精品解析：重庆市巴蜀中学校2026届高三一模数学试题

2026届重庆巴蜀中学高三一模 数 学 试 卷 注意事项： 1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2． 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号． 在试题卷上作答无效． 3． 考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并交回． 满分 150 分， 考试用时 120 分钟． 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1. 等差数列中，，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据等差中项的性质计算可得. 【详解】因为等差数列中，，所以由等差中项的性质得. 故选：B. 2. 已知抛物线的准线刚好平分圆的周长，则抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线准线过圆心求出 值即可. 【详解】圆的圆心为，抛物线的准线为， 由抛物线的准线刚好平分圆的周长， 得直线过点，则，解得， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：C 3. 从1，2，3，4，5，6，7这 7 个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件 ： “第一次抽到的数字是奇数”，事件 ： “第二次抽到的数字是偶数”，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用古典概率求出事件 , 的概率，再用条件概率公式计算即可. 【详解】：第一次抽到奇数的概率，总共有7个数字，奇数4个，故. :第一次抽到奇数且第二次抽到偶数的概率，分步计算：第一次抽奇数有4种选择，第二次抽偶数有3种选择，总情况数为，故. 根据条件概率公式代入得：. 故选：A. 4. 边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取BC边的中点D，连接AD，可得，利用向量的数量积的运算法则计算可求得. 【详解】取BC边的中点D，连接AD， 因为O为边长为2的等边三角形的外心， 所以，所以， 所以 . 故选：A. 5. 正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以A为原点，在平面 中，过A作 的垂线为x轴， 为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值． 【详解】在正三棱柱中， 以A为原点，在平面 中，过A作 的垂线为x轴， 为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， ，不妨取 则， ， 设异面直线与所成角为 ， 则， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 故选：D． 6. 任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将化为三角形式，再根据棣莫弗定理化简求值，即得答案. 【详解】 ， 故选：C 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点， 的内切圆圆心为 ，连接并延长交 轴于点 ，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，由内切圆的性质可得且，可解得，设，代入双曲线方程可得，由，可得，求得，即可得答案. 【详解】因为， 所以 为线段的靠近的三等分点， 又因为， 即. 所以， 解得， 所以， 又因为 的内切圆圆心为， 所以平分， 又因为三点共线， 由角平分线定理可得， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 设， 则有， 即， 解得， 又因为， 即， 所以， 即， 解得， 设圆与分别相切于点， 设， 由内切圆的性质可知，， 所以 又因为, 所以， 解得， 所以， 即， 所以， 整理得：， 即， 解得或， 当时，， 此时点 与双曲线的右顶点重合，不满足题意； 当时，，满足条件， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 8. 关于 的方程 有两个不同的解，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指对运算将方程化为，设，求导确定单调性可得，令，求导确定函数的单调性与最值从而得实数 的取值范围. 【详解】方程可转化为，则， 所以， 设，则方程转化为， 又恒成立，所以在上为增函数， 所以，即， 令，所以，则可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 又时，，时，， 若方程有两个不同的解，则实数 的取值范围为. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分） 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. “ ” 是 “”的必要不充分条件 B. 若，则 C. 若实数 满足，则的最小值为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】通过列举特殊值可判断项；通过作差法比较大小可判断项；通过基本不等式可判断 项；通过对数函数与指数函数的单调性，可判断项. 【详解】对于，当，时，，，此时， 所以“ ” 是“” 的不充分条件； 当 ，时，，，此时， 所以“ ”是 “”的不必要条件. 综上，“ ”是 “ ”的既不充分也不必要条件，故错误； 对于，因为， 又，所以，即成立，故正确； 对于 ，因为，所以， 当且仅当且，即时等号成立， 所以 的最小值为 ，故 错误； 对于，因为在单调递减，所以； 因为在上单调递减，所以； 因为在上单调递增，所以.所以，故正确. 故选：. 10. 已知 ，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 中，与最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】令可得，根据二项式定理确定展开式中的表达式，根据二项式系数的性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，令 可得，故A正确； 对于B，令可得， 所以， 设展开式的通项为， 取，可得，所以，故B错误； 对于C，令可得①， 令可得②， 由① ②可得，故C正确； 对于D，由选项B可知，， 若最大，则 所以，， 解得，则，故或， 又，所以中，与最大，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知正项数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在 ，使得 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，进而可求判断A; 利用裂项相消法计算可判断B；利用等差数列前 和公式计算可判断C；构造函数可得，进而可得，令，计算可判断D. 【详解】由，可得，所以， 所以是等差数列，又，所以， 所以等差数列的首项为3，公差为2，所以， 所以，所以，故A正确； ， 所以 ， 令，解得，所以存在，使得，故B正确； 对于，故C错误； 对于D，令， 求导得，所以，解得 ， 当 时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，即，所以， 所以，化简得，仅当时等号成立； 令，得，此时等号不成立 所以， ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知集合 ，集合 ，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】解分式不等式可求得集合 ，通过指数函数的单调性可求解集合 ，再进行集合的交集运算即可. 【详解】由，得，所以，所以. 因为在上单调递增，又，所以，即. 所以. 故答案为：. 13. 据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元) 服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学， 则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人． 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，进而求出目标人数. 【详解】由，， 得， 所以这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有. 故答案为：8 14. 若 中，，点 满足且，则 的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】令，由及向量数量积的运算律得，应用余弦定理得，进而有，分离常数法求范围. 【详解】由题设， 所以， 令，则，且， 由， 所以， 令，， 令，， 由在上单调递减，则， 所以，则. 故答案为： 四、解答题（共 77 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知 中，角的对边分别为的面积为且满足 （1）求角 的大小； （2）若的平分线交 于点 ，且，求 的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知，应用三角形面积公式、余弦定理得，再由三角恒等变换得，即可求角； （2）由及三角形面积公式得，结合余弦定理有，联立求边长，进而求面积. 【小问1详解】 由余弦定理，得 所以，又， 所以，可得， 所以，，则； 【小问2详解】 由，则， 即，则， 由余弦定理有，即， 所以，可得， 所以，则，可得，所以. 16. 如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ， 为线段 上一点，且满足 ，记平面 平面 ． （1）求证： ； （2）若直线与交于点 ，求直线 与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 因为， 且 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又因为平面， 平面 平面 ， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量后计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知，两两相互垂直， 以 为原点建立空间直角坐标系，连接如图所示， 由得，, 由（1）可知， 所以, 所以， 设平面的法向量，、 则,即， 设，则， 设直线 与平面所成角为 ， 则. 17. 函数． （1）令，若函数存在唯一零点，求实数 的取值范围； （2）若，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，，即，时有唯一交点，结合图像得到 的取值范围即可； （2）求导，再分、判断导数符号，确定函数的单调性，根据单调性得到函数的值域． 【小问1详解】 ，， ， 时，函数存在唯一零点， ，时有唯一交点， ，的图像如下： ； 【小问2详解】 ， ， 当时，，， ，且， ，即在单调递减， 当时，，， ，且， ，即在单调递增， ， ，， 的值域为． 18. 平面直角坐标系 中，，其中,直线与直线交于点 的轨迹为椭圆 的一部分． （1）求椭圆 的方程； （2）过点作斜率为的直线与E交于两点， ①若 ，求实数的取值范围； ②已知点，直线与 分别交于另一点为，令直线 的斜率为，求 的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意表示出直线的方程和直线的方程，将两式相乘，化简即可求得答案； （2）①设直线l的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，由，可得，代入根与系数的关系，结合不等式性质求解，即可得答案；②由三点共线，推得，设直线 （斜率不为0）的方程并联立椭圆方程，结合根与系数的关系可求出C点坐标，同理得D点坐标，即可表示出，结合化简，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可得，直线的方程为； 直线的方程为，即； 两式相乘得，化简得； 故结合题意可知椭圆E的方程为； 【小问2详解】 ①由于直线l的斜率 大于0. 故设直线l的方程为，， 由得， 需满足，解得， 则， 而， 由，可得 ， 由于，故，则，则， 故，即； ②由于三点共线，所以，即， 整理得， 设直线 （斜率不为0）的方程为， 联立，得，， 则， 又，， 故， 所以， 同理可得， 则， 将代入上式，得， 故. 19. 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到 次，则游戏立即结束并获奖，若投掷 次且后仍未累计命中 次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得 分，未命中记得 分，当累计得分达到 分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到 分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. （1）当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； （2）当且时，求甲同学获奖的概率（用含 的表达式表示）； （3）记甲同学获奖时，投掷次数不超过 次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求 的最小值. 【答案】（1）分布列： 2 3 4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出的取值可能为，再分别计算其概率，最后利用期望公式即可得到答案； （2）计算出的表达式，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可得到答案； （3）记表示乙同学的得分，，计算出对应的概率，根据得到不等式，解出即可得到最小值． 【小问1详解】 由题可知：的取值可能为， ，，， 故的分布列为： 2 3 4 故. 【小问2详解】 记事件 ：甲同学获奖， 显然，，设表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖， 则， 所以， 令， 所以， 两式相减： ， 即，所以． 【小问3详解】 记表示乙同学的得分，， 记事件 ：乙同学获奖，表示乙同学得分为 分时，最终获奖的概率， 显然，又， 由全概率公式知：， 所以， 那么： ， 即， 同理：， ， ， ， 累加有， 所以， 即，即， 即， 由甲同学获奖时，投掷次数不超过 次的概率为得：， 由，即，解得， 故 的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届重庆巴蜀中学高三一模 数 学 试 卷 注意事项： 1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2． 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号． 在试题卷上作答无效． 3． 考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并交回． 满分 150 分， 考试用时 120 分钟． 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1. 等差数列中，，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 2. 已知抛物线的准线刚好平分圆的周长，则抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 从1，2，3，4，5，6，7这 7 个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件 ： “第一次抽到的数字是奇数”，事件 ： “第二次抽到的数字是偶数”，则 （ ） A. B. C. D. 4. 边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 5. 正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点， 的内切圆圆心为 ，连接并延长交 轴于点 ，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 8. 关于 的方程 有两个不同的解，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分） 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. “ ” 是 “”的必要不充分条件 B. 若，则 C. 若实数 满足，则的最小值为 D. 10. 已知 ，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 中，与最大 11. 已知正项数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在 ，使得 C. D. 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知集合 ，集合 ，则 _____． 13. 据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元) 服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学， 则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人． 14. 若 中，，点 满足且，则 的取值范围为_____． 四、解答题（共 77 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知 中，角的对边分别为的面积为 且满足 （1）求角 的大小； （2）若的平分线交 于点 ，且，求 的面积． 16. 如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ， 为线段 上一点，且满足 ，记平面 平面 ． （1）求证： ； （2）若直线与 交于点 ，求直线 与平面所成角的正弦值． 17. 函数． （1）令，若函数存在唯一零点，求实数 的取值范围； （2）若，求函数的值域． 18. 平面直角坐标系 中，，其中,直线与直线交于点 的轨迹为椭圆 的一部分． （1）求椭圆 的方程； （2）过点作斜率为的直线 与E交于两点， ①若 ，求实数的取值范围； ②已知点，直线与 分别交于另一点为，令直线 的斜率为，求 的值． 19. 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到 次，则游戏立即结束并获奖，若投掷 次且后仍未累计命中 次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得 分，未命中记得 分，当累计得分达到 分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到 分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. （1）当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； （2）当且时，求甲同学获奖的概率（用含 的表达式表示）； （3）记甲同学获奖时，投掷次数不超过 次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求 的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $