专题09 运用圆锥的体积和容积解决问题拔高版二（解决问题专项训练）数学苏教版六年级下册

专题09 运用圆锥的体积和容积解决问题拔高版二（解决问题专项） 1．有A、B两个容器，如图所示，先把A容器装满水，再倒入B容器中，B容器中水的液面高度是多少分米？（单位：分米） 2．“民以食为天”，在老百姓的眼里，“粮”就是“天”。种粮专业户李大伯承包的水稻迎来大丰收，正好装满这个粮囤。这个粮囤上面是圆锥形，下面是圆柱形（如图）。从里面量得圆柱和圆锥底面的周长都是6.28米，圆柱高2米，圆锥高1.5米。每立方米水稻约重0.6吨，这个粮囤能装水稻多少吨？ 3．竹编文化在我国有着悠久的历史，劳动实践课上六年（3）班同学学习编织竹筐。第一小组同学用竹条编织了一个无盖的圆柱形竹筐。竹筐直径40厘米，高60厘米，竹条的宽是2厘米。 （1）如果给这个竹筐外部四周贴上彩纸，需要准备多大的彩纸？（不计接缝） （2）乐乐想用这个竹筐来种植一些花草，他把一堆底面积是942平方厘米，高40厘米的近似圆锥形的沙土倒进去。此时竹筐里的沙土有多高？ 4．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的体积来计算时间的。下图展示了一个沙漏记录时间的情况，此时沙漏下部沙子的体积是28.26cm3。 （1）现在沙漏上部沙子的体积是多少cm3？ （2）如果再过1分钟，沙漏上部的沙子可以全部漏到下部，那么现在下部的沙子已经计量了多少分钟？ 5．航模小组制作了一个火箭助推器模型（如图），它的上半部分是圆锥，下半部分是圆柱。 （1）要解决“火箭助推器模型的体积是多少立方厘米？”的问题，三位同学分别给出了自己的做法。谁的想法正确？在括号里画“√”。 小思：我用“圆锥体积＋圆柱体积”来计算。（    ） 小维：我用“圆柱体积×”来计算。（    ） 小佳：我用“底面积×（圆柱的高＋圆锥的高）”来计算。（    ） （2）选择其中一种正确的做法，计算出结果。 6．在一个直径是20厘米的圆柱形容器里，放入一个底面半径是3厘米的圆锥形铁块，全部浸没在水中，这时水面上升0.3厘米。 （1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 7．在“五一”小长假里，小平和小天到厦门鼓浪屿游玩。他们用一样的钱给自己的妈妈买了一个圆锥形贝壳工艺品（如下图）。 （1）这个贝壳工艺品的体积是多少立方厘米？ （2）小平和小天都带了一些钱，他们带的钱的比是5∶3，买了贝壳工艺品后，小平的钱还剩360元，小天还剩120元。小天带了多少钱？ 8．如图的陀螺，上面是圆柱，下面是圆锥，且圆锥的高是圆柱高的。 （1）已知圆柱的底面直径8厘米，高是8厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ （2）如果要给这个陀螺做一个带盖长方体包装盒（粘合处忽略不计），至少需要多少平方厘米硬纸板？ 9．一个正方体铁块的棱长为4厘米，（结果四舍五入到个位） （1）如果把它熔铸成底面直径是6厘米的圆柱，这个圆柱的高约是多少厘米？ （2）如果把它熔铸成底面直径是6厘米的圆锥，这个圆锥的高约是多少厘米？ 10．小娅为了准确测量出一个圆锥铁块的底面积，她先用直尺和三角尺测量出圆锥铁块的高是4厘米，然后做了如下的实验： 第一步：准备一个透明的长方体容器，从里面量出它的长、宽、高。 第二步：往长方体容器倒入水，量出此时容器中水的高度。 第三步：把圆锥铁块放入容器中完全浸没且水没溢出，量出此时容器中水的高度。 （1）圆锥铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥铁块的底面积是多少平方厘米？ 11．下面是三个图形的旋转。 （1）图②中长方形绕一条边旋转一周，得到图形的体积，是图①中直角三角形绕直角边旋转一周，得到图形体积的多少倍？并请说明理由。 （2）图③中平行四边形绕AB边旋转一周，得到图形的体积是多少？ 12．园博园A区推出的溪上露营地，作为中原鲜有的溪畔自然露营地，将自然园趣、特色文化与自在露营相结合，吸引了不少游客前来露营游玩。下图是其中一款露营帐篷的样式。 （1）制作这款帐篷的侧面（顶部除外）至少需要多少材料？ （2）这款帐篷的空间大约是多少立方米？ 13．小星买了一个圆锥形的塑料玩具，底面直径是4厘米，高是9厘米。 （1）这个圆锥形玩具的体积是多少立方厘米？ （2）小星用硬纸板做一个长方体纸盒，刚好能装下这个圆锥形玩具。做这个长方体纸盒至少用了多少平方厘米的硬纸板？（接头和纸盒厚度忽略不计） 14．如图所示，某希望工程正在建造一座图书馆，需要造几根底面直径为4分米、高为5米的混凝土圆柱。现有的施工材料是一堆沙子，堆放形状可以近似看成一个底面直径6米，高10分米的圆锥。 （1）若每立方米沙子的售价是100元，买来这堆沙子一共用了多少元？ （2）沙子是合成混凝土的原料之一，如果工程队采用配比水泥∶沙子∶石头∶水＝3∶4∶7∶2来混成混凝土，现有沙子可以造几根混凝土圆柱？（混合过程中各物质膨胀或收缩的体积忽略不计） 15．我国农村地区有用竹箩筐装稻谷的习惯，如图，这是一个圆柱形的竹箩筐，从里面量高5分米，底面直径是6分米。 （1）编这个箩筐，要编织多少平方米的竹编？（用“进一法”保留一位小数） （2）在装稻谷时，除了把这个箩筐本身装满外，还可以把稻谷在这个箩筐的上面堆一个高相当于底面直径的圆锥形（如图），这样一共装了多少升的稻谷？ 16．整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。如图是某型号运载火箭整流罩的简易示意图（整流罩本身的厚度忽略不计）。 （1）该整流罩模型的底面面积是多少？ （2）该整流罩的容积是多少？ 17．为了测量一块圆锥形铁块的底面积，玉罕和秦丽合作进行了下面的操作。 第一步：玉罕准备了一个圆柱形容器，测量得到底面内直径是16厘米； 第二步：秦丽将水倒入容器中，水离容器口4厘米； 第三步：玉罕将一个高为12厘米的圆锥形铁块完全浸没水中，这时水面离容器口1厘米。 （1）根据以上信息，画出操作中第二步和第三步的草图。 （2）试着算出圆锥形铁块的底面积。 18．学习完圆柱和圆锥的知识后，李老师给同学们布置了一项实践活动：在我们生活的周围，寻找与圆柱和圆锥有关的数学问题。小优发现家里有一个无盖的圆柱形铁皮水桶如图所示。 （1）做这样的一个水桶，至少需要多少平方分米的铁皮？ （2）现在桶里装了一些水，小优将一个圆锥形铅锤丢进桶里（完全浸没，水未溢出）。这个铅锤的底面直径是2分米，高是1.2分米。当取出铅锤后，桶里的水面将下降多少分米？ 19．为测得一个圆锥形零件的体积，元元将零件投入一个盛有水的圆柱形玻璃容器中，水面上升（如图）。（数据由容器内部测得） （1）圆锥形零件的体积是多少立方厘米？ （2）如果圆锥形零件的高为10厘米，这个零件的底面积是多少平方厘米？ 20．有一个底面直径是20厘米的圆柱形容器，容器里的水中完全浸没着一个底面半径是2厘米，高是15厘米的圆锥形铁块。（容器厚度忽略不计） （1）这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）如果将圆锥形铁块取出，水面下降多少厘米？ 21．一个密闭玻璃容器由一个圆柱和一个圆锥组成，里面装有一些水（如图1，单位：分米，玻璃厚度忽略不计，π取3）。 （1）容器中水的体积是多少立方分米？ （2）图1中水与容器的接触面积是多少平方分米？ （3）如果将这个容器倒过来（如图2），从水面到圆锥顶点的高度是多少分米？ 22．如图： （1）酒杯的容积是多少？ （2）每听饮料大约能倒几杯？ （3）制作一个饮料罐至少需要多少平方厘米的材料？ 23．“有朋自远方来不亦乐乎”表达中华民族热情好客的优良传统。笑笑家周六举行家庭小聚会，妈妈买回1瓶圆柱形饮料，同时买了一些圆锥形杯子。（如图，单位：厘米） （1）这瓶饮料里有饮料（    ）毫升。 （2）如果给每位朋友倒满一杯，这瓶饮料一共可以倒几杯？ （3）已知每瓶饮料售价12.5元，一次购买一箱（6瓶）还可打八折，打折后每箱可节省多少元？ 24．用铁皮制作一个无盖的圆柱形水桶，底面半径是2分米，高是5分米。 （1）制作这个水桶需要多少平方分米的铁皮？（得数保留整数） （2）若水桶里盛有的水，水的体积是多少升？ （3）将一块底面半径1分米、高3分米的圆锥形铁块浸没在水中，水面会上升多少分米？ 25．中华文化五千年，博大精深且源远流长。为了弘扬优秀传统文化，构建和谐校园，为社会培养知文明、懂礼貌的新时代社会主义建设者和接班人，学校开展“传统文化进校园”系列活动。 【传承传统工艺】 竹编文化在我国也有着悠久的历史，劳动实践课上六年（3）班同学学习编织竹筐。第一小组同学用竹条编织了一个无盖的圆柱形竹筐（如下图），竹筐直径40厘米，高60厘米，竹条的宽是2厘米。（π取值3.14） （1）如果给这个竹筐外部四周贴上彩纸，需要准备多大的彩纸？（不计接缝） （2）编织一个这样的竹筐需要多长竹条？（不计算垂直方向的骨架用料、不计接缝） （3）乐乐想用这个竹筐来种植一些花草，他把一堆底面积是942平方厘米，高40厘米的近似圆锥形的沙土倒进去。此时竹筐里的沙土有多高？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 运用圆锥的体积和容积解决问题拔高版二（解决问题专项） 1．有A、B两个容器，如图所示，先把A容器装满水，再倒入B容器中，B容器中水的液面高度是多少分米？（单位：分米） 【答案】1.5分米 【分析】根据题意，A容器是一个底面半径为3分米，高为8分米的圆锥，装满水，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出水的体积； B容器是一个底面直径为8分米的圆柱，根据圆的面积公式S＝πr2，求出B容器的底面积； 把水倒入B容器中，则水的体积不变；根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，据此求出B容器中水的液面高度。 【解答】水的体积： ×3.14×32×8 ＝×3.14×9×8 ＝75.36（立方分米） B容器的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） B容器中水的高度： 75.36÷50.24＝1.5（分米） 答：B容器中水的液面高度是1.5分米。 2．“民以食为天”，在老百姓的眼里，“粮”就是“天”。种粮专业户李大伯承包的水稻迎来大丰收，正好装满这个粮囤。这个粮囤上面是圆锥形，下面是圆柱形（如图）。从里面量得圆柱和圆锥底面的周长都是6.28米，圆柱高2米，圆锥高1.5米。每立方米水稻约重0.6吨，这个粮囤能装水稻多少吨？ 【答案】4.71吨 【分析】分析题目，先根据圆的半径＝C÷π÷2求出圆柱和圆锥的底面半径，再根据圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，代入数据列式分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加即可得到水稻的体积，最后用水稻的体积乘0.6即可解答。 【解答】6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（米） 3.14×12×2＋3.14×12×1.5× ＝3.14×1×2＋3.14×1×1.5× ＝3.14×2＋3.14×1.5× ＝6.28＋4.71× ＝6.28＋1.57 ＝7.85（立方米） 7.85×0.6＝4.71（吨） 答：这个粮囤能装水稻4.71吨。 3．竹编文化在我国有着悠久的历史，劳动实践课上六年（3）班同学学习编织竹筐。第一小组同学用竹条编织了一个无盖的圆柱形竹筐。竹筐直径40厘米，高60厘米，竹条的宽是2厘米。 （1）如果给这个竹筐外部四周贴上彩纸，需要准备多大的彩纸？（不计接缝） （2）乐乐想用这个竹筐来种植一些花草，他把一堆底面积是942平方厘米，高40厘米的近似圆锥形的沙土倒进去。此时竹筐里的沙土有多高？ 【答案】（1）7536平方厘米 （2）10厘米 【分析】（1）首先计算给竹筐外部四周贴彩纸的面积：已知圆柱形竹筐的直径d＝40厘米，高h＝60厘米。圆柱的侧面积公式为S＝πdh（π取3.14）。把d＝40厘米，h＝60厘米，π＝3.14代入公式可得竹筐外部四周贴彩纸的面积。 （2）先根据圆锥体积公式V＝Sh（S是圆锥的底面积，h是圆锥的高）计算出圆锥形沙土的体积，已知圆锥的底面积S＝942平方厘米，高h＝40厘米。再根据圆柱体积公式V＝πr²h（r是圆柱底面半径，h是圆柱的高）来求沙土在竹筐里的高度。 【解答】（1）3.14×40×60＝7536（平方厘米） 答：如果给这个竹筐外部四周贴上彩纸，需要准备7536平方厘米的彩纸。 （2）40÷2＝20（厘米） ×942×40÷（3.14×202） ＝12560÷（3.14×400） ＝12560÷1256 ＝10（厘米） 答：此时竹筐里的沙土有10厘米。 4．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的体积来计算时间的。下图展示了一个沙漏记录时间的情况，此时沙漏下部沙子的体积是28.26cm3。 （1）现在沙漏上部沙子的体积是多少cm3？ （2）如果再过1分钟，沙漏上部的沙子可以全部漏到下部，那么现在下部的沙子已经计量了多少分钟？ 【答案】（1）3.14 cm3 （2）9分钟 【分析】（1）沙漏上部沙子的形状为圆锥，直接利用圆锥的体积公式计算圆锥的体积即可； （2）由第（1）问可知，1分钟沙漏下落的沙子体积，现在下部沙子的体积是28.26cm3，问已经计量了多少分钟，只需看28.26里面，有多少个1分钟下落的体积。 【解答】（1） （cm3） 答：现在沙漏上部沙子的体积是3.14 cm3。 （2）28.26÷3.14×1 ＝9×1 ＝9（分钟） 答：现在下部的沙子已经计量了9分钟。 【点评】本题主要考查圆锥体积的计算，熟练掌握圆锥的体积公式是解决此题的关键。 5．航模小组制作了一个火箭助推器模型（如图），它的上半部分是圆锥，下半部分是圆柱。 （1）要解决“火箭助推器模型的体积是多少立方厘米？”的问题，三位同学分别给出了自己的做法。谁的想法正确？在括号里画“√”。 小思：我用“圆锥体积＋圆柱体积”来计算。（    ） 小维：我用“圆柱体积×”来计算。（    ） 小佳：我用“底面积×（圆柱的高＋圆锥的高）”来计算。（    ） （2）选择其中一种正确的做法，计算出结果。 【答案】（1）小思（√），小维（√） （2）226.08立方厘米 【分析】（1）火箭助推器模型是一个组合图形，由一个圆柱和一个圆锥组合而成，所以模型的体积＝圆锥体积＋圆柱体积，所以小维的做法正确； 由图可知，圆柱和圆锥等底等高，所以圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则圆柱和圆锥的体积和是圆柱的体积的（1＋），火箭助推器模型的体积＝圆柱的体积×（1＋），所以小维的做法正确； 因为圆柱和圆锥等底等高，所以圆柱的体积＝底面积×圆柱的高，圆锥的体积＝×底面积×圆锥的高，火箭助推器模型的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积＝＝底面积×圆柱的高＋×底面积×圆锥的高＝底面积×（圆柱的高＋×圆锥的高），所以小佳的做法错误。 （2）选用小维的方法计算体积，从题目可知圆柱的底面半径为3厘米、高为6厘米，根据圆柱的体积＝×半径的平方×高，求出圆柱的体积，再乘（1＋）解答即可。本题方法不唯一。 【解答】（1）要解决“火箭助推器模型的体积是多少立方厘米？”的问题，三位同学的想法正确的是： 小思：我用“圆锥体积＋圆柱体积”来计算。（√） 小维：我用“圆柱体积×”来计算。（√） 小佳：我用“底面积×（圆柱的高＋圆锥的高）”来计算。（    ） （2）3.14×32×6×（1＋） ＝3.14×9×6× 28.26×（6×） ＝28.26×8 ＝226.08（立方厘米） 答：火箭助推器模型的体积是226.08立方厘米。（方法不唯一） 6．在一个直径是20厘米的圆柱形容器里，放入一个底面半径是3厘米的圆锥形铁块，全部浸没在水中，这时水面上升0.3厘米。 （1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】（1）94.2立方厘米 （2）10厘米 【分析】（1）根据题意，把一个圆锥形铁块完全浸没在有水的圆柱形容器里，水面上升了0.3厘米，那么水上升部分的体积等于这个圆锥形铁块的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个铁块的体积。 （2）已知圆锥形铁块的底面半径是3厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥形铁块的底面面积；根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，据此求出铁块的高。 【解答】（1）3.14×（20÷2）2×0.3 ＝3.14×102×0.3 ＝3.14×100×0.3 ＝94.2（立方厘米） 答：圆锥形铁块的体积是94.2立方厘米。 （2）3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 94.2×3÷28.26 ＝282.6÷28.26 ＝10（厘米） 答：圆锥形铁块的高是10厘米。 7．在“五一”小长假里，小平和小天到厦门鼓浪屿游玩。他们用一样的钱给自己的妈妈买了一个圆锥形贝壳工艺品（如下图）。 （1）这个贝壳工艺品的体积是多少立方厘米？ （2）小平和小天都带了一些钱，他们带的钱的比是5∶3，买了贝壳工艺品后，小平的钱还剩360元，小天还剩120元。小天带了多少钱？ 【答案】（1）157立方厘米 （2）360元 【分析】（1）从图中可知，这个圆锥形贝壳工艺品的底面直径是10厘米，高是6厘米；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这个贝壳工艺品的体积。 （2）已知小平和小天带的钱的比是5∶3，他们买的贝壳工艺品的价钱一样，所以两人剩下的钱的比仍是5∶3，即小平剩下的钱占5份，小天剩下的钱占3份，相差（5－3）份；已知小平的钱还剩360元，小天还剩120元，两个剩下的钱相差（360－120）元，用相差的钱数除以份数差，求出一份数，再乘小天的份数，即可求出小天带的钱数。 【解答】（1）10÷2＝5（厘米） ×3.14×52×6 ＝×3.14×25×6 ＝157（立方厘米） 答：这个贝壳工艺品的体积是157立方厘米。 （2）（360－120）÷（5－3） ＝240÷2 ＝120（元） 120×3＝360（元） 答：小天带了360元。 8．如图的陀螺，上面是圆柱，下面是圆锥，且圆锥的高是圆柱高的。 （1）已知圆柱的底面直径8厘米，高是8厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ （2）如果要给这个陀螺做一个带盖长方体包装盒（粘合处忽略不计），至少需要多少平方厘米硬纸板？ 【答案】（1）502.4立方厘米； （2）576平方厘米 【分析】（1）由于圆锥的高是圆柱高的，根据求一个数的几分之几是多少，用这个数×几分之几，即8×即可求出圆锥的高，根据圆柱的体积公式：底面积×高；圆锥的体积公式：底面积×高×，把数代入即可求出这两部分的体积，再相加即可； （2）要给这个陀螺做一个带盖长方体包装盒，那么这个包装盒的长和宽是底面的直径，高是圆柱和圆锥的高的和，根据长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入即可求解。 【解答】（1）8×＝6（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3.14×42×8＋3.14×42×6× ＝3.14×16×8＋3.14×16×6× ＝401.92＋100.48 ＝502.4（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是502.4立方厘米。 （2）8＋6＝14（厘米） 长是8厘米，宽是8厘米，高是14厘米。 （8×8＋8×14＋8×14）×2 ＝（64＋112＋112）×2 ＝288×2 ＝576（平方厘米） 答：至少需要576平方厘米硬纸板。 9．一个正方体铁块的棱长为4厘米，（结果四舍五入到个位） （1）如果把它熔铸成底面直径是6厘米的圆柱，这个圆柱的高约是多少厘米？ （2）如果把它熔铸成底面直径是6厘米的圆锥，这个圆锥的高约是多少厘米？ 【答案】（1）2厘米 （2）6厘米 【分析】（1）根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体的体积；正方体熔铸成圆柱，正方体的体积等于圆柱的体积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，据此求出圆柱的高。 （2）圆柱的体积＝圆锥的体积，圆柱的底面积×圆柱的高＝圆锥底面积×圆锥的高×，底面积相等，则圆锥的高＝圆柱的高×3，据此解答。 【解答】（1）4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 64÷28.26≈2（厘米） 答：这个圆柱的高约是2厘米。 （2）2×3＝6（厘米） 答：这个圆锥的高约是6厘米。 10．小娅为了准确测量出一个圆锥铁块的底面积，她先用直尺和三角尺测量出圆锥铁块的高是4厘米，然后做了如下的实验： 第一步：准备一个透明的长方体容器，从里面量出它的长、宽、高。 第二步：往长方体容器倒入水，量出此时容器中水的高度。 第三步：把圆锥铁块放入容器中完全浸没且水没溢出，量出此时容器中水的高度。 （1）圆锥铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）18立方厘米 （2）13.5平方厘米 【分析】（1）由题意可知，上升的水的体积就是圆锥的体积，已知上升的水呈长方体，长是15厘米，宽是6厘米，高是厘米，根据，代入数据计算即可。 （2）根据的逆运算，用圆锥体积除以再除以高，即可得圆锥的底面积。 【解答】（1） （立方厘米） 答：圆锥铁块的体积是18立方厘米。 （2） （平方厘米） 答：圆锥铁块的底面积是13.5平方厘米。 11．下面是三个图形的旋转。 （1）图②中长方形绕一条边旋转一周，得到图形的体积，是图①中直角三角形绕直角边旋转一周，得到图形体积的多少倍？并请说明理由。 （2）图③中平行四边形绕AB边旋转一周，得到图形的体积是多少？ 【答案】（1）3倍；理由见详解 （2）150.72立方厘米 【分析】（1）图①直角三角形绕直角边旋转一周，得到的是底面半径4厘米，高是3厘米的圆锥；图形②绕长方形一条边旋转一周，得到的是底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱；由此可知，圆锥和圆柱是等底等高；再根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，进行解答。 （2）求图③绕AB旋转一周，得到的图形的体积，得到的图形可通过割补法得到一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱；根据圆柱体积公式：体积＝，代入数据，求出平行四边形绕AB边旋转一周得到图形的体积，据此解答。 【解答】（1）图①和图②旋转后得到的图形是等底等高的圆柱和圆锥，所以图②中长方形绕一条边旋转一周，得到的圆柱的体积是图①中直角三角形绕直角边旋转一周得到的圆锥的体积的3倍。因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍。 （2）3.14×42×3 ＝3.14×16×3 ＝50.24×3 ＝150.72（立方厘米） 答：图③中平行四边形绕AB边旋转一周，得到图形的体积是150.72立方厘米。 12．园博园A区推出的溪上露营地，作为中原鲜有的溪畔自然露营地，将自然园趣、特色文化与自在露营相结合，吸引了不少游客前来露营游玩。下图是其中一款露营帐篷的样式。 （1）制作这款帐篷的侧面（顶部除外）至少需要多少材料？ （2）这款帐篷的空间大约是多少立方米？ 【答案】（1）28.26平方米 （2）58.875立方米 【分析】（1）根据圆柱的侧面积＝底面周长×高解决，圆的周长＝πd。 （2）根据圆柱的体积：V＝πr2h，圆锥的体积：V＝πr2h解决。 【解答】（1）3.14×5×1.8＝28.26（平方米） 答：制作这款帐篷的侧面（顶部除外）至少需要28.26平方米的材料。 （2）r＝5÷2＝2.5（米） 3.14×2.52×1.8＋×3.14×2.52×3.6 ＝3.14×6.25×1.8＋×3.14×6.25×3.6 ＝35.325＋23.55 ＝58.875（立方米） 答：这款帐篷的空间大约是58.875立方米。 13．小星买了一个圆锥形的塑料玩具，底面直径是4厘米，高是9厘米。 （1）这个圆锥形玩具的体积是多少立方厘米？ （2）小星用硬纸板做一个长方体纸盒，刚好能装下这个圆锥形玩具。做这个长方体纸盒至少用了多少平方厘米的硬纸板？（接头和纸盒厚度忽略不计） 【答案】（1）37.68立方厘米 （2）176平方厘米 【分析】（1）根据圆锥的体积公式：（其中是底面半径，是高，π取3.14进行计算），半径等于直径的一半，已知该圆锥形塑料玩具的底面直径是4厘米，高是9厘米，代入数值即可求解这个圆锥形玩具的体积是多少立方厘米； （2）要刚好装下圆锥，长方体纸盒的长和宽应等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高，根据长方体的表面积公式：（其中是长，是宽，是高），代入数值即可求解做这个长方体纸盒至少用了多少平方厘米的硬纸板。 【解答】（1）半径：（厘米） 圆锥的体积： （立方厘米） 答：这个圆锥形玩具的体积是37.68立方厘米。 （2）长方体的表面积： （平方厘米） 答：做这个长方体纸盒至少用了176平方厘米的硬纸板。 14．如图所示，某希望工程正在建造一座图书馆，需要造几根底面直径为4分米、高为5米的混凝土圆柱。现有的施工材料是一堆沙子，堆放形状可以近似看成一个底面直径6米，高10分米的圆锥。 （1）若每立方米沙子的售价是100元，买来这堆沙子一共用了多少元？ （2）沙子是合成混凝土的原料之一，如果工程队采用配比水泥∶沙子∶石头∶水＝3∶4∶7∶2来混成混凝土，现有沙子可以造几根混凝土圆柱？（混合过程中各物质膨胀或收缩的体积忽略不计） 【答案】（1）942元 （2）60根 【分析】（1）圆锥底面直径6米，半径为6÷2＝3米，高10分米，1米＝10分米。根据圆锥体积公式V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），把圆锥底面半径3米，高1米，代入计算即可得出这堆沙子的体积，每立方米沙子的售价是100元，把沙子体积与100相乘即可。 （2）圆柱底面直径4分米，因为1米＝10分米，所以4分米为4÷10＝0.4米，那么半径为0.4÷2＝0.2米，高5米。根据圆柱体积公式V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），可得：3.14×0.22×5＝0.628立方米，所以一根圆柱的体积是0.628立方米。已知水泥∶沙子∶石头∶水＝3∶4∶7∶2，则沙子在混凝土中的占比为。所以一根混凝土圆柱中沙子所占的体积为：（0.628×），然后用沙子的体积除以（0.628×）即可解答。 【解答】（1）6÷2＝3（米） 1米＝10分米 ×3.14×32×1 ＝×3.14×9×1 ＝3×3.14×1 ＝9.42×1 ＝9.42（立方米） 100×9.42＝942（元） 答：买来这堆沙子一共用了942元。 （2）4÷10÷2＝0.2（米） 3.14×0.22×5 ＝3.14×0.04×5 ＝0.1256×5 ＝0.628（立方米） 9.42÷（0.628×） ＝9.42÷（0.628×） ＝9.42÷0.157 ＝60（根） 答：现有沙子可以造60根混凝土圆柱。 15．我国农村地区有用竹箩筐装稻谷的习惯，如图，这是一个圆柱形的竹箩筐，从里面量高5分米，底面直径是6分米。 （1）编这个箩筐，要编织多少平方米的竹编？（用“进一法”保留一位小数） （2）在装稻谷时，除了把这个箩筐本身装满外，还可以把稻谷在这个箩筐的上面堆一个高相当于底面直径的圆锥形（如图），这样一共装了多少升的稻谷？ 【答案】（1）1.3平方米； （2）160.14升 【分析】（1）由图可知，这个箩筐没有盖子，计算要编织多少平方米的竹编就是计算圆柱的侧面积和一个底面积的和，利用“”求出需要编织竹编的面积； （2）由题意可知，装稻谷的体积等于下面圆柱的体积加上上面圆锥的体积，利用“”“”求出所装稻谷的体积，最后把体积单位转化为容积单位，据此解答。 【解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝122.46（平方分米） 122.46平方分米＝1.2246平方米 1.2246平方米≈1.3平方米 答：编这个箩筐，要编织1.3平方米的竹编。 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝160.14（立方分米） 160.14立方分米＝160.14升 答：一共装了160.14升的稻谷。 16．整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。如图是某型号运载火箭整流罩的简易示意图（整流罩本身的厚度忽略不计）。 （1）该整流罩模型的底面面积是多少？ （2）该整流罩的容积是多少？ 【答案】（1）12.56平方米 （2）150.72立方米 【分析】（1）由图可知，该底面直径为4米，那么半径为4÷2＝2米，根据底面积公式：S＝πr2，（π取3.14，r为半径），把数据代入计算即可解答。 （2）整流罩由圆锥和圆柱组成，且底面积相等，所以整流罩的容积＝圆柱容积＋圆锥容积，圆柱的高为10米，整个整流罩的高为16米，所以圆锥的高为16－10＝6米。底面积已由（1）计算得出，根据圆柱体积公式：V＝Sh（S为底面积，h为圆柱的高），圆锥体积公式：V＝Sh（S为底面积，h为圆锥的高），把数据分别代入计算后再相加即可解答。 【解答】（1）3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 答：该整流罩模型的底面面积是12.56平方米。 （2）4÷2＝2（米） 12.56×10＋×12.56×（16－10） ＝125.6＋×12.56×6 ＝125.6＋2×12.56 ＝125.6＋25.12 ＝150.72（立方米） 答：该整流罩的容积是150.72立方米。 17．为了测量一块圆锥形铁块的底面积，玉罕和秦丽合作进行了下面的操作。 第一步：玉罕准备了一个圆柱形容器，测量得到底面内直径是16厘米； 第二步：秦丽将水倒入容器中，水离容器口4厘米； 第三步：玉罕将一个高为12厘米的圆锥形铁块完全浸没水中，这时水面离容器口1厘米。 （1）根据以上信息，画出操作中第二步和第三步的草图。 （2）试着算出圆锥形铁块的底面积。 【答案】（1）见详解 （2）150.72平方厘米 【分析】（1）第二步草图：画一个圆柱形容器，标注底面内直径16厘米，在容器内画一条水平线段表示水面，标注水面离容器口4厘米； 第三步草图：在第二步的基础上，将圆锥形铁块完全浸没在水中，画一条新的水平线段表示水面，标注水面离容器口1厘米，同时画出浸没在水中的圆锥形铁块。 （2）已知圆柱形容器的底面直径是16厘米，计算出底面半径是16÷2＝8厘米；圆锥浸没后，水面上升的高度为4－1＝3厘米；然后根据圆柱的体积公式计算出上升部分水的体积，即为这个圆锥的体积；已知圆锥的高是12厘米，再根据“圆锥的体积＝×底面积×高”用圆锥的体积乘3除以高即可计算出底面积。 【解答】（1）如图： （2）3.14×（16÷2）2×（4－1） ＝3.14×82×3 ＝3.14×64×3 ＝200.96×3 ＝602.88（立方厘米） 602.88×3÷12 ＝1808.64÷12 ＝150.72（平方厘米） 答：圆锥形铁块的底面积是150.72平方厘米。 18．学习完圆柱和圆锥的知识后，李老师给同学们布置了一项实践活动：在我们生活的周围，寻找与圆柱和圆锥有关的数学问题。小优发现家里有一个无盖的圆柱形铁皮水桶如图所示。 （1）做这样的一个水桶，至少需要多少平方分米的铁皮？ （2）现在桶里装了一些水，小优将一个圆锥形铅锤丢进桶里（完全浸没，水未溢出）。这个铅锤的底面直径是2分米，高是1.2分米。当取出铅锤后，桶里的水面将下降多少分米？ 【答案】（1）69.08平方分米 （2）0.1分米 【分析】（1）无盖铁皮水桶有1个底面和侧面，底面面积根据计算，侧面积根据计算，据此解答； （2）丢进铅锤，水面升高，升高部分水的体积是圆锥形铅锤的体积，依据计算，取出铅锤，水面下降的高度等于水面上升的高度，用升高部分水的体积除以水桶底面积计算解答。 【解答】（1）3.14×（4÷2）2＋2×3.14×（4÷2）×4.5 ＝3.14×22＋2×3.14×2×4.5 ＝3.14×4＋12.56×4.5 ＝12.56＋56.52 ＝69.08（平方分米） 答：做这样的一个水桶，至少需要69.08平方分米的铁皮。 （2） （分米） 答：桶里的水面将下降0.1分米。 19．为测得一个圆锥形零件的体积，元元将零件投入一个盛有水的圆柱形玻璃容器中，水面上升（如图）。（数据由容器内部测得） （1）圆锥形零件的体积是多少立方厘米？ （2）如果圆锥形零件的高为10厘米，这个零件的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）628立方厘米 （2）188.4平方厘米 【分析】（1）圆锥形零件投入圆柱容器中使水面上升，则上升水的体积等于圆锥形零件的体积。已知圆柱容器底面直径20厘米，用直径长度除以2计算出半径长度，水面上升高度为12－10＝2厘米；然后根据圆柱的体积（容积）公式计算出上升水的体积，即为圆锥形零件的体积。 （2）由（1）可知圆锥形零件的体积，又已知圆锥形零件的高为10厘米，根据“圆锥的体积＝×底面积×高”可得“圆锥的底面积＝体积×3÷高”，用该圆锥形零件的体积乘3除以高即为它的底面积。 【解答】（1）20÷2＝10（厘米） 3.14×102×（12－10） ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（立方厘米） 答：圆锥形零件的体积是628立方厘米。 （2）628×3÷10 ＝1884÷10 ＝188.4（平方厘米） 答：这个零件的底面积是188.4平方厘米。 20．有一个底面直径是20厘米的圆柱形容器，容器里的水中完全浸没着一个底面半径是2厘米，高是15厘米的圆锥形铁块。（容器厚度忽略不计） （1）这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）如果将圆锥形铁块取出，水面下降多少厘米？ 【答案】（1）62.8立方厘米 （2）0.2厘米 【分析】（1）根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，即可求出圆锥形铁块的体积。 （2）水面下降的部分体积等于圆锥形铁块的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积；用圆锥形铁块的体积÷圆柱形容器的底面积，即可求出水面下降多少厘米，据此解答。 【解答】（1）3.14×22×15× ＝3.14×4×15× ＝12.56×15× ＝188.4× ＝62.8（立方厘米） 答：这个圆锥形铁块的体积是62.8立方厘米。 （2）62.8÷[3.14×（20÷2）2] ＝62.8÷[3.14×102] ＝62.8÷[3.14×100] ＝62.8÷314 ＝0.2（厘米） 答：水面下降0.2厘米。 21．一个密闭玻璃容器由一个圆柱和一个圆锥组成，里面装有一些水（如图1，单位：分米，玻璃厚度忽略不计，π取3）。 （1）容器中水的体积是多少立方分米？ （2）图1中水与容器的接触面积是多少平方分米？ （3）如果将这个容器倒过来（如图2），从水面到圆锥顶点的高度是多少分米？ 【答案】（1）364.5立方分米 （2）222.75平方分米 （3）10分米 【分析】（1）根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，求出底面直径是9分米，高是6分米的圆柱的体积，也就是水的体积。 （2）求水与容器接触的面积，就是求底面直径是9分米，高的6分米的圆柱的侧面积与底面积的和；根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆的面积＝π×半径2，据此求出水与容器接触面的面积。 （3）根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，求出底面直径是9分米，高是6分米的圆锥的体积，再用水的体积－圆锥的体积，再除以圆柱的底面积，即可求出圆柱部分水的高度，再加上圆锥的高度，即可解答。 【解答】（1）3×（9÷2）2×6 ＝3×4.52×6 ＝3×20.25×6 ＝60.75×6 ＝364.5（立方分米） 答：容器中水的体积是364.5立方分米。 （2）3×（9÷2）2＋3×9×6 ＝3×4.52＋3×9×6 ＝3×20.25＋3×9×6 ＝60.75＋27×6 ＝60.75＋162 ＝222.75（平方分米） 答：水与容器的接触面积是222.75平方分米。 （3）3×（9÷2）2×6× ＝3×4.52×6× ＝3×20.45×6× ＝60.75×6× ＝364.5× ＝121.5（立方分米） （364.5－121.5）÷[3×（9÷2）2]＋6 ＝243÷[3×4.52]＋6 ＝243÷[3×20.45]＋6 ＝243÷60.75＋6 ＝4＋6 ＝10（分米） 答：从水面到圆锥顶点的高度是10分米。 22．如图： （1）酒杯的容积是多少？ （2）每听饮料大约能倒几杯？ （3）制作一个饮料罐至少需要多少平方厘米的材料？ 【答案】（1）47.1立方厘米 （2）7杯 （3）282.6平方厘米 【分析】（1）根据圆锥的容积公式把数据代入公式解答即可。 （2）首先根据圆柱的容积公式求出饮料的体积，然后用饮料的体积除以酒杯的容积即可，得数采用“四舍五入法”保留整数。 （3）根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，把数据代入公式解答。 【解答】（1）3.14×（6÷2）2×5 ＝47.1（立方厘米） 答：酒杯的容积是47.1立方厘米。 （2）3.14×（6÷2）2×12÷47.1 ＝3.14×32×12÷47.1 ＝3.14×9×12÷47.1 ＝339.12÷47.1 ≈7（杯） 答：每听饮料大约能倒7杯。 （3）3.14×6×12＋3.14×（6÷2）2×2 ＝226.08＋3.14×32×2 ＝226.08＋3.14×9×2 ＝226.08＋56.52 ＝282.6（平方厘米） 答：制作一个饮料罐至少需要282.6平方厘米的材料。 23．“有朋自远方来不亦乐乎”表达中华民族热情好客的优良传统。笑笑家周六举行家庭小聚会，妈妈买回1瓶圆柱形饮料，同时买了一些圆锥形杯子。（如图，单位：厘米） （1）这瓶饮料里有饮料（    ）毫升。 （2）如果给每位朋友倒满一杯，这瓶饮料一共可以倒几杯？ （3）已知每瓶饮料售价12.5元，一次购买一箱（6瓶）还可打八折，打折后每箱可节省多少元？ 【答案】（1）602.88 （2）16杯 （3）15元 【分析】（1）根据半径＝直径÷2、圆柱的体积公式，代入数据计算，再把单位转化为毫升即可。 （2）根据圆锥的体积公式，代入数据计算，再把单位转化为毫升，最后饮料的容积除以圆锥的容积即可。 （3）12.5乘6可得一箱的原价，八折就是80%，把一箱原价看作单位“1”，可节省，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，用一箱的原价乘，即可得解。 【解答】（1） （立方厘米） （毫升） 这瓶饮料里有饮料602.88毫升。 （2） （立方厘米） （毫升） （杯） 答：这瓶饮料一共可以倒16杯。 （3）八折＝80% （元） 答：打折后每箱可节省15元。 24．用铁皮制作一个无盖的圆柱形水桶，底面半径是2分米，高是5分米。 （1）制作这个水桶需要多少平方分米的铁皮？（得数保留整数） （2）若水桶里盛有的水，水的体积是多少升？ （3）将一块底面半径1分米、高3分米的圆锥形铁块浸没在水中，水面会上升多少分米？ 【答案】（1）75平方分米 （2）50.24升 （3）0.25分米 【分析】（1）求无盖圆柱水桶要用多少铁皮，就是在求整个圆柱的表面积后去掉圆盖即可。圆柱的表面积公式为：，去掉一个圆盖，制作这个水桶铁皮的面积就为：。 （2）求水桶水的体积，就是先求出水桶的体积，再求出水桶体积的就是水的体积。圆柱的体积公式为：。 （3）放入圆锥后水桶的水面会上升，水桶水面上升的体积是求圆柱的体积同时也是放入的圆锥的体积，由此等量关系可以求出水面上升的高度是多少分米。 【解答】（1） （平方分米） 答：制作这个水桶需要75平方分米的铁皮。 （2） 水桶的体积（立方分米） （立方分米） 50.24立方分米＝50.24升 答：水的体积是50.24升。 （3）设水面会上升h分米。 圆锥铁块的体积：（立方分米） 上升水面的体积：（立方分米） 由 （分米） 答：水面会上升0.25分米。 【点评】此题考查对圆柱、圆锥的体积和表面积公式的灵活应用，在第三问中要清楚水桶上升的体积是圆柱的体积就是放入的圆锥的体积，找出等量关系反向求出水面上升的高度。 25．中华文化五千年，博大精深且源远流长。为了弘扬优秀传统文化，构建和谐校园，为社会培养知文明、懂礼貌的新时代社会主义建设者和接班人，学校开展“传统文化进校园”系列活动。 【传承传统工艺】 竹编文化在我国也有着悠久的历史，劳动实践课上六年（3）班同学学习编织竹筐。第一小组同学用竹条编织了一个无盖的圆柱形竹筐（如下图），竹筐直径40厘米，高60厘米，竹条的宽是2厘米。（π取值3.14） （1）如果给这个竹筐外部四周贴上彩纸，需要准备多大的彩纸？（不计接缝） （2）编织一个这样的竹筐需要多长竹条？（不计算垂直方向的骨架用料、不计接缝） （3）乐乐想用这个竹筐来种植一些花草，他把一堆底面积是942平方厘米，高40厘米的近似圆锥形的沙土倒进去。此时竹筐里的沙土有多高？ 【答案】（1）7536平方厘米 （2）4396厘米 （3）10厘米 【分析】（1）如果给这个竹筐外部四周贴上彩纸，即贴彩纸的是圆柱的侧面；根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，代入数据计算，求出需要准备彩纸的面积。 （2）无盖的圆柱形竹筐的表面积等于这个宽为2厘米的长方形竹条的面积。先根据无盖圆柱的表面积公式S表＝S侧＋S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算求出竹条的面积，再除以竹条的宽，即可求出竹条的长度。 （3）先根据圆锥的体积公式V＝Sh，求出圆锥形沙土的体积；把这些沙土倒入圆柱形的竹筐里，沙土的体积不变，根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，代入数据计算，即可求出此时竹筐里沙土的高度。 【解答】（1）竹筐的侧面积： 3.14×40×60 ＝125.6×60 ＝7536（平方厘米） 答：需要准备7536平方厘米的彩纸。 （2）竹筐的底面积： 3.14×（40÷2）2 ＝3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 无盖竹筐的表面积： 7536＋1256＝8792（平方厘米） 竹条的长度： 8792÷2＝4396（厘米） 答：编织一个这样的竹筐需要4396厘米长竹条。 （3）沙土的体积： ×942×40＝12560（立方厘米） 竹筐里沙土的高度： 12560÷1256＝10（厘米） 答：此时竹筐里的沙土有10厘米高。 学科网（北京）股份有限公司 $