、丁，甲、丙、王老师、丁、乙，甲、丁、王老师、乙、丙，甲、丁、王老师、丙、乙，有6种； 乙排在左边第一位可以排列为：乙、甲、王老师、丙、丁，乙、甲、王老师、丁、丙，乙、丙、王老师、甲、丁，乙、丙、王老师、丁、甲，乙、丁、王老师、甲、丙，乙、丁、王老师、丙、甲，有6种； 丙排在左边第一位可以排列为：丙、甲、王老师、乙、丁，丙、甲、王老师、丁、乙，丙、乙、王老师、甲、丁，丙、乙、王老师、丁、甲，丙、丁、王老师、甲、乙，丙、丁、王老师、乙、甲，有6种； 丁排在左边第一位可以排列为：丁、甲、王老师、乙、丙，丁、甲、王老师、丙、乙，丁、乙、王老师、甲、丙，丁、乙、王老师、丙、甲，丁、丙、王老师、甲、乙，丁、丙、王老师、乙、甲，有6种； 最后求出种数之和即可，据此解答。 【详解】根据分析：6×4＝24（种），所以有四位同学与王老师照相，王老师站在中间，其余同学任意排，有24种不同的排法。 B培优拔高 7．某旅行团共38人去划船，大船可坐6人同船划，小船可坐4人同船划。如果每条船都没有空位，有几种不同的租船方法？是哪几种？请列举出来。 【答案】有3种不同的租船方法。 方案一：租1条大船，8条小船。方案二：租3条大船，5条小船。方案三：租5条大船，2条小船。 【分析】6×7＝42（人），7条大船能坐下42人。而旅行团一共有38人，要使得租的每条船都没有空位，那么大船租的数量不得多于6条。据此，通过列举法找出所有方案即可。 【详解】①大船6条时： 38－6×6 ＝38－36 ＝2（人） 此时，余下的2人租1条小船坐不满，不符合题意； ②大船5条时： 38－5×6 ＝38－30 ＝8（人） 8÷4＝2（条） 此时，余下的8人恰好可以租2条小船并坐满，符合题意； ③大船4条时： 38－4×6 ＝38－24 ＝14（人） 14÷4＝3（条）……2（人） 此时，余下的14人租4条小船但坐不满，不符合题意； ④大船3条时： 38－3×6 ＝38－18 ＝20（人） 20÷4＝5（条） 此时，余下的20人恰好可以租5条小船并坐满，符合题意； ⑤大船2条时： 38－2×6 ＝38－12 ＝26（人） 26÷4＝6（条）……2（人） 此时，余下的26人租7条小船但坐不满，不符合题意； ⑥大船1条时： 38－1×6 ＝38－6 ＝32（人） 32÷4＝8（条） 此时，余下的32人恰好可以租8条小船并坐满，符合题意； 答：有3种不同的租船方法。方案一：租1条大船，8条小船。方案二：租3条大船，5条小船。方案三：租5条大船，2条小船。 【点睛】本题考查了优化问题，考虑租船问题采用列举法时，要做到不重不漏。 8．六年级六个班进行拔河比赛，每两个班比赛1场，一共要比赛多少场？ 【答案】15场 【分析】每个班级都要和其他的5个班级比赛1场，用5乘6求出比赛的理论总场次，再除以2将相同的比赛场次剔除，求出实际一共要比赛多少场。 【详解】5×6÷2＝15（场） 答：一共要比赛15场。 【点睛】本题考查了搭配问题，有一定逻辑推理能力是解题的关键。 9．张琪、刘猛、李欣3个好朋友想拍一张合照留念。如果他们三人站成一排,有多少种不同的站法? 【答案】6种 【分析】根据题意，分别用A、B、C代表张琪、刘猛、李欣，先确定张琪站的位置（即第一个），列举出所有的情况，则站法有：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。  共有6种方法。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 如果他们三人站成一排，可以有：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。 答：有6种不同的站法。 10．四位同学排一行表演小合唱，王刚同学担任领唱，并且他固定在左起第二个位置上，其余同学任意排．有多少种不同的排法？ 【答案】6种 【分析】四位同学排一行表演小合唱，王刚同学担任领唱，并且他固定在左起第二个位置上，那么有一种排法：甲、乙、丙、丁，二种排法甲、乙、丁、丙，据此分别排列，即可解答。 【详解】1种排法：甲、乙、丙、丁； 2种排法：甲、乙、丁、丙； 3种排法：丁、乙、甲、丙； 4种排法：丁、乙、丙、甲； 5种排法：丙、乙、甲、丁； 6种排法：丙、乙、丁、甲。 答：有6种不同的排法。 11．聪聪有标着0～9的数字卡片各10张，他用这些数字卡片组成一个5位数，可以组成多少个？最大的一个数是多少？最小的一个数是多少？ 【答案】90000个；99999；10000 【分析】（1）5位数万位上不能是0，可以是1~9这9个数字，所以有9种可能，个位、十位、百位、千位上可以是0~9，所以每个数位上都有10种可能，所以这个5位数就有9×10×10×10×10种可能； （2）5个数位每个都是9的时候组成的5位数为99999最大； （3）万位上不能是0，最小只能使用1，其他数位都是0的时候，组成的5位数10000最小。 【详解】9×10×10×10×10 ＝90×10×10×10 ＝90000（个） 这个5位数最大是：99999 这个5位数最小是：10000 答：可以组成90000个，最大的一个数是99999，最小的一个数是10000。 C思维拓展 12．用3、4、5和两个0组成一个三位数和一个两位数，要使这两个数的乘积最大，该怎样组合？ 【答案】见详解 【分析】要使组成的三位数和两位数的乘积最大，可以确定数字组合原则：最高位数字越大，乘积就可能越大。据此进行解答即可。 【详解】分析数字组合情况： 1．首先考虑三位数的百位选5，两位数的十位选4，这样可以保证高位数字尽可能大。 然后三位数的十位选3，个位选0，两位数的个位选0，此时组成的三位数是530，两位数是40，它们的乘积是530×40＝21200。 再考虑另一种情况，三位数是500，两位数是43，它们的乘积是500×43＝21500。 接着尝试三位数是540，两位数是30，乘积为540×30＝16200。 最后尝试三位数是503，两位数是40，乘积为503×40＝20120。 2．接着考虑三位数的百位选4，两位数的十位选5试试。 400×53＝21200，403×50＝20150，430×50＝21500 经过比较，当三位数是500，两位数是43或三位数是430，两位数是50时乘积最大。 答：组合成500和43或430和50时这两个数乘积最大。 13．用1、2、3、4可组成多少个没有重复数字的三位数并且是双数？ 【答案】12个 【分析】由题意知，需要组成没有重复数字的三位数并且是双数，那就可以确定个位是2或4，然后列举所有可能的组合，数出个数即可。 【详解】个位为2时，三位数有：132、312、142、412、342、432，6个数； 个位为4时，三位数有：124、214、134、314、234、324，6个数； 能组成没有重复数字的三位数并且是双数有：6＋6＝12（个） 答：用1、2、3、4可组成12个没有重复数字的三位数并且是双数。 14．由数字0、1、2、3组成三位数，可组成多少个没有重复数字的三位数？ 【答案】18个 【分析】在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。 要求组成的三位数中没有重复数字，百位上不能取0，有3种取法； 由于百位从1，2，3中取走了一个，故，十位上要从0和剩下的两个数字中取出一个，有3种取法； 由于百位和十位已各取走一个数字，故，个位上只能从剩下的两个数字中取出一个，有2种取法，故不同的取法有：3×3×2＝18（个）。 【详解】3×3×2 ＝9×2 ＝18（个） 答：可组成18个没有重复数字的三位数。 15．用1、3、5这三个数字可以组成像“□□×□”的算式，可以组成多少个？请你全部写出来。乘积最大的算式是哪一道？请计算这道算式。 【答案】6个；组成的算式见详解；最大的算式是31×5；计算见详解 【分析】按顺序、不重复、不遗漏的写出所有的算式；要使乘积最大，那么两个数的最高位分别是3和5，两位数中的十位上如果是3、个位上是1，一位数是5，那么31×5＝155；两位数中的十位上如果是5、个位上是1，一位数是3，那么51×3＝153，据此解答。 【详解】可以组成：13×5，15×3，31×5，35×1，51×3，53×1 最大：31×5＝155 答：可以组成6个，乘积最大的算式是31×5。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 智慧广场（排列问题） 1.简单排列的认识与应用： ----认识排列的含义，明确排列具有有序性（顺序不同则结果不同），能结合数字排列、排队顺序等具体情境，有序找出所有排列结果 2.简单组合的认识与应用： ----认识组合的含义，明确组合具有无序性（顺序不同结果相同），能结合握手问题、物品搭配等具体情境，不重复、不遗漏找出所有组合结果 3.排列与组合的区别： ----掌握区分排列与组合的核心标准，关键判断问题是否与顺序相关：与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合 4.解决排列组合问题的常用方法： ----掌握列举法、连线法、列表法等基础方法，能根据问题特点选择合适的方法，培养有序思考的习惯，确保结果不重复、不遗漏 5.实际情境中的排列组合应用： ----结合生活实际（如服装搭配、路线选择、节目编排等），运用排列组合知识解决简单实际问题，提升逻辑推理和解决实际问题的能力 类型1 排列问题： 典型例题1：爱打篮球的小明刚进入校园，就迫不及待地跑去篮球场投篮。他连续进行了10次投篮，其中有3次投进，且恰好有两次是连续投进的，那么他投篮的过程有多少种不同的情况？ 【分析】 投篮进球记为“”，不进球记为“”，连续两次进球记为“”。单独投进的既不能与连续投进的前一个位置相邻，也不与的后一个位置相邻，否则会有3次连续进球。一共有（10－3＝7）次。7次排列后之间及两端有8个间隔，如图：，需要将和插入8个间隔中，且不能插入同一个间隔。将插入第一个间隔，有7种插法，如图：、、、、、、。有8种插入方法，一共有（8×7）种插入方法。 变式训练：牛市口和天府广场之间需要设计多少种车票（往返车票视为同一种车票）？ 类型2 数字中的排列问题： 典型例题2：妈妈买了一块牛肉，价格是□□.□元，已知牛肉的金额由1、4、6这三个数字组成。这块牛肉的价格可能是多少元？ 【分析】牛肉的价格是□□.□元，是由3个数字和小数点组成的一位小数，整数部分用了2个数字，小数部分用了1个数字，据此进行列举即可解此题。 变式训练：将1至8这8个数按照某种顺序排成一排，先将相邻的两个数相乘，再把这7个乘积相加，得到的和的最大值是多少？ 类型3 含0的组数问题： 典型例题3：从数字0，5，6，7，8，9中任意挑选5个组成能被5除尽且各位数字互异的五位数，那么共可以组成多少个不同的五位数？ 【分析】能被5除尽的数，其个位只能是0或5。 如果个位为0，则剩下的4个数位可以从5，6，7，8，9中任意选择4个不同的数字排成一排，于是有（5×4×3×2）种选法。 如果个位为5，则首位只能从6，7，8，9这4个位置中选择1个，剩下的3个数位可以从6，7，8，9中剩下的3个数及0中任意选择3个不同的数字排成一排，于是有（4×4×3×2）种选法。 变式训练：用8，6，3，0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？最大的一个是多少？（在组成的数中，每个数字只能用一次） A夯实基础 1．用0、1、2、3四张数字卡片可以组成（    ）个不同的四位数。 A．4 B．24 C．18 2．四年级三班在运动会接力赛中，决定让短跑速度最快的A同学跑最后一棒，B同学、C同学、D同学跑其他三棒，可以有（    ）种不同的安排方法。 A．4 B．6 C．8 3．有语文、数学、英语三本书，将它们叠放在一起有（    ）种叠法。 A．3 B．6 C．8 4．甲、乙、丙、丁四名同学排成一行跳舞，如果乙同学固定在左数第二个位置，其余的同学任意排，可以有( )种不同的排法。 5．祥和小区要新设置一处垃圾回收点，他们采购了4个垃圾桶，分别装可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾，4个垃圾桶排成一行摆放，其中可回收垃圾要放在最左侧，共有( )种摆放方案。 6．拍毕业照时，有四位同学与王老师照相，王老师站在中间，其余同学任意排，有( )种不同的排法。 B培优拔高 7．某旅行团共38人去划船，大船可坐6人同船划，小船可坐4人同船划。如果每条船都没有空位，有几种不同的租船方法？是哪几种？请列举出来。 8．六年级六个班进行拔河比赛，每两个班比赛1场，一共要比赛多少场？ 9．张琪、刘猛、李欣3个好朋友想拍一张合照留念。如果他们三人站成一排,有多少种不同的站法? 10．四位同学排一行表演小合唱，王刚同学担任领唱，并且他固定在左起第二个位置上，其余同学任意排．有多少种不同的排法？ 11．聪聪有标着0～9的数字卡片各10张，他用这些数字卡片组成一个5位数，可以组成多少个？最大的一个数是多少？最小的一个数是多少？ C思维拓展 12．用3、4、5和两个0组成一个三位数和一个两位数，要使这两个数的乘积最大，该怎样组合？ 13．用1、2、3、4可组成多少个没有重复数字的三位数并且是双数？ 14．由数字0、1、2、3组成三位数，可组成多少个没有重复数字的三位数？ 15．用1、3、5这三个数字可以组成像“□□×□”的算式，可以组成多少个？请你全部写出来。乘积最大的算式是哪一道？请计算这道算式。 1 学科网（北京）股份有限公司 $