第七单元 分数的加减法（一）（同分母分数加、减法）（解决问题讲义）数学青岛版五四学制四年级下册

第七单元 分数的加减法（一）（同分母分数加、减法） 1.同分母分数加减法的意义与算理： ----理解同分母分数加法、减法的实际意义，建立同分母分数加减法的数学模型，掌握“分母不变，只把分子相加减”的核心算理 2.同分母分数加减法的计算法则： ----掌握同分母分数加减法的具体计算步骤，能准确进行同分母分数加减运算，知道计算结果需化为最简分数（能约分的要约分） 3.分数和小数互化的意义与方法： ----认识分数和小数互化的必要性，建立分数与小数的内在联系，掌握分数化小数（分子除以分母）、小数化分数（先写成分母是10、100……的分数，再化简）的基本方法 4.分数和小数互化的实际应用： ----能灵活运用分数与小数的互化方法，解决分数与小数比较大小、混合运算等简单数学问题 5.分数加减法（一）的实际问题解决： ----结合生活实际场景，学会分析题目中的数量关系，选择合适的方法（同分母分数加减法、分数与小数互化）解决实际问题，培养数学应用意识和问题分析能力 类型1 同分母分数加减法解决问题： 典型例题1：琪琪手工课上织一条围巾，第一次织了全长的，第二次织了全的，还剩下全长的几分之几没有织？ 【答案】 【分析】把这条围巾看作单位“1”，已知第一次织了全长的，第二次织了全长的，两次相加，再用1减去两次之和，即为所求。 【详解】＋＝ 1－＝＝ 答：还剩下全长的没有织。 变式训练：有甲、乙两袋糖，甲袋糖有千克，如果从甲袋中拿出千克，两袋糖就一样重。乙袋糖原有多少千克？ 【答案】千克 【分析】从甲袋中拿出千克，两袋糖就一样重，说明乙袋糖比甲袋糖少了千克，甲袋糖的质量－乙袋糖比甲袋糖少的质量＝乙袋糖的质量，据此列式解答。 【详解】－＝＝（千克） 答：乙袋糖原有千克。 类型2 分数化小数解决问题： 典型例题2：是否存在9个分子为1，分母为互不相同的正偶数的分数，这9个分数相加，结果等于？若存在，请举例；若不存在，请说明理由。 【答案】不存在； 理由见详解 【分析】取最小的9个不同的正偶数，这9个正偶数的倒数为9个分子为1，分母为互不相同的正偶数的分数求和的最大值，若这个和比更小，则不存在这样的9个分数。 【详解】取最小的9个不同的正偶数为：2，4，6，8，10，12，14，16，18，其倒数和为： ＝1.4149 1.4149＜1.5＝ 即最小的9个不同的正偶数的倒数之和仍小于，更大的偶数无法补足差值，不存在9个这样的分数。 【点睛】分子相同，分母越小则分数越大，即更大的偶数的倒数更小，取到最大的和与比较为解题的关键。 变式训练：小明在100米跑步训练中，第一次用了分钟，第二次用了分钟，第三次用了0.26分钟。他哪次的成绩最好？ 【答案】第三次 【分析】根据分数与除法的关系＝a÷b（b≠0）将前两次的时间化成小数，再比较三次时间长短，时间越短，成绩越好。据此解答。 【详解】＝3÷11≈0.27 ＝7÷25＝0.28 0.26＜0.27＜0.28，所以0.26＜＜。 答：他第三次的成绩最好。 类型3 一位或多位小数化分数（约分）解决问题： 典型例题3：截止到2024年，全球高铁线路总长度约为6.5万千米，其中中国高铁线路总长度约为4.5万千米，中国高铁线路总长度占全球高铁线路总长度的几分之几？ 【答案】 【分析】求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，即中国高铁长度除以全球高铁长度，结果用分数表示，计算时需将小数化为分数再进行约分。 【详解】将小数化为分数：6.5＝，4.5＝ 计算占比：÷＝×＝ 答：中国高铁线路总长度占全球高铁线路总长度的。 变式训练：甲乙两个打字员打同一份稿件，甲打字员平均每秒打0.8个字。乙打字员平均每秒打个字。哪位打字员的速度快一些？ 【答案】乙打字员 【分析】 根据小数与分数的关系，把0.8化为分数形式，即0.8＝，再根据异分母分数比较大小的方法，先通分化为同分母分数比较大小的方法进行比较即可。 【详解】 ，即0.8＜。 答：乙打字员速度快。 A夯实基础 1．一盒铅笔，先拿走这盒铅笔的，再拿走剩下的，共拿走了这盒铅笔的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把这盒铅笔的总量看作单位“1”，用1减去先拿走的量占总量的，求出剩下的量占总量的分率；再把剩下的量看作单位“1”，用剩下的量占总量的分率×，求出再拿走的量占总量的分率，再用先拿走的量占总量的分率＋再拿走的量占总量的分率，即可解答。 【详解】1－＝ ×＝ ＋ ＝＋ ＝ 一盒铅笔，先拿走这盒铅笔的，再拿走剩下的，共拿走了这盒铅笔的。 故答案为：B 2．明明和华华分别从A、B两地骑车相对而行，相遇时明明骑行了千米，华华骑行了全程的，两人谁骑行的距离多？（    ） A．明明 B．华华 C．一样多 D．无法判断 【答案】A 【分析】通过对应分率进行比较。将全程看作单位“1”，1－华华骑行了全程的几分之几＝明明骑行了全程的几分之几。 【详解】明明：1－＝ ＞，明明骑行的距离多。 故答案为：A 3．东东用彩带编了两个中国结，正好用完了一卷彩带。第一个中国结用了这卷彩带的，第二个中国结用了米，东东编织中国结用的彩带长度（    ）。 A．第一个用的多 B．第二个用的多 C．两个中国结用的一样的 D．无法比较 【答案】A 【分析】通过对应分率进行比较，将彩带长度看作单位“1”，1－第一个中国结用了这卷彩带的几分之几＝第二个中国结用了这卷彩带的几分之几。 【详解】1－＝ ＞ 东东编织中国结用的彩带长度第一个用的多。 故答案为：A 4．一袋50千克的面粉，先用去它的做蛋糕，又用了千克做甜饼，这时一共用去面粉( )千克。 【答案】/10.2 【分析】把50千克面粉的重量看作单位“1”，先用去它的做蛋糕，用面粉的总量×，求出做蛋糕用去面粉的重量，再加上做甜饼用去面粉的重量，即可解答。 【详解】50×＝10（千克） 10＋＝（千克） 一袋50千克的面粉，先用去它的做蛋糕，又用了千克做甜饼，这时一共用去面粉千克。 5．一根电线长3m，如果用去了m后，还剩下( )m。如果用去了，还剩下( )。 【答案】 【分析】（1）用电线的总长度 减去用去的长度等于剩下的长度，据此用减法计算； （2）把电线的总长度看作单位“1”，用1减去用去的即可得到还剩几分之几。 【详解】3－＝（m） 1－＝ 一根电线长3m，如果用去了m后，还剩下m。如果用去了，还剩下。 6．一杯纯果汁，王林喝了杯后觉得有点甜，就兑满了水，又喝了半杯，就出去玩了。王林一共喝了( )杯纯果汁和( )杯水。 【答案】 【分析】1杯纯果汁，王林喝了杯后，还剩（1－）杯，加满水后有喝了半杯，即喝了纯果汁的（1－）的一半，再加上第一次喝了的杯，即是喝了的果汁杯数；求喝了多少水，喝的水就是喝了杯的一半，杯的一半是杯，据此解答。 【详解】第一次喝了杯后，还剩1－＝（杯） 杯的一半是杯； 一共喝了：＋＝（杯） 喝的水就是喝了杯的一半，杯的一半是杯。 一杯纯果汁，王林喝了杯后觉得有点甜，就兑满了水，又喝了半杯，就出去玩了。王林一共喝了杯纯果汁和杯水。 B培优拔高 7．一个大型水果加工厂某天运进5吨水果。为了满足市场订单，这一天先将5吨水果的进行了初步加工并销售出去，随后接到一个紧急小订单，又额外销售出吨水果。这天一共销售了多少吨水果？ 【答案】2吨 【分析】已知某天运进5吨水果，这一天先将5吨水果的进行了初步加工并销售出去，那么此时销售出去的水果根据求一个数的几分之几是多少用乘法，用5吨乘，将第一次销售的水果吨数与额外销售出吨水果相加得到这一天一共销售了几吨水果。 【详解】一共销售的水果： 5×＋ ＝＋ ＝ ＝2（吨） 答：这天一共销售了2吨水果。 8．从甲地到乙地，其中是上坡路，是下坡路。一人在甲、乙间往返一趟，共走上坡路36千米，那么从乙地返回甲地时上坡行了多少千米？ 【答案】20千米 【分析】往返一趟的总上坡路等于甲到乙的上坡路加上乙到甲的上坡路。甲到乙的上坡路为全程的，乙到甲的上坡路为甲到乙的下坡路，即全程的。总上坡路为全程的（）倍，即1倍，则全程为36千米。从乙返回甲时的上坡路为全程的，根据分数乘法的意义，用乘法计算即可。 【详解】 即全程为36千米。 （千米）。 答：从乙地返回甲地时上坡行了20千米。 【点睛】解题关键是理解往返过程中上坡路的总量等于甲乙两地的全程，且从乙地返回甲地时的上坡路就是甲地到乙地时的下坡路，通过往返上坡路的总长度确定全程，进而求出返回时的上坡路程。 9．学校举办“我是环保小达人”绘画比赛，其中一等奖的作品数量占参赛作品总数的，二等奖的作品数量占参赛作品总数的，其余的作品是三等奖。三等奖的作品数量占参赛作品总数的几分之几？ 【答案】 【分析】这道题是求三等奖占总数的几分之几。首先得知道，所有奖项（一等奖、二等奖、三等奖）加起来就是参赛作品的总数，我们可以把总数看成“1”（也就是，这样分母和其他分数一样，方便计算）。接下来只要用总数“1”减去一等奖占的，再减去二等奖占的，剩下的就是三等奖占的比例。因为都是同分母分数，计算时分母不变，只把分子相减即可。 【详解】 答：三等奖的作品数量占参赛作品总数的。 10．【新颖材料】济南别称泉城，素有“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”的美誉。通过调查统计，趵突泉暑假期间旅客的购票情况：人工售票口购票约占，网上购票约占，其余为自动售票机购票，自动售票机购票占总售票数的几分之几？ 【答案】 【分析】把总售票数看作单位“1”，根据减法的意义，用“1”减去人工售票口购票、网上购票约占总售票数的几分之几，即是自动售票机购票占总售票数的几分之几。 【详解】 答：自动售票机购票占总售票数的。 11．小林和小文一起去打扫卫生区，过了6分钟，小林扫了卫生区的，小文扫了卫生区的，两人一共扫了卫生区的几分之几？还剩几分之几？ 【答案】； 【分析】小林扫了卫生区的几分之几加上小文扫了卫生区的几分之几，即可算出两人一共扫了卫生区的几分之几。 1减去两人共扫的卫生区的几分之几，即可算出还剩几分之几。 【详解】     答：两人一共扫了卫生区的，还剩。 C思维拓展 12．某工程队修一条路，第一个月修了整条路的，第二个月修了整条路的，这两个月一共修了整条路的几分之几？ 【答案】 【分析】将整条公路看作单位“1”，第一个月修了整条路的几分之几＋第二个月修了整条路的几分之几＝两个月共修了整条路的几分之几，据此列式解答。同分母分数相加减，分母不变只把分子相加减，结果能约分要约分。 【详解】＋＝＝ 答：这两个月一共修了整条路的。 13．东风实验小学有32位同学参加县区组织的书法比赛，全部获奖。有的同学获得了三等奖，有的学生获得了二等奖，其余的学生获得了一等奖。获得一等奖的学生占参赛学生的几分之几？有多少人？ 【答案】；4人 【分析】1减去获得三等奖的同学占参赛学生的几分之几，再减去获得二等奖的同学占参赛学生的几分之几，即可算出获得一等奖的学生占参赛学生的几分之几。 获得一等奖的学生占参赛学生的，表示把参赛学生平均分成8份，获得一等奖的同学占其中的1份，参赛学生数除以8即可算出获得一等奖的有几人。 【详解】1－－ ＝－ ＝ 32÷8＝4（人） 答：获得一等奖的学生占参赛学生的，有4人。 14．五（1）班全班同学分成三组做游戏，一组和二组的人数占全班总人数的，二组和三组的人数占全班总人数的。每组人数分别占全班总人数的几分之几？ 【答案】一组人数占；二组人数占；三组人数占 【分析】把五（1）班的总人数看作单位“1”，三个小组的人数相加等于全班总人数，已知一组和二组的人数占全班总人数的，二组和三组的人数占全班总人数的，那么（＋）比全班总人数 “1”多1个二组人数的占比，所以用（＋－1）等于二组人数占总人数的几分之几； 用一组和二组的人数占总人数的减去二组人数占总人数的分率，求出一组人数占总人数的几分之几； 用二组和三组的人数占全班总人数的减去二组人数占总人数的分率，求出三组人数占总人数的几分之几。 【详解】二组： ＋－1 ＝＋－1 ＝－1 ＝ 一组：－＝ 三组： － ＝－ ＝ 答：一组人数占全班总人数的；二组人数占全班总人数的；三组人数占全班总人数的。 15．我国山区包括山地、高原和丘陵，其中山地占全国总面积的，高原占全国总面积的，丘陵占全国总面积的，山区占全国总面积的几分之几？ 【答案】 【分析】由题意得，山区包括山地、高原和丘陵，山地占全国总面积的，高原占全国总面积的，丘陵占全国总面积的，求山区占全国总面积的几分之几，直接把几部分对应的分数加起来即可。 【详解】＋＋＝ 答：山区占全国总面积的。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 分数的加减法（一）（同分母分数加、减法） 1.同分母分数加减法的意义与算理： ----理解同分母分数加法、减法的实际意义，建立同分母分数加减法的数学模型，掌握“分母不变，只把分子相加减”的核心算理 2.同分母分数加减法的计算法则： ----掌握同分母分数加减法的具体计算步骤，能准确进行同分母分数加减运算，知道计算结果需化为最简分数（能约分的要约分） 3.分数和小数互化的意义与方法： ----认识分数和小数互化的必要性，建立分数与小数的内在联系，掌握分数化小数（分子除以分母）、小数化分数（先写成分母是10、100……的分数，再化简）的基本方法 4.分数和小数互化的实际应用： ----能灵活运用分数与小数的互化方法，解决分数与小数比较大小、混合运算等简单数学问题 5.分数加减法（一）的实际问题解决： ----结合生活实际场景，学会分析题目中的数量关系，选择合适的方法（同分母分数加减法、分数与小数互化）解决实际问题，培养数学应用意识和问题分析能力 类型1 同分母分数加减法解决问题： 典型例题1：琪琪手工课上织一条围巾，第一次织了全长的，第二次织了全的，还剩下全长的几分之几没有织？ 【分析】把这条围巾看作单位“1”，已知第一次织了全长的，第二次织了全长的，两次相加，再用1减去两次之和，即为所求。 变式训练：有甲、乙两袋糖，甲袋糖有千克，如果从甲袋中拿出千克，两袋糖就一样重。乙袋糖原有多少千克？ 类型2 分数化小数解决问题： 典型例题2：是否存在9个分子为1，分母为互不相同的正偶数的分数，这9个分数相加，结果等于？若存在，请举例；若不存在，请说明理由。 【分析】取最小的9个不同的正偶数，这9个正偶数的倒数为9个分子为1，分母为互不相同的正偶数的分数求和的最大值，若这个和比更小，则不存在这样的9个分数。 变式训练：小明在100米跑步训练中，第一次用了分钟，第二次用了分钟，第三次用了0.26分钟。他哪次的成绩最好？ 类型3 一位或多位小数化分数（约分）解决问题： 典型例题3：截止到2024年，全球高铁线路总长度约为6.5万千米，其中中国高铁线路总长度约为4.5万千米，中国高铁线路总长度占全球高铁线路总长度的几分之几？ 【分析】求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，即中国高铁长度除以全球高铁长度，结果用分数表示，计算时需将小数化为分数再进行约分。 变式训练：甲乙两个打字员打同一份稿件，甲打字员平均每秒打0.8个字。乙打字员平均每秒打个字。哪位打字员的速度快一些？ A夯实基础 1．一盒铅笔，先拿走这盒铅笔的，再拿走剩下的，共拿走了这盒铅笔的（    ）。 A． B． C． D． 2．明明和华华分别从A、B两地骑车相对而行，相遇时明明骑行了千米，华华骑行了全程的，两人谁骑行的距离多？（    ） A．明明 B．华华 C．一样多 D．无法判断 3．东东用彩带编了两个中国结，正好用完了一卷彩带。第一个中国结用了这卷彩带的，第二个中国结用了米，东东编织中国结用的彩带长度（    ）。 A．第一个用的多 B．第二个用的多 C．两个中国结用的一样的 D．无法比较 4．一袋50千克的面粉，先用去它的做蛋糕，又用了千克做甜饼，这时一共用去面粉( )千克。 5．一根电线长3m，如果用去了m后，还剩下( )m。如果用去了，还剩下( )。 6．一杯纯果汁，王林喝了杯后觉得有点甜，就兑满了水，又喝了半杯，就出去玩了。王林一共喝了( )杯纯果汁和( )杯水。 B培优拔高 7．一个大型水果加工厂某天运进5吨水果。为了满足市场订单，这一天先将5吨水果的进行了初步加工并销售出去，随后接到一个紧急小订单，又额外销售出吨水果。这天一共销售了多少吨水果？ 8．从甲地到乙地，其中是上坡路，是下坡路。一人在甲、乙间往返一趟，共走上坡路36千米，那么从乙地返回甲地时上坡行了多少千米？ 9．学校举办“我是环保小达人”绘画比赛，其中一等奖的作品数量占参赛作品总数的，二等奖的作品数量占参赛作品总数的，其余的作品是三等奖。三等奖的作品数量占参赛作品总数的几分之几？ 10．【新颖材料】济南别称泉城，素有“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”的美誉。通过调查统计，趵突泉暑假期间旅客的购票情况：人工售票口购票约占，网上购票约占，其余为自动售票机购票，自动售票机购票占总售票数的几分之几？ 11．小林和小文一起去打扫卫生区，过了6分钟，小林扫了卫生区的，小文扫了卫生区的，两人一共扫了卫生区的几分之几？还剩几分之几？ C思维拓展 12．某工程队修一条路，第一个月修了整条路的，第二个月修了整条路的，这两个月一共修了整条路的几分之几？ 13．东风实验小学有32位同学参加县区组织的书法比赛，全部获奖。有的同学获得了三等奖，有的学生获得了二等奖，其余的学生获得了一等奖。获得一等奖的学生占参赛学生的几分之几？有多少人？ 14．五（1）班全班同学分成三组做游戏，一组和二组的人数占全班总人数的，二组和三组的人数占全班总人数的。每组人数分别占全班总人数的几分之几？ 15．我国山区包括山地、高原和丘陵，其中山地占全国总面积的，高原占全国总面积的，丘陵占全国总面积的，山区占全国总面积的几分之几？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $