1.4线段的垂直平分线 同步达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《1.4线段的垂直平分线》 同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如图，、、表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（　　）    A．，两边中线的交点处 B．，两边高线的交点处 C．与这两个角的角平分线的交点处 D．，两边的垂直平分线的交点处 2．直线是线段的垂直平分线，为直线上的一点．已知线段，则线段的长度为 （    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．如图所示的图形中，，，那么（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．平分 D． 4．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是(   ) A．68° B．112° C．124° D．146° 6．在中，，，，直线m是中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为（    ） A．6 B．10 C．11 D．13 7．如图，在△ABC中，AB、AC的中垂线DM、EN分别交BC于点M、N，若∠BAC＝79°，则∠MAN的度数为（　　） A．20° B．21° C．22° D．23° 8．如图，在中，是的平分线，点E是边上一点，且，交于点F．下列结论正确的有（    ） ①；②和互相垂直平分；③是等腰三角形；④平分 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（满分24分） 9．在中，边的垂直平分线相交于点，如果点在边上，那么 °． 10．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝ °． 11．如图，在四边形中，过点D作，垂足为E，E恰好为的中点．若，则的度数为 ． 12．如图，已知，若和分别垂直平分和，则 ． 13．如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为 ． 14．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 15．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，连接．若的周长为，．则的长为 ． 16．如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图，中，，点是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）得到的图中，求证：． 18．如图，在中，，平分，是的垂直平分线，交于点，连接．求证：． 19．如图，已知比小，的垂直平分线交于点E，交于点F，的周长为，求的长． 20．如图，在等边中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 21．如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的度数． 22．如图，在中，平分交于，交于，过作，垂足为，并交延长线于． (1)求证：； (2)请猜想与的大小关系，并证明你的结论． 23．在中，，点M为边的中点，点D在边上． (1)若（如图①），求的长； (2)过点M作与边交于点E（如图②），试探究：线段三者之间的数量关系，并证明你的结论． 24．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点为延长线上一点，，点坐标为． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，点在线段上（点不与点、重合），连接，点在第一象限内，连接，，，求证：点在的垂直平分线上； (3)如图3，为轴负半轴上一点，连接，垂直平分且，点在线段的延长线上，连接，点为的中点，连接，，交过点且与轴垂直的直线于点，若，求的长． 参考答案 1．解：生活超市到这三个居民小区的距离相等， 生活超市应建在的三边的垂直平分线的交点处． 故选． 2．A 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线的一点到线段两端距离相等，即可求解． 【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线，为直线上的一点． ∴，即的长度为． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的一点到线段两端距离相等． 3．B 【分析】根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上即可判断． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分，选项B正确， 不能判断选项A、C、D是否正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，掌握“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”是解题的关键． 4．B 【分析】设∠ABD=∠CBD=x°，则∠ABC=2x°，根据线段垂直平分线性质求出BF=CF，推出∠FCB=∠CBD，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可． 【详解】∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD= ∠CBD， 设∠ABD=∠CBD=x°，则∠ABC=2x°， ∵ EF是BC的垂直平分线， ∴BF= CF， ∴∠FCB=∠CBD= x°， ∵∠A= 60°，∠ACF= 45°， ∴60° +45° +x°+ 2x°= 180°， 解得： x= 25， ∴∠ABC= 2x°= 50° 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，能求出BF=CF是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 5．B 【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，可得DA＝DC，根据已知条件和等边对等角可求得∠DCA的度数，即可进一步求得∠BDC的度数． 【详解】∵∠ACB＝90°，∠B＝34°， ∴∠A＝56°， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠DCA＝∠A＝56°， ∴∠BCD＝90°﹣56°＝34°， ∴∠BDC＝180°﹣34°﹣34°＝112°， 故选B． 【点睛】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 6．B 【分析】连接BP，设直线m交AB于点D，根据线段垂直平分线的性质可得BP=CP，从而得到当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接BP，设直线m交AB于点D， ∵直线m垂直平分AB， ∴BP=CP， ∴CP+AP=BP+AP≥AB， 即当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长， ∵的周长为AP+PC+AC， ∴△APC周长的最小值是AB+AC=6+4=10． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 7．C 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到MA= MB，根据等腰三角形的性质得到∠MAB=∠B，同理得到∠NAC=∠C，结合图形计算得到答案． 【详解】解：∵∠BAC＝79°， ∴∠B+∠C＝180°﹣79°＝101°， ∵DM是AB的垂直平分线， ∴MA＝MB， ∴∠MAB＝∠B， 同理可得：NA＝NC， ∴∠NAC＝∠C， ∴∠MAB+∠NAC＝101°， ∴∠MAN＝∠MAB+∠NAC﹣∠BAC＝101°﹣79°＝22°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8．C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合角平分线的定义得，再证明，故，再根据，则是的垂直平分线，又因为，所以是等腰三角形，再结合等边对等角以及平行线的性质，得，即可作答． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴； 故①是符合题意的； ∵， ∴ ∵， ∴是的垂直平分线， 故②是不符合题意的； ∵， ∴是等腰三角形， 故③是符合题意的； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故④是符合题意的； 故选：C 9．90 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理．由线段垂直平分线的性质，得到，，由等边对等角，得到，，再根据三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵边的垂直平分线相交于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：90． 10．78 【分析】连接BO并延长至D，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB，OC=OB，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：连接BO并延长至D， ∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O， ∴OA=OB，OC=OB， ∴∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC， ∴∠AOD=2∠OBA，∠COD=2∠OBC， ∴∠AOC=2（∠OBA+∠OBC）=2∠ABC=78°， 故答案为：78． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，以及等边对等角，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 11． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等边对等角， 先连接，根据线段垂直平分线的性质定理得，再根据等边对等角得，然后根据，可得，最后根据等边对等角得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，点E是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．90 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，，则可得出，，根据三角形内角和得到，则，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图： 和分别垂直平分和， ，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：90． 13．/48度 【分析】由角平分线的定义可得，由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： 平分， ， 垂直平分， ， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定， 先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 15．5 【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得，，根据的周长为8，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，， ∴，． ∵的周长为8， ∴， ∴． 故答案为：5． 16．/42度 【分析】如图，连接，根据线段垂直平分线性质得出，即可得，三角形内角和定理得出，则，根据，求出，证明，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵线段、的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，证明三角形全等是解题的关键． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—垂直，作出正确的线段是解决本题的关键． （1）以点为圆心，适当半径画弧，交于点，，再以点，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，交于点，则点，即为所求作； （2）由作图可得，则可证明，进而即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明， ， ，， ， ， ， ． 18．证明过程见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． 连接，由等腰三角形的性质，可得，，可得，由线段垂直平分线的性质，可得，等量代换，即可证得结论． 【详解】证明：连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 19． 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵比小，即， ∴， ∴， ∴． 20．(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内角和与外角的性质、等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握等边三角形的性质、三角形内角和与外角的性质、等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解； （2）由（1）可知：，然后可得，进而问题可求证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 21．(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的性质与判定，三角形的外角的性质； （1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可说明是直角三角形； （2）根据，得出，根据得出，再根据三角的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下 ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴是直角三角形 （2）解：∵， 设 ∵ ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．(1)证明见解析； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，利用相关性质找准角度之间的数量关系是解题关键． （）根据角平分线的定义和平行线的性质，推出，再根据等角对等边的性质，即可证明结论； （）根据垂直平分线的性质，得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，然后根据三角形外角的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 证明：∵，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴． 23．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键在于正确作出辅助线，熟练掌握直角三角形的性质． （1）连接，求出，设，则.再根据勾股定理求解即可． （2）延长到F，使得，连接．证明，再根据勾股定理求解即可判断三者关系． 【详解】（1）解：连接， ∵，且点M为边的中点， ∴是线段的垂直平分线． ∴． 设，则， 在中，， ． 解得：，即 ． ． （2）解：，理由如下： 如图②延长到F，使得，连接． ∵点M为的中点， ∴， 在和中． ∴ ∴． ∴． ∵ ． ∴． 在中，∵， ∴． 在中，． ∴． 24．(1) (2)见解析 (3)2 【分析】（1）设，根据三角形外角性质得到，再由已知得到，即可建立方程求解； （2）过点D作于点G，证明，则，再根据角直角三角形可得，那么，而，故垂直平分； （3）延长至点，使得，连接，先证明，在上截取，连接，然后证明，再证明，可得为等边三角形，，而，即可求解． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 解得， ∴的度数为； （2）证明：过点D作于点G，如图所示： ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴点在的垂直平分线上； （3）解：延长至点，使得，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵ 又∵ ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴ 在上截取，连接， ∵， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∵点坐标为，由（2）得， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $