精品解析：上海市上海南汇中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

上海南汇中学2025学年第一学期期末考试 高一数学 满分：100分 完成时间：90分钟 命题人：高二数学命题组 一、填空题（每小题3分，共12题，共36分） 1. 已知集合，，则______. 2. 若扇形的面积是，圆心角为2弧度，则半径是___________. 3. 已知，则______. 4. 将化为形式，其中，则______. 5. 若，是第四象限角，则___________. 6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则______. 7. 若，化简的结果是______. 8. 已知且，且函数过点，则函数，的值域为______. 9. 已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，则函数的图像不经过第______象限. 10. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是______. 11. 偶函数在区间上是严格减函数，若，则关于的不等式的解集是______ 12. 对于函数，，若存在正常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则实数的取值范围为______. 二、选择题（每小题3分，共4题，共12分） 13. 已知实数，满足，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，则角的终边所在的象限为第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 15. 设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 定义函数，其中，符号表示，中的较大者.现有以下命题： ①为偶函数； ②若不等式对一切都成立，则实数的最大值为1； ③当时，的最小值为9； ④“”是“”成立的充要条件. 正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（共5题，共52分） 17. 设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合. （1）若全集为，求： （2）若，求实数的取值范围. 18. 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为 （1）求的值； （2）求的值． 19. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元. （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ （2）现购买台智能机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验可得，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量. 20. 设，函数． （1）是否存在，使函数为奇函数，并说明理由； （2）当时，判断的单调性，并用单调性的定义加以证明； （3）当时，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 21. 设表示不小于的最小整数，例如，，. （1）解方程； （2）设，求在区间上的值域； （3）已知函数的值域为，且当或或时，取到最大值1，当或或时，取到最小值，现设实数，，，若对于任意，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海南汇中学2025学年第一学期期末考试 高一数学 满分：100分 完成时间：90分钟 命题人：高二数学命题组 一、填空题（每小题3分，共12题，共36分） 1. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由交集的定义，计算即可. 【详解】，， . 故答案为： 2. 若扇形的面积是，圆心角为2弧度，则半径是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式进行求解即可. 【详解】设圆心角为2弧度所对的弧的弧长为，半径为， 所以有， 故答案为： 3. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据齐次式求解即可. 【详解】因为，所以 故答案为： 4. 将化为形式，其中，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式求解即可. 【详解】， 所以. 又，所以. 故答案为：. 5. 若，是第四象限角，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式求解. 【详解】解：因为，且是第四象限角， 所以， 所以， 故答案为： 6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质结合函数解析式求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，. 所以. 故答案为： 7. 若，化简的结果是______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用二倍角公式将转化，再结合的取值范围判断的正负，最后化简根式. 【详解】， 因为，所以， 所以. 故答案为： 8. 已知且，且函数过点，则函数，的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数经过的点先算出，然后根据对数函数的单调性求值域即可得解. 【详解】因为函数过点， 所以，即，解得， 所以， 所以， 由对数函数的单调性知，在上单调递增， 所以，即， 故答案为： 9. 已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，则函数的图像不经过第______象限. 【答案】一 【解析】 【分析】先由不等式解集求出，再代入指数函数，根据图象平移即可得出答案. 【详解】由题可得方程的两根为1和2， 根据韦达定理，得， 所以函数为，相当于（单调递减且经过一、二象限）向下平移两个单位（经过二、三、四象限）， 因此图象不经过第一象限. 故答案为：一. 10. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】求解方程的根，即可分情况讨论求解. 【详解】令，得，令，解得或. 函数的零点只能从中产生. 要使恰有两个零点，分以下情况讨论： 1) 零点为和，需满足，解得. 2) 零点为和，需满足，即，解得. 3) 零点为和，需满足，即，该不等式组无解. 综上，实数的取值范围是或. 故答案为：或. 11. 偶函数在区间上是严格减函数，若，则关于的不等式的解集是______ 【答案】 【解析】 【分析】令，通过的奇偶性和单调性来确定的奇偶性和单调性，再将变形为，再利用奇偶性和单调性可得答案. 【详解】令， 在区间上是严格减函数，，在区间上是严格增函数， 在区间上是严格减函数， 又 也是上的偶函数， 由得，又， 即， ，解得 故答案为： 12. 对于函数，，若存在正常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合的图象以及图象变换的知识求得的取值范围. 【详解】因为, 所以作出函数的图象如图， 因为的图象是由的图象向左平移个单位所得， 由图可知，当时，使得对任意的，都有恒成立， 所以存在正常数，使得函数具有性质，且. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 二、选择题（每小题3分，共4题，共12分） 13. 已知实数，满足，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质及相关函数的单调性，逐一分析各项. 【详解】对于选项A，因为，根据不等式的传递性，所以，故选项A一定成立； 对于选项B，对数函数的定义域为，当不都为正数时，该不等式无意义，例如当时，无意义，故选项B不一定成立； 对于选项C，函数在上单调递增，因为，所以，故选项C一定成立； 对于选项D，函数在上单调递增，因为，所以，故选项D一定成立. 故选：B 14. 已知，则角的终边所在的象限为第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】借助象限角的三角函数符号判断即可得. 【详解】由，则角的终边所在的象限为第三象限. 故选：C. 15. 设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由图象过点解得a的值的集合，再由奇函数解得a的值的集合，由两个集合相等确定充要条件关系. 【详解】∵的图象经过点，， ∴ 又∵ ∴ ∵为奇函数， ∴ ∴ “的图象经过点”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C. 16. 定义函数，其中，符号表示，中的较大者.现有以下命题： ①为偶函数； ②若不等式对一切都成立，则实数的最大值为1； ③当时，的最小值为9； ④“”是“”成立的充要条件. 正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】函数等价于.利用奇偶性判断①，利用分离常数法，判断②.利用绝对值三角不等式判断③.由判断④. 【详解】函数等价于，这是一个偶函数，故①正确. 对于②，不等式等价于，即, 由于，故，故②正确. 对于③，当时，，, 两式相加得,， 而，，以此类推，可得,等号成立时,,故③正确. 对于④，，，即，这对任意的都成立，故不是它的充要条件.故④错误. 故选:C 三、解答题（共5题，共52分） 17. 设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合. （1）若全集为，求： （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数有意义进行求解； （2）求出集合，由,则进行求解． 【小问1详解】 对于函数,由,得, 得, 若全集为，则. 【小问2详解】 对于函数,由, 得, 得, 若,则,得, 得实数的取值范围为： 18. 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得 与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出 的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值. 由条件得cosα＝，cosβ＝. ∵ α，β为锐角， ∴ sinα＝＝，sinβ＝＝. 因此tanα＝＝7，tanβ＝＝. (1) tan(α＋β)＝＝＝－3. (2) ∵ tan2β＝＝＝， ∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1. ∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝ 19. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元. （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ （2）现购买台智能机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验可得，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由总成本，得到平均成本，再利用基本不等式，求解即可. （2）引进台机器人后，求得分段函数的最大值，再除以，求解即可. 【小问1详解】 购买台机器人的总成本万元， 每台机器人的平均成本， 当且仅当，即时，等号成立， 所以若使每台机器人的平均成本最低，应买台． 【小问2详解】 ， 当时，， 当时，的最大值为件； 当时，件. 台机器人每日的总分拣量为件，完成这些分拣任务所需要的传统人工数为人. 20. 设，函数． （1）是否存在，使函数为奇函数，并说明理由； （2）当时，判断的单调性，并用单调性的定义加以证明； （3）当时，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） 因为，所以定义域为， 若为奇函数，则，即，解得， 所以，，符合题意． （2） 在上单调递增，证明如下： 当时，，定义域为， 任取，且， ， 因为，所以，则， 所以，即在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）先求出定义域，再根据奇函数的性质即可求解； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）根据奇偶性与单调性得出，再根据二次函数图象求解最大值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，在上是增函数且为奇函数， 所以， 因为关于的不等式在上有解， 且在的最大值为， 所以，解得． 21. 设表示不小于的最小整数，例如，，. （1）解方程； （2）设，求在区间上的值域； （3）已知函数的值域为，且当或或时，取到最大值1，当或或时，取到最小值，现设实数，，，若对于任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的定义可得，即可根据对数函数的单调性求解； （2）根据的定义，写出的表达式，即可求解； （3）根据函数的单调性求解的最大值，进而将问题转化为，进一步得在上恒成立，即可根据的定义，结合分类讨论，求解最值得解. 【小问1详解】 由可得，即，解得， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 由于， 则，故在区间上的值域为. 【小问3详解】 由的值域为可得， 当时，取到最大值7，此时取到最小值， 因此当时，， 若对于任意，都有，则需满足：， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，，此时在上恒成立， 故时，， 由于，当时，取到最大值， 故，则， 当时，，此时在上恒成立， 由于，故，则， 综上可得， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $