湖北省沙市中学2026届高三上学期阶段性测试（二）数学试题

2026届高三阶段性测试（二） 数学 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将试卷、答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 5. 已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 方程的两个不等实根为m，n，那么过点，的直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切或相交 C. 相切 D. 与的大小有关 7. 设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在R上的函数不是常数函数，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为.点满足，，过点作平面行于和，平面分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（ ） A. 四边形的周长为定值 B. 四棱锥的体积的最大值为 C. 当时，平面截球所得截面的周长为 D. 当时，将正四体绕旋转后与原四面体的公共部分体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 13. 记为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是__________． 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤. 15. 某厂为比较甲，乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为. （1）求； （2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高，（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）. 16. 如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 17. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围. 18. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 19. 已知无穷数列满足：，为正整数，且，. （1）若，，求； （2）证明：“存在，使得”是“是周期为3的数列”的必要不充分条件； （3）若，是否存在数列，使得恒成立？若存在，求出一组，的值；若不存在，请说明理由. 2026届高三阶段性测试（二） 数学 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将试卷、答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】##． 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤. 【15题答案】 【答案】（1），； （2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 【16题答案】 【答案】（1）证明如下： 因为，E为的中点， 所以； 在和中， 因为， 所以， 所以， 又因为E为的中点， 所以； 又因为平面，， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）与平面所成的角的正弦值为 【17题答案】 【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2） 【18题答案】 【答案】（1）曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）[方法一]【分别求得斜率的表达式利用斜率之积为即可证得题中的结论】 依题意设， 直线的斜率为，则， 所以． 又，所以， 进而有，即是直角三角形． [方法二]【利用三点共线和点差法真的斜率之积为即可证得题中的结论】 由题意设，则． 因为Q，E，G三点共线，所以， 又因为点P，G在椭圆上，所以， 两式相减得， 所以，所以． （ii） 【19题答案】 【答案】（1）或3或5 （2）记，， 必要性：若是周期为3的周期数列，或， 当时，数列前5项为：，，，，， 由得，该式当且仅当或时成立， 与，为正整数矛盾； 当时，数列前5项为：，，，，， 由得，则或（舍，此时）， ，，此时数列：，，0，，，0，，，0，…存在，使得， 另一方面：取数列：1，1，0，1，1，2，3，5，…其中当时，， 此时数列不是周期数列， 综上，“存在，使得”是“是周期为3的周期数列”的必要不充分条件. （3）不存在，理由如下： 等价于（*）或（**）， 首先说明不存在，使得，否则由得记为， 所以，，， 依此类推得前项为…，，0，，，0，，，0（第项）， 则，要么相等，要么有一项为0，矛盾，因此对任意成立， 其次，不存在，使得以及同时成立，否则两式相加得，矛盾. （ⅰ）若（*）式只对有限个正整数才成立，不妨设当且仅当时（*）式成立，其中， 则当时，（**）式恒成立，此时恒成立， 由此易知当，因此数列是无界数列， （ⅱ）若存在无限个正整数使得（*）式成立，不妨设当且仅当时（*）式成立， 其中，考虑与，为方便书写记为，，， 则， 若，则， 若，则，…，，， 则， 此时， 无论哪种情况总有成立，即恒成立， 记，则恒成立，由此易得数列是无界数列， 所以，存在使得，故不存在符合题意的，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $