精品解析：福建省莆田市中山中学2025-2026学年九年级上学期期末考数学试卷

2025－2026中山中学九年级上册期末考 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”（出自《礼记》）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、绘画、标识等设计上．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 抛掷枚质地均匀的骰子，向上的点数为 B. 两直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 D. 实数的绝对值是非负数 3. 关于函数的图像和性质，下列说法错误的是（ ） A. 函数图像开口方向向下 B. 函数图像对称轴是直线 C. 函数图像的顶点坐标是 D. 函数图像与x轴有2个交点 4. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 5. 如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（　　） A. 4 B. 10 C. D. 8. 桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点位于最高点时，，此时，点到地面的距离为（ ） A. 米 B. 5米 C. 米 D. 米 9. 如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（ ） A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 10. 已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是( ) A. B. 0 C. 2 D. 4 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 已知点与点关于原点对称，则的值为______． 12. 已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为______． 13. 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 14. 地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的山西省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为______． 15. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（不与点重合），则的度数为__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中有，，，、，将沿轴的正方向平移，在第一象限内两点的对应点、正好落在反比例函数的图象上，则______． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程：． 18. 如图，中， ， ，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点落在边上， ，连接，求的长． 19. 若关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为、，且，求k的值． 20. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ； （2）从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率． 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 22. 嘉峪关文物景区位于甘肃省嘉峪关市，是首批国家级旅游景区，有“天下第一雄关”“中外巨防”“河西锁钥”“丝路咽喉”之称．“十一”假期间，为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格为110元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于90元/人． （1）若某单位组织22人去嘉峪关文物景区旅游，购买门票费用为_____元； （2）若某单位支付该景区门票费用共计2500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 23. 如图，在中，． （1）在的延长线上，求作点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的值． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点． 素材2 路边的绿化带宽米 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面米到米的高度（包含端点）． 问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗，请说理由 任务3 拟定设计方案 灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针简容易造成针筒脱落．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围． 25. 如图，在半径为3的作内接矩形，点E是弦的中点，，连结并延长交于点F，点G是的中点，连结分别交于点H、点P． （1）证明：； （2）求的长； （3）若存在一个实数m，使得，试求出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026中山中学九年级上册期末考 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”（出自《礼记》）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、绘画、标识等设计上．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的概念解答即可． 【详解】解：A．图形绕某一点旋转后能够与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意； B．图形绕某一点旋转后不能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； C．图形绕某一点旋转后不能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； D．图形绕某一点旋转后不能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 抛掷枚质地均匀的骰子，向上的点数为 B. 两直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 D. 实数的绝对值是非负数 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A、抛掷1枚质地均匀的骰子，向上的点数可能为6，也可能不为6，故此事件为随机事件； B、两直线被第三条直线所截，当两直线平行时同位角相等，两直线不平行时同位角不相等，故此事件为随机事件； C、抛一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能正面不朝上，故此事件是随机事件； D、任何实数的绝对值都是非负数，故此事件是必然事件． 故选D． 点睛：本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中． 3. 关于函数的图像和性质，下列说法错误的是（ ） A. 函数图像开口方向向下 B. 函数图像对称轴是直线 C. 函数图像的顶点坐标是 D. 函数图像与x轴有2个交点 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为． 由抛物线的解析式可求得开口方向、对称轴及顶点坐标，可判断、、，令计算相应的一元二次方程的解即可判断 D ，则可求得答案． 【详解】解：， ∴抛物线开口向下、对称轴为、顶点坐标为，故A、B、C说法是正确的； 在中，令可得，解得，无解， ∴抛物线与轴没有交点， ∴选项 D 的说法是错误的， 故选：D． 4. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义、代数式求值等知识，由题意，得到，恒等变形，整体代入代数式即可得到答案，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故选：D． 5. 如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．在直角三角形中，根据正弦的意义可求解． 【详解】解：如图， ∴， ∴； 故选B 6. 在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据得到反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小直接判断即可得到答案，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 【详解】解：反比例函数，反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ，， ， 故选：A． 7. 如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（　　） A. 4 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似图形的性质．先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的性质求解． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， ，四边形与四边形相似， ， ， ， 四边形的周长：四边形的周长， 四边形的周长． 故选：B． 8. 桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点位于最高点时，，此时，点到地面的距离为（ ） A. 米 B. 5米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意可得米，过点作交的延长线于点，求出，再解直角三角形得出米，即可得出结果，理解题意，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵米，， ∴米， 如图：过点作交的延长线于点， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴米， ∵米， ∴点到地面的距离为米， 故选：C． 9. 如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（ ） A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由此即可求出，由平行线的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知旋转的性质是解题的关键． 10. 已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是( ) A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由时，x的取值范围为或，可得抛物线的对称轴为，从而可得b与a的关系，将代入二次函数解析式，用含a的代数式表示m，求出m的范围，进而求解． 【详解】当时，x的取值范围为或， ∴为抛物线上的点， ∴抛物线的对称轴为 ， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线经过点， ∴四个值中有可能为m的是4． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图像上的点的坐标特征． 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 已知点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，构建方程组求解计算即可． 【详解】解：由题意，， 解得； ∴． 故答案为：3． 12. 已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算．根据圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故答案为：． 13. 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 14. 地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的山西省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为______． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，由频率估计概率，由题意可得小球落在该地形图上的概率为，设该地形图的面积为，则，求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：根据题意可得：小球落在该地形图上的概率为， 设该地形图的面积为，则， 解得：， ∴该地形图的面积大约为， 故答案为：． 15. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（不与点重合），则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中有，，，、，将沿轴的正方向平移，在第一象限内两点的对应点、正好落在反比例函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平移的性质以及反比例函数的性质，过作垂直于轴，过作垂直于轴，由与垂直，得到一对角互余，再由与垂直，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由，且一对直角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，由与的坐标得出与的长，由求出的长，确定出的坐标，由平移的性质得到和的纵坐标不变，且横坐标相差，设出和的坐标，分别代入反比例解析式中，得到两个关系式，消去求出的值，即可得到的值． 【详解】解：过作垂直于轴，过作垂直于轴， ， ，， ， 在和中， ， ， 、， ， ， 设反比例函数为，点和在该比例函数图象上， 由平移的性质，可设，则， 把点和的坐标分别代入， 得，， ， 解得：， 则． 故答案为：． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， ∴，． 18. 如图，中， ， ，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点落在边上， ，连接，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转，得到，勾股定理求出，进而求出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵旋转 ∴， ∴，， ∴， ∴． 19. 若关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为、，且，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 整理得， 解得或， ， ． 20. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ； （2）从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率． 【答案】（1） （2） 解：根据题意列表如下： 共有种等可能的结果数，其中抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果数为2， 所以求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率． 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法，概率公式求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意列表得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点F， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，的半径为5，得，，则，求得，由，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径，，的半径为5， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长是． 22. 嘉峪关文物景区位于甘肃省嘉峪关市，是首批国家级旅游景区，有“天下第一雄关”“中外巨防”“河西锁钥”“丝路咽喉”之称．“十一”假期间，为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格为110元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于90元/人． （1）若某单位组织22人去嘉峪关文物景区旅游，购买门票费用为_____元； （2）若某单位支付该景区门票费用共计2500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【答案】（1）2332 （2）25名 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用单价原价超出20人的人数，可求出22人去旅游时门票的单价，再利用总价单价数量即可求出结论； （2）设该单位这次共有名员工去该景区旅游，由总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，即可解答． 【小问1详解】 解：， 故购买门票费用为2332元． 【小问2详解】 解：设该单位有名员工去该景区旅游， ， 故， 则可列方程：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时，， 故舍去， 该单位共有25名员工去该景区旅游． 23. 如图，在中，． （1）在的延长线上，求作点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】（1） 如图，点为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）以点为顶点，作，交延长线于点，则问题可解； （2）过点作于点，过点作于点．由面积可求，证明，利用正切定义得到比例式，求出，设，分别利用和构造关于，的方程求出，则可求． 【小问1详解】 依据：有作图，， ∵， ∴； 【小问2详解】 法一： 如图，过点作于点，过点作于点． ， ， . ， ， ，即， ， 解得，（舍去）． 设， ， ， ， ， ， 在Rt中，， ， ， 解得， ， ． 法二： 如图，过点作于点，取的中点，连接． ， ， ． ， ， ，即， ， 解得舍去）． 是直角三角形，， ， ， ， ， ， ， 即． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查利用尺规作已知角、相似三角形的性质和判定以及正切的定义，解答关键是利用相似三角形的性质构造方程求解． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点． 素材2 路边的绿化带宽米 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面米到米的高度（包含端点）． 问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗，请说理由 任务3 拟定设计方案 灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针简容易造成针筒脱落．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围． 【答案】任务一：； 任务二：灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下： ∵上边缘水流的抛物线解析式为： 当时， 解得：或（舍去），则抛物线与负半轴的交点坐标为； ∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点． ∴下边缘的抛物线解析式为： 当时，， 解得：或（舍去）， 则抛物线与负半轴的交点坐标为； ∵ 而路边的绿化带宽米， ∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带； 任务三：有影响，理由如下： 上边缘水流的抛物线解析式为：， ∵绿化带正中间种植了行道树，即处种植了行道树 当时，米 而园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面米到米的高度（包含端点）． 则在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”有影响，建议针一般打在离地面大于米且小于或等于米的高度． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数值，二次函数的性质； 任务一：待定系数法求解析式，即可求解； 任务二：根据题意，求得下边缘的抛物线解析式为：，分别令，得出抛物线与坐标轴的交点，两交点的距离，即为所求； 任务三：依题意，绿化带正中间种植了行道树，即处种植了行道树，令，求得的值，与题意比较，进而得出结论． 【详解】解：任务一：依题意，设上边缘水流的抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得： ∴抛物线的表达式为： 任务二：略； 任务三：略． 25. 如图，在半径为3的作内接矩形，点E是弦的中点，，连结并延长交于点F，点G是的中点，连结分别交于点H、点P． （1）证明：； （2）求的长； （3）若存在一个实数m，使得，试求出m的值． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，证明，即可证明． （2）连接，利用垂径定理求得，利用相似三角形的判定和性质求得，再证明，利用勾股定理求得的长，据此求解即可； （3）用勾股定理求得的长，证明，再证明，推出，连接，推出，利用勾股定理分别求得和的长，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，分别交、于点、， ∵是的中点， ∵矩形内接于， 为的直径， ∵是弦的中点，， ∴， ∴， ∵半径为3， ∵， 【小问3详解】 解：∵， 连接， ∵为的直径， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $