精品解析：广东省佛山市南海区石门中学2025-2026学年高一上学期第三次教学质量检测（1月月考）数学试题

2028届高一级第三次教学质量检测 数学 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 2．请认真核对答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 3．作答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 4．考试结束后，请将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题，写出命题的否定. 【详解】命题“”的否定为“”． 故选：B 2. 已知集合{不大于2的自然数}，集合N满足，则集合N的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据子集的个数公式即可求解. 【详解】由题意可知，由子集的定义可知集合N有个． 故选：C 3. 时钟的分针在8点10分到8点20分这段时间里转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的概念和角度与弧度制的转换即可得到答案. 【详解】时钟的分针从8点10分到8点20分顺时针转动了， 所以转过的弧度数为. 故选：B. 4. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 分析】分段函数求值，分别代入对应解析式即可得解. 【详解】因为函数， 所以， 故选：B.. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式化简，进而根据弦切互化即可求解. 【详解】． 故选：C 6. 《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生活中，新时代的青年不仅要有自己“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【详解】由于天平两臂不相等， 故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设， 第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为， 由杠杆平衡定理可得，，， 则，，， 故顾客实际所得黄金大于． 故选：． 7. 若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对的符号分类讨论，结合图象特点求解. 【详解】若，则方程为，解得，满足条件； 设， 若，因为， 所以函数与轴在原点两侧各有一个交点， 所以方程恰有一个正根和一个负根，满足条件； 若，因为， 所以若方程至少有一个正根， 则函数的图象与轴相交，且对称轴在原点右侧， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：C. 8. 已知，则下列关系中成立是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数式特殊值，解对数方程，再比较x,y,z的大小关系． 【详解】由题意知，，， 解得． 同理可解得， 比较x和y：取， 比较x和z：取， 比较y和z：取， 综上所述：，故选C． 【点睛】对数式特殊值有，结合对数式指数式互化，解决一些特殊的对数方程．再构造同指数幂比较大小． 9. 设，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断AD，列举例子判断BC. 【详解】A.，同除可得，A正确； B.当时，，B错误； C.若，此时有，C错误； D.，故，D正确. 故选：AD. 10. 已知，则下列等式正确的是（  ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知得的值，由此即可判断AB；求出的值即可判断C；再结合已知求出和的值，求出的值，由此即可判断D 【详解】由已知可得，则， 因为，， 所以，，故AB正确； 所以 则①，故C正确； 又②，联立①②解得，则，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数．若对于给定的非零常数m，存在非零常数T，使得对于恒成立，则称函数是D上的“m级类周期函数”，周期为T，则下列命题正确的是（ ） A. 函数是上的“2级类周期函数”，周期为1 B. 函数不可能是“m级类周期函数” C. 已知函数是上周期为1的“m级类周期函数”，当时，，若在上单调递减，则m的取值范围为 D. 若函数是上周期为2的“2级类周期函数”，且当时，，对任意，都有，则n的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据“级类周期函数”的定义即可判断A；假设函数是“级类周期函数”，再根据定义即可判断B；由题意当时，，则，进而可判断C；根据题意可得，再结合当时，，分析即可判断D. 【详解】对于A，对于函数，因为， 因为函数是上的“2级类周期函数”， 所以函数是上的“2级类周期函数”，周期为1，故A正确； 对于B，假设函数是“级类周期函数”， 则存在非零常数，使得成立， 即，整理得， 所以，解得，又因为， 所以函数不可能是“级类周期函数”，故B正确； 对于C，因为函数是上周期为1的“级类周期函数”， 所以， 因为当时，， 所以， 所以当时， ， 而， 因为在上单调递减， 所以，解得， 若，，与题意矛盾， 所以m的取值范围为，故C错误； 对于D，因为函数是上周期为2的“2级类周期函数”， 所以， 因为当时，， 所以当时，， 故当时，恒成立， 当时，， 则， 此时，令，解得或， 当时，， 综上所述，对任意，都有，则n的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括奇偶性，单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 写出一个图象关于直线对称的奇函数________． 【答案】 【解析】 【分析】 举例验证奇偶性和对称性. 【详解】当时， ，又，所以是奇函数； 的对称轴方程为，， 当时，，所以的图象关于直线对称，符合题意. 故答案为：. 13. 已知函数满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程组法解抽象函数解析式即可． 【详解】， ， 解方程组得． 故答案为：． 14. 已知k是正整数，且，则满足方程k有_________个． 【答案】11 【解析】 【分析】分析得到时满足要求，当时，结合等式左右两边的单调性和特殊值得到只有时，满足要求，结合正弦函数的周期和，得到答案. 【详解】显然时，，满足要求； 当时，先考虑一个周期内， 当时，，故单调递增且大于， 而单调递减且小于，两者不可能相等； 时，单调递减且大于0， ，两者不可能相等， 当时，. 故要想成立， 则， 由周期性知，当时，等式左边为0， 又当时，等式左边的和也为0， 故当时，满足要求，共11个． 故答案为：11. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用并集的运算求解； （2）由得到，利用子集的定义求解. 【小问1详解】 当时，， 又解得， 所以； 【小问2详解】 若，则， 当，即时，，符合条件． 当，即时，， 则 综上所述，实数的取值范围为． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期、定义域、对称中心和单调区间； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），定义域为；对称中心为；单调递减区间为）无单调递增区间 （2） 【解析】 【分析】（1）根据的相关性质，整体法代入求解即可； （2）先求得，再求值域即可． 【小问1详解】 解：的最小正周期为 由，解得， 故的定义域为； 由，解得， 故的对称中心为； 因为， 由，得， 所以函数的单调递减区间为）无单调递增区间. 【小问2详解】 ， ． 17. 已知偶函数． （1）求实数a的值． （2）判断在区间上的单调性，并用定义法加以证明． 【答案】（1） （2）在区间上单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出的定义域，定义域关于原点对称，求出，由是偶函数得到，计算得到的值； （2），令，设，且，计算，经过整理得到，从而得到，即，故在区间上单调递增． 【小问1详解】 ，定义域为，定义域关于原点对称， ， 是偶函数， ， ． 【小问2详解】 ，， 在区间上单调递增，证明如下： ， 令， 设，且，则， ， 由，得，即，则， 因此，所以，， 所以在区间上单调递增． 18. 汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度.设表示停车距离，表示反应距离，表示制动距离，则．下图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图. 例如：时，；时， （1）根据相关数据，试解释为什么交通部门要求在限速的路段，行车要至少与前车保持100米以上的距离； （2）根据相关数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型一：或模型二：（其中v为汽车速度，，为待定系数）进行拟合，请根据和两组数据分别求出两个函数模型的解析式； （3）通过计算时的停车距离，分析选择哪一个函数模型的拟合效果更好. （参考数据：；；.） 【答案】（1）答案见解析 （2）， （3）模型二的拟合效果更好． 【解析】 【分析】（1）根据行车速度与停车距离的关系判断； （2）将，和，分别代入模型一和模型二求出的值，得出两函数模型的解析式； （3）将代入模型一和模型二解析式，求出对应停车距离，再与实际比较，即可判断. 【小问1详解】 由数据知，当时，停车距离，当时，停车距离，所以保持100米以上安全距离才能保证遇到突发情况时能避免与前车碰撞 （只要能言之有理即可，但一定要有利用数据进行说理） 【小问2详解】 模型一：，由题意可得， 解得，， 则模型一的解析式为. 模型二：，由题意可得， 解得，， 则模型二的解析式为. 【小问3详解】 将代入模型一解析式得出， 将代入模型二解析式得出， 由于实际的停车距离为245.5m，则模型二的拟合效果更好． 19. 已知函数，. （1）求函数的定义域； （2）用表示实数m，n中的较大者，设函数，讨论函数的零点个数． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）要求的定义域，需要先确定的取值范围，使得有意义，即； （2）讨论的零点个数，需分析和的零点情况，再根据的不同取值范围讨论的零点个数. 【小问1详解】 ， ①当时，不等式为，解得； 当时，不等式可以化为， 令，则，， ②当时，代入可得，不等式的解为； ③当时，此时，不等式的解为； ④当时，此时，不等式的解为； ⑤当时开口向下，此时，不等式的解为， 综上所述，当时的定义域为， 当时的定义域为， 当时的定义域为， 当时的定义域为， 当时的定义域为． 【小问2详解】 当时，则， 显然，的图象在的图象上方，故，无零点； 当时，，即，所以或； （ⅰ）当时，，当时，在上单调递增， 且，故，无零点； （ⅱ）当时，记的零点为， 则应满足且或且， 的解为， 若为的零点，需满足，解得； 在上的解为. 若为的零点，则需满足， 即，解得. 综上，当时，无零点， 当时，有唯一零点1， 当时，有2个零点1和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一级第三次教学质量检测 数学 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 2．请认真核对答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 3．作答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 4．考试结束后，请将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合{不大于2自然数}，集合N满足，则集合N的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 时钟的分针在8点10分到8点20分这段时间里转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生活中，新时代青年不仅要有自己“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 以上都有可能 7. 若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知，则下列关系中成立的是 A. B. C. D. 9. 设，且，则下列结论一定正确的是（ ） A B. C. D. 10. 已知，则下列等式正确的是（  ） A. B. C. D. 11. 已知函数．若对于给定的非零常数m，存在非零常数T，使得对于恒成立，则称函数是D上的“m级类周期函数”，周期为T，则下列命题正确的是（ ） A. 函数是上的“2级类周期函数”，周期为1 B. 函数不可能是“m级类周期函数” C. 已知函数是上周期为1的“m级类周期函数”，当时，，若在上单调递减，则m的取值范围为 D. 若函数是上周期为2的“2级类周期函数”，且当时，，对任意，都有，则n的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 写出一个图象关于直线对称的奇函数________． 13. 已知函数满足，则__________． 14. 已知k是正整数，且，则满足方程的k有_________个． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期、定义域、对称中心和单调区间； （2）若，求的取值范围． 17. 已知是偶函数． （1）求实数a的值． （2）判断在区间上的单调性，并用定义法加以证明． 18. 汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度.设表示停车距离，表示反应距离，表示制动距离，则．下图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图. 例如：时，；时， （1）根据相关数据，试解释为什么交通部门要求在限速的路段，行车要至少与前车保持100米以上的距离； （2）根据相关数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型一：或模型二：（其中v为汽车速度，，为待定系数）进行拟合，请根据和两组数据分别求出两个函数模型的解析式； （3）通过计算时的停车距离，分析选择哪一个函数模型的拟合效果更好. （参考数据：；；.） 19. 已知函数，. （1）求函数的定义域； （2）用表示实数m，n中较大者，设函数，讨论函数的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $