精品解析：上海市华东师范大学附属周浦中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

华东师范大学附属周浦中学 2025学年第一学期高一期末数学（学科）试卷 命题人：于素娟 审题人：朱辰昊 时间：2026.1 一、填空题（3'×12） 1. 已知集合，，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 2. 1弧度=_________度． 【答案】 【解析】 【分析】由弧度与角度互化公式即可求解. 【详解】由弧度＝180度 可得：1弧度=度． 故答案为：． 3. 与45°角的终边在一条直线上的角的集合为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据终边在同一直线上的角的定义，分终边相同和终边相反两种情况求解，最后合并集合. 【详解】与终边相同角的集合， 与终边相同角的集合， 所以与角的终边在一条直线上的角的集合为： . 故答案为：. 4. 在中，若，则的形状为__________. 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，进而判断三角形形状. 【详解】在中，及正弦定理，得， 所以为直角三角形. 故答案为：直角三角形 5. 已知扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式直接求解. 【详解】由题意，得扇形的圆心角为，半径为， 代入公式得扇形的面积. 故答案为：. 6. 函数图象的对称中心是_________． 【答案】 【解析】 【分析】应用分离常数法得，结合分式型函数的性质确定对称中心. 【详解】由题设，故函数图象的对称中心为. 故答案为： 7. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式得，再由正弦函数性质求解. 【详解】根据， 即， 也就是， 所以，即. 故答案为： 8. 函数，的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法结合对数运算、对数函数性质、二次函数性质求值即可. 【详解】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 故答案为：. 9. 已知锐角的顶点在原点、始边为轴正半轴，将的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单位圆的性质，角的变换及两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为是锐角，所以的终边绕原点逆时针转过后，终边应落在第二象限，所以. 又单位圆上的满足，所以，解得或（舍去）. 设，则，. 所以. 故答案为：. 10. 已知函数，对任意实数k，方程都有解，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得值域为，再结合分段函数性质，分别计算在时及时的值域即可得实数a的取值范围. 【详解】由题意可得值域为， 当时，， 则当时，对，有，解得， 故实数a的取值范围为. 故答案为：. 11. 已知函数，若，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式研究的区间单调性，令，数形结合得且，进而有，最后由二次函数的性质求的范围. 【详解】由在上单调递增，且值域为， 由在上单调递增，且值域为， 所以的大致图象如下，对于且，则， 由图知，，则， 所以，且， 所以. 故答案为： 12. 已知实数x，y满足，，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数与对数运算，结合函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，即， 所以， 令函数，则，所以函数在上单调递增， 则有，所以，即，则. 故答案为：. 二、选择题（3'×4） 13. 已知是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由是的内角，，得出，再利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】解：是的内角，，所以， 若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充要条件，涉及到三角函数公式，属于基础题. 14. 下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性的概念和幂函数的性质逐项判断即可. 【详解】令，定义域为，，，故该函数为奇函数， 根据幂函数的性质可得，故函数在上是减函数，故A排除， 令，定义域为，，，故该函数为奇函数， 又，故函数在上是增函数，故B正确， 令，定义域为，定义域不关于原点对称，故该函数为非奇非偶函数，故C排除， 在函数，定义域为，，故该函数为偶函数，故D排除. 故选：B. 15. 小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】因为，则方程的解应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 16. 记，已知，均是定义在实数集R上的函数，设，有下列两个命题： ①若函数，都是奇函数，则也是奇函数； ②若函数，都是严格减函数，则也是严格减函数. 则关于两个命题判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②都错误 【答案】C 【解析】 【分析】取特例可说明①；根据单调递减函数的定义可得，且时，有，.然后结合函数的定义可推出，即可判断②. 【详解】对于①，设，，则函数，都是奇函数，，显然不是奇函数，故①错误； 对于②，因为函数，都是严格减函数，则对于，且时，有，. 又，所以有，所以必有且. 又，所以有， 所以也是严格减函数，故②正确. 故选：C. 三、解答题（8'+8'+10'+13'+13'） 17. 已知角的终边过点，且 （1）求实数m的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义， 以及点所在的象限进行计算， （2）根据三角函数的诱导公式进行计算， 【小问1详解】 因为在第三象限， ，或， 【小问2详解】 由（1）可知，，故， ， 故原式分母不为，故原式结果为， 18. 已知关于x的不等式，． （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集非空，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)代入，根据二次不等式的解法即可求解； (2)分，和三种情况讨论，时，结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 当，不等式， 即 解得：或， 故的解集是． 即不等式的解集是； 【小问2详解】 若，则，解得，此时符合题意； 若，二次函数开口向下，必然存在函数值小于0，此时符合题意； 若，二次函数开口向上， 若要不等式的解集非空，则需解得； 综上，的取值范围是． 19. 某小微公司每年燃料费约40万元.为了“环评”达标，需要安装一块面积为（单位：平方米）可用10年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为（，k为常数）万元.记y为该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和． （1）求k的值，并写出y关于x的函数表达式； （2）求y的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x． 【答案】（1），； （2）时，. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先取，得，求出，从而可得出结果； （2）由，根据基本不等式，即可求出结果. 【小问1详解】 因为公司每年的燃料费为（为常数）万元， 取，得，则， 所以，该公司安装太阳能板的费用与10年的燃料费之和为： ，； 【小问2详解】 因为， 当且仅当，即时取等号. 所以安装太阳能板的面积为时，取得最小值为万元. 20. 设是上的奇函数． （1）求k的值； （2）写出函数的单调性（只需写出结论，不需证明）；若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围； （3）已知有且仅有2个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）2 （2）在R上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质，求得，代回验证即可； （2）利用函数单调性定义判断单调性；根据函数的奇偶性和单调性将问题转化为存在，使得成立，利用单调性求出的最小值，得解； （3）由，得，令，则，有且仅有2个不同的零点，等价于方程有且仅有2个不同的正根，由判别式和根与系数关系列式求解即可. 【小问1详解】 由是R上的奇函数，则，即，得； 当时，，满足，故. 【小问2详解】 由（1），在R上单调递增，理由如下： 任取，且， 则， 因为在R上单调递增，，所以，即， 又在R上单调递减，，所以，即， 所以，即， 所以在R上单调递增. 不等式，即， ，即存在，使得成立， 又在上单调递增，在上单调递减， 且时，，时，， 所以函数在上的最小值为，故， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，即， ，令，则， 有且仅有2个不同的零点，等价于方程有且仅有2个不同的正根， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 21. 对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，并且，则称函数为“倒函数”， （1）判断函数和是否为倒函数，并说明理由； （2）若是定义域为的偶函数，且恒成立，是定义域为的奇函数，求证：是倒函数； （3）若函数为倒函数，求实数m、n的值；判断函数的单调性，并用单调性的定义加以证明． 【答案】（1） 依题意，函数为“倒函数”，函数的定义域必关于原点对称， 函数的定义域为， 显然1在定义域内，而不在定义域内，即不是“倒函数”； 函数定义域为R，而， 即不是“倒函数”，所以函数和都不是“倒函数”. （2） 因函数是偶函数，是奇函数，则它们的定义域必关于原点对称， 依题意，的定义域是函数与的定义域的交集，也必关于原点对称， 因此， 所以是倒函数. （3） 显然，函数的定义域关于原点对称，又是倒函数， 于是得， 则，又，解得，所以实数m、n的值分别为； 函数是R上的增函数， ，且， 则 ， 显然，即，而，即，于是有， 即，所以函数是R上的增函数. 【解析】 【分析】（1）求出函数定义域，利用给定定义计算判断即可作答. （2）探讨的定义域，再利用给定的定义计算即可作答. （3）利用给定定义直接计算可得m、n的值，判断的单调性，并用单调性定义直接证明作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范大学附属周浦中学 2025学年第一学期高一期末数学（学科）试卷 命题人：于素娟 审题人：朱辰昊 时间：2026.1 一、填空题（3'×12） 1. 已知集合，，若，则____________. 2. 1弧度=_________度． 3. 与45°角的终边在一条直线上的角的集合为_________． 4. 在中，若，则的形状为__________. 5. 已知扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的面积为_________． 6. 函数图象的对称中心是_________． 7. 若，则_________． 8. 函数，的最小值为_________． 9. 已知锐角的顶点在原点、始边为轴正半轴，将的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于，则的值为_________． 10. 已知函数，对任意实数k，方程都有解，则实数a的取值范围是_________． 11. 已知函数，若，且，则的取值范围是_________． 12. 已知实数x，y满足，，则_________． 二、选择题（3'×4） 13. 已知是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（ ） A. B. C. D. 16. 记，已知，均是定义在实数集R上的函数，设，有下列两个命题： ①若函数，都是奇函数，则也是奇函数； ②若函数，都是严格减函数，则也是严格减函数. 则关于两个命题判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②都错误 三、解答题（8'+8'+10'+13'+13'） 17. 已知角的终边过点，且 （1）求实数m的值； （2）求的值． 18. 已知关于x的不等式，． （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集非空，求实数m的取值范围． 19. 某小微公司每年燃料费约40万元.为了“环评”达标，需要安装一块面积为（单位：平方米）可用10年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为（，k为常数）万元.记y为该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和． （1）求k的值，并写出y关于x的函数表达式； （2）求y的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x． 20. 设是上的奇函数． （1）求k的值； （2）写出函数的单调性（只需写出结论，不需证明）；若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围； （3）已知有且仅有2个不同的零点，求实数的取值范围． 21. 对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，并且，则称函数为“倒函数”， （1）判断函数和是否为倒函数，并说明理由； （2）若是定义域为的偶函数，且恒成立，是定义域为的奇函数，求证：是倒函数； （3）若函数为倒函数，求实数m、n的值；判断函数的单调性，并用单调性的定义加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $